www.wikidata.uk-ua.nina.az

Векторний простір Запит Лінійний простір перенаправляє сюди Про структуру в геометрії інцидентності див Лінійний простір

Векторний простір

Запит «Лінійний простір» перенаправляє сюди; Про структуру в геометрії інцидентності див. Лінійний простір (геометрія).

Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

Додавання векторів і множення вектора на скаляр: вектор v (синій) додається до іншого вектора w (червоного, верхня ілюстрація). Унизу, w видовжений множенням на 2, показано суму v + 2w.

Прикладом векторного простору є Евклідові вектори. Вони відображають фізичні величини такі як сили: будь-які дві сили (однакової природи) можна додавати між собою і отримати в результаті третю, а множення вектору сили на дійсний множник дає інший вектор сили. Аналогічним чином, але в більш геометричному сенсі, вектори що відображають переміщення в площині або у тривимірному просторі також утворюють векторні простори. Вектори у векторному просторі не обов'язково повинні бути об'єктами у вигляді стрілок, як їх часто наведено в прикладах: вектори слід розглядати як абстрактні математичні об'єкти із певними властивостями, які в деяких випадках можна зобразити у вигляді направлених відрізків (стрілок).

Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовольняють правила «шкільної алгебри».

У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного, векторного добутку; норми чи метрики. Ці операції можуть вводитись як додаткові структури. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.

Приклади

Поняття векторного простору можна спершу пояснити за допомогою двох окремих прикладів:

Направлені відрізки на площині

У першому прикладі векторний простір складається із «стрілок» на площині, що беруть початок із однієї фіксованої точки, що є початком відліку. У фізиці їх використовують аби описати сили або швидкості. Нехай дано дві такі стрілки, v і w, і паралелограм, що утворений двома цими направленими відрізками містить діагональ, що бере початок з тієї ж точки. Ця нова побудована стрілка є сумою двох попередніх стрілок — v + w. В особливому випадку коли стрілки знаходяться на одній прямій, їхньою сумою буде стрілка на цій прямій, довжина якої дорівнювати сумі або різниці довжин, і залежності від того чи мали стрілки однаковий напрям чи ні. Іншою операцією яку можна виконати над стрілками є масштабування: для будь-якого даного додатного дійсного числа a, стрілка що має такий самий напрямок як v, але його довжина збільшена або зменшена множенням на a, називається добутком вектора v на скаляр a. Він позначається як av. Якщо a від'ємне, av результатом буде стрілка, що вказує в протилежному напрямку.

На наступних зображеннях наведено два приклади: якщо a = 2, результуючий вектор aw має спільний напрямок із w, але збільшену вдвічі довжину відносно w (зображення праворуч знизу). Аналогічно, 2w є сумою w + w. Крім того, (−1)v = −v має протилежний напрям і однакову довжину з v (вектор, що вказує вниз і показаний синім на зображенні праворуч).

Впорядковані пари чисел

У другому ключовому прикладі векторний простір задано парами дійсних чисел x і y. (Важливим є порядок входження компонент x і y, тому така пара ще називається впорядкованою парою.) Записується вона наступним чином — (x, y). Сума двох таких пар і множення пари чисел на число визначатиметься таким чином:

і

Перший приклад зводиться до даного прикладу, якщо направлені відрізки буде представлено парою декартових координат їх кінцевих точок.

Означення

Лінійний простір над полем  — це множина елементи якої називаються векторами, у якій визначені:

що задовільняють наступну систему аксіом:

Найпоширеніші лінійні простори над полем дійсних чисел або комплексних чисел.

Пов'язані визначення

  • Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття модуля над кільцем, у визначенні якого поле замінено на кільце . Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням базиса.

Історія

Векторні простори беруть початок із афінної геометрії після запровадження координат на площині і в тривимірному просторі. Приблизно в 1636, Декарт і Ферма започатковують аналітичну геометрію, коли починають вирішувати рівняння із двома змінними, що є точками на кривій в площині. В 1804, аби отримати геометричні рішення без використання координат, Больцано запропонував певні операції над точками, прямими і площинами, що були попередниками векторів. Його роботу згодом використав Мебіус в 1827 при введені поняття барицентричних координат. В 1828 Мурей[en] припустив існування алгебри, що перевершує не тільки звичайну алгебру, але також і двовимірну алгебру, яку він створив в пошуках геометричної інтерпретації комплексних чисел.

Визначення векторів було засновано на понятті пари точок (англ. bipoint) Беллавітіса, що є орієнтованим сегментом, в якому один кінець є початком, а другий ціллю. Згодом його було опрацьовано Аррандом[en] і Гамільтоном із представленням у вигляді Комплексних чисел і згодом при введені понять кватерніонів і бікватерніонів. Вони є елементами у R2, R4, і R8; ставлення до них як до лінійних комбінацій ввів Едмон Лагерр ще у 1867, який також дав визначення системам лінійних рівнянь.

В 1857, Артур Кейлі запропонував матричну нотацію, що дозволяє гармонізувати та спростити лінійні перетворення. Близько в той самий час, Герман Грассман вивчав барицентричні розрахунки, які започаткував Мебіус. Він уявляв множини із абстрактних об'єктів, над якими виконувалися операції. В його роботі фігурували поняття лінійної незалежності і розмірність, а також скалярний добуток. Першим хто дав сучасне визначення векторному простору і лінійним відображенням в 1888 р. був Джузеппе Пеано 1888.

Важливим фактором розвитку векторних просторів була побудова Лебегом функціональних просторів. Близько 1920 це поняття формалізували Стефан Банах і Давид Гільберт. В той час, алгебра почала взаємодіяти із новою областю - функціональним аналізом, зокрема, за допомогою таких ключових понять як простір p-інтегрованих функцій і Гільбертіві простіри. Векторні простори, в тому числі нескінченно-вимірні, стали тоді добре вкоріненим поняттям, і багато галузей математики почали використовувати його.

Базис і вимір

Вектор v із множини R2 (синім) заданий за допомогою різних базисів: із використанням стандартного базису для R2 v = xe1 + ye2 (чорне), і з використанням іншого, не-ортогонального базису: v = f1 + f2 (червоне).

Різні базиси дозволяють задати вектор за допомогою послідовності скалярів, що називаються координатами або компонентами вектора. Базис це (скінченна або нескінченна) множина B = {bi}i ∈ I векторів bi, для зручності вона часто може індексуватися за допомогою деякої множини індексів I, що охоплює весь простір і є лінійно незалежним. Під поширенням на весь простір розуміють, що будь-який вектор v можна задати як скінченну суму (що називається лінійною комбінацією) із базових елементів:

де ak це скаляри, що називаються координатами (або компонентами) вектора v відповідно до базису B, і bik (k = 1, ..., n) елементів із B. Під лінійною незалежністю розуміють, що координати ak є однозначно визначені для будь-якого вектору у векторному просторі.

Наприклад, вектори координат e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), до en = (0, 0, ..., 0, 1), утворюють базис із Fn, що називається стандартним базисом, оскільки будь-який вектор (x1, x2, ..., xn) може бути унікально представлений як лінійна комбінація цих векторів:

Відповідні координати x1, x2, ..., xn є декартовими координатами вектора.

Кожен векторний простір має базис. Це випливає із леми Цорна, що є еквівалентним формулюванням Аксіоми вибору. У інші аксіомах із теорії множин Цермело — Френкеля, існування базису також еквівалентне аксіомі вибору. лема про ультрафільтр, що є слабшою за аксіому вибору, покладається на те, що всі вектори векторного простору мають однакову кількість елементів, або потужність (див. Теорема про вимір векторних просторів[en]). Це називають розмірністю векторного простору. Якщо простір складається із нескінченної множини векторів, вищезгадане твердження можливо довести без настільки фундаментального введення в теорію множин.

Лінійні відображення і матриці

Описання направленого вектору v за допомогою його координат x і y утворює ізоморфізм векторних просторів.

Співвідношення двох векторних просторів можна задати за допомогою лінійного відображення або лінійного перетворення. Це такі функції, які відображають структуру векторного простору — тобто, вони зберігають суми і скалярний добуток:

Ізоморфізм — лінійне відображення f : V → W для якого існує обернене відображення g : W → V, що є таким відображенням, для якого дві можливі композиції f ∘ g : W → W і g ∘ f : V → V є тотожними відображеннями. Відповідно, f буде одночасно ін'єкцією і сюр'єкцією. Якщо існує ізоморфізм між V і W, ці два простори називають ізоморфними; тоді по суті як векторні простори вони будуть ідентичними, оскільки всі тотожності, що виконуються для V за допомогою f, перетворюються на подібні в W, і навпаки, за допомогою g.

Наприклад, якщо векторні простори «направлених відрізків на площині» і «впорядкованих пар чисел» є ізоморфними: направлений відрізок v на площині, що виходить із початку координат деякої (фіксованої) системи координат можна задати за допомогою впорядкованої пари x- і y-компонент, як показано на малюнку праворуч. І навпаки, для даної пари (x, y), напрям відрізку праворуч (або ліворуч, якщо x є від'ємним) буде задавати значення x , а y — вгору (вниз, якщо y є від'ємним), що дозволяє повернутися назад до направленого відрізку v.

Матриці

Типова матриця

Матриці є зручною нотацію, для описання лінійних відображень. Вони записуються у вигляді впорядкованого прямокутного масиву скалярів як показано на малюнку праворуч. Будь-яка матриця A розміром m-на-n збільшує лінійне відображення із Fn до Fm, наступним чином

Крім того, якщо обрати базиси для V і W, будь-яке лінійне відображення f : V → W однозначно можна задати за допомогою цього рівняння.

Об'єм цього паралелепіпеда дорівнює абсолютному значенню детермінанта матриці розміром 3-на-3, що утворена векторами r1, r2, і r3.

Детермінант det (A) квадратної матриці A є скаляром, який вказує чи є це відображення ізоморфізмом чи ні: аби це було так достатньо і необхідно аби детермінант не дорівнював нулю. Лінійне перетворення Rn, що відповідає дійсній матриці n-на-n зберігає орієнтацію тоді і лише тоді, коли детермінант є додатнім.

Див. також

Примітки

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 
  2. Bourbaki 1969, ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91
  3. Bolzano 1804
  4. Möbius 1827
  5. Crowe, Michel J. (1994). A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover. с. 11 and 16. ISBN 0-486-67910-1. 
  6. Hamilton 1853
  7. Grassmann 1844
  8. Peano 1888, ch. IX
  9. Banach 1922
  10. Dorier 1995, Moore 1995
  11. Roman 2005, Theorem 1.9, p. 43
  12. Blass 1984
  13. Halpern 1966, pp. 670–673
  14. Artin 1991, Theorem 3.3.13
  15. Roman 2005, ch. 2, p. 45
  16. Lang 1987, ch. IV.4, Corollary, p. 106
  17. Lang 1987, ch. V.1
  18. Lang 1987, ch. V.3., Corollary, p. 106
  19. Lang 1987, Theorem VII.9.8, p. 198

Джерела


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Zapit Linijnij prostir perenapravlyaye syudi Pro strukturu v geometriyi incidentnosti div Linijnij prostir geometriya Ve ktornij lini jnij pro stir osnovne ponyattya linijnoyi algebri uzagalnennya mnozhini vsih vektoriv na ploshini chi v prostori z operaciyami dodavannya vektoriv ta mnozhennya vektora na skalyar Dodavannya vektoriv i mnozhennya vektora na skalyar vektor v sinij dodayetsya do inshogo vektora w chervonogo verhnya ilyustraciya Unizu w vidovzhenij mnozhennyam na 2 pokazano sumu v 2w Prikladom vektornogo prostoru ye Evklidovi vektori Voni vidobrazhayut fizichni velichini taki yak sili bud yaki dvi sili odnakovoyi prirodi mozhna dodavati mizh soboyu i otrimati v rezultati tretyu a mnozhennya vektoru sili na dijsnij mnozhnik daye inshij vektor sili Analogichnim chinom ale v bilsh geometrichnomu sensi vektori sho vidobrazhayut peremishennya v ploshini abo u trivimirnomu prostori takozh utvoryuyut vektorni prostori Vektori u vektornomu prostori ne obov yazkovo povinni buti ob yektami u viglyadi strilok yak yih chasto navedeno v prikladah vektori slid rozglyadati yak abstraktni matematichni ob yekti iz pevnimi vlastivostyami yaki v deyakih vipadkah mozhna zobraziti u viglyadi napravlenih vidrizkiv strilok Elementi linijnogo prostoru nazivayutsya vektorami ale ne robitsya niyakih pripushen stosovno prirodi chi pohodzhennya cih elementiv Napriklad u funkcionalnomu analizi rozglyadayutsya topologichni vektorni prostori utvoreni z funkcij odniyeyi chi kilkoh zminnih a vektori stanu v kvantovij mehanici opisuyut stan kvantovoyi sistemi Matrici zadanogo rozmiru takozh utvoryuyut vektornij prostir Zmist navedenih nizhche aksiom polyagaye u tomu sho nezalezhno vid prirodi elementiv vektornogo prostoru yihnye dodavannya i mnozhennya na skalyar zadovolnyayut pravila shkilnoyi algebri U dovilnomu vektornomu prostori ne viznacheni operaciyi skalyarnogo vektornogo dobutku normi chi metriki Ci operaciyi mozhut vvoditis yak dodatkovi strukturi Prote vektorni prostori iz skalyarnim abo ermitovim skalyarnim dobutkom vidigrayut vazhlivu rol yak u linijnij algebri tak i poza yiyi mezhami div napr gilbertiv prostir Zmist 1 Prikladi 1 1 Napravleni vidrizki na ploshini 1 2 Vporyadkovani pari chisel 2 Oznachennya 3 Pov yazani viznachennya 4 Istoriya 5 Bazis i vimir 6 Linijni vidobrazhennya i matrici 6 1 Matrici 7 Div takozh 8 Primitki 9 DzherelaPrikladi RedaguvatiPonyattya vektornogo prostoru mozhna spershu poyasniti za dopomogoyu dvoh okremih prikladiv Napravleni vidrizki na ploshini Redaguvati U pershomu prikladi vektornij prostir skladayetsya iz strilok na ploshini sho berut pochatok iz odniyeyi fiksovanoyi tochki sho ye pochatkom vidliku U fizici yih vikoristovuyut abi opisati sili abo shvidkosti Nehaj dano dvi taki strilki v i w i paralelogram sho utvorenij dvoma cimi napravlenimi vidrizkami mistit diagonal sho bere pochatok z tiyeyi zh tochki Cya nova pobudovana strilka ye sumoyu dvoh poperednih strilok v w V osoblivomu vipadku koli strilki znahodyatsya na odnij pryamij yihnoyu sumoyu bude strilka na cij pryamij dovzhina yakoyi dorivnyuvati sumi abo riznici dovzhin i zalezhnosti vid togo chi mali strilki odnakovij napryam chi ni Inshoyu operaciyeyu yaku mozhna vikonati nad strilkami ye masshtabuvannya dlya bud yakogo danogo dodatnogo dijsnogo chisla a strilka sho maye takij samij napryamok yak v ale jogo dovzhina zbilshena abo zmenshena mnozhennyam na a nazivayetsya dobutkom vektora v na skalyar a Vin poznachayetsya yak av Yaksho a vid yemne av rezultatom bude strilka sho vkazuye v protilezhnomu napryamku Na nastupnih zobrazhennyah navedeno dva prikladi yaksho a 2 rezultuyuchij vektor aw maye spilnij napryamok iz w ale zbilshenu vdvichi dovzhinu vidnosno w zobrazhennya pravoruch znizu Analogichno 2w ye sumoyu w w Krim togo 1 v v maye protilezhnij napryam i odnakovu dovzhinu z v vektor sho vkazuye vniz i pokazanij sinim na zobrazhenni pravoruch Dodavannya vektoriv suma v w chornim vektoriv v sinim i w chervonim Skalyarnij dobutok mnozhennya v i 2w Vporyadkovani pari chisel Redaguvati U drugomu klyuchovomu prikladi vektornij prostir zadano parami dijsnih chisel x i y Vazhlivim ye poryadok vhodzhennya komponent x i y tomu taka para she nazivayetsya vporyadkovanoyu paroyu Zapisuyetsya vona nastupnim chinom x y Suma dvoh takih par i mnozhennya pari chisel na chislo viznachatimetsya takim chinom x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 i a x y ax ay Pershij priklad zvoditsya do danogo prikladu yaksho napravleni vidrizki bude predstavleno paroyu dekartovih koordinat yih kincevih tochok Oznachennya RedaguvatiLinijnij prostir nad polem K displaystyle mathbb K ce mnozhina L displaystyle L elementi yakoyi nazivayutsya vektorami u yakij viznacheni binarna operaciya L L L displaystyle L times L to L dodavannya vektoriv u v u v displaystyle vec u vec v mapsto vec u vec v unarna operaciya K L L displaystyle K times L to L mnozhennya vektora na skalyar l u l u displaystyle lambda vec u mapsto lambda vec u sho zadovilnyayut nastupnu sistemu aksiom 1 L L komutativna grupa vidnosno operaciyi dodavannya vektoriv u v v u displaystyle vec u vec v vec v vec u komutativnist dodavannya u v w u v w displaystyle vec u vec v vec w vec u vec v vec w asociativnist dodavannya 0 L u 0 u displaystyle exists vec 0 in L quad vec u vec 0 vec u isnuvannya nulovogo vektora u L u u 0 displaystyle exists vec u in L quad vec u vec u vec 0 isnuvannya protilezhnogo vektora asociativnist ta unitarnist mnozhennya na skalyari l m u l m u displaystyle lambda mu vec u lambda mu vec u asociativnist mnozhennya na skalyari 1 u u displaystyle 1 cdot vec u vec u de 1 displaystyle 1 ce odinicya polya K displaystyle mathbb K distributivnist dodavannya i mnozhennya na skalyar l m u l u m u displaystyle lambda mu vec u lambda vec u mu vec u l u v l u l v displaystyle lambda vec u vec v lambda vec u lambda vec v u v w L displaystyle forall vec u vec v vec w in L l m K displaystyle forall lambda mu in mathbb K Najposhirenishi linijni prostori nad polem R displaystyle mathbb R dijsnih chisel abo C displaystyle mathbb C kompleksnih chisel Pov yazani viznachennya RedaguvatiOsnovnimi ponyattyami v linijnomu prostori ye linijna nezalezhnist vektoriv bazis pidprostir Piznishe za vektornij prostir bulo vvedeno zagalnishe ponyattya modulya nad kilcem u viznachenni yakogo pole K displaystyle mathbb K zamineno na kilce K displaystyle mathbb K Ale v linijnij algebri vono ne rozglyadayetsya cherez problemi z isnuvannyam bazisa Istoriya RedaguvatiVektorni prostori berut pochatok iz afinnoyi geometriyi pislya zaprovadzhennya koordinat na ploshini i v trivimirnomu prostori Priblizno v 1636 Dekart i Ferma zapochatkovuyut analitichnu geometriyu koli pochinayut virishuvati rivnyannya iz dvoma zminnimi sho ye tochkami na krivij v ploshini 2 V 1804 abi otrimati geometrichni rishennya bez vikoristannya koordinat Bolcano zaproponuvav pevni operaciyi nad tochkami pryamimi i ploshinami sho buli poperednikami vektoriv 3 Jogo robotu zgodom vikoristav Mebius v 1827 pri vvedeni ponyattya baricentrichnih koordinat 4 V 1828 Murej en pripustiv isnuvannya algebri sho perevershuye ne tilki zvichajnu algebru ale takozh i dvovimirnu algebru yaku vin stvoriv v poshukah geometrichnoyi interpretaciyi kompleksnih chisel 5 Viznachennya vektoriv bulo zasnovano na ponyatti pari tochok angl bipoint Bellavitisa sho ye oriyentovanim segmentom v yakomu odin kinec ye pochatkom a drugij cillyu Zgodom jogo bulo opracovano Arrandom en i Gamiltonom iz predstavlennyam u viglyadi Kompleksnih chisel i zgodom pri vvedeni ponyat kvaternioniv i bikvaternioniv 6 Voni ye elementami u R2 R4 i R8 stavlennya do nih yak do linijnih kombinacij vviv Edmon Lagerr she u 1867 yakij takozh dav viznachennya sistemam linijnih rivnyan V 1857 Artur Kejli zaproponuvav matrichnu notaciyu sho dozvolyaye garmonizuvati ta sprostiti linijni peretvorennya Blizko v toj samij chas German Grassman vivchav baricentrichni rozrahunki yaki zapochatkuvav Mebius Vin uyavlyav mnozhini iz abstraktnih ob yektiv nad yakimi vikonuvalisya operaciyi 7 V jogo roboti figuruvali ponyattya linijnoyi nezalezhnosti i rozmirnist a takozh skalyarnij dobutok Pershim hto dav suchasne viznachennya vektornomu prostoru i linijnim vidobrazhennyam v 1888 r buv Dzhuzeppe Peano 1888 8 Vazhlivim faktorom rozvitku vektornih prostoriv bula pobudova Lebegom funkcionalnih prostoriv Blizko 1920 ce ponyattya formalizuvali Stefan Banah i David Gilbert 9 V toj chas algebra pochala vzayemodiyati iz novoyu oblastyu funkcionalnim analizom zokrema za dopomogoyu takih klyuchovih ponyat yak prostir p integrovanih funkcij i Gilbertivi prostiri 10 Vektorni prostori v tomu chisli neskinchenno vimirni stali todi dobre vkorinenim ponyattyam i bagato galuzej matematiki pochali vikoristovuvati jogo Bazis i vimir RedaguvatiDokladnishe Bazis Vektor v iz mnozhini R2 sinim zadanij za dopomogoyu riznih bazisiv iz vikoristannyam standartnogo bazisu dlya R2 v xe1 ye2 chorne i z vikoristannyam inshogo ne ortogonalnogo bazisu v f1 f2 chervone Rizni bazisi dozvolyayut zadati vektor za dopomogoyu poslidovnosti skalyariv sho nazivayutsya koordinatami abo komponentami vektora Bazis ce skinchenna abo neskinchenna mnozhina B bi i I vektoriv bi dlya zruchnosti vona chasto mozhe indeksuvatisya za dopomogoyu deyakoyi mnozhini indeksiv I sho ohoplyuye ves prostir i ye linijno nezalezhnim Pid poshirennyam na ves prostir rozumiyut sho bud yakij vektor v mozhna zadati yak skinchennu sumu sho nazivayetsya linijnoyu kombinaciyeyu iz bazovih elementiv v a 1 b i 1 a 2 b i 2 a n b i n displaystyle mathbf v a 1 mathbf b i 1 a 2 mathbf b i 2 cdots a n mathbf b i n 1 de ak ce skalyari sho nazivayutsya koordinatami abo komponentami vektora v vidpovidno do bazisu B i bik k 1 n elementiv iz B Pid linijnoyu nezalezhnistyu rozumiyut sho koordinati ak ye odnoznachno viznacheni dlya bud yakogo vektoru u vektornomu prostori Napriklad vektori koordinat e1 1 0 0 e2 0 1 0 0 do en 0 0 0 1 utvoryuyut bazis iz Fn sho nazivayetsya standartnim bazisom oskilki bud yakij vektor x1 x2 xn mozhe buti unikalno predstavlenij yak linijna kombinaciya cih vektoriv x1 x2 xn x1 1 0 0 x2 0 1 0 0 xn 0 0 1 x1e1 x2e2 xnen Vidpovidni koordinati x1 x2 xn ye dekartovimi koordinatami vektora Kozhen vektornij prostir maye bazis Ce viplivaye iz lemi Corna sho ye ekvivalentnim formulyuvannyam Aksiomi viboru 11 U inshi aksiomah iz teoriyi mnozhin Cermelo Frenkelya isnuvannya bazisu takozh ekvivalentne aksiomi viboru 12 lema pro ultrafiltr sho ye slabshoyu za aksiomu viboru pokladayetsya na te sho vsi vektori vektornogo prostoru mayut odnakovu kilkist elementiv abo potuzhnist div Teorema pro vimir vektornih prostoriv en 13 Ce nazivayut rozmirnistyu vektornogo prostoru Yaksho prostir skladayetsya iz neskinchennoyi mnozhini vektoriv vishezgadane tverdzhennya mozhlivo dovesti bez nastilki fundamentalnogo vvedennya v teoriyu mnozhin 14 Linijni vidobrazhennya i matrici RedaguvatiDokladnishe Linijne vidobrazhennya Opisannya napravlenogo vektoru v za dopomogoyu jogo koordinat x i y utvoryuye izomorfizm vektornih prostoriv Spivvidnoshennya dvoh vektornih prostoriv mozhna zadati za dopomogoyu linijnogo vidobrazhennya abo linijnogo peretvorennya Ce taki funkciyi yaki vidobrazhayut strukturu vektornogo prostoru tobto voni zberigayut sumi i skalyarnij dobutok f x y f x f y i f a x a f x dlya vsih x i y v V vsih a v F 15 Izomorfizm linijne vidobrazhennya f V W dlya yakogo isnuye obernene vidobrazhennya g W V sho ye takim vidobrazhennyam dlya yakogo dvi mozhlivi kompoziciyi f g W W i g f V V ye totozhnimi vidobrazhennyami Vidpovidno f bude odnochasno in yekciyeyu i syur yekciyeyu 16 Yaksho isnuye izomorfizm mizh V i W ci dva prostori nazivayut izomorfnimi todi po suti yak vektorni prostori voni budut identichnimi oskilki vsi totozhnosti sho vikonuyutsya dlya V za dopomogoyu f peretvoryuyutsya na podibni v W i navpaki za dopomogoyu g Napriklad yaksho vektorni prostori napravlenih vidrizkiv na ploshini i vporyadkovanih par chisel ye izomorfnimi napravlenij vidrizok v na ploshini sho vihodit iz pochatku koordinat deyakoyi fiksovanoyi sistemi koordinat mozhna zadati za dopomogoyu vporyadkovanoyi pari x i y komponent yak pokazano na malyunku pravoruch I navpaki dlya danoyi pari x y napryam vidrizku pravoruch abo livoruch yaksho x ye vid yemnim bude zadavati znachennya x a y vgoru vniz yaksho y ye vid yemnim sho dozvolyaye povernutisya nazad do napravlenogo vidrizku v Matrici Redaguvati Dokladnishe Matricya ta Viznachnik Tipova matricyaMatrici ye zruchnoyu notaciyu dlya opisannya linijnih vidobrazhen 17 Voni zapisuyutsya u viglyadi vporyadkovanogo pryamokutnogo masivu skalyariv yak pokazano na malyunku pravoruch Bud yaka matricya A rozmirom m na n zbilshuye linijne vidobrazhennya iz Fn do Fm nastupnim chinom x x 1 x 2 x n j 1 n a 1 j x j j 1 n a 2 j x j j 1 n a m j x j displaystyle mathbf x x 1 x 2 cdots x n mapsto left sum j 1 n a 1j x j sum j 1 n a 2j x j cdots sum j 1 n a mj x j right de displaystyle sum poznachaye sumu abo vikoristovuyuchi matrichne mnozhennya matrici A na vektor koordinat x x Ax Krim togo yaksho obrati bazisi dlya V i W bud yake linijne vidobrazhennya f V W odnoznachno mozhna zadati za dopomogoyu cogo rivnyannya 18 Ob yem cogo paralelepipeda dorivnyuye absolyutnomu znachennyu determinanta matrici rozmirom 3 na 3 sho utvorena vektorami r1 r2 i r3 Determinant det A kvadratnoyi matrici A ye skalyarom yakij vkazuye chi ye ce vidobrazhennya izomorfizmom chi ni abi ce bulo tak dostatno i neobhidno abi determinant ne dorivnyuvav nulyu 19 Linijne peretvorennya Rn sho vidpovidaye dijsnij matrici n na n zberigaye oriyentaciyu todi i lishe todi koli determinant ye dodatnim Div takozh RedaguvatiLinijnij pidprostir Afinnij prostir Banahiv prostir Gilbertiv prostir Ermitiv prostir Evklidiv prostir Norma funkcional Topologichnij prostirPrimitki Redaguvati A I Kostrikin Yu I Manin Linejnaya algebra i geometriya Bourbaki 1969 ch Algebre lineaire et algebre multilineaire pp 78 91 Bolzano 1804 Mobius 1827 Crowe Michel J 1994 A History of Vector Analysis The Evolution of the Idea of a Vectorial System Dover s 11 and 16 ISBN 0 486 67910 1 Hamilton 1853 Grassmann 1844 Peano 1888 ch IX Banach 1922 Dorier 1995 Moore 1995 Roman 2005 Theorem 1 9 p 43 Blass 1984 Halpern 1966 pp 670 673 Artin 1991 Theorem 3 3 13 Roman 2005 ch 2 p 45 Lang 1987 ch IV 4 Corollary p 106 Lang 1987 ch V 1 Lang 1987 ch V 3 Corollary p 106 Lang 1987 Theorem VII 9 8 p 198Dzherela RedaguvatiGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Malcev A I Osnovy linejnoj algebry 3 e izd Novosibirsk Nauka 1970 400 s ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vektornij prostir amp oldid 37145881