Теорема Лумана Меньшова У комплексному аналізі теорема Лумана Меньшова стверджує що неперервна комплекснозначна функція

У комплексному аналізі, теорема Лумана — Меньшова стверджує, що неперервна комплекснозначна функція задана на відкритій підмножині комплексної площини є голоморфною якщо і тільки якщо вона задовольняє умови Коші — Рімана. Теорема є узагальненням теореми Едуарда Гурса, яка вимагала від функції f, диференційовності за Фреше, як функції із R² у R².

Повне твердження теореми: нехай D — відкрита підмножина у C і f : D → C є неперервною функцією. Припустимо, що часткові похідні і існують всюди окрім можливо не більш, ніж зліченної підмножини D. Тоді f є голоморфною якщо і тільки якщо вона всюди задовольняє умови Коші — Рімана:

Історія ред.

Голоморфна функція визначена на області у комплексній площині задовольняє на цій області умови Коші — Рімана:

Щодо оберненого твердження, то якщо як функція дійсних змінних є диференційовною всюди в області або якщо часткові похідні є неперервними всюди то при виконанні умов Коші — Рімана функція є голоморфною функцією в області. Твердження для диференційовних функцій було доведено Едуардом Гурса у 1900 році і називається теоремою Гурса. Після цього здійснювалися дослідження щодо послаблення умов у твердженні цієї теореми. У 1905 році Дімітре Помпейу зазначив, що додаткові умови теорема Гурса можна послабити до диференційовності функцій майже всюди в області.

Луман зауважив, що лише існування часткових похідних всюди в області і виконання умов Коші — Рімана не є достатнім для голоморфності чи навіть неперервності функції в області: прикладом може бути така функція, яка не є неперервною у точці z = 0:

У 1923 Луман подав доведення твердження, що неперервність функції в області разом із існуванням часткових похідних і виконанням умов Коші — Рімана є достатнім для її голоморфності у цій області. Проте доведення Лумана містило деякі неточності. Опубліковане Меньшовим у 1931 році доведення було повністю коректним. Доведення Меньшов використовувало інтеграл Лебега і теорему Бера. У 1933 році, математик Станіслав Сакс використав для твердження назву теорема Лумана — Меньшова.

Приклади ред.

Функція задана як f(z) = exp(−z⁻⁴) для z ≠ 0, f(0) = 0 задовольняє умови Коші — Рімана всюди але не є голоморфною (чи навіть неперервною) в точці z = 0. Цей приклад показує, що функція f має бути неперервною в твердженні теореми.

Функція задана як f(z) = z⁵/|z|⁴ для z ≠ 0, f(0) = 0 є неперервною всюди і задовольняє умови Коші — Рімана в точці z = 0 але не є голоморфною в цій точці (чи будь-якій іншій). Це показує, що узагальнення теореми Лумана — Меньшова на єдину точку є невірним.

Якщо f є неперервною в околі точки z, і і існують у точці z, то f є голоморфною в точці z якщо і тільки якщо вона у цій точці задовольняє умови Коші — Рімана.

Доведення ред.

Лема ред.

Нехай і f — комплекснозначна функція на I для якої в кожній точці інтервалу існує похідна. Нехай E — замкнута підмножина в I і M > 0 — число для яких:

Тоді:

де позначає міру Лебега на

Доведення ред.

Нехай і введемо функцію як де і Для цієї функції виконується нерівність:

Позначимо і введемо функцію g на I як:

Якщо J є замиканням компоненти зв'язності множини то

Зауважимо, що обидва кінці такого інтервалу J належать і хоча б один кінець належить При таких умовах:

Для доведення цього можна припустити x < y і розглянути два випадки.

Випадок 1. x і y належать єдиному інтервалу що доповнює У цьому випадку

і хоча б одне з чисел належить E. Згідно припущення що завершує доведення у цьому випадку.

Випадок 2. x і y не належать єдиному інтервалу що доповнює Тоді існує число таке що (в іншому випадку x і y належали б єдиному інтервалу). Якщо то з того, що випливає:

Якщо то нехай J буде інтервалом, що доповнює що містить x і x' позначає крайню праву точку цього інтервалу. Тоді:

Як і вище і, згідно випадку 1 також Додавши ці дві нерівності отримуємо:

Аналогічно і додавши ці дві нерівності остаточно отримуємо необхідний результат.

Звідси випливає, що g є абсолютно неперервною і згідно теореми Лебега:

Далі і у всіх неізольованих точках множини E. Таких ізольованих точок може бути не більш, ніж зліченна кількість і тому майже всюди на E. Також майже всюди на I. Із врахуванням всього отримуємо:

Лема 2 ред.

Нехай — відкрита множина на комплексній площині і нехай буде неперервною функцією з у для якої на існують часткові похідні. Позначимо прямокутник у Виберемо A > 0 так щоб Припустимо, що існує непуста замкнута множина у і додатне число , такі що:

Нехай є перетином усіх прямокутників, що містять Якщо то є замкнутим прямокутником, можливо виродженим (тобто вертикальним чи горизонтальним відрізком або точкою). Тоді:

де позначає міру Лебега.

Доведення ред.

Нехай Для позначимо

Згідно гіпотези:

Тому якщо то, згідно попередньої леми:

Натомість, якщо то можна знайти для яких Тоді:

Також і Остаточно у цьому випадку

Таким чином можна записати в обох випадках:

Інтегруючи цей вираз по x отримуємо:

оскільки

Аналогічно можна отримати другу нерівність

Для остаточного доведення потрібно другу нерівність домножити на додати до першої і використати рівності і

Доведення теореми ред.

Нехай — множина точок для яких існує окіл в якому функція є голоморфною. Позначимо Ця множина буде найменшою замкнутою підмножиною для якої є голоморфною функцією. Згідно твердження теореми

Припустимо, що це не так. Тоді при доведенні можна знайти відкриту підмножину і константу M > 0, для яких і також для і виконуються нерівності і . При цьому f є голоморфною на K, що суперечить вибору E і умові Це протиріччя і завершить доведення теореми.

Для знаходження множини K введемо спершу як підмножини з такими властивостями:

Із неперервності і властивості існування часткових похідних всюди випливає, що є замкнутою множиною і а тому . Звідси, згідно теореми Бера, існує хоча б одне і відкрита підмножина у , для яких .

можна вважати відносно компактною підмножиною тоді, зокрема, існує число c > 0 для якого на Тоді, якщо і то виконуються нерівності

і подібні для Це доводить твердження для

Для доведення голоморфності f на K, згідно теореми Морери достатньо довести, що для кожного прямокутника виконується рівність

Виберемо A > 0 так щоб Нехай є довільним і відкрита множина така, що (така існує оскільки як закрита підмножина відкритої множини є вимірною і тому її зовнішня міра є рівною мірі).

Нехай Прямокутник можна поділити на прямокутники повторюючи N раз процедуру поділу отриманих прямокутників на 4 за допомогою відрізків, що поєднують середини протилежних сторін. Якщо то і тому також

Для достатньо великого якщо то Тоді:

оскільки для згідно теореми Коші — Гурса

Нехай позначає перетин всіх замкнутих прямокутників, що містять Тоді є замкнутим прямокутником (можливо виродженим) і

Застосовуючи лему 2 до тих значень для яких отримуємо:

Звідси:

Оскільки для достатньо великого якщо то і два різних прямокутники мають перетин двовимірна міра Лебега для якого є рівною нулю, то

Тому і з довільності вибору випливає, що Тому функція f є голоморфною на K, що суперечить

Література ред.

Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978). When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?. The American Mathematical Monthly (April 1978) 85 (4): 246–256. JSTOR 2321164. doi:10.2307/2321164. .
Looman, H. (1923). Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen. Göttinger Nachrichten: 97–108. .
Menchoff, D. (1936). Les conditions de monogénéité. Paris. .
Montel, P. (1913). Sur les différentielles totales et les fonctions monogènes. C. R. Acad. Sci. Paris 156: 1820–1822. .
Narasimhan, Raghavan (2001). Complex Analysis in One Variable. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4164-5. .