www.wikidata.uk-ua.nina.az

Умови Коші Рімана Умови Коші Рімана або умови Д Аламбера Ейлера умови на дійсну u u x y displaystyle u u x y та уявну v

Умови Коші — Рімана

Умови Коші—Рімана, або умови Д'Аламбера—Ейлера — умови на дійсну та уявну частини функції комплексної змінної , , що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність як функції комплексної змінної.

Візуальне зображення вектора в області, що множиться на комплексне число , а потім відображається за допомогою функції , у порівняні, коли вектор спочатку відображається за допомогою функції , а потім множиться на комплексне число. Якщо в обох випадках отримуємо одну і ту ж кінцеву точку для всіх і , то функція задовольняє умови Коші—Рімана.
Графік функції . Аргумент відображує тон зображення, а величину функції — насиченість малюнка.

Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних і є двома рівняннями:

 

 

 

 

(1a)

 

 

 

 

(1b)

Як правило та вважаються відповідно дійсною та уявною частинами комплекснозначної функції однієї комплексної змінної ,

Нехай функції і є дійснозначними диференційованими в точці відкритої підмножини комплексної площини , які можна розглядати як функції з в . З цього випливає, що частинні похідні від функцій і існують (хоча вони не обов'язково повинні бути неперервними), а тому можемо лінійно апроксимувати малі варіації функції . Тоді є комплексно-диференційованою у цій точці тоді й лише тоді, коли частинні похідні функцій та задовольняють рівняння Коші—Рімана (1a) та (1b) у цій точці. Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції і повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість.
Голоморфність — це властивість комплексної функції бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини (це називається областю[en] в ). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція , дійсні та уявні частини якої відповідно і є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння (1a) і (1b) задовольняються на всій заданій областю[en]. Голоморфні функції є аналітичними[en] і навпаки. Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією. Це не вірно для дійсних диференційованих функцій.

Теорема Редагувати

Для того, щоб функція , визначена в деякій області комплексної площини, була диференційовна в точці як функція комплексної змінної , необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини і були диференційовними в точці як функції дійсних змінних і і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші—Рімана:

В декартових координатах Редагувати

В полярних координатах Редагувати

Якщо умови Коші—Рімана виконані, то похідна може бути подана в будь-якій з наступних форм:

Наслідки Редагувати

Простий приклад Редагувати

Нехай . Комплекснозначна функція є диференційованою в будь-якій точці комплексної площини,

Дійсна частина і уявна частина мають вигляд

А їх частинні похідні:

Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:

Дійсно функції та задовольняють умови Коші—Рімана: і .

Історія Редагувати

У комплексному аналізі умови Коші—Рімана, які названі на честь Оґюстена Коші та Бернгарда Рімана, складаються із системи[en] двох диференціальних рівнянь з частинними похідними, які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову голоморфності (комплексно диференційованості) комплекснозначної функції. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі Жана Лерона д'Аламбера.. Пізніше Леонард Ейлер пов'язав цю систему з аналітичними функціями. Потім Коші використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій. У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.

Інтерпретація та переформулювання Редагувати

Умови Коші—Рімана є одним із способів поглянути на умову диференційності функції в сенсі комплексного аналізу: іншими словами, вони включають в себе поняття функції комплексної змінної за допомогою звичайного диференціального числення. У теорії існує декілька інших основних підходів до цього поняття, і часто необхідно інтерпретувати умови іншою мовою.

Конформні відображення Редагувати

Більше інформації: Конформне відображення
По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі

 

 

 

 

(2)

У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що матриця Якобі має вигляд

де та . Матриця такого вигляду є матричним представленням комплексного числа. Геометрично така матриця завжди є композицією обертання і масштабування і, зокрема, зберігає кути. Якобіан функції бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці і повертає їх до відповідних відрізків у точці . Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. Тобто умови Коші—Рімана є умовою конформності функції.
Більше того, оскільки композиція конформного перетворення з іншим конформним перетворенням також є конформним перетворенням, то конформне відображення переводить розв'язки рівнянь Коші—Рімана у розв'язки цих же рівнянь. Таким чином, рівняння Коші—Рімана є конформно інваріантними.

Комплексна диференційованість Редагувати

Нехай

є функцією комплексної змінної . Тоді комплексна похідна від функції у точці визначається як

за умови існування цієї границі.
Якщо ця границя існує, то її можна обчислити, взявши границю при вздовж дійсної або уявної осі; в обох випадках це повинно дати однаковий результат. Прямуючи вздовж дійсної осі, отримаємо

З іншого боку, прямуючи уздовж уявної осі,

Із рівності похідних функції вздовж двох осей отримаємо

які є рівняннями Коші—Рімана (2) у точці .
І навпаки, якщо є функцією, яка диференційована, якщо розглядати її як функцію на , то вона є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконуються умови Коші—Рімана. Іншими словами, якщо і є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана.
Справді, слідуючи Рудіну, нехай — комплексна функція, що визначена на відкритій множині . Тоді, записавши для кожного , можна розглядати як відкриту підмножину , і як функцію двох дійсних змінних і , яка відображає у . Розглянемо умови Коші—Рімана у точці . Нехай функція є диференційованою у точці як функція двох дійсних змінних з в . Це еквівалентно існуванню наступного лінійного наближення

де та при . Оскільки і , то вищезазначене можна переписати як

Визначаючи дві похідні Віртінгера[en] як

при , рівність написану вище можна записати як

Тепер розглянемо потенційні значення , коли границя обчислюється в початку координат. Для вздовж дійсної осі маємо, що , а тому . Аналогічно для чисто уявного маємо, що , а тому значення не добре визначеним в початку координат. Легко перевірити, що не є добре визначеним при будь-якому значенні . Звідси функція є комплексно диференційованою в точці тоді й лише тоді, коли у точці . Але це в точності є умовами Коші—Рімана, а тому функція диференційована в точці тоді й лише тоді, коли в точці виконуються умови Коші—Рімана.

Незалежність від комплексного спряження Редагувати

Наведене вище доведення пропонує іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана. Комплексно спряжене для числа , позначається як , визначається як

для дійсних та . Умови Коші—Рімана тоді можна записати як одне рівняння

 

 

 

 

(3)

використовуючи похідну Віртінгера відносно спряженої змінної[en]. У цій формі умови Коші—Рімана можна інтерпретувати як твердження, що функція є незалежною від змінної . Таким чином, можна розглядати аналітичні функції як істинні функції однієї комплексної змінної, а не комплексні функції двох дійсних змінних.

Фізична інтерпретація Редагувати

Візуальне зображення вектора в області, що множиться на комплексне число , а потім відображається за допомогою функції , у порівняні, коли вектор спочатку відображається за допомогою функції , а потім множиться на комплексне число . Якщо в обох випадках отримуємо одну і ту ж кінцеву точку для всіх і , то функція задовольняє умови Коші—Рімана.

Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій, полягає в тому, що функція є потенціалом швидкості[en] нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а — функція току[en]. Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій , задовольняє умови Коші—Рімана. Розглянемо функцію як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що вектор швидкості рідини в кожній точці цієї площини дорівнює градієнту функції , визначеному як

Диференціюючи умови Коші—Рімана вдруге, можна побачити, що функція є розв'язком рівняння Лапласа:

Тобто — гармонічна функція. Це означає, що дивергенція градієнта дорівнює нулю, а отже, рідина нестисна.
З аналогічних міркувань функція також задовольняє рівняння Лапласа. Крім того, з умов Коші—Рімана випливає, що скалярний добуток градієнтів функцій та дорівнює нулю, тобто . Це означає, що градієнт функції має вказувати на криві ; отже, це лінії току течії. Криві є еквіпотенціальними кривими течії.
Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств кривих рівнів і . Поблизу точок, де градієнт функції (або, еквівалентно, функції ) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють ортогональне сімейство кривих. У точках, де (стаціонарні точки течії), еквіпотенціальні криві для перетинаються. Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими.

Гармонічне векторне поле Редагувати

Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі Поя та Сего.. Нехай функції і задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині , розглянемо векторне поле

яке трактується як (дійсний) двокомпонентний вектор. Тоді друга умова Коші—Рімана (1b) стверджує, що вектор є безвихровим (його ротор дорівнює 0):

Перша умова Коші—Рімана (1a) стверджує, що задане векторне поле є соленоїдним (його дивергенція дорівнює 0):

Відповідно до теореми Гріна та теореми Остроградського таке поле обов'язково є потенціальним, тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок. (Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в інтегральній теоремі Коші.) У гідродинаміці таке векторне поле є потенціальною течією[en]. У магнітостатиці такі векторні поля моделюють статичні магнітні поля в області площини, яка не містить струму. В електростатиці вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду.
Цю інтерпретацію можна еквівалентно переформулювати на мові диференціальних форм. Пара функцій , задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли 1-форма одночасно замкнена[en] і козамкнена (гармонічна диференціальна форма).

Збереження комплексної структури Редагувати

Інше формулювання умов Коші—Рімана включає комплексну структуру[en] на площині, яка задана матрицею

Це комплексна структура в тому сенсі, що квадрат матриці є від'ємна одинична матриця: . Як і вище, якщо , — дві функції на площині, то покладемо

Матриця Якобі для функції — це матриця частинних похідних

Тоді пара функцій та задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли матриця комутує з матрицею .
Ця інтерпретація корисна в симплектичній геометрії, де вона є початковою точкою для вивчення псевдоголоморфних кривих.

Інше представлення Редагувати

Інше представлення умов Коші—Рімана іноді виникають в інших системах координат. Якщо рівняння (1a) і (1b) виконуються для диференційованої пари функцій і , то

для будь-якої системи координат такої, що пара ортонормована[en] і додатно орієнтована. Як наслідок, зокрема, у системі координат заданій полярним представленням рівняння набувають вигляду

Об'єднавши їх в одне рівняння для функції , отримуємо

Неоднорідні умови Коші—Рімана складаються з двох рівнянь для пари невідомих функцій і двох дійсних змінних

для деяких заданих функцій і , що визначені у відкритій підмножині в . Ці рівняння зазвичай об'єднують в одне рівняння

де і .
Якщо функція є неперервно диференціовною функцією порядку (гладкою функцією порядку ), то неоднорідне рівняння явно розв'язується в будь-якій обмеженій області за умови, що функція є неперервною на замиканні області . Дійсно, за інтегральною формулою Коші

для всіх .

Узагальнення Редагувати

Теорема Гурса та її узагальнення Редагувати

Дивись також: Теорема Коші—Гурса
Нехай — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція . Тоді теорема Гурса[en] стверджує, що функція є аналітичною у відкритій комплексній області тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші —Рімана в області. Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції . Умови теореми Гурса[en] можна значно послабити. Якщо функція є неперервною на відкритій множині частинні похідні від функції за змінними і існують на множині і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині , то функція є голоморфною (і, отже, аналітичною). Це результат теореми Лумана—Меньшова.
Умова, що функція задовольняє умови Коші—Рімана на усій області , є суттєвою. Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад, . Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад

Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці .
Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:
Якщо функція локально інтегрована на відкритій області і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області .
Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків гіпоеліптичних[en] диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Випадок кількох змінних Редагувати

Існують належним чином узагальнені умови Коші—Рімана і в теорії функцій кількох комплексних змінних[en]. Вони утворюють суттєво перевизначену систему[en] диференціальних рівнянь з частинними похідними. Це робиться з використанням прямого узагальнення похідної Віртінгера[en], де розглянута функція повинна мати (частинну) похідну Віртінгера відносно кожної комплексної змінної, яка дорівнює нулю.

Комплексні диференціальні форми Редагувати

Як зазвичай формулюють, d-bar оператор[en] анулює голоморфні функції. Це безпосередньо узагальнює формулювання

де

Перетворення Беклунда Редагувати

З точки зору спряжених гармонічних функцій[en] умови Коші—Рімана є простим прикладом перетворення Беклунда. Більш складні, у загальному випадку нелінійні перетворення Беклунда, такі як рівняння синус-Ґордона, представляють значний інтерес у теорії солітонів та інтегрованих систем.

Означення в алгебрі Кліффорда Редагувати

В алгебрі Кліффорда комплексне число представляється як , де . Оператор фундаментальної похідної в алгебрі Кліффорда комплексних чисел визначається як . Функція вважається аналітичною тоді й лише тоді, коли , або у розгорнутому вигляді:

Після перегрупування отримаємо

Звідси, у традиційних позначеннях:

Конформні відображення для вищих розмірностей Редагувати

Нехай — відкрита множина в евклідовому просторі . Рівняння для відображення, що зберігає орієнтацію, є конформним відображенням (тобто таке що зберігає кути), якщо

де — матриця Якобі, — трансформована матриця Якобі, — одинична матриця. У випадку ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями. У розмірності ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з теореми Ліувіля випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є перетворенням Мебіуса.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.
  2. Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.
  3. Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506.
  4. Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.
  5. Rudin 1966.
  6. Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.
  7. Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.
  8. Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050.
  9. Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.
  10. Rudin 1966, Theorem 11.2
  11. Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.
  12. Looman 1923, p. 107.
  13. Gray & Morris 1978, Theorem 9.
  14. Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32.

Література Редагувати

Додаткова література Редагувати

  • Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано 1979). ISBN 0-07-000657-1. 
  • Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
  • Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (вид. 1st). CUP (опубліковано 1984). ISBN 0-521-28763-4. 

Зовнішні посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Umovi Koshi Rimana abo umovi D Alambera Ejlera umovi na dijsnu u u x y displaystyle u u x y ta uyavnu v v x y displaystyle v v x y chastini funkciyi kompleksnoyi zminnoyi w f z u i v displaystyle w f z u rm i v z x i y displaystyle z x rm i y sho zabezpechuyut neskinchennu bezperervnu diferencijovnist f z displaystyle f z yak funkciyi kompleksnoyi zminnoyi Vizualne zobrazhennya vektora X displaystyle X v oblasti sho mnozhitsya na kompleksne chislo z displaystyle z a potim vidobrazhayetsya za dopomogoyu funkciyi f displaystyle f u porivnyani koli vektor spochatku vidobrazhayetsya za dopomogoyu funkciyi f displaystyle f a potim mnozhitsya na kompleksne chisloz displaystyle z Yaksho v oboh vipadkah otrimuyemo odnu i tu zh kincevu tochku dlya vsih X displaystyle X i z displaystyle z to funkciya f displaystyle f zadovolnyaye umovi Koshi Rimana Grafik funkciyi f x x 2 1 x 2 i 2 x 2 2 2 i displaystyle f x dfrac x 2 1 x 2 rm i 2 x 2 2 2 rm i Argument vidobrazhuye ton zobrazhennya a velichinu funkciyi nasichenist malyunka Umovi Koshi Rimana dlya pari dijsnoznachnih funkcij dvoh dijsnih zminnih u x y displaystyle u x y i v x y displaystyle v x y ye dvoma rivnyannyami u x v y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y 1a u y v x displaystyle frac partial u partial y frac partial v partial x 1b Yak pravilo u displaystyle u ta v displaystyle v vvazhayutsya vidpovidno dijsnoyu ta uyavnoyu chastinami kompleksnoznachnoyi funkciyi odniyeyi kompleksnoyi zminnoyi z x i y displaystyle z x rm i y f x i y u x y v x y displaystyle f x rm i y u x y v x y Nehaj funkciyi u displaystyle u i v displaystyle v ye dijsnoznachnimi diferencijovanimi v tochci vidkritoyi pidmnozhini kompleksnoyi ploshini C displaystyle mathbb C yaki mozhna rozglyadati yak funkciyi z R 2 displaystyle mathbb R 2 v R displaystyle mathbb R Z cogo viplivaye sho chastinni pohidni vid funkcij u displaystyle u i v displaystyle v isnuyut hocha voni ne obov yazkovo povinni buti neperervnimi a tomu mozhemo linijno aproksimuvati mali variaciyi funkciyi f displaystyle f Todi f u i v displaystyle f u rm i v ye kompleksno diferencijovanoyu u cij tochci todi j lishe todi koli chastinni pohidni funkcij u displaystyle u ta v displaystyle v zadovolnyayut rivnyannya Koshi Rimana 1a ta 1b u cij tochci Tut isnuvannya chastinnih pohidnih yaki zadovolnyayut rivnyannyam Koshi Rimana ne zabezpechuye kompleksnoyi diferencijovnosti funkciyi u displaystyle u i v displaystyle v povinni buti dijsnimi diferencijovanimi sho ye bilsh silnoyu umovoyu nizh isnuvannya chastinnih pohidnih ale zagalom slabshoyu za neperervnu diferencijovanist Golomorfnist ce vlastivist kompleksnoyi funkciyi buti diferencijovanoyu v kozhnij tochci vidkritoyi ta zv yazanoyi pidmnozhini kompleksnoyi ploshini C displaystyle mathbb C ce nazivayetsya oblastyu en v C displaystyle mathbb C Otzhe mozhna stverdzhuvati sho kompleksna funkciya f displaystyle f dijsni ta uyavni chastini yakoyi vidpovidno u displaystyle u i v displaystyle v ye dijsnimi diferencijovanimi funkciyami ye golomorfnoyu todi j lishe todi koli rivnyannya 1a i 1b zadovolnyayutsya na vsij zadanij oblastyu en Golomorfni funkciyi ye analitichnimi en i navpaki Ce oznachaye sho v kompleksnomu analizi funkciya yaka kompleksno diferencijovana na vsij oblasti golomorfna spivpadaye z analitichnoyu funkciyeyu Ce ne virno dlya dijsnih diferencijovanih funkcij Zmist 1 Teorema 1 1 V dekartovih koordinatah 1 2 V polyarnih koordinatah 2 Naslidki 3 Prostij priklad 4 Istoriya 5 Interpretaciya ta pereformulyuvannya 5 1 Konformni vidobrazhennya 5 2 Kompleksna diferencijovanist 5 3 Nezalezhnist vid kompleksnogo spryazhennya 5 4 Fizichna interpretaciya 5 5 Garmonichne vektorne pole 5 6 Zberezhennya kompleksnoyi strukturi 5 7 Inshe predstavlennya 6 Uzagalnennya 6 1 Teorema Gursa ta yiyi uzagalnennya 6 2 Vipadok kilkoh zminnih 6 3 Kompleksni diferencialni formi 6 4 Peretvorennya Beklunda 6 5 Oznachennya v algebri Klifforda 6 6 Konformni vidobrazhennya dlya vishih rozmirnostej 7 Div takozh 8 Primitki 9 Literatura 10 Dodatkova literatura 11 Zovnishni posilannyaTeorema RedaguvatiDlya togo shob funkciya w f z displaystyle w f z nbsp viznachena v deyakij oblasti D displaystyle D nbsp kompleksnoyi ploshini bula diferencijovna v tochci z 0 x 0 i y 0 displaystyle z 0 x 0 rm i y 0 nbsp yak funkciya kompleksnoyi zminnoyi z displaystyle z nbsp neobhidno i dostatno shob yiyi dijsna i uyavna chastini u displaystyle u nbsp i v displaystyle v nbsp buli diferencijovnimi v tochci x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 nbsp yak funkciyi dijsnih zminnih x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp i shob krim togo v cij tochci vikonuvalisya umovi Koshi Rimana V dekartovih koordinatah Redaguvati u x v y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y nbsp u y v x displaystyle frac partial u partial y frac partial v partial x nbsp V polyarnih koordinatah Redaguvati u r 1 r v f displaystyle frac partial u partial r frac 1 r frac partial v partial varphi nbsp u f r v r displaystyle frac partial u partial varphi r frac partial v partial r nbsp Yaksho umovi Koshi Rimana vikonani to pohidna f z displaystyle f z nbsp mozhe buti podana v bud yakij z nastupnih form f z u x i v x v y i u y displaystyle f z frac partial u partial x rm i frac partial v partial x frac partial v partial y rm i frac partial u partial y nbsp Naslidki RedaguvatiVikonannya umov Koshi Rimana na vidkritij pidmnozhini C displaystyle mathbb C nbsp ye neobhidnimi umovami analitichnosti funkciyi Yaksho krim togo chastkovi pohidni neperervni to funkciya ye analitichnoyu Prostij priklad RedaguvatiNehaj z x i y displaystyle z x rm i y nbsp Kompleksnoznachna funkciya f z z 2 displaystyle f z z 2 nbsp ye diferencijovanoyu v bud yakij tochci z displaystyle z nbsp kompleksnoyi ploshini f z x i y 2 x 2 y 2 2 i x y displaystyle f z x rm i y 2 x 2 y 2 2 rm i xy nbsp Dijsna chastina u x y displaystyle u x y nbsp i uyavna chastina v x y displaystyle v x y nbsp mayut viglyad u x y x 2 y 2 displaystyle u x y x 2 y 2 nbsp v x y 2 x y displaystyle v x y 2xy nbsp A yih chastinni pohidni u x 2 x u y 2 y v x 2 y v y 2 x displaystyle u x 2x quad u y 2y quad v x 2y quad v y 2x nbsp Ci chastinni pohidni spivvidnosyatsya takim chinom u x v y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y nbsp u y v x displaystyle frac partial u partial y frac partial v partial x nbsp Dijsno funkciyi u x y displaystyle u x y nbsp ta v x y displaystyle v x y nbsp zadovolnyayut umovi Koshi Rimana u x v y displaystyle u x v y nbsp i u y v x displaystyle u y v x nbsp Istoriya RedaguvatiU kompleksnomu analizi umovi Koshi Rimana yaki nazvani na chest Ogyustena Koshi ta Berngarda Rimana skladayutsya iz sistemi en dvoh diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi yaki razom iz pevnimi kriteriyami neperervnosti ta diferencijovnosti utvoryuyut neobhidnu ta dostatnyu umovu golomorfnosti kompleksno diferencijovanosti kompleksnoznachnoyi funkciyi Koshi koristuvavsya cimi spivvidnoshennyami dlya pobudovi teoriyi funkcij pochinayuchi z memuaru predstavlenogo Parizkij akademiyi nauk v 1814 r Cya sistema rivnyan vpershe z yavilasya v roboti Zhana Lerona d Alambera 1 Piznishe Leonard Ejler pov yazav cyu sistemu z analitichnimi funkciyami 2 Potim Koshi 3 vikoristav ci rivnyannya dlya pobudovi svoyeyi teoriyi funkcij U 1851 roci z yavilasya disertaciya Rimana z teoriyi funkcij 4 Interpretaciya ta pereformulyuvannya RedaguvatiUmovi Koshi Rimana ye odnim iz sposobiv poglyanuti na umovu diferencijnosti funkciyi v sensi kompleksnogo analizu inshimi slovami voni vklyuchayut v sebe ponyattya funkciyi kompleksnoyi zminnoyi za dopomogoyu zvichajnogo diferencialnogo chislennya U teoriyi isnuye dekilka inshih osnovnih pidhodiv do cogo ponyattya i chasto neobhidno interpretuvati umovi inshoyu movoyu Konformni vidobrazhennya Redaguvati Bilshe informaciyi Konformne vidobrazhennya Po pershe umovi Koshi Rimana mozhna zapisati u kompleksnij formi i f x f y displaystyle rm i frac partial f partial x frac partial f partial y nbsp 2 U cij formi rivnyannya strukturno vidpovidayut umovi sho matricya Yakobi maye viglyad a b b a displaystyle left begin matrix a amp b b amp a end matrix right nbsp de a u x v y displaystyle a partial u partial x partial v partial y nbsp ta b v x u y displaystyle b partial v partial x partial u partial y nbsp Matricya takogo viglyadu ye matrichnim predstavlennyam kompleksnogo chisla Geometrichno taka matricya zavzhdi ye kompoziciyeyu obertannya i masshtabuvannya i zokrema zberigaye kuti Yakobian funkciyi f z displaystyle f z nbsp bere neskinchenno mali vidrizki na peretini dvoh krivih u tochci z displaystyle z nbsp i povertaye yih do vidpovidnih vidrizkiv u tochci f z displaystyle f z nbsp Otzhe funkciya sho zadovolnyaye umovi Koshi Rimana z nenulovoyu pohidnoyu zberigaye kut mizh krivimi na ploshini Tobto umovi Koshi Rimana ye umovoyu konformnosti funkciyi Bilshe togo oskilki kompoziciya konformnogo peretvorennya z inshim konformnim peretvorennyam takozh ye konformnim peretvorennyam to konformne vidobrazhennya perevodit rozv yazki rivnyan Koshi Rimana u rozv yazki cih zhe rivnyan Takim chinom rivnyannya Koshi Rimana ye konformno invariantnimi Kompleksna diferencijovanist Redaguvati Nehaj f z u z i v z displaystyle f z u z rm i cdot v z nbsp ye funkciyeyu kompleksnoyi zminnoyi z x i y displaystyle z x rm i y nbsp Todi kompleksna pohidna vid funkciyi f displaystyle f nbsp u tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp viznachayetsya yak lim h 0 h C f z 0 h f z 0 h f z 0 displaystyle lim underset h in mathbb C h to 0 frac f z 0 h f z 0 h f z 0 nbsp za umovi isnuvannya ciyeyi granici Yaksho cya granicya isnuye to yiyi mozhna obchisliti vzyavshi granicyu pri h 0 displaystyle h to 0 nbsp vzdovzh dijsnoyi abo uyavnoyi osi v oboh vipadkah ce povinno dati odnakovij rezultat Pryamuyuchi vzdovzh dijsnoyi osi otrimayemo lim h 0 h R f z 0 h f z 0 h f x z 0 displaystyle lim underset h in mathbb R h to 0 frac f z 0 h f z 0 h frac partial f partial x z 0 nbsp Z inshogo boku pryamuyuchi uzdovzh uyavnoyi osi lim h 0 h R f z 0 i h f z 0 i h 1 i f y z 0 displaystyle lim underset eta in mathbb R eta to 0 frac f z 0 rm i eta f z 0 i eta frac 1 rm i frac partial f partial y z 0 nbsp Iz rivnosti pohidnih funkciyi f displaystyle f nbsp vzdovzh dvoh osej otrimayemo i f x z 0 f y z 0 displaystyle rm i frac partial f partial x z 0 frac partial f partial y z 0 nbsp yaki ye rivnyannyami Koshi Rimana 2 u tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp I navpaki yaksho f C C displaystyle f colon mathbb C rightarrow mathbb C nbsp ye funkciyeyu yaka diferencijovana yaksho rozglyadati yiyi yak funkciyu na R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp to vona ye kompleksno diferencijovanoyu todi j lishe todi koli vikonuyutsya umovi Koshi Rimana Inshimi slovami yaksho u displaystyle u nbsp i v displaystyle v nbsp ye dijsnoznachnimi diferencijovanimi funkciyami dvoh dijsnih zminnih todi ochevidno u i v displaystyle u rm i v nbsp ye kompleksnoznachnoyu dijsnoznachnoyu diferencijovanoyu funkciyeyu ale u i v displaystyle u rm i v nbsp ye kompleksno diferencijovanoyu todi j lishe todi koli vikonuyetsya umovi Koshi Rimana Spravdi sliduyuchi Rudinu 5 nehaj f displaystyle f nbsp kompleksna funkciya sho viznachena na vidkritij mnozhini W C displaystyle Omega subset mathbb C nbsp Todi zapisavshi z x i y displaystyle z x rm i y nbsp dlya kozhnogo z W displaystyle z in Omega nbsp mozhna rozglyadati W displaystyle Omega nbsp yak vidkritu pidmnozhinu R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp i f displaystyle f nbsp yak funkciyu dvoh dijsnih zminnih x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp yaka vidobrazhaye W R 2 displaystyle Omega subset mathbb R 2 nbsp u C displaystyle mathbb C nbsp Rozglyanemo umovi Koshi Rimana u tochci z z 0 displaystyle z z 0 nbsp Nehaj funkciya f displaystyle f nbsp ye diferencijovanoyu u tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp yak funkciya dvoh dijsnih zminnih z W displaystyle Omega nbsp v C displaystyle mathbb C nbsp Ce ekvivalentno isnuvannyu nastupnogo linijnogo nablizhennya f z 0 D z f z 0 f x D x f y D y h D z D z displaystyle f z 0 Delta z f z 0 f x Delta x f y Delta y eta Delta z Delta z nbsp de z x i y displaystyle z x rm i y nbsp ta h D z 0 displaystyle eta Delta z rightarrow 0 nbsp pri D z 0 displaystyle Delta z rightarrow 0 nbsp Oskilki D z D z 2 D x displaystyle Delta z Delta bar z 2 Delta x nbsp i D z D z 2 i D y displaystyle Delta z Delta bar z 2 rm i Delta y nbsp to vishezaznachene mozhna perepisati yak D f z 0 f x i f y 2 D z f x i f y 2 D z h D z D z displaystyle Delta f z 0 frac f x rm i f y 2 Delta z frac f x rm i f y 2 Delta bar z eta Delta z Delta z nbsp Viznachayuchi dvi pohidni Virtingera en yak z 1 2 x i y z 1 2 x i y displaystyle frac partial partial z frac 1 2 left frac partial partial x rm i frac partial partial y right quad frac partial partial bar z frac 1 2 left frac partial partial x rm i frac partial partial y right nbsp pri D z 0 displaystyle Delta z to 0 nbsp D z 0 displaystyle Delta bar z to 0 nbsp rivnist napisanu vishe mozhna zapisati yak d f d z z z 0 f z z z 0 f z z z 0 d z d z h D z D z 0 displaystyle left frac rm d f rm d z right z z 0 left frac partial f partial z right z z 0 left frac partial f partial bar z right z z 0 cdot frac rm d bar z rm d z eta Delta z quad Delta z neq 0 nbsp Teper rozglyanemo potencijni znachennya d z d z displaystyle rm d bar z rm d z nbsp koli granicya obchislyuyetsya v pochatku koordinat Dlya z displaystyle z nbsp vzdovzh dijsnoyi osi mayemo sho z z displaystyle bar z z nbsp a tomu d z d z 1 displaystyle rm d bar z rm d z 1 nbsp Analogichno dlya chisto uyavnogo z displaystyle z nbsp mayemo sho d z d z 1 displaystyle rm d bar z rm d z 1 nbsp a tomu znachennya d z d z displaystyle rm d bar z rm d z nbsp ne dobre viznachenim v pochatku koordinat Legko pereviriti sho d z d z displaystyle rm d bar z rm d z nbsp ne ye dobre viznachenim pri bud yakomu znachenni z displaystyle z nbsp Zvidsi funkciya f displaystyle f nbsp ye kompleksno diferencijovanoyu v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp todi j lishe todi koli f z 0 displaystyle left partial f partial bar z right 0 nbsp u tochci z z 0 displaystyle z z 0 nbsp Ale ce v tochnosti ye umovami Koshi Rimana a tomu funkciya f displaystyle f nbsp diferencijovana v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp todi j lishe todi koli v tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp vikonuyutsya umovi Koshi Rimana Nezalezhnist vid kompleksnogo spryazhennya Redaguvati Navedene vishe dovedennya proponuye inshu interpretaciyu umov Koshi Rimana Kompleksno spryazhene dlya chisla z displaystyle z nbsp poznachayetsya yak z displaystyle bar z nbsp viznachayetsya yak x i y x i y displaystyle overline x rm i y x rm i y nbsp dlya dijsnih x displaystyle x nbsp ta y displaystyle y nbsp Umovi Koshi Rimana todi mozhna zapisati yak odne rivnyannya f z 0 displaystyle frac partial f partial bar z 0 nbsp 3 vikoristovuyuchi pohidnu Virtingera vidnosno spryazhenoyi zminnoyi en U cij formi umovi Koshi Rimana mozhna interpretuvati yak tverdzhennya sho funkciya f displaystyle f nbsp ye nezalezhnoyu vid zminnoyi z displaystyle bar z nbsp Takim chinom mozhna rozglyadati analitichni funkciyi yak istinni funkciyi odniyeyi kompleksnoyi zminnoyi a ne kompleksni funkciyi dvoh dijsnih zminnih Fizichna interpretaciya Redaguvati nbsp Vizualne zobrazhennya vektora X displaystyle X nbsp v oblasti sho mnozhitsya na kompleksne chislo z displaystyle z nbsp a potim vidobrazhayetsya za dopomogoyu funkciyi f displaystyle f nbsp u porivnyani koli vektor spochatku vidobrazhayetsya za dopomogoyu funkciyi f displaystyle f nbsp a potim mnozhitsya na kompleksne chislo z displaystyle z nbsp Yaksho v oboh vipadkah otrimuyemo odnu i tu zh kincevu tochku dlya vsih X displaystyle X nbsp i z displaystyle z nbsp to funkciya f displaystyle f nbsp zadovolnyaye umovi Koshi Rimana Standartna fizichna interpretaciya umov Koshi Rimana sho bere svij pochatok z roboti Rimana po teoriyi funkcij 6 polyagaye v tomu sho funkciya u displaystyle u nbsp ye potencialom shvidkosti en nestisnoyi stacionarnoyi techiyi ridini na ploshini a v displaystyle v nbsp funkciya toku en Nehaj para dvichi neperervno diferencijovanih funkcij u displaystyle u nbsp v displaystyle v nbsp zadovolnyaye umovi Koshi Rimana Rozglyanemo funkciyu u displaystyle u nbsp yak potencial shvidkosti ce oznachaye sho uyavlyayemo techiyu ridini na ploshini tak sho vektor shvidkosti ridini v kozhnij tochci ciyeyi ploshini dorivnyuye gradiyentu funkciyi u displaystyle u nbsp viznachenomu yak u u x i u y j displaystyle nabla u frac partial u partial x boldsymbol i frac partial u partial y boldsymbol j nbsp Diferenciyuyuchi umovi Koshi Rimana vdruge mozhna pobachiti sho funkciya u displaystyle u nbsp ye rozv yazkom rivnyannya Laplasa 2 u x 2 2 u y 2 0 displaystyle frac partial 2 u partial x 2 frac partial 2 u partial y 2 0 nbsp Tobto u displaystyle u nbsp garmonichna funkciya Ce oznachaye sho divergenciya gradiyenta dorivnyuye nulyu a otzhe ridina nestisna Z analogichnih mirkuvan funkciya v displaystyle v nbsp takozh zadovolnyaye rivnyannya Laplasa Krim togo z umov Koshi Rimana viplivaye sho skalyarnij dobutok gradiyentiv funkcij u displaystyle u nbsp ta v displaystyle v nbsp dorivnyuye nulyu tobto u v 0 displaystyle nabla u cdot nabla v 0 nbsp Ce oznachaye sho gradiyent funkciyi u displaystyle u nbsp maye vkazuvati na krivi v const displaystyle v text const nbsp otzhe ce liniyi toku techiyi Krivi u const displaystyle u text const nbsp ye ekvipotencialnimi krivimi techiyi Otzhe golomorfnu funkciyu mozhna vizualizuvati pobuduvavshi grafik dvoh simejstv krivih rivniv u const displaystyle u text const nbsp i v const displaystyle v text const nbsp Poblizu tochok de gradiyent funkciyi u displaystyle u nbsp abo ekvivalentno funkciyi v displaystyle v nbsp ne dorivnyuye nulyu ci sim yi utvoryuyut ortogonalne simejstvo krivih U tochkah de u 0 displaystyle nabla u 0 nbsp stacionarni tochki techiyi ekvipotencialni krivi dlya u const displaystyle u text const nbsp peretinayutsya Liniyi toku takozh peretinayutsya v cij samij tochci dilyachi navpil kuti sho utvoreni ekvipotencialnimi krivimi Garmonichne vektorne pole Redaguvati Inshu interpretaciyu umov Koshi Rimana mozhna znajti v knizi Poya ta Sego 7 Nehaj funkciyi u displaystyle u nbsp i v displaystyle v nbsp zadovolnyayut umovi Koshi Rimana u vidkritij pidmnozhini R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp rozglyanemo vektorne pole f u v displaystyle bar f begin bmatrix u v end bmatrix nbsp yake traktuyetsya yak dijsnij dvokomponentnij vektor Todi druga umova Koshi Rimana 1b stverdzhuye sho vektor f displaystyle bar f nbsp ye bezvihrovim jogo rotor dorivnyuye 0 v x u y 0 displaystyle frac partial v partial x frac partial u partial y 0 nbsp Persha umova Koshi Rimana 1a stverdzhuye sho zadane vektorne pole ye solenoyidnim jogo divergenciya dorivnyuye 0 u x v y 0 displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y 0 nbsp Vidpovidno do teoremi Grina ta teoremi Ostrogradskogo take pole obov yazkovo ye potencialnim tobto u nomu nemaye dzherel abo poglinachiv i maye nulovij chistij potik cherez bud yaku vidkritu oblast bez dirok Ci dva sposterezhennya poyednuyutsya yak dijsna ta uyavna chastini v integralnij teoremi Koshi U gidrodinamici take vektorne pole ye potencialnoyu techiyeyu en 8 U magnitostatici taki vektorni polya modelyuyut statichni magnitni polya v oblasti ploshini yaka ne mistit strumu V elektrostatici voni modelyuyut statichni elektrichni polya v oblasti ploshini yaka ne mistit elektrichnogo zaryadu Cyu interpretaciyu mozhna ekvivalentno pereformulyuvati na movi diferencialnih form Para funkcij u displaystyle u nbsp v displaystyle v nbsp zadovolnyaye umovi Koshi Rimana todi j lishe todi koli 1 forma v d x u d y displaystyle v rm d x u rm d y nbsp odnochasno zamknena en i kozamknena garmonichna diferencialna forma Zberezhennya kompleksnoyi strukturi Redaguvati Inshe formulyuvannya umov Koshi Rimana vklyuchaye kompleksnu strukturu en na ploshini yaka zadana matriceyu J 0 1 1 0 displaystyle J begin bmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end bmatrix nbsp Ce kompleksna struktura v tomu sensi sho kvadrat matrici J displaystyle J nbsp ye vid yemna odinichna 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp matricya J 2 I displaystyle J 2 I nbsp Yak i vishe yaksho u x y displaystyle u x y nbsp v x y displaystyle v x y nbsp dvi funkciyi na ploshini to poklademo f x y u x y v x y displaystyle f x y begin bmatrix u x y v x y end bmatrix nbsp Matricya Yakobi dlya funkciyi f displaystyle f nbsp ce matricya chastinnih pohidnih D f x y u x u y v x v y displaystyle Df x y begin bmatrix dfrac partial u partial x amp dfrac partial u partial y dfrac partial v partial x amp dfrac partial v partial y end bmatrix nbsp Todi para funkcij u displaystyle u nbsp ta v displaystyle v nbsp zadovolnyaye umovi Koshi Rimana todi j lishe todi koli 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp matricya D f displaystyle Df nbsp komutuye z matriceyu J displaystyle J nbsp 9 Cya interpretaciya korisna v simplektichnij geometriyi de vona ye pochatkovoyu tochkoyu dlya vivchennya psevdogolomorfnih krivih Inshe predstavlennya Redaguvati Inshe predstavlennya umov Koshi Rimana inodi vinikayut v inshih sistemah koordinat Yaksho rivnyannya 1a i 1b vikonuyutsya dlya diferencijovanoyi pari funkcij u displaystyle u nbsp i v displaystyle v nbsp to u n v s v n u s displaystyle frac partial u partial n frac partial v partial s quad frac partial v partial n frac partial u partial s nbsp dlya bud yakoyi sistemi koordinat n x y s x y displaystyle n x y s x y nbsp takoyi sho para n s displaystyle nabla n nabla s nbsp ortonormovana en i dodatno oriyentovana Yak naslidok zokrema u sistemi koordinat zadanij polyarnim predstavlennyam z r e i 8 displaystyle z r rm e rm i theta nbsp rivnyannya nabuvayut viglyadu u r 1 r v 8 v r 1 r u 8 displaystyle frac partial u partial r frac 1 r frac partial v partial theta quad frac partial v partial r frac 1 r frac partial u partial theta nbsp Ob yednavshi yih v odne rivnyannya dlya funkciyi f displaystyle f nbsp otrimuyemo f r 1 i r f 8 displaystyle frac partial f partial r frac 1 rm i r frac partial f partial theta nbsp Neodnoridni umovi Koshi Rimana skladayutsya z dvoh rivnyan dlya pari nevidomih funkcij u x y displaystyle u x y nbsp i v x y displaystyle v x y nbsp dvoh dijsnih zminnih u x v y a x y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y alpha x y nbsp u y v x b x y displaystyle frac partial u partial y frac partial v partial x beta x y nbsp dlya deyakih zadanih funkcij a x y displaystyle alpha x y nbsp i b x y displaystyle beta x y nbsp sho viznacheni u vidkritij pidmnozhini v R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Ci rivnyannya zazvichaj ob yednuyut v odne rivnyannya f z f z z displaystyle frac partial f partial bar z varphi z bar z nbsp de f u i v displaystyle f u rm i v nbsp i f a i b 2 displaystyle varphi alpha rm i beta 2 nbsp Yaksho funkciya f displaystyle varphi nbsp ye neperervno diferenciovnoyu funkciyeyu poryadku k displaystyle k nbsp gladkoyu funkciyeyu poryadku k displaystyle k nbsp to neodnoridne rivnyannya yavno rozv yazuyetsya v bud yakij obmezhenij oblasti D displaystyle D nbsp za umovi sho funkciya f displaystyle varphi nbsp ye neperervnoyu na zamikanni oblasti D displaystyle D nbsp Dijsno za integralnoyu formuloyu Koshi f z z 1 2 p i D f z z d z d z z z displaystyle f left zeta bar zeta right frac 1 2 pi rm i iint D varphi left z bar z right frac rm d z wedge rm d bar z z zeta nbsp dlya vsih z D displaystyle zeta in D nbsp Uzagalnennya RedaguvatiTeorema Gursa ta yiyi uzagalnennya Redaguvati Divis takozh Teorema Koshi Gursa Nehaj f u i v displaystyle f u rm i v nbsp kompleksnoznachna funkciya yaka diferencijovana yak funkciya f R 2 R 2 displaystyle f colon mathbb R 2 rightarrow mathbb R 2 nbsp Todi teorema Gursa en stverdzhuye sho funkciya f displaystyle f nbsp ye analitichnoyu u vidkritij kompleksnij oblasti W displaystyle Omega nbsp todi j lishe todi koli vona zadovolnyaye umovi Koshi Rimana v oblasti 10 Zokrema ne potribno vimagati neperervnu diferencijovanist funkciyi f displaystyle f nbsp 11 Umovi teoremi Gursa en mozhna znachno poslabiti Yaksho funkciya f u i v displaystyle f u rm i v nbsp ye neperervnoyu na vidkritij mnozhini chastinni pohidni vid funkciyi f displaystyle f nbsp za zminnimi x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp isnuyut na mnozhini W displaystyle Omega nbsp i zadovolnyayut umovi Koshi Rimana na vsij mnozhini W displaystyle Omega nbsp to funkciya f displaystyle f nbsp ye golomorfnoyu i otzhe analitichnoyu Ce rezultat teoremi Lumana Menshova Umova sho funkciya f displaystyle f nbsp zadovolnyaye umovi Koshi Rimana na usij oblasti W displaystyle Omega nbsp ye suttyevoyu Mozhna pobuduvati neperervnu funkciyu yaka zadovolnyaye umovi Koshi Rimana v tochci ale ne ye analitichnoyu v cij tochci napriklad f z z 5 z 4 displaystyle f z z 5 z 4 nbsp Tak samo krim umov Koshi Rimana neobhidni deyaki dodatkovi pripushennya napriklad neperervnist yak ilyustruye nastupnij priklad 12 f z exp z 4 yaksho z 0 0 yaksho z 0 displaystyle f z begin cases exp left z 4 right amp text yaksho z not 0 0 amp text yaksho z 0 end cases nbsp Funkciya skriz zadovolnyaye umovi Koshi Rimana ale ne ye neperervnoyu u tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp Tim ne mensh yaksho funkciya zadovolnyaye umovi Koshi Rimana na vidkritij mnozhini v slabkomu sensi to funkciya ye analitichnoyu Tochnishe 13 Yaksho funkciya f z displaystyle f z nbsp lokalno integrovana na vidkritij oblasti W C displaystyle Omega subset mathbb C nbsp i slabo zadovolnyaye umovi Koshi Rimana to funkciya f displaystyle f nbsp majzhe skriz spivpadaye z analitichnoyu funkciyeyu na oblasti W displaystyle Omega nbsp Faktichno ce chastinnij vipadok bilsh zagalnogo rezultatu pro regulyarnist rozv yazkiv gipoeliptichnih en diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi Vipadok kilkoh zminnih Redaguvati Isnuyut nalezhnim chinom uzagalneni umovi Koshi Rimana i v teoriyi funkcij kilkoh kompleksnih zminnih en Voni utvoryuyut suttyevo pereviznachenu sistemu en diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi Ce robitsya z vikoristannyam pryamogo uzagalnennya pohidnoyi Virtingera en de rozglyanuta funkciya povinna mati chastinnu pohidnu Virtingera vidnosno kozhnoyi kompleksnoyi zminnoyi yaka dorivnyuye nulyu Kompleksni diferencialni formi Redaguvati Yak zazvichaj formulyuyut d bar operator en displaystyle bar partial nbsp anulyuye golomorfni funkciyi Ce bezposeredno uzagalnyuye formulyuvannya f z 0 displaystyle frac partial f partial bar z 0 nbsp de f z 1 2 f x i f y displaystyle frac partial f partial bar z frac 1 2 left frac partial f partial x rm i frac partial f partial y right nbsp Peretvorennya Beklunda Redaguvati Z tochki zoru spryazhenih garmonichnih funkcij en umovi Koshi Rimana ye prostim prikladom peretvorennya Beklunda Bilsh skladni u zagalnomu vipadku nelinijni peretvorennya Beklunda taki yak rivnyannya sinus Gordona predstavlyayut znachnij interes u teoriyi solitoniv ta integrovanih sistem Oznachennya v algebri Klifforda Redaguvati V algebri Klifforda kompleksne chislo z x i y displaystyle z x rm i y nbsp predstavlyayetsya yak z x I y displaystyle z equiv x Iy nbsp de I s 1 s 2 displaystyle I equiv sigma 1 sigma 2 nbsp Operator fundamentalnoyi pohidnoyi v algebri Klifforda kompleksnih chisel viznachayetsya yak s 1 x s 2 y displaystyle nabla equiv sigma 1 partial x sigma 2 partial y nbsp Funkciya f u I v displaystyle f u Iv nbsp vvazhayetsya analitichnoyu todi j lishe todi koli f 0 displaystyle nabla f 0 nbsp abo u rozgornutomu viglyadi 0 f s 1 x s 2 y u s 1 s 2 v s 1 x u s 1 s 1 s 2 s 2 x v s 2 y u s 2 s 1 s 2 s 1 y v 0 displaystyle begin aligned 0 nabla f amp sigma 1 partial x sigma 2 partial y u sigma 1 sigma 2 v amp sigma 1 partial x u underbrace sigma 1 sigma 1 sigma 2 sigma 2 partial x v sigma 2 partial y u underbrace sigma 2 sigma 1 sigma 2 sigma 1 partial y v 0 end aligned nbsp Pislya peregrupuvannya otrimayemo f s 1 x u y v s 2 x v y u 0 x u y v 0 x v y u 0 displaystyle begin aligned nabla f sigma 1 partial x u partial y v sigma 2 partial x v partial y u 0 begin cases partial x u partial y v 0 partial x v partial y u 0 end cases end aligned nbsp Zvidsi u tradicijnih poznachennyah u x v y u y v x displaystyle begin cases dfrac partial u partial x dfrac partial v partial y dfrac partial u partial y dfrac partial v partial x end cases nbsp Konformni vidobrazhennya dlya vishih rozmirnostej Redaguvati Nehaj W displaystyle Omega nbsp vidkrita mnozhina v evklidovomu prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp Rivnyannya dlya vidobrazhennya sho zberigaye oriyentaciyu f W R n displaystyle f colon Omega to mathbb R n nbsp ye konformnim vidobrazhennyam tobto take sho zberigaye kuti yaksho D f T D f det D f 2 n I displaystyle Df mathsf T Df det Df 2 n I nbsp de D f displaystyle Df nbsp matricya Yakobi D f T displaystyle Df mathsf T nbsp transformovana matricya Yakobi I displaystyle I nbsp odinichna matricya 14 U vipadku n 2 displaystyle n 2 nbsp cya sistema ekvivalentna standartnim umovam Koshi Rimana dlya kompleksnih zminnih a rozv yazki cih umov ye golomorfnimi funkciyami U rozmirnosti n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp ci umovi vse she inodi nazivayut sistemoyu Koshi Rimana i z teoremi Liuvilya viplivaye za vidpovidnih pripushen pro gladkist sho bud yake take vidobrazhennya ye peretvorennyam Mebiusa Div takozh RedaguvatiGolomorfna funkciya Teorema Lumana Menshova Teorema MoreriPrimitki Redaguvati d Alembert Jean 1752 Essai d une nouvelle theorie de la resistance des fluides Paris David l aine Reprint 2018 by Hachette Livre BNF ISBN 978 2012542839 Euler Leonhard 1797 Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 10 3 19 Cauchy Augustin L 1814 Memoire sur les integrales definies Oeuvres completes Ser 1 Vol 1 Paris published 1882 pp 319 506 Riemann Bernhard 1851 Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veranderlichen komplexen Grosse In H Weber ed Riemann s gesammelte math Werke in German Dover published 1953 pp 3 48 Rudin 1966 Div Klein Felix 1893 On Riemann s theory of algebraic functions and their integrals Translated by Frances Hardcastle Cambridge MacMillan and Bowes Polya George Szego Gabor 1978 Problems and theorems in analysis I Springer ISBN 3 540 63640 4 Chanson H 2007 Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Reels la Contribution de Joseph Louis Lagrange Velocity Potential in Real Fluid Flows Joseph Louis Lagrange s Contribution Journal la Houille Blanche 5 127 131 doi 10 1051 lhb 2007072 ISSN 0018 6368 S2CID 110258050 Kobayashi Shoshichi Nomizu Katsumi 1969 Foundations of differential geometry volume 2 Wiley Proposition IX 2 2 Rudin 1966 Theorem 11 2 Dieudonne Jean Alexandre 1969 Foundations of modern analysis Academic Press 9 10 Ex 1 Looman 1923 p 107 Gray amp Morris 1978 Theorem 9 Iwaniec T Martin G 2001 Geometric function theory and non linear analysis Oxford p 32 Literatura RedaguvatiGray J D Morris S A April 1978 When is a Function that Satisfies the Cauchy Riemann Equations Analytic The American Mathematical Monthly 85 4 246 256 JSTOR 2321164 doi 10 2307 2321164 Looman H 1923 Uber die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen Gottinger Nachrichten nim 97 108 Rudin Walter 1966 Real and complex analysis vid 3rd McGraw Hill opublikovano 1987 ISBN 0 07 054234 1 Dodatkova literatura RedaguvatiAhlfors Lars 1953 Complex analysis vid 3rd McGraw Hill opublikovano 1979 ISBN 0 07 000657 1 Solomentsev E D 2001 Cauchy Riemann conditions U Hazewinkel Michiel Encyclopedia of Mathematics Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Stewart Ian Tall David 1983 Complex Analysis vid 1st CUP opublikovano 1984 ISBN 0 521 28763 4 Zovnishni posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Cauchy Riemann Equations angl na sajti Wolfram MathWorld Cauchy Riemann Equations Module by John H Mathews Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Umovi Koshi Rimana amp oldid 40363451