www.wikidata.uk-ua.nina.az

Первісна Пе рві сною для функції f x називається така функція F x похідна якої F x дорівнює f x Первісними для функції f

Первісна

Пе́рві́сною для функції f(x) називається така функція F(x), похідна якої F'(x) дорівнює f(x).

Первісними для функції f(x)=2x є функції вигляду x²+C, де C — довільна стала

Операція взяття первісної є оберненою (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної f(x) будуть функції F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала (зокрема, однією з первісних буде сама функція F(x)). І навпаки, похідною від первісної F(x) для функції f(x) буде сама функція f(x).

Формальне означення та властивості первісної

Надалі через J будемо позначати довільний непорожній інтервал дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).

Означення. Функція F(x) називається первісною (примітивною) для функції f(x) на інтервалі J дійсної осі, якщо f(x) = F'(x) для всіх x ∈ J.

Нехай функція F — первісна функції f на інтервалі J. Тоді

  • функція F(x) є неперервною на інтервалі J;
  • функція F(x) + C теж є первісною для f на J, де C ∈ R — довільна стала (якщо функція f(x) має первісну, то вона має нескінченну кількість первісних);
  • будь-яка первісна для f на J може бути представлена у вигляді F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала.

Приклад. Для функції y = 3x2 первісними є функції F(x) = x3, F(x) = x3 + 5, F(x) = x3 − 6 тощо (на довільному інтервалі J).

Не всі функції мають первісну.

Приклад. Функція

не має первісної на відрізку [−1, 1].

Теорема. Для довільної неперервної на деякому інтервалі J функції f існує первісна на цьому інтервалі.

Методи знаходження первісної

Знаходження первісної для заданої функції f(x) називається інтегруванням. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення невизначеного інтегралу, а саме

Не завжди первісну можна записати у вигляді скінченної комбінації елементарних функцій (наприклад, функція exp(x2) має первісну як неперервна функція, проте ця первісна не виражається аналітично). В такому разі первісну треба шукати у вигляді функціонального ряду або нескінченного добутку елементарних функцій.

Див. також

Примітки

  1. Доведення див. в § 5.1.1 в Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.
  2. Доведення див. в п. 183 Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа в 2 т. / Под ред. Головиной Л. И. — Москва : Наука, 196. — 1968. — Т. 1.

Джерела

Посилання

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pe rvi snoyu dlya funkciyi f x nazivayetsya taka funkciya F x pohidna yakoyi F x dorivnyuye f x Pervisnimi dlya funkciyi f x 2x ye funkciyi viglyadu x C de C dovilna stalaOperaciya vzyattya pervisnoyi ye obernenoyu v deyakomu sensi do operaciyi vzyattya pohidnoyi pervisnimi dlya pohidnoyi f x budut funkciyi F x C de C R dovilna stala zokrema odniyeyu z pervisnih bude sama funkciya F x I navpaki pohidnoyu vid pervisnoyi F x dlya funkciyi f x bude sama funkciya f x Zmist 1 Formalne oznachennya ta vlastivosti pervisnoyi 2 Metodi znahodzhennya pervisnoyi 3 Div takozh 4 Primitki 5 Dzherela 6 PosilannyaFormalne oznachennya ta vlastivosti pervisnoyi RedaguvatiNadali cherez J budemo poznachati dovilnij neporozhnij interval dijsnih chisel vidkritij abo zamknenij obmezhenij abo neobmezhenij Oznachennya Funkciya F x nazivayetsya pervisnoyu primitivnoyu dlya funkciyi f x na intervali J dijsnoyi osi yaksho f x F x dlya vsih x J Nehaj funkciya F pervisna funkciyi f na intervali J Todi funkciya F x ye neperervnoyu na intervali J funkciya F x C tezh ye pervisnoyu dlya f na J de C R dovilna stala yaksho funkciya f x maye pervisnu to vona maye neskinchennu kilkist pervisnih bud yaka pervisna dlya f na J mozhe buti predstavlena u viglyadi F x C de C R dovilna stala Priklad Dlya funkciyi y 3x2 pervisnimi ye funkciyi F x x3 F x x3 5 F x x3 6 tosho na dovilnomu intervali J Ne vsi funkciyi mayut pervisnu Priklad Funkciya f x s i g n x 1 x lt 0 0 x 0 1 x gt 0 displaystyle f x mathop mathrm sign x begin cases 1 amp x lt 0 0 amp x 0 1 amp x gt 0 end cases ne maye pervisnoyi na vidrizku 1 1 1 Teorema Dlya dovilnoyi neperervnoyi na deyakomu intervali J funkciyi f isnuye pervisna na comu intervali 2 Metodi znahodzhennya pervisnoyi RedaguvatiDokladnishe Metodi integruvannyaZnahodzhennya pervisnoyi dlya zadanoyi funkciyi f x nazivayetsya integruvannyam Dlya obchislennya pervisnoyi vikoristovuyutsya ti sami metodi sho i dlya obchislennya neviznachenogo integralu a same Tablicya osnovnih formul integruvannya Metod pidstanovki abo formula zamini zminnoyi Metod integruvannya chastinamiNe zavzhdi pervisnu mozhna zapisati u viglyadi skinchennoyi kombinaciyi elementarnih funkcij napriklad funkciya exp x2 maye pervisnu yak neperervna funkciya prote cya pervisna ne virazhayetsya analitichno V takomu razi pervisnu treba shukati u viglyadi funkcionalnogo ryadu abo neskinchennogo dobutku elementarnih funkcij Div takozh RedaguvatiPohidna Integralne chislennya Neviznachenij integral Neviznachenij integral funkciyi kompleksnoyi zminnoyi Metodi integruvannyaPrimitki Redaguvati Dovedennya div v 5 1 1 v Dorogovcev A Ya Matematicheskij analiz K Fakt 2004 560s Dovedennya div v p 183 Fihtengolc G M Osnovy matematicheskogo analiza v 2 t Pod red Golovinoj L I Moskva Nauka 196 1968 T 1 Dzherela RedaguvatiGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1000 s ukr Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1962 T 1 607 s ros Ivanenko O O Kurs lekcij z matematichnogo analizu Tekst navch posib O O Ivanenko T V Ivanenko Sumi SumDU 2011 534 s Dinamichni matematichni modeli FIZMA neTPosilannya RedaguvatiPervisna funkciya Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 368 594 s Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pervisna amp oldid 39885208