Біна́рна опера́ція (бінарний оператор) — це математичний об'єкт, що складається з двох величин і певної дії над ними.
Бінарну операцію також називають двоелементною або двомісною операцією. (дивитись Містність операції).
Визначення
Бінарною операцією на множині є відображення декартового добутку в множину :
Бінарні операції часто записують за допомогою інфікса, наприклад, a * b, a + b, a • b, замість функціонального запису f(a, b).
Іноді елементи просто пишуть одне за одним без інфікса: ab.
Бінарні операції є наріжним каменем алгебраїчних структур, що їх вивчають в абстрактній алгебрі.
Бінарні операції входять в означення таких структур, як групи, моноїди, напівгрупи, кільця, поля тощо.
За визначенням: магма є множиною з довільною бінарною операцією на ній.
Типи бінарних операцій
Багато бінарних операцій, що становлять інтерес, є комутативними чи асоціативними. Багато з них також мають нейтральний елемент та обернені елементи.
Типовими прикладами таких бінарних операцій є додавання (+) і множення (*) чисел та матриць.
Прикладами некомутативних бінарних операцій є віднімання (-), ділення (/), піднесення до степеня (^), композиція функцій.
Деякі операції мають властивість ідемпотентності чи дистрибутивності.
Приклади бінарних операцій
- арифметичні дії з числами: додавання, віднімання, множення, ділення;
- додавання, множення матриць;
- об'єднання і перетин множин;
- добуток графів.
Зовнішні бінарні операції
Зовнішня бінарна операція — це бінарна операція з в . Вона відрізняється від бінарної операції тим, що K не обов'язково є S, її елементи беруться "зовні".
Прикладом зовнішньої бінарної операції є множення на скаляр в лінійній алгебрі. В цьому випадку K є полем, а S — векторним простором над цим полем.
Зовнішню бінарну операцію можна з іншого боку розглядати як групову дію: K діє на S.
Див. також
| Ця стаття не містить посилань на джерела. (серпень 2010) |