www.wikidata.uk-ua.nina.az

Уявна одиниця i displaystyle i число що при піднесенні до квадрата дає від ємну одиницю i на комплексній або декартовій

Уявна одиниця

Уявна одиниця  — число, що при піднесенні до квадрата дає від'ємну одиницю:

i на комплексній або декартовій площині. Дійсні числа знаходяться на горизонтальній осі, а уявні числа на вертикальній осі.

Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.

Уявна одиниця є одним з двох розв'язків квадратного рівняння x2 + 1 = 0. Хоча не існує такого дійсного числа що мало б таку властивість, i використовують для розширення дійсних чисел до множини, що називається комплексними числами, і використовувати додавання і множення. Прикладом використання i для утворення комплексного числа є наступний запис: 2 + 3i.

Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є , то іншим розв'язком буде , бо справджується наступна рівність:

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, яке саме з двох розв'язків рівняння позначатиметься , а яке .

Степені уявної одиниці

Степені  повторюються в циклі:

Що може бути записано для будь-якого ступеня у вигляді:

де n — будь-яке ціле число.

Звідси: де mod 4 — це залишок від ділення на 4.

Число є дійсним:

Факторіал

Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:

Також

Корені з уявної одиниці

В полі комплексних чисел корінь n-го ступеня має n рішень. На комплексній площині корені уявної одиниці знаходяться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.

Це випливає з формули Муавра й того, як уявна одиниця записується у тригонометричному вигляді:

Зокрема, та

Також корені уявної одиниці можуть бути представлені за допомогою експоненти:

Див. також

Примітки

  1. Показательная форма комплексного числа
  2. "abs(i!)", WolframAlpha.

Література

  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
  • Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 736 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Uyavna odinicya i displaystyle i chislo sho pri pidnesenni do kvadrata daye vid yemnu odinicyu i na kompleksnij abo dekartovij ploshini Dijsni chisla znahodyatsya na gorizontalnij osi a uyavni chisla na vertikalnij osi i 2 1 displaystyle i 2 1 Uyavna odinicya ne nalezhit polyu dijsnih chisel odnak daye mozhlivist rozshiriti jogo do polya kompleksnih chisel Uyavna odinicya ye odnim z dvoh rozv yazkiv kvadratnogo rivnyannya x2 1 0 Hocha ne isnuye takogo dijsnogo chisla sho malo b taku vlastivist i vikoristovuyut dlya rozshirennya dijsnih chisel do mnozhini sho nazivayetsya kompleksnimi chislami i vikoristovuvati dodavannya i mnozhennya Prikladom vikoristannya i dlya utvorennya kompleksnogo chisla ye nastupnij zapis 2 3i Zmist 1 Uyavna odinicya ta vid yemna uyavna odinicya 1 1 Stepeni uyavnoyi odinici 1 2 Faktorial 1 3 Koreni z uyavnoyi odinici 2 Div takozh 3 Primitki 4 LiteraturaUyavna odinicya ta vid yemna uyavna odinicya RedaguvatiNavedene vishe rivnyannya maye dva rozv yazki Yaksho odin z nih ye i displaystyle i to inshim rozv yazkom bude i displaystyle i bo spravdzhuyetsya nastupna rivnist i 2 1 i 1 i 1 1 i i 1 i 2 i 2 1 displaystyle i 2 1 cdot i cdot 1 cdot i 1 cdot 1 cdot i cdot i 1 cdot i 2 i 2 1 Takim chinom vinikaye neodnoznachnist oznachennya kompleksnogo chisla Prote hocha ci dva chisla ne rivni mizh soboyu dlya matematiki ne isnuye riznici u tomu yake same z dvoh rozv yazkiv rivnyannya i 2 1 displaystyle i 2 1 poznachatimetsya i displaystyle i a yake i displaystyle i Stepeni uyavnoyi odinici Redaguvati Stepeni i i povtoryuyutsya v cikli displaystyle ldots i 3 i displaystyle i 3 i i 2 1 displaystyle i 2 1 i 1 i displaystyle i 1 i i 0 1 displaystyle i 0 1 i 1 i displaystyle i 1 i i 2 1 displaystyle i 2 1 i 3 i displaystyle i 3 i i 4 1 displaystyle i 4 1 displaystyle ldots Sho mozhe buti zapisano dlya bud yakogo stupenya u viglyadi i 4 n 1 displaystyle i 4n 1 i 4 n 1 i displaystyle i 4n 1 i i 4 n 2 1 displaystyle i 4n 2 1 i 4 n 3 i displaystyle i 4n 3 i de n bud yake cile chislo Zvidsi i n i n mod 4 displaystyle i n i n bmod 4 de mod 4 ce zalishok vid dilennya na 4 Chislo i i displaystyle i i ye dijsnim i i e i p 2 i e i 2 p 2 e p 2 0 207 87957635 displaystyle i i e i pi 2 i e i 2 pi 2 e pi 2 0 20787957635 ldots 1 Faktorial Redaguvati Faktorial uyavnoyi odinici i mozhna viznachiti yak znachennya gamma funkciyi vid argumentu 1 i i G 1 i 0 4980 0 1549 i displaystyle i Gamma 1 i approx 0 4980 0 1549i Takozh i p sinh p 0 521564 displaystyle i sqrt pi over sinh pi approx 0 521564 2 Koreni z uyavnoyi odinici Redaguvati V poli kompleksnih chisel korin n go stupenya maye n rishen Na kompleksnij ploshini koreni uyavnoyi odinici znahodyatsya u vershinah pravilnogo n kutnika vpisanogo v kolo odinichnogo radiusa u k cos p 2 2 p k n i sin p 2 2 p k n k 0 1 n 1 displaystyle u k cos frac frac pi 2 2 pi k n i sin frac frac pi 2 2 pi k n quad k 0 1 n 1 Ce viplivaye z formuli Muavra j togo yak uyavna odinicya zapisuyetsya u trigonometrichnomu viglyadi i cos p 2 i sin p 2 displaystyle i cos frac pi 2 i sin frac pi 2 Zokrema i 1 i 2 1 i 2 displaystyle sqrt i left frac 1 i sqrt 2 frac 1 i sqrt 2 right ta i 3 i i 3 2 i 3 2 displaystyle sqrt 3 i left i frac i sqrt 3 2 frac i sqrt 3 2 right Takozh koreni uyavnoyi odinici mozhut buti predstavleni za dopomogoyu eksponenti u k e p 2 2 p k i n k 0 1 n 1 displaystyle u k e frac frac pi 2 2 pi k i n quad k 0 1 n 1 Div takozh RedaguvatiDualni chisla i Podvijni chisla Kompleksnij analiz Kvaternioni Giperkompleksni chislaPrimitki Redaguvati Pokazatelnaya forma kompleksnogo chisla abs i WolframAlpha Literatura RedaguvatiKantor I L Solodovnikov A S Giperkompleksnye chisla Moskva Nauka 1973 144 s ros Lavrentev M A Shabat B V Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo Moskva Glavnaya redakciya fiziko matematicheskoj literatury izd va Nauka 1973 736 s ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Uyavna odinicya amp oldid 36798240