www.wikidata.uk-ua.nina.az

Віднімання Результати обчисленняпорДодавання 1 й доданок 2 й доданок сума зменшуване від ємник різницяМноження 1 й множн

Віднімання

Результати обчислення
  • п
  • о
  • р
Додавання (+)
1-й доданок + 2-й доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуване − від'ємник = різниця
Множення (×)
1-й множник × 2-й множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
показник кореня √підкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм

Відніма́ння — бінарна операція обернена додаванню. Віднімання позначається здебільшого знаком «−» (мінус).

При відніманні двох персиків від п'яти залишається три персики

У виразі

Для виконання операції віднімання потрібно знайти таке , що у сумі з від'ємником давало б зменшуване :

Позначення і термінологія

Віднімання чисел 0–10. Підписи до прямих = від'ємник. X вісь = зменшуване. Y вісь = різниця.

Віднімання записують за допомогою знака мінус "−" між термами; що є використанням інфіксної нотації. Результат записується після знака рівності. Наприклад,

Існують ситуації коли запис із відніманням є "зрозумілим" навіть, якщо не вказано жодного символу:

  • У стовпчику з двох чисел, якщо нижнє число написане червоним, таке написання зазвичай вказує на те, що нижнє число треба відняти від верхнього, а різницю треба записати нижче під лінією. Зазвичай це використовують при розрахунках.

Віднімання чисел

Натуральні числа

Віднімання натуральних чисел не є замкненим. Різниця не буде натуральним числом, коли від'ємник більший або рівний за зменшуване число. Наприклад, 26 не можна відняти із 11, так щоб результатом було натуральне число.

Необхідність віднімати від меншого числа більше призвела до введення від'ємних чисел.

Цілі числа

Уявімо лінійний відрізок довжиною b лівий кінець якого відмічено як a а правий кінець відмічено літерою c. Починаючи від a, необхідно здійснити b кроків праворуч аби досягти c. Цей рух праворуч математично моделюється за допомогою додавання:

Із c, необхідно здійснити b кроків ліворуч аби повернутися назад до a. Цей рух ліворуч математично моделюється за допомогою віднімання:

Тепер, уявімо лінійний відрізок, який розмічено числами 1, 2, і 3. Із позиції 3, не треба здійснювати ніяких кроків ліворуч аби залишитися у 3, тому 3 − 0 = 3. Необхідно здолати 2 кроки ліворуч аби дістатися позиції 1, тому 3 − 2 = 1. Це зображення є не повним аби описати, що станеться якщо виконати 3 кроки ліворуч від позиції 3. Аби зобразити таку операцію, лінію треба продовжити.

Аби відняти довільні натуральні числа, почнемо із прямої, на якій містяться всі натуральні числа (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Від 3, буде здійснено 3 кроки ліворуч аби дістатися 0, тому 3 − 3 = 0. Але 3 − 4 залишається не визначеним, оскільки знову виходить за межі відрізку. Натуральні числа не корисним прикладом для віднімання.

Рішенням є розглянути числову пряму цілих чисел (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Із 3, необхідно здійснити 4 кроки ліворуч аби отримати −1:

Раціональні числа

Раціональні числа при відніманні спочатку треба звести до найменшого спільного знаменника.

Дійсні числа

Віднімання дійсних чисел визначається як додавання чисел із знаком. Зокрема, число віднімається додаванням його протилежного числа. Тоді ми матимемо 3 − π = 3 + (−π). Це дозволяє зберегти кільце дійсних чисел "простим" без необхідності вводити "нові" оператори, такі як віднімання. Зазвичай кільце має лише дві визначені операції; у випадку цілих чисел, це додавання і множення. Кільце вже має поняття адитивного протилежного, але в ньому немає жодного поняття щодо окремої операції віднімання, тому використовуючи додавання із знаком дає можливість застосувати аксіоми про кільця до віднімання без необхідності щось доводити.

Комплексні числа

Віднімання двох комплексних чисел c=a-b можна представити геометрично як віднімання векторів із побудовою трикутника.

Віднімання двох комплексних чисел одне від одного здійснюють за допомогою віднімання дійсних і уявних частин. Це означає, що:

Де: , — уявна одиниця. Якщо представити комплексні числа векторами на комплексній площині, то операція віднімання матиме таку геометричну інтерпретацію: різницею комплексних чисел та , заданих у вигляді векторів на комплексній площині є вектор, що сполучає кінці зменшуваного і від'ємника і направлений від від'ємника в сторону зменшуваного.

Аналогічним чином віднімаються n-вимірні комплексні числа:

Властивості

Антикомутативність

Віднімання є антикомутативною операцією, це означає, що якщо хтось міняє терми у різниці з ліва на право, результат буде від'ємним в порівнянні із початковим результатом. Якщо записати це у символічному вигляді, нехай a і b це довільні два числа, тоді

Не-асоціативність

Віднімання є не-асоціативною операцією, що виникає, коли хтось задає повторювані віднімання. Чи потрібно при цьому вираз

задати такими способами: (a − b) − c або a − (b − c)? Ці два варіанта дають різні результат. Аби усунути цю неоднозначність, необхідно встановити черговість операцій, оскільки різний порядок даватиме різний результат.

Віднімання вручну

У стовпчик

Австралійський метод

Приклад:

Віднімання зліва направо

Приклад:

Американський метод

За цим методом, від кожної цифри зменшуваного, що зверху, віднімається нижнє число починаючи з права на ліво. Якщо верхнє число за мале, аби відняти від нього нижнє, додамо до нього 10; це 10 "позичено" із цифри ліворуч, від якої ми віднімаємо 1. Тоді ми рухаємося до наступного числа і позичаємо одиницю із старшого розряду, якщо це необхідно, доки не виконаємо віднімання усіх цифр. Приклад:

Попереднє торгування

Варіантом американського методу є метод, де всі запозичення здійснюються до виконання всіх віднімань.

Приклад:

Часткові різниці

Метод із частковими різницями відрізняється від попередніх методів віднімання у стовпчик, оскільки не потребує ні позичання ні переносу. Замість цього, ставлять знак мінус чи плюс залежно від того чи є від'ємник більший або менший за зменшуване. Сума усіх часткових різниць дає в результаті загальну різницю.

Приклад:

Інші методи

Метод підрахунку

Замість знаходження різниці цифра за цифрою, можна підрахувати числа між зменшуваним і від'ємником.

Приклад: 1234 − 567 = можна знайти виконавши такі дії:

  • 567 + 3 = 570
  • 570 + 30 = 600
  • 600 + 400 = 1000
  • 1000 + 234 = 1234

Додамо значення із кожного кроку аби отримати загальну різницю: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Віднімання по частинах

Іншим методом, що є корисним для розрахунку в умі, є розбити операцію віднімання на невеликі дії.

Приклад: 1234 − 567 = можна порахувати так:

  • 1234 − 500 = 734
  • 734 − 60 = 674
  • 674 − 7 = 667

Однакові зміни

Метод внесення однакової зміни використовує факт, що додавання або віднімання однакового числа від від'ємника і зменшуваного не змінює результат. Для отримання нулів до зменшуваного додають необхідне число.

Приклад:

"1234 − 567 =" можна розв'язати так:

  • 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

Див. також

Джерела

  • Погребиський Й. Б. Арифметика. — К., 1953

Примітки

  1. The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics [ 25 лютого 2014 у Wayback Machine.] Subtraction: Trade First
  2. Partial-Differences Subtraction [ 23 червня 2014 у Wayback Machine.]; The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics [ 25 лютого 2014 у Wayback Machine.] Subtraction: Partial Differences
  3. The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics [ 25 лютого 2014 у Wayback Machine.] Subtraction: Counting Up
  4. The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics [ 25 лютого 2014 у Wayback Machine.] Subtraction: Left to Right Subtraction
  5. The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics [ 25 лютого 2014 у Wayback Machine.] Subtraction: Same Change Rule


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rezultati obchislennyaporDodavannya 1 j dodanok 2 j dodanok sumaVidnimannya zmenshuvane vid yemnik riznicyaMnozhennya 1 j mnozhnik 2 j mnozhnik dobutokDilennya dilene dilnik chastkaDilennya z ostacheyu mod dilene mod dilnik ostachaPidnesennya do stepenyaosnova stepenyapokaznik stepenya stepinObchislennya korenya pokaznik korenya pidkorenevij viraz korinLogarifm log logosnova chislo logarifmVidnima nnya binarna operaciya obernena dodavannyu Vidnimannya poznachayetsya zdebilshogo znakom minus Pri vidnimanni dvoh persikiv vid p yati zalishayetsya tri persiki U virazi a b x displaystyle a b x a displaystyle a nazivayetsya zmenshuvanim b displaystyle b nazivayetsya vid yemnikom x displaystyle x rezultat vidnimannya nazivayetsya rizniceyu Dlya vikonannya operaciyi vidnimannya potribno znajti take x displaystyle x sho u sumi z vid yemnikom b displaystyle b davalo b zmenshuvane a displaystyle a b x a displaystyle b x a Zmist 1 Poznachennya i terminologiya 2 Vidnimannya chisel 2 1 Naturalni chisla 2 2 Cili chisla 2 3 Racionalni chisla 2 4 Dijsni chisla 2 5 Kompleksni chisla 3 Vlastivosti 3 1 Antikomutativnist 3 2 Ne asociativnist 4 Vidnimannya vruchnu 4 1 U stovpchik 4 1 1 Avstralijskij metod 4 1 2 Vidnimannya zliva napravo 4 1 3 Amerikanskij metod 4 1 4 Poperednye torguvannya 4 1 5 Chastkovi riznici 4 2 Inshi metodi 4 2 1 Metod pidrahunku 4 2 2 Vidnimannya po chastinah 4 2 3 Odnakovi zmini 5 Div takozh 6 Dzherela 7 PrimitkiPoznachennya i terminologiya Redaguvati Vidnimannya chisel 0 10 Pidpisi do pryamih vid yemnik X vis zmenshuvane Y vis riznicya Vidnimannya zapisuyut za dopomogoyu znaka minus mizh termami sho ye vikoristannyam infiksnoyi notaciyi Rezultat zapisuyetsya pislya znaka rivnosti Napriklad 2 1 1 displaystyle 2 1 1 slovami dva minus odin dorivnyuye odin 4 2 2 displaystyle 4 2 2 slovami chotiri minus dva dorivnyuye dva 6 3 3 displaystyle 6 3 3 slovami shist minus tri dorivnyuye trom 4 6 2 displaystyle 4 6 2 slovami chotiri minus shist dorivnyuye minus dva Isnuyut situaciyi koli zapis iz vidnimannyam ye zrozumilim navit yaksho ne vkazano zhodnogo simvolu U stovpchiku z dvoh chisel yaksho nizhnye chislo napisane chervonim take napisannya zazvichaj vkazuye na te sho nizhnye chislo treba vidnyati vid verhnogo a riznicyu treba zapisati nizhche pid liniyeyu Zazvichaj ce vikoristovuyut pri rozrahunkah Vidnimannya chisel RedaguvatiNaturalni chisla Redaguvati Vidnimannya naturalnih chisel ne ye zamknenim Riznicya ne bude naturalnim chislom koli vid yemnik bilshij abo rivnij za zmenshuvane chislo Napriklad 26 ne mozhna vidnyati iz 11 tak shob rezultatom bulo naturalne chislo Neobhidnist vidnimati vid menshogo chisla bilshe prizvela do vvedennya vid yemnih chisel Cili chisla Redaguvati Uyavimo linijnij vidrizok dovzhinoyu b livij kinec yakogo vidmicheno yak a a pravij kinec vidmicheno literoyu c Pochinayuchi vid a neobhidno zdijsniti b krokiv pravoruch abi dosyagti c Cej ruh pravoruch matematichno modelyuyetsya za dopomogoyu dodavannya a b c Iz c neobhidno zdijsniti b krokiv livoruch abi povernutisya nazad do a Cej ruh livoruch matematichno modelyuyetsya za dopomogoyu vidnimannya c b a Teper uyavimo linijnij vidrizok yakij rozmicheno chislami 1 2 i 3 Iz poziciyi 3 ne treba zdijsnyuvati niyakih krokiv livoruch abi zalishitisya u 3 tomu 3 0 3 Neobhidno zdolati 2 kroki livoruch abi distatisya poziciyi 1 tomu 3 2 1 Ce zobrazhennya ye ne povnim abi opisati sho stanetsya yaksho vikonati 3 kroki livoruch vid poziciyi 3 Abi zobraziti taku operaciyu liniyu treba prodovzhiti Abi vidnyati dovilni naturalni chisla pochnemo iz pryamoyi na yakij mistyatsya vsi naturalni chisla 0 1 2 3 4 5 6 Vid 3 bude zdijsneno 3 kroki livoruch abi distatisya 0 tomu 3 3 0 Ale 3 4 zalishayetsya ne viznachenim oskilki znovu vihodit za mezhi vidrizku Naturalni chisla ne korisnim prikladom dlya vidnimannya Rishennyam ye rozglyanuti chislovu pryamu cilih chisel 3 2 1 0 1 2 3 Iz 3 neobhidno zdijsniti 4 kroki livoruch abi otrimati 1 3 4 1 Racionalni chisla Redaguvati Racionalni chisla pri vidnimanni spochatku treba zvesti do najmenshogo spilnogo znamennika 1 10 1 15 1 2 5 1 3 5 3 2 3 5 2 2 3 5 3 2 30 1 30 displaystyle frac 1 10 frac 1 15 frac 1 2 cdot 5 frac 1 3 cdot 5 frac color Red 3 2 cdot color Red 3 cdot 5 frac color Red 2 color Red 2 cdot 3 cdot 5 frac 3 2 30 frac 1 30 Dijsni chisla Redaguvati Vidnimannya dijsnih chisel viznachayetsya yak dodavannya chisel iz znakom Zokrema chislo vidnimayetsya dodavannyam jogo protilezhnogo chisla Todi mi matimemo 3 p 3 p Ce dozvolyaye zberegti kilce dijsnih chisel prostim bez neobhidnosti vvoditi novi operatori taki yak vidnimannya Zazvichaj kilce maye lishe dvi viznacheni operaciyi u vipadku cilih chisel ce dodavannya i mnozhennya Kilce vzhe maye ponyattya aditivnogo protilezhnogo ale v nomu nemaye zhodnogo ponyattya shodo okremoyi operaciyi vidnimannya tomu vikoristovuyuchi dodavannya iz znakom daye mozhlivist zastosuvati aksiomi pro kilcya do vidnimannya bez neobhidnosti shos dovoditi Kompleksni chisla Redaguvati Vidnimannya dvoh kompleksnih chisel c a b mozhna predstaviti geometrichno yak vidnimannya vektoriv iz pobudovoyu trikutnika Vidnimannya dvoh kompleksnih chisel odne vid odnogo zdijsnyuyut za dopomogoyu vidnimannya dijsnih i uyavnih chastin Ce oznachaye sho c f i a d i b e i a b d e i displaystyle c fi a di b ei a b d e i De c a b d e f R displaystyle c a b d e f in mathbb R i displaystyle i uyavna odinicya Yaksho predstaviti kompleksni chisla vektorami na kompleksnij ploshini to operaciya vidnimannya matime taku geometrichnu interpretaciyu rizniceyu kompleksnih chisel a d i displaystyle a di ta b e i displaystyle b ei zadanih u viglyadi vektoriv na kompleksnij ploshini ye vektor sho spoluchaye kinci zmenshuvanogo i vid yemnika i napravlenij vid vid yemnika v storonu zmenshuvanogo Analogichnim chinom vidnimayutsya n vimirni kompleksni chisla A a 1 1 a 2 i 2 a n i n B b 1 1 b 2 i 2 b n i n displaystyle A a 1 1 a 2 i 2 dots a n i n B b 1 1 b 2 i 2 dots b n i n C A B a 1 1 a 2 i 2 a n i n b 1 1 b 2 i 2 b n i n displaystyle C A B a 1 1 a 2 i 2 dots a n i n b 1 1 b 2 i 2 dots b n i n a 1 b 1 1 a 2 b 2 i 2 a n b n i n c 1 1 c 2 i 2 c n i n displaystyle a 1 b 1 1 a 2 b 2 i 2 dots a n b n i n c 1 1 c 2 i 2 dots c n i n Vlastivosti RedaguvatiOperaciya vidnimannya ne ye ani komutativnoyu ani asociativnoyu Operaciya vidnimannya ye antikomutativnoyu Operaciya vidnimannya dlya kompleksnih chisel vektoriv ta matric vikonuyetsya poelementno Antikomutativnist Redaguvati Vidnimannya ye antikomutativnoyu operaciyeyu ce oznachaye sho yaksho htos minyaye termi u riznici z liva na pravo rezultat bude vid yemnim v porivnyanni iz pochatkovim rezultatom Yaksho zapisati ce u simvolichnomu viglyadi nehaj a i b ce dovilni dva chisla todi a b b a Ne asociativnist Redaguvati Vidnimannya ye ne asociativnoyu operaciyeyu sho vinikaye koli htos zadaye povtoryuvani vidnimannya Chi potribno pri comu viraz a b c zadati takimi sposobami a b c abo a b c Ci dva varianta dayut rizni rezultat Abi usunuti cyu neodnoznachnist neobhidno vstanoviti chergovist operacij oskilki riznij poryadok davatime riznij rezultat Vidnimannya vruchnu RedaguvatiU stovpchik Redaguvati Avstralijskij metod Redaguvati Priklad 1 3 Riznicya zapisuyetsya pid liniyeyu 9 5Neobhidna suma 5 za mala Tomu dodamo do neyi 10 i dopishemo 1 pid nastupnim starshim rozryadom zmenshuvanogo chisla 9 15Teper mi mozhemo porahuvati riznicyu yak ranishe 4 1 7 Riznicya zapisuyetsya pid liniyeyu Zagalna riznicya Vidnimannya zliva napravo Redaguvati Priklad 7 4 3Cej rezultat zapisano lishe olivcem Oskilki nastupna cifra vid yemnika mensha za zmenshuvane vidnimemo odinicyu vid nashogo zapisanogo olivcem chisla i v umi dodamo desyatku do nastupnogo 15 9 6 Oskilki nastupna cifra vid yemnika ne ye menshoyu nizh u zmenshuvanogo mi zalishayemo ce chislo 3 1 2Amerikanskij metod Redaguvati Za cim metodom vid kozhnoyi cifri zmenshuvanogo sho zverhu vidnimayetsya nizhnye chislo pochinayuchi z prava na livo Yaksho verhnye chislo za male abi vidnyati vid nogo nizhnye dodamo do nogo 10 ce 10 pozicheno iz cifri livoruch vid yakoyi mi vidnimayemo 1 Todi mi ruhayemosya do nastupnogo chisla i pozichayemo odinicyu iz starshogo rozryadu yaksho ce neobhidno doki ne vikonayemo vidnimannya usih cifr Priklad 3 1 Riznicya zapisuyetsya pid liniyeyu 5 9 Cifra vid yemnika 5 za mala Tomu dodamo do neyi 10 10 zapozichena iz cifri livoruch sho sliduye za 1 15 9 Teper vidnimannya mozhna zdijsniti i mi zapisuyemo riznicyu pid liniyeyu 6 4 Riznicya zapisuyetsya pid liniyeyu Zagalna riznicya Poperednye torguvannya Redaguvati Variantom amerikanskogo metodu ye metod de vsi zapozichennya zdijsnyuyutsya do vikonannya vsih vidniman 1 Priklad 1 3 ne mozhlive Dodamo 10 do 1 Oskilki 10 ye pozichenoyu vid susidnoyi 5 vid 5 vidnimayetsya 1 4 9 ne mozhlive Tomu mi robimo yak pid chas vikonannya kroku 1 Zdijsnyuyuchi vidnimannya z prava na livo 11 3 8 14 9 5 6 4 2Chastkovi riznici Redaguvati Metod iz chastkovimi riznicyami vidriznyayetsya vid poperednih metodiv vidnimannya u stovpchik oskilki ne potrebuye ni pozichannya ni perenosu Zamist cogo stavlyat znak minus chi plyus zalezhno vid togo chi ye vid yemnik bilshij abo menshij za zmenshuvane Suma usih chastkovih riznic daye v rezultati zagalnu riznicyu 2 Priklad The smaller number is subtracted from the greater 700 400 300Oskilki vid yemnik bilshij za zmenshuvane cya riznicya zapisuyetsya iz znakom plyus The smaller number is subtracted from the greater 90 50 40Oskilki vid yemnik menshij za zmenshuvane cya riznicya zapisuyetsya iz znakom minus The smaller number is subtracted from the greater 3 1 2Oskilki vid yemnik bilshij za zmenshuvane cya riznicya zapisuyetsya iz znakom plyus 300 40 2 262Inshi metodi Redaguvati Metod pidrahunku Redaguvati Zamist znahodzhennya riznici cifra za cifroyu mozhna pidrahuvati chisla mizh zmenshuvanim i vid yemnikom 3 Priklad 1234 567 mozhna znajti vikonavshi taki diyi 567 3 570 570 30 600 600 400 1000 1000 234 1234Dodamo znachennya iz kozhnogo kroku abi otrimati zagalnu riznicyu 3 30 400 234 667 Vidnimannya po chastinah Redaguvati Inshim metodom sho ye korisnim dlya rozrahunku v umi ye rozbiti operaciyu vidnimannya na neveliki diyi 4 Priklad 1234 567 mozhna porahuvati tak 1234 500 734 734 60 674 674 7 667Odnakovi zmini Redaguvati Metod vnesennya odnakovoyi zmini vikoristovuye fakt sho dodavannya abo vidnimannya odnakovogo chisla vid vid yemnika i zmenshuvanogo ne zminyuye rezultat Dlya otrimannya nuliv do zmenshuvanogo dodayut neobhidne chislo 5 Priklad 1234 567 mozhna rozv yazati tak 1234 567 1237 570 1267 600 667Div takozh RedaguvatiChotiri arifmetichni diyi Dodavannya Mnozhennya Dilennya Rahuvannya kitajskimi palichkamiDzherela RedaguvatiPogrebiskij J B Arifmetika K 1953Primitki Redaguvati The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Arhivovano 25 lyutogo 2014 u Wayback Machine Subtraction Trade First Partial Differences Subtraction Arhivovano 23 chervnya 2014 u Wayback Machine The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Arhivovano 25 lyutogo 2014 u Wayback Machine Subtraction Partial Differences The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Arhivovano 25 lyutogo 2014 u Wayback Machine Subtraction Counting Up The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Arhivovano 25 lyutogo 2014 u Wayback Machine Subtraction Left to Right Subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Arhivovano 25 lyutogo 2014 u Wayback Machine Subtraction Same Change Rule Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vidnimannya amp oldid 36080313