www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Морери У комплексному аналізі дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій Названа на

Теорема Морери

У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження Редагувати

Якщо функція комплексного змінного у відкритій області неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру рівний нулю, тобто

то — аналітична функція в .

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області .

Доведення Редагувати

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції , після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку в області , визначимо функцію в наступною формулою:

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в від до . Функція є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від до . Звідси отримуємо, що є похідною  :

Зокрема є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно також є голоморфною і аналітичною.

Застосування Редагувати

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції , то

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

і гамма-функції

Література Редагувати

  1. Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  3. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
  4. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
  5. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  6. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U kompleksnomu analizi Teorema Moreri daye dostatni umovi analitichnosti neperervnih kompleksnoznachnih funkcij Nazvana na chest italijskogo matematika Giasinto Moreri Zmist 1 Tverdzhennya 2 Dovedennya 3 Zastosuvannya 4 LiteraturaTverdzhennya RedaguvatiYaksho funkciya f z displaystyle f z nbsp kompleksnogo zminnogo z displaystyle z nbsp u vidkritij oblasti D displaystyle D nbsp neperervna i integral vid neyi po bud yakomu zamknutomu konturu G D displaystyle Gamma subset D nbsp rivnij nulyu tobto G f z d z 0 displaystyle int limits Gamma f z dz 0 nbsp to f z displaystyle f z nbsp analitichna funkciya v D displaystyle D nbsp Umovu teoremi mozhna poslabiti obmezhivshis vimogoyu rivnosti nulyu integraliv uzyatih po konturu dovilnogo trikutnika sho nalezhit oblasti D displaystyle D nbsp Dovedennya RedaguvatiV dovedenni spershu znahoditsya pervisna dlya funkciyi f displaystyle f nbsp pislya chogo tverdzhennya viplivaye z faktu sho golomorfni funkciyi ye analitichnimi Bez vtrati zagalnosti mozhna vvazhati oblast D displaystyle D nbsp zv yazanoyu Zafiksuvavshi deyaku tochku a displaystyle a nbsp v oblasti D displaystyle D nbsp viznachimo funkciyu F displaystyle F nbsp v D displaystyle D nbsp nastupnoyu formuloyu F b a b f z d z displaystyle F b int a b f z dz nbsp Integral mozhe buti vzyatij po dovilnij krivij v D displaystyle D nbsp vid a displaystyle a nbsp do b displaystyle b nbsp Funkciya F displaystyle F nbsp ye odnoznachno viznachena oskilki z umovi teoremi viplivaye rivnist integraliv na usih krivih vid a displaystyle a nbsp do b displaystyle b nbsp Zvidsi otrimuyemo sho f displaystyle f nbsp ye pohidnoyu F displaystyle F nbsp F z f z displaystyle F z f z nbsp Zokrema F displaystyle F nbsp ye golomorfnoyu i yak naslidok analitichnoyu Vidpovidno f displaystyle f nbsp takozh ye golomorfnoyu i analitichnoyu Zastosuvannya RedaguvatiTeorema Moreri chasto vikoristovuyetsya pri dovedenni analitichnosti funkcij Odnim z centralnih tverdzhen pri comu ye te sho yaksho poslidovnist f n displaystyle f n nbsp analitichnih funkcij rivnomirno shoditsya do funkciyi f displaystyle f nbsp to lim n f n z d z lim n f n z d z 0 displaystyle oint lim n to infty f n z dz lim n to infty oint f n z dz 0 nbsp tomu za teoremoyu Moreri granichna funkciya takozh bude golomorfnoyu Takim chinom dovoditsya golomorfnist bagatoh funkcij viznachenih ryadami i integralami napriklad dzeta funkciyi Rimana z s n 1 1 n s displaystyle zeta s sum n 1 infty frac 1 n s nbsp i gamma funkciyi G a 0 t a 1 e t d t displaystyle Gamma alpha int limits 0 infty t alpha 1 e t dt nbsp Literatura RedaguvatiGrishenko A O Nagnibida M I Nastasiv P P Teoriya funkcij kompleksnoyi zminnoyi K Visha shkola 1994 375 st Shabat B V Vvedenie v kompleksnyj analiz M Nauka 1969 577 str Ahlfors Lars Complex Analysis McGraw Hill ISBN 978 0070006577 Conway John B Functions of One Complex Variable I Graduate Texts in Mathematics Springer ISBN 978 3540903284 Rudin Walter Real and Complex Analysis McGraw Hill ISBN 978 0070542341 Zill Dennis G Shanahan Patrick D A first course in complex analysis with applications Jones and Bartlett Publishers Inc ISBN 0763714372 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Moreri amp oldid 39122382