www.wikidata.uk-ua.nina.az

Комплексний аналіз Компле ксний ана ліз або тео рія фу нкції компле ксної змі нної ТФКЗ розділ математики що вивчає функ

Комплексний аналіз

Компле́ксний ана́ліз, або тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ) — розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зокрема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці. Поєднує у собі математичний аналіз функцій дійсних змінних, диференціальні рівняння і багато інших розділів математики.

Графік функції f(x)=(x2−1)(x-2-i)2/(x2+2+2i). Аргумент відображує тон зображення, а величину функції — насиченість малюнка.

Головною задачею ТФКЗ є вивчення аналітичних функцій, які залежать від комплексної змінної (або мероморфних функцій). Оскільки дійсна та уявна частина будь-якої аналітичної функції повинні підкорюватися рівнянню Лапласа, комплексний аналіз має широке застосування у поверхневих задачах фізики.

Комплексною називається функція, в якій аргумент та залежна змінна є комплексними числами. Або точніше, комплексна функція — це функція, область визначення якої D є підмножиною комплексної площини, і область значень функції E також підмножина комплексної площини.

Для будь-якої комплексної функції, аргумент та залежна змінна повинні мати дійсну та уявну частини:

Іншими словами, компоненти функції f(z),

можуть бути подані як функції, визначені на множині дійсних чисел, але залежні від двох змінних х та у.

Таким чином, на комплексній множині можна використовувати звичайні дійсні функції: тригонометричні та обернені їм, гіперболічні, логарифмічні тощо. Окрім цього ці функції можна розповсюдити на комплексну множину і обчислювати їх значення для комплексних чисел.

Історія Редагувати

Множина Мандельброта.

Комплексний аналіз, як класичний розділ математики, почав зароджуватися у середині 19 сторіччя. Його розвиток пов'язаний з іменами Ейлера, Гаусса, Рімана, Коші, Вейєрштрасса та багатьох інших математиків. Прийнято вважати, що ТФКЗ є частиною теорії конформного відображення, і має багато застосувань у фізиці та аналітичній теорії чисел. У сучасності особливого розвитку отримала комплексна динаміка[en] та зображення фракталів, які є результатом інтегрування голоморфних функцій, найвідомішим з яких є множина Мандельброта. Інші важливі сучасні застосування ТФКЗ зустрічаються у теорії струн та квантової теорії поля.

Загальні поняття Редагувати

Кожна комплексна функція може розглядатися як пара дійсних функцій від двох змінних: , що визначають її дійсну й уявну частину відповідно. Функції , називають компонентами комплексної функції .

Далі всюди, де йдеться про обмеженість комплексної функції, мається на увазі обмеженість її модуля (з чого випливає обмеженість у звичайному сенсі обох компонент).

Поняття границі для послідовності і функції вводиться так само, як і в випадку дійсних чисел, з заміною абсолютної величини на комплексний модуль. Якщо , то і . Правильно і зворотне: з існування границь компонент випливає існування границі самої функції та компонентами границі будуть границі компонентів. Неперервність комплексної функції теж визначається так само, як у випадку дійсних чисел, і вона рівносильна неперервності обох її компонент.

Всі основні теореми про границі і неперервність дійсних функцій мають місце і в комплексному випадку, якщо це розширення не пов'язане з порівнянням комплексних величин на більше-менше. Наприклад, відсутній прямий аналог теореми про проміжні значення неперервної функції.

-окіл числа визначається як множина точок , віддалених від менше ніж на :

На комплексній площині -окіл являє собою середину кола радіуса з центром в .

Нескінченно віддалена точка Редагувати

У комплексному аналізі часто корисно розглядати повну комплексну площину, доповнену в порівнянні із звичайною нескінченно віддаленою точкою: . При такому підході послідовність, що необмежено зростає (за модулем), вважається збіжною до нескінченно віддаленої точки. Алгебричні операції з нескінченністю не виконуються, хоча кілька алгебричних співвідношень мають місце:

-околом нескінченно віддаленої точки вважається множина точок , модуль яких більший, ніж , тобто зовнішня частина -околу початку координат.

Диференціювання Редагувати

Визначення Редагувати

Похідна для комплексної функції одного аргументу визначається так само, як і для дійсної:

(тут  — комплексне число). Якщо ця границя існує, функція називається диференційовною або голоморфною. При цьому

Слід враховувати одну важливу особливість: оскільки комплексна функція задана на площині, існування наведеної границі означає, що вона однакова при наближенні до з будь-якого боку. Цей факт накладає суттєві обмеження на вигляд функцій-компонент і визначає їх жорсткий взаємозв'язок (умови Коші — Рімана, вони ж умови Ейлера — Даламбера):

Звідси випливає, що диференційовності компонент і недостатньо для диференційовності самої функції.

Більше того, мають місце такі властивості, що відрізняють комплексний аналіз від дійсного:

  • Будь-яка гармонійна функція може бути як дійсною, так і уявною компонентою диференційовної функції. При цьому інша компонента визначається однозначно (з умов Коші — Рімана), з точністю до константи-доданка.

Таким чином, будь-яка диференційовна комплексна функція — це функція виду , де  — взаємопов'язані гармонійні функції двох аргументів.

Інші властивості Редагувати

Нехай функції і диференційовні в області . Тоді і також диференційовні в цій області. Якщо в області не перетворюється в нуль, то буде диференційовною в Композиція функцій диференційовна скрізь, де вона визначена. Якщо похідна функції в області не перетворюється в нуль, то існує обернена до неї функція і вона буде диференційовною.

Похідна суми, різниці, добутку, частки від ділення, композиції функцій та оберненої функції обчислюється за тими ж формулами, що і в дійсному аналізі.

Геометричний зміст похідної Редагувати

Приклад конформного відображення. Видно, що кути зберігаються.

Кожна комплексна функція визначає деяке відображення комплексної площини з координатами на іншу комплексну площину з координатами . При цьому вираз

при малому геометрично можна витлумачити як коефіцієнт масштабування, яке виконує дане відображення при переході від точки до точки . Існування межі , тобто модуля похідної , означає, що коефіцієнт масштабування однаковий в будь-якому напрямку від точки , тобто не залежить від напрямку. Взагалі кажучи, коефіцієнт масштабування змінюється від точки до точки.

Якщо коефіцієнт масштабування , то в околі точки відстані між точками збільшуються, і коефіцієнт масштабування називають коефіцієнтом розтягування. Якщо коефіцієнт масштабування , то в околі точки відстані між точками зменшуються, і коефіцієнт масштабування називають коефіцієнтом стиснення. Приклад для функції : у точці похідна дорівнює 4, тому всі довжини збільшуються в чотири рази.

Що стосується аргументу похідної, то він визначає кут повороту гладкої кривої, що проходить через дану точку . Всі гладкі криві при такому відображенні повертаються на один і той же кут. Відображення, що зберігають кути, називаються конформними; таким чином, будь-яка диференційована комплексна функція визначає конформне відображення (в тій області, де її похідна не перетворюється в нуль). З цим фактом пов'язане широке застосування комплексних функцій у картографії та гідродинаміці.

Інтегрування Редагувати

Інтегрування комплексних функцій Редагувати

Поняття первісної комплексної функції (невизначеного інтеграла) вводиться так само, як у дійсому випадку. Однак аналог визначеного інтеграла в інтервалі від до на комплексній площині, взагалі кажучи, не існує, оскільки шлях від початкової точки до кінцевої неоднозначний. Тому основним видом комплексного інтеграла є криволінійний інтеграл, що залежить від конкретного шляху. Нижче будуть вказані умови, за виконання яких інтеграл не залежить від шляху, і тоді інтеграл «від точки до точки» може бути визначений коректно.

Нехай рівняння визначає деяку кусково-гладку криву у комплексній площині, а функція визначена в точках цієї кривої. Поділимо інтервал задання параметра на рівних частин: розглянемо інтегральну суму:

Границя цієї суми при необмеженому зростанні називається (комплексним) інтегралом по кривій від даної функції ; вона позначається:

Для будь-якої функції , неперервної вздовж цей інтеграл існує і може бути обчислений через звичайний дійсний інтеграл за параметром:

Тут  — компоненти . З цього подання зразу ж випливає, що властивості комплексного інтеграла аналогічні властивостям дійсного криволінійного інтеграла.

Контурний інтеграл Редагувати

Особливий практичний інтерес являють інтеграли за (замкнутим) контуром, тобто за кусково-гладкою кривою без точок самоперетину, в якій початкова точка збігається з кінцевою. Контур можна обходити у двох напрямках; додатним вважається напрямок, за якого обмежена контуром область розташовується зліва по ходу руху.

Якщо крива утворює замкнутий контур, вживається особливе позначення інтеграла:

Має місце важлива інтегральна теорема Коші: для будь-якої функції , аналітичної в однозв'язній області і для будь-якого замкнутого контуру інтеграл за ним дорівнює нулю:

Наслідок: нехай функція , аналітична в однозв'язній області , а точки з області з'єднані деякою кривої . Тоді інтеграл залежить тільки від точок , але не від вибору кривої , що їх з'єднує, так що можна позначити його і має місце теорема Ньютона — Лейбніца:

де  — первісна для .

Існує узагальнення інтегральної теореми Коші для багатозв'язної області: якщо функція аналітична в замкнутій багатозв'язній області, то інтеграл від неї за зовнішнім контуром області дорівнює сумі інтегралів за всіма внутрішніми контурами (в тому ж напрямку, що й за зовнішнім). Це узагальнення зручно застосовувати, якщо область містить особливу точку функції (див. нижче), де функція не аналітична або не визначена.

Інші потужні інструменти для дослідження комплексних і дійсних інтегралів:

Теореми єдиності та аналітичне продовження Редагувати

Нулем функції називається точка , в якій функція звертається в нуль: .

Теорема про нулі аналітичної функції. Якщо нулі функції , аналітичної в області , мають граничну точку всередині , то функція усюди в дорівнює нулю.

Наслідок: якщо функція аналітична в області і не дорівнює тотожно нулю, то в будь-якій обмеженій замкнутій підобласті у неї може бути лише скінченне число нулів.

Теорема єдиності аналітичної функції. Нехай  — збіжна послідовність різних точок області . Якщо дві аналітичні функції збігаються в усіх точках цієї послідовності, то вони тотожно рівні в .

Зокрема, якщо дві аналітичні функції збігаються на деякій кусково-гладкій кривій в , то вони збігаються всюди в . Це означає, що значення аналітичної функції навіть на невеликій ділянці області повністю визначають поведінку функції у всій області її визначення. Задавши аналітичну функцію на кривій (наприклад, на дійсній осі), ми однозначно визначаємо її розширення (якщо воно можливе) на більш широку область, яке називається аналітичним продовженням початкової функції.

Всі стандартні функції аналізу — многочлен, дробово-лінійна функція, степенева функція, експонента, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, логарифм — допускають аналітичне продовження на комплексну площину. При цьому для їх аналітичних продовжень будуть мати місце ті ж алгебраїчні, диференціальні та інші тотожності, що й для дійсного оригіналу, наприклад:

Розкладання в ряд Редагувати

Степеневий ряд Редагувати

Визначення суми числового ряду та ознаки збіжності в комплексному аналізі практично такі ж, як у дійсному, з заміною абсолютної величини комплексним модулем; виняток становлять ознаки збіжності, в яких відбувається порівняння на більше-менше самих елементів ряду, а не їхніх модулів.

Кожна диференційовна в точці функція розкладається в околі цієї точки в степеневий ряд Тейлора:

Коефіцієнти ряду обчислюються за звичайними формулами. Цей ряд збігається до функції у певному колі радіуса з центром у точці , яке служить аналогом інтервалу збіжності дійсного ряду. У цьому колі ряд абсолютно збігається, а поза ним — розбігається. При цьому можливі 3 випадки.

  1. Ряд збігається в колі скінченного і ненульового радіуса.
  2. Ряд збігається у всій комплексній площині, тобто . Такі функції називають цілими.
  3. Ряд збігається лише в точці . Приклад: . Такі точки називаються особливими для функції Неособливі точки називаються правильними. Внутрішність круга збіжності складається з правильних точок.

Межа кола збіжності містить хоча б одну особливу точку. Звідси випливає, що радіус кола збіжності в точці дорівнює відстані від до найближчої до неї особливої точки.

Теорема Абеля: якщо  — радіус кола збіжності степеневого ряду, то в будь-якому колі з тим самим центром, але меншого радіуса, ряд збігається рівномірно.

Ряд Лорана Редагувати

Являє великий практичний інтерес дослідження поведінки функції поблизу ізольованої особливої точки, тобто точки, навколо якої функція аналітична, але в самій точці або не аналітична, або не визначена. Степеневий ряд тут марний, тому вводиться загальний ряд Лорана:

Якщо область збіжності ряду Лорана не порожня, вона являє собою кругове кільце: .

Основна теорема: якщо функція аналітична в круговому кільці, то вона може бути подана в цьому кільці збіжним рядом Лорана, причому однозначно.

Як і для степеневого ряду, межі кільця збіжності визначаються розподілом особливих точок функції. За виглядом ряду Лорана можна зробити деякі висновки про поведінку функції поблизу точки .

  1. Усувна особлива точка: якщо ряд Лорана не містить елементів з від'ємними степенями . Тоді це просто степеневий ряд, що визначає функцію в певному колі, що оточує . Сума ряду в цьому колі скінченна і може відрізнятись від тільки в точці , тому досить перевизначити , щоб функція стала аналітичною у всьому колі. Має місце така ознака: якщо функція поблизу аналітична і обмежена, то  — усувна особлива точка.
  2. Полюс: якщо ряд Лорана містить скінченне число елементів з від'ємними степенями . У цьому випадку функція в точці нескінченна (за модулем).
  3. Суттєво особлива точка: якщо ряд Лорана містить нескінченне число елементів з від'ємними степенями . У цьому випадку функція в точці не може бути коректно визначена так, щоб бути неперервною.

Застосування в дійсному аналізі Редагувати

За допомогою теорії лишків, що є частиною ТФКЗ, обчислюються багато складних інтегралів за замкнутими контурами.

Засобами комплексного аналізу пояснюються деякі моменти, які не піддаються простий інтерпретації в термінах речового аналізу. Наведемо класичний приклад: функція

неперервна і нескінченно диференційовна на всій дійсній прямій. Розглянемо її ряд Тейлора

Цей ряд збігається тільки в інтервалі хоча точки не є якимись особливими для .

Положення прояснюється при переході до функції комплексної змінної , у якій виявляються дві особливі точки: . Відповідно, цю функцію можна розкласти в ряд Тейлора тільки в колі .

Примітки Редагувати

  1. Смирнов В. И., 2010, с. 7—15..
  2. Свєшніков А. Р., Тихонов А. Н. Теорія функцій комплексної змінної. Указ. соч., с. 20-21.
  3. Смирнов В. И., 2010, с. 15—22..
  4. Смирнов В. И., 2010, с. 22—23.
  5. Смирнов В. И., 2010, с. 24—25.
  6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М. : Наука, 1973.
  7. Смирнов В. И., 2010, с. 33.

Література Редагувати

  • Долженко Є. П., Єрмаков А. І. Теорія функції комплексної змінної та деякі її застосування: Навчальний посібник. — Луганськ: Вид-во СНУ ім. В. Даля, 2003.
  • Комплексний аналіз: Підруч. / А. А. Гольдберг, М. М. Шеремета, М. В. Заболоцький, О. Б. Скасків; Львів. нац. ун-т ім. І.Франка. — Л. : Афіша, 2002. — 204 c.
  • Комплексний аналіз і течії з вільними границями / [відп. ред.: Ю. Б. Зелінський, О. С. Лимарченко]. — Київ: ІМ НАН України, 2010. — 442 с. — (Зб. праць / Ін-т математики НАН України / голов. ред. А. М. Самойленко ; т. 7 ; № 2). — Текст парал. укр., англ.
  • Комплексний аналіз, теорія потенціалу і застосування / [відп. ред.: Ю. Б. Зелінський, С. А. Плакса]. — Київ: ІМ НАН України, 2013. — 574 с. — (Зб. праць / Ін-т математики НАН України / голов. ред. А. М. Самойленко ; т. 10 ; № 4-5). — Текст парал. укр., англ.
  • Лаврентьєв М. О. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва: Физматгиз, 1973. (рос.)
  • Швець В. Т. Вища математика: теорія функцій комплексної змінної. — Одеса: ВМВ. — 2014, 236 с.

Див. також Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Komple ksnij ana liz abo teo riya fu nkciyi komple ksnoyi zmi nnoyi TFKZ rozdil matematiki sho vivchaye funkciyi yaki zalezhat vid kompleksnoyi zminnoyi Vikoristovuyetsya u bagatoh rozdilah matematiki zokrema u teoriyi chisel prikladnij matematici ta fizici Poyednuye u sobi matematichnij analiz funkcij dijsnih zminnih diferencialni rivnyannya i bagato inshih rozdiliv matematiki Grafik funkciyi f x x2 1 x 2 i 2 x2 2 2i Argument vidobrazhuye ton zobrazhennya a velichinu funkciyi nasichenist malyunka Golovnoyu zadacheyu TFKZ ye vivchennya analitichnih funkcij yaki zalezhat vid kompleksnoyi zminnoyi abo meromorfnih funkcij Oskilki dijsna ta uyavna chastina bud yakoyi analitichnoyi funkciyi povinni pidkoryuvatisya rivnyannyu Laplasa kompleksnij analiz maye shiroke zastosuvannya u poverhnevih zadachah fiziki Kompleksnoyu nazivayetsya funkciya v yakij argument ta zalezhna zminna ye kompleksnimi chislami Abo tochnishe kompleksna funkciya ce funkciya oblast viznachennya yakoyi D ye pidmnozhinoyu kompleksnoyi ploshini i oblast znachen funkciyi E takozh pidmnozhina kompleksnoyi ploshini Dlya bud yakoyi kompleksnoyi funkciyi argument ta zalezhna zminna povinni mati dijsnu ta uyavnu chastini z x i y displaystyle z x iy ta f z U x y i V x y displaystyle f z U x y iV x y de x y R displaystyle x y in mathbb R ta U x y V x y displaystyle U x y V x y ce funkciyi viznacheni na mnozhini dijsnih chisel Inshimi slovami komponenti funkciyi f z U V x y displaystyle U V x y ta V V x y displaystyle V V x y mozhut buti podani yak funkciyi viznacheni na mnozhini dijsnih chisel ale zalezhni vid dvoh zminnih h ta u Takim chinom na kompleksnij mnozhini mozhna vikoristovuvati zvichajni dijsni funkciyi trigonometrichni ta oberneni yim giperbolichni logarifmichni tosho Okrim cogo ci funkciyi mozhna rozpovsyuditi na kompleksnu mnozhinu i obchislyuvati yih znachennya dlya kompleksnih chisel Zmist 1 Istoriya 2 Zagalni ponyattya 3 Neskinchenno viddalena tochka 4 Diferenciyuvannya 4 1 Viznachennya 4 2 Inshi vlastivosti 4 3 Geometrichnij zmist pohidnoyi 5 Integruvannya 5 1 Integruvannya kompleksnih funkcij 5 2 Konturnij integral 6 Teoremi yedinosti ta analitichne prodovzhennya 7 Rozkladannya v ryad 7 1 Stepenevij ryad 7 2 Ryad Lorana 8 Zastosuvannya v dijsnomu analizi 9 Primitki 10 Literatura 11 Div takozhIstoriya Redaguvati nbsp Mnozhina Mandelbrota Kompleksnij analiz yak klasichnij rozdil matematiki pochav zarodzhuvatisya u seredini 19 storichchya Jogo rozvitok pov yazanij z imenami Ejlera Gaussa Rimana Koshi Vejyershtrassa ta bagatoh inshih matematikiv Prijnyato vvazhati sho TFKZ ye chastinoyu teoriyi konformnogo vidobrazhennya i maye bagato zastosuvan u fizici ta analitichnij teoriyi chisel U suchasnosti osoblivogo rozvitku otrimala kompleksna dinamika en ta zobrazhennya fraktaliv yaki ye rezultatom integruvannya golomorfnih funkcij najvidomishim z yakih ye mnozhina Mandelbrota Inshi vazhlivi suchasni zastosuvannya TFKZ zustrichayutsya u teoriyi strun ta kvantovoyi teoriyi polya Zagalni ponyattya RedaguvatiKozhna kompleksna funkciya w f z f x i y displaystyle w f z f x iy nbsp mozhe rozglyadatisya yak para dijsnih funkcij vid dvoh zminnih f z u x y i v x y displaystyle f z u x y iv x y nbsp sho viznachayut yiyi dijsnu j uyavnu chastinu vidpovidno Funkciyi u displaystyle u nbsp v displaystyle v nbsp nazivayut komponentami kompleksnoyi funkciyi f z displaystyle f z nbsp Dali vsyudi de jdetsya pro obmezhenist kompleksnoyi funkciyi mayetsya na uvazi obmezhenist yiyi modulya z chogo viplivaye obmezhenist u zvichajnomu sensi oboh komponent Ponyattya granici dlya poslidovnosti i funkciyi vvoditsya tak samo yak i v vipadku dijsnih chisel z zaminoyu absolyutnoyi velichini na kompleksnij modul Yaksho lim z a b i f z A B i displaystyle lim z to a bi f z A Bi nbsp to lim x a y b u x y A displaystyle lim x to a y to b u x y A nbsp i lim x a y b v x y B displaystyle lim x to a y to b v x y B nbsp Pravilno i zvorotne z isnuvannya granic komponent viplivaye isnuvannya granici samoyi funkciyi ta komponentami granici budut granici komponentiv Neperervnist kompleksnoyi funkciyi tezh viznachayetsya tak samo yak u vipadku dijsnih chisel i vona rivnosilna neperervnosti oboh yiyi komponent 1 Vsi osnovni teoremi pro granici i neperervnist dijsnih funkcij mayut misce i v kompleksnomu vipadku yaksho ce rozshirennya ne pov yazane z porivnyannyam kompleksnih velichin na bilshe menshe Napriklad vidsutnij pryamij analog teoremi pro promizhni znachennya neperervnoyi funkciyi e displaystyle varepsilon nbsp okil chisla z 0 displaystyle z 0 nbsp viznachayetsya yak mnozhina tochok z displaystyle z nbsp viddalenih vid z 0 displaystyle z 0 nbsp menshe nizh na e displaystyle varepsilon nbsp z z 0 lt e displaystyle z z 0 lt varepsilon nbsp Na kompleksnij ploshini e displaystyle varepsilon nbsp okil yavlyaye soboyu seredinu kola radiusa e displaystyle varepsilon nbsp z centrom v z 0 displaystyle z 0 nbsp Neskinchenno viddalena tochka RedaguvatiU kompleksnomu analizi chasto korisno rozglyadati povnu kompleksnu ploshinu 2 dopovnenu v porivnyanni iz zvichajnoyu neskinchenno viddalenoyu tochkoyu z displaystyle z infty nbsp Pri takomu pidhodi poslidovnist sho neobmezheno zrostaye za modulem vvazhayetsya zbizhnoyu do neskinchenno viddalenoyi tochki Algebrichni operaciyi z neskinchennistyu ne vikonuyutsya hocha kilka algebrichnih spivvidnoshen mayut misce z 0 z z displaystyle frac z infty 0 z infty infty z neq infty nbsp z z 0 z 0 displaystyle z cdot infty infty frac z 0 infty z neq 0 nbsp e displaystyle varepsilon nbsp okolom neskinchenno viddalenoyi tochki vvazhayetsya mnozhina tochok z displaystyle z nbsp modul yakih bilshij nizh 1 e displaystyle dfrac 1 varepsilon nbsp tobto zovnishnya chastina 1 e displaystyle dfrac 1 varepsilon nbsp okolu pochatku koordinat Diferenciyuvannya RedaguvatiViznachennya Redaguvati Pohidna dlya kompleksnoyi funkciyi odnogo argumentu w f z displaystyle w f z nbsp viznachayetsya tak samo yak i dlya dijsnoyi 3 f z d f d z lim h 0 f z h f z h displaystyle f prime z frac df dz lim h to 0 frac f z h f z h nbsp tut h displaystyle h nbsp kompleksne chislo Yaksho cya granicya isnuye funkciya nazivayetsya diferencijovnoyu abo golomorfnoyu Pri comu f z h f z d f d z h o h displaystyle f z h f z frac df dz cdot h o h nbsp Slid vrahovuvati odnu vazhlivu osoblivist oskilki kompleksna funkciya zadana na ploshini isnuvannya navedenoyi granici oznachaye sho vona odnakova pri nablizhenni do z displaystyle z nbsp z bud yakogo boku Cej fakt nakladaye suttyevi obmezhennya na viglyad funkcij komponent u v displaystyle u v nbsp i viznachaye yih zhorstkij vzayemozv yazok umovi Koshi Rimana voni zh umovi Ejlera Dalambera u x v y u y v x displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y qquad frac partial u partial y frac partial v partial x nbsp Zvidsi viplivaye sho diferencijovnosti komponent u displaystyle u nbsp i v displaystyle v nbsp nedostatno dlya diferencijovnosti samoyi funkciyi Bilshe togo mayut misce taki vlastivosti sho vidriznyayut kompleksnij analiz vid dijsnogo Kozhna diferencijovna v deyakomu okoli tochki z displaystyle z nbsp kompleksna funkciya diferencijovna neobmezhenu kilkist raziv i analitichna tobto yiyi ryad Tejlora zbigayetsya do danoyi funkciyi u vsih tochkah cogo okolu v literaturi poryad z terminom analitichna funkciya vikoristovuyutsya jogo sinonimi golomorfna funkciya regulyarna funkciya Teorema Liuvilya yaksho funkciya diferencijovna na vsij kompleksnij ploshini i ne ye konstantoyu to yiyi modul ne mozhe buti obmezhenij Obidvi komponenti kompleksnoyi diferencijovanoyi funkciyi ye garmonijnimi funkciyami tobto zadovolnyayut rivnyannyu Laplasa 2 u x 2 2 u y 2 0 2 v x 2 2 v y 2 0 displaystyle frac partial 2 u partial x 2 frac partial 2 u partial y 2 0 qquad frac partial 2 v partial x 2 frac partial 2 v partial y 2 0 nbsp Bud yaka garmonijna funkciya mozhe buti yak dijsnoyu tak i uyavnoyu komponentoyu diferencijovnoyi funkciyi Pri comu insha komponenta viznachayetsya odnoznachno z umov Koshi Rimana z tochnistyu do konstanti dodanka Takim chinom bud yaka diferencijovna kompleksna funkciya ce funkciya vidu u i v displaystyle u iv nbsp de u v displaystyle u v nbsp vzayemopov yazani garmonijni funkciyi dvoh argumentiv Inshi vlastivosti Redaguvati Nehaj funkciyi f z displaystyle f z nbsp i g z displaystyle g z nbsp diferencijovni v oblasti G C displaystyle G subset mathbb C nbsp Todi f z g z displaystyle f z pm g z nbsp i f z g z displaystyle f z cdot g z nbsp takozh diferencijovni v cij oblasti Yaksho g z displaystyle g z nbsp v oblasti G displaystyle G nbsp ne peretvoryuyetsya v nul to f z g z displaystyle frac f z g z nbsp bude diferencijovnoyu v G displaystyle G nbsp Kompoziciya funkcij f g z displaystyle f g z nbsp diferencijovna skriz de vona viznachena Yaksho pohidna funkciyi w f z displaystyle w f z nbsp v oblasti G displaystyle G nbsp ne peretvoryuyetsya v nul to isnuye obernena do neyi funkciya z f w displaystyle z varphi w nbsp i vona bude diferencijovnoyu Pohidna sumi riznici dobutku chastki vid dilennya kompoziciyi funkcij ta obernenoyi funkciyi obchislyuyetsya za timi zh formulami sho i v dijsnomu analizi Geometrichnij zmist pohidnoyi Redaguvati nbsp Priklad konformnogo vidobrazhennya Vidno sho kuti zberigayutsya Kozhna kompleksna funkciya w f z u x y i v x y displaystyle w f z u x y iv x y nbsp viznachaye deyake vidobrazhennya kompleksnoyi ploshini z koordinatami x y displaystyle x y nbsp na inshu kompleksnu ploshinu z koordinatami u v displaystyle u v nbsp Pri comu viraz f z h f z h k h displaystyle left frac f z h f z h right k h nbsp pri malomu h displaystyle h nbsp geometrichno mozhna vitlumachiti yak koeficiyent masshtabuvannya yake vikonuye dane vidobrazhennya pri perehodi vid tochki z displaystyle z nbsp do tochki z h displaystyle z h nbsp Isnuvannya mezhi lim h 0 k h displaystyle lim h to 0 k h nbsp tobto modulya pohidnoyi f z k displaystyle f prime z k nbsp oznachaye sho koeficiyent masshtabuvannya odnakovij v bud yakomu napryamku vid tochki z displaystyle z nbsp tobto ne zalezhit vid napryamku Vzagali kazhuchi koeficiyent masshtabuvannya zminyuyetsya vid tochki do tochki 4 Yaksho koeficiyent masshtabuvannya k gt 1 displaystyle k gt 1 nbsp to v okoli tochki z displaystyle z nbsp vidstani mizh tochkami zbilshuyutsya i koeficiyent masshtabuvannya nazivayut koeficiyentom roztyaguvannya Yaksho koeficiyent masshtabuvannya k lt 1 displaystyle k lt 1 nbsp to v okoli tochki z displaystyle z nbsp vidstani mizh tochkami zmenshuyutsya i koeficiyent masshtabuvannya nazivayut koeficiyentom stisnennya Priklad dlya funkciyi f z z 2 2 z 1 displaystyle f z z 2 2z 1 nbsp u tochci z 1 displaystyle z 1 nbsp pohidna dorivnyuye 4 tomu vsi dovzhini zbilshuyutsya v chotiri razi Sho stosuyetsya argumentu pohidnoyi to vin viznachaye kut povorotu gladkoyi krivoyi sho prohodit cherez danu tochku z displaystyle z nbsp Vsi gladki krivi pri takomu vidobrazhenni povertayutsya na odin i toj zhe kut Vidobrazhennya sho zberigayut kuti nazivayutsya konformnimi takim chinom bud yaka diferencijovana kompleksna funkciya viznachaye konformne vidobrazhennya v tij oblasti de yiyi pohidna ne peretvoryuyetsya v nul 5 Z cim faktom pov yazane shiroke zastosuvannya kompleksnih funkcij u kartografiyi ta gidrodinamici 6 Integruvannya RedaguvatiIntegruvannya kompleksnih funkcij Redaguvati Ponyattya pervisnoyi kompleksnoyi funkciyi neviznachenogo integrala vvoditsya tak samo yak u dijsomu vipadku Odnak analog viznachenogo integrala v intervali vid a displaystyle a nbsp do b displaystyle b nbsp na kompleksnij ploshini vzagali kazhuchi ne isnuye oskilki shlyah vid pochatkovoyi tochki do kincevoyi neodnoznachnij Tomu osnovnim vidom kompleksnogo integrala ye krivolinijnij integral sho zalezhit vid konkretnogo shlyahu Nizhche budut vkazani umovi za vikonannya yakih integral ne zalezhit vid shlyahu i todi integral vid tochki do tochki mozhe buti viznachenij korektno Nehaj rivnyannya z z t a t b displaystyle z z t a leqslant t leqslant b nbsp viznachaye deyaku kuskovo gladku krivu g displaystyle gamma nbsp u kompleksnij ploshini a funkciya f z displaystyle f z nbsp viznachena v tochkah ciyeyi krivoyi Podilimo interval zadannya parametra na n displaystyle n nbsp rivnih chastin a t 0 lt t 1 lt lt t n b displaystyle a t 0 lt t 1 lt ldots lt t n b nbsp rozglyanemo integralnu sumu 1 k n f z t k z t k z t k 1 displaystyle sum 1 leqslant k leqslant n f z t k z t k z t k 1 nbsp Granicya ciyeyi sumi pri neobmezhenomu zrostanni n displaystyle n nbsp nazivayetsya kompleksnim integralom po krivij g displaystyle gamma nbsp vid danoyi funkciyi f z displaystyle f z nbsp vona poznachayetsya g f z d z displaystyle int limits gamma f z dz nbsp Dlya bud yakoyi funkciyi f z displaystyle f z nbsp neperervnoyi vzdovzh g displaystyle gamma nbsp cej integral isnuye i mozhe buti obchislenij cherez zvichajnij dijsnij integral za parametrom g f z d z a b f z t z t d t g u d x v d y i g v d x u d y displaystyle int limits gamma f z dz int limits a b f z t z t dt int limits gamma u dx v dy i int limits gamma v dx u dy nbsp Tut u v displaystyle u v nbsp komponenti f z displaystyle f z nbsp Z cogo podannya zrazu zh viplivaye sho vlastivosti kompleksnogo integrala analogichni vlastivostyam dijsnogo krivolinijnogo integrala Konturnij integral Redaguvati Osoblivij praktichnij interes yavlyayut integrali za zamknutim konturom tobto za kuskovo gladkoyu krivoyu bez tochok samoperetinu v yakij pochatkova tochka zbigayetsya z kincevoyu Kontur mozhna obhoditi u dvoh napryamkah dodatnim vvazhayetsya napryamok za yakogo obmezhena konturom oblast roztashovuyetsya zliva po hodu ruhu Yaksho kriva g displaystyle gamma nbsp utvoryuye zamknutij kontur vzhivayetsya osoblive poznachennya integrala g f z d z displaystyle oint limits gamma f z dz nbsp Maye misce vazhliva integralna teorema Koshi dlya bud yakoyi funkciyi f z displaystyle f z nbsp analitichnoyi v odnozv yaznij oblasti A C displaystyle A subset mathbb C nbsp i dlya bud yakogo zamknutogo konturu g A displaystyle gamma subset A nbsp integral za nim dorivnyuye nulyu g f z d z 0 displaystyle oint limits gamma f z dz 0 nbsp Naslidok nehaj funkciya f z displaystyle f z nbsp analitichna v odnozv yaznij oblasti A C displaystyle A subset mathbb C nbsp a tochki z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 nbsp z oblasti A displaystyle A nbsp z yednani deyakoyu krivoyi g displaystyle gamma nbsp Todi integral g f z d z displaystyle int limits gamma f z dz nbsp zalezhit tilki vid tochok z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 nbsp ale ne vid viboru krivoyi g displaystyle gamma nbsp sho yih z yednuye tak sho mozhna poznachiti jogo z 1 z 2 f z d z displaystyle int limits z 1 z 2 f z dz nbsp i maye misce teorema Nyutona Lejbnica z 1 z 2 f z d z F z 2 F z 1 displaystyle int limits z 1 z 2 f z dz F z 2 F z 1 nbsp de F z displaystyle F z nbsp pervisna dlya f z displaystyle f z nbsp Isnuye uzagalnennya integralnoyi teoremi Koshi dlya bagatozv yaznoyi oblasti yaksho funkciya analitichna v zamknutij bagatozv yaznij oblasti to integral vid neyi za zovnishnim konturom oblasti dorivnyuye sumi integraliv za vsima vnutrishnimi konturami v tomu zh napryamku sho j za zovnishnim 7 Ce uzagalnennya zruchno zastosovuvati yaksho oblast mistit osoblivu tochku funkciyi div nizhche de funkciya ne analitichna abo ne viznachena Inshi potuzhni instrumenti dlya doslidzhennya kompleksnih i dijsnih integraliv Integralna formula Koshi ta yiyi naslidki princip maksimumu modulya teoremi pro serednye Osnovna teorema pro lishkiTeoremi yedinosti ta analitichne prodovzhennya RedaguvatiNulem funkciyi f z displaystyle f z nbsp nazivayetsya tochka z 0 displaystyle z 0 nbsp v yakij funkciya zvertayetsya v nul f z 0 0 displaystyle f z 0 0 nbsp Teorema pro nuli analitichnoyi funkciyi Yaksho nuli funkciyi f z displaystyle f z nbsp analitichnoyi v oblasti D displaystyle D nbsp mayut granichnu tochku vseredini D displaystyle D nbsp to funkciya f z displaystyle f z nbsp usyudi v D displaystyle D nbsp dorivnyuye nulyu Naslidok yaksho funkciya f z displaystyle f z nbsp analitichna v oblasti D displaystyle D nbsp i ne dorivnyuye totozhno nulyu to v bud yakij obmezhenij zamknutij pidoblasti C D displaystyle C subset D nbsp u neyi mozhe buti lishe skinchenne chislo nuliv Teorema yedinosti analitichnoyi funkciyi Nehaj z n displaystyle z n nbsp zbizhna poslidovnist riznih tochok oblasti D displaystyle D nbsp Yaksho dvi analitichni funkciyi f z g z displaystyle f z g z nbsp zbigayutsya v usih tochkah ciyeyi poslidovnosti to voni totozhno rivni v D displaystyle D nbsp Zokrema yaksho dvi analitichni funkciyi zbigayutsya na deyakij kuskovo gladkij krivij v D displaystyle D nbsp to voni zbigayutsya vsyudi v D displaystyle D nbsp Ce oznachaye sho znachennya analitichnoyi funkciyi navit na nevelikij dilyanci oblasti povnistyu viznachayut povedinku funkciyi u vsij oblasti yiyi viznachennya Zadavshi analitichnu funkciyu na krivij napriklad na dijsnij osi mi odnoznachno viznachayemo yiyi rozshirennya yaksho vono mozhlive na bilsh shiroku oblast yake nazivayetsya analitichnim prodovzhennyam pochatkovoyi funkciyi Vsi standartni funkciyi analizu mnogochlen drobovo linijna funkciya stepeneva funkciya eksponenta trigonometrichni funkciyi oberneni trigonometrichni funkciyi logarifm dopuskayut analitichne prodovzhennya na kompleksnu ploshinu Pri comu dlya yih analitichnih prodovzhen budut mati misce ti zh algebrayichni diferencialni ta inshi totozhnosti sho j dlya dijsnogo originalu napriklad sin 2 z cos 2 z 1 e u e v e u v displaystyle sin 2 z cos 2 z 1 qquad e u cdot e v e u v nbsp Rozkladannya v ryad RedaguvatiStepenevij ryad Redaguvati Viznachennya sumi chislovogo ryadu ta oznaki zbizhnosti v kompleksnomu analizi praktichno taki zh yak u dijsnomu z zaminoyu absolyutnoyi velichini kompleksnim modulem vinyatok stanovlyat oznaki zbizhnosti v yakih vidbuvayetsya porivnyannya na bilshe menshe samih elementiv ryadu a ne yihnih moduliv Kozhna diferencijovna v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp funkciya rozkladayetsya v okoli ciyeyi tochki v stepenevij ryad Tejlora f z n 0 a n z z 0 n displaystyle f z sum n 0 infty a n z z 0 n nbsp Koeficiyenti ryadu obchislyuyutsya za zvichajnimi formulami Cej ryad zbigayetsya do funkciyi f z displaystyle f z nbsp u pevnomu koli radiusa R displaystyle R nbsp z centrom u tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp yake sluzhit analogom intervalu zbizhnosti dijsnogo ryadu U comu koli ryad absolyutno zbigayetsya a poza nim rozbigayetsya Pri comu mozhlivi 3 vipadki Ryad zbigayetsya v koli skinchennogo i nenulovogo radiusa Ryad zbigayetsya u vsij kompleksnij ploshini tobto R displaystyle R infty nbsp Taki funkciyi nazivayut cilimi Ryad zbigayetsya lishe v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp Priklad n 0 n z z 0 n displaystyle sum n 0 infty n z z 0 n nbsp Taki tochki z 0 displaystyle z 0 nbsp nazivayutsya osoblivimi dlya funkciyi f z displaystyle f z nbsp Neosoblivi tochki nazivayutsya pravilnimi Vnutrishnist kruga zbizhnosti skladayetsya z pravilnih tochok Mezha kola zbizhnosti mistit hocha b odnu osoblivu tochku Zvidsi viplivaye sho radius kola zbizhnosti v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp dorivnyuye vidstani vid z 0 displaystyle z 0 nbsp do najblizhchoyi do neyi osoblivoyi tochki Teorema Abelya yaksho R displaystyle R nbsp radius kola zbizhnosti stepenevogo ryadu to v bud yakomu koli z tim samim centrom ale menshogo radiusa ryad zbigayetsya rivnomirno Ryad Lorana Redaguvati Yavlyaye velikij praktichnij interes doslidzhennya povedinki funkciyi poblizu izolovanoyi osoblivoyi tochki tobto tochki navkolo yakoyi funkciya analitichna ale v samij tochci abo ne analitichna abo ne viznachena Stepenevij ryad tut marnij tomu vvoditsya zagalnij ryad Lorana n c n z z 0 n n 0 c n z z 0 n n 1 c n z z 0 n displaystyle sum n infty infty c n z z 0 n sum n 0 infty c n z z 0 n sum n 1 infty frac c n z z 0 n nbsp Yaksho oblast zbizhnosti ryadu Lorana ne porozhnya vona yavlyaye soboyu krugove kilce r lt z z 0 lt R displaystyle r lt z z 0 lt R nbsp Osnovna teorema yaksho funkciya f z displaystyle f z nbsp analitichna v krugovomu kilci to vona mozhe buti podana v comu kilci zbizhnim ryadom Lorana prichomu odnoznachno Yak i dlya stepenevogo ryadu mezhi kilcya zbizhnosti viznachayutsya rozpodilom osoblivih tochok funkciyi Za viglyadom ryadu Lorana mozhna zrobiti deyaki visnovki pro povedinku funkciyi poblizu tochki z 0 displaystyle z 0 nbsp Usuvna osobliva tochka yaksho ryad Lorana ne mistit elementiv z vid yemnimi stepenyami z z 0 displaystyle z z 0 nbsp Todi ce prosto stepenevij ryad sho viznachaye funkciyu v pevnomu koli sho otochuye z 0 displaystyle z 0 nbsp Suma ryadu v comu koli skinchenna i mozhe vidriznyatis vid f z displaystyle f z nbsp tilki v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp tomu dosit pereviznachiti f z 0 displaystyle f z 0 nbsp shob funkciya stala analitichnoyu u vsomu koli Maye misce taka oznaka yaksho funkciya poblizu z 0 displaystyle z 0 nbsp analitichna i obmezhena to z 0 displaystyle z 0 nbsp usuvna osobliva tochka Polyus yaksho ryad Lorana mistit skinchenne chislo elementiv z vid yemnimi stepenyami z z 0 displaystyle z z 0 nbsp U comu vipadku funkciya v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp neskinchenna za modulem Suttyevo osobliva tochka yaksho ryad Lorana mistit neskinchenne chislo elementiv z vid yemnimi stepenyami z z 0 displaystyle z z 0 nbsp U comu vipadku funkciya v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp ne mozhe buti korektno viznachena tak shob buti neperervnoyu Zastosuvannya v dijsnomu analizi RedaguvatiZa dopomogoyu teoriyi lishkiv sho ye chastinoyu TFKZ obchislyuyutsya bagato skladnih integraliv za zamknutimi konturami Zasobami kompleksnogo analizu poyasnyuyutsya deyaki momenti yaki ne piddayutsya prostij interpretaciyi v terminah rechovogo analizu Navedemo klasichnij priklad funkciya f x 1 1 x 2 displaystyle f x frac 1 1 x 2 nbsp neperervna i neskinchenno diferencijovna na vsij dijsnij pryamij Rozglyanemo yiyi ryad Tejlora 1 1 x 2 1 x 2 x 4 x 6 displaystyle frac 1 1 x 2 1 x 2 x 4 x 6 ldots nbsp Cej ryad zbigayetsya tilki v intervali 1 1 displaystyle 1 1 nbsp hocha tochki 1 displaystyle pm 1 nbsp ne ye yakimis osoblivimi dlya f x displaystyle f x nbsp Polozhennya proyasnyuyetsya pri perehodi do funkciyi kompleksnoyi zminnoyi f z 1 1 z 2 displaystyle f z frac 1 1 z 2 nbsp u yakij viyavlyayutsya dvi osoblivi tochki i displaystyle pm i nbsp Vidpovidno cyu funkciyu mozhna rozklasti v ryad Tejlora tilki v koli D z z lt 1 displaystyle Delta z colon z lt 1 nbsp Primitki Redaguvati Smirnov V I 2010 s 7 15 Svyeshnikov A R Tihonov A N Teoriya funkcij kompleksnoyi zminnoyi Ukaz soch s 20 21 Smirnov V I 2010 s 15 22 Smirnov V I 2010 s 22 23 Smirnov V I 2010 s 24 25 Lavrentev M A Shabat B V Problemy gidrodinamiki i ih matematicheskie modeli M Nauka 1973 Smirnov V I 2010 s 33 Literatura RedaguvatiDolzhenko Ye P Yermakov A I Teoriya funkciyi kompleksnoyi zminnoyi ta deyaki yiyi zastosuvannya Navchalnij posibnik Lugansk Vid vo SNU im V Dalya 2003 Kompleksnij analiz Pidruch A A Goldberg M M Sheremeta M V Zabolockij O B Skaskiv Lviv nac un t im I Franka L Afisha 2002 204 c Kompleksnij analiz i techiyi z vilnimi granicyami vidp red Yu B Zelinskij O S Limarchenko Kiyiv IM NAN Ukrayini 2010 442 s Zb prac In t matematiki NAN Ukrayini golov red A M Samojlenko t 7 2 Tekst paral ukr angl Kompleksnij analiz teoriya potencialu i zastosuvannya vidp red Yu B Zelinskij S A Plaksa Kiyiv IM NAN Ukrayini 2013 574 s Zb prac In t matematiki NAN Ukrayini golov red A M Samojlenko t 10 4 5 Tekst paral ukr angl Lavrentyev M O Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo Moskva Fizmatgiz 1973 ros Shvec V T Visha matematika teoriya funkcij kompleksnoyi zminnoyi Odesa VMV 2014 236 s Div takozh RedaguvatiKompleksne chislo Analitichna funkciya Lishok Golomorfna funkciya Kvaternionnij analiz ru Bagatovimirnij kompleksnij analiz ru Monogenna funkciya ru Metod konturnogo integruvannya Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kompleksnij analiz amp oldid 36113740