Дистрибутивність (розподільний закон) — властивість узгодженості двох бінарних операцій, визначених на одній множині.
На множині S бінарна операція є дистрибутивною відносно бінарної операції , якщо для будь-яких елементів x, y, z із S виконується:
Якщо операція є комутативною, то властивості дистрибутивності справа та зліва збігаються, і така операція є дистрибутивною.
Дистрибутивність присутня в багатьох алгебричних структурах де визначене додавання і множення: комплексні числа, многочлени, матриці, кільця, поля.
В булевій алгебрі та математичній логіці операції кон'юнкції та диз'юнкції є дистибутивними одна відносно іншої.
Приклади
- В арифметиці — дистрибутивність множення відносно додавання:
- В логіці — дистрибутивність кон'юнкції та диз'юнкції:
- В теорії множин — дистрибутивність об'єднання множин відносно перетину множин:
- Операція ділення є дистрибутивною тільки справа:
Логіка висловлювань
Правило заміни
У стандартних правда-функціональної логіки висловлювань, два допустимих правила заміни. Правила дозволяють поширювати певні логічні зв'язки в логічні вирази в логічних доказах. Правила такі:
i
Де "" є металогічний символ представляє «можуть бути замінені на доказ з»
Істина функціональних зв'язок
Дистрибутивність є властивість деяких логічних зв'язок істини-функціональної логіки висловлювань. Такі логічні еквівалентності демонструють, що дистрибутивності є власністю зокрема зв'язувань. Нижче наведені правда-функціональної тавтології.
Розподіл спільно над поєднанні
Розподіл спільно над диз'юнкції
Розподіл диз'юнкції над поєднанні
Розподіл диз'юнкції над диз'юнкції
Розподіл наслідки
Розподіл наслідки більш еквівалентності
Розподіл диз'юнкції над еквівалентності
Поширення заперечення над еквівалентності
Двомісний розподілу
Самостійна дистрибутивний закон слідування
Дистрибутивність і округлення
На практиці, розподільна властивість множення (і ділення) можуть порушуватись через обмежену точність обчислень.
Наприклад, тотожність ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 +1 +1) / 3 не буде виконуватись в десятковій арифметиці, бо розрахунок приведе наближених результатів: 0,33333 + 0,33333 + 0,33333 = 0,99999 ≠ 1.
Наприклад, купуючи окремо дві книги, кожна за ціною £ 14,99 з податком 17,5%, реально заощадити £ 0,01, у порівнянні з покупкою їх разом: £ 14,99 × 1,175 = £ 17,61. 2 * £ 17,61 = £ 35,22, але £ 29,98 × 1,175 = £ 35,23.
Узагальнення дистрибутивності
У декількох математичних областях, розглядаються узагальнені закони дистрибутивності. Це може призвести до ослаблення зазначених вище умов або розширення інфінітних операцій. Особливо в теорії порядку можна знайти безліч важливих варіантів дистрибутивності, деякі з яких містять інфінітні операції, такі як нескінченний дистрибутивний закон. Це також містить у собі поняття повністю дистрибутивних ґраток.
При наявності відношення порядку, можна також послабити вище рівності замінивши = або ≤ або ≥. Застосування цього принципу є поняття суб-дистрибутивності, як описано в статті інтервальної арифметики.
У теорії категорій , якщо (S, μ, η) та (S ', μ', η ') є Монада по категорії C, дистрибутивний закон SS '→ S'. є природним перетворенням λ: SS '→ S . S така, що ( S ' , λ) , S → S і ( S , λ), S '→ S' . Це саме дані, необхідні для визначення монади структури на S S '. : множення карта S'μ μ'S ² S'λS .. , і блок карті η η'S. . Див: дистрибутивний закон між Монадами.
Узагальнений дистрибутивний закон також був запропонований в області теорії інформації.
Див. також
Джерела
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)