Obernena funkciya obernene vidobrazhennya do danoyi funkciyi f v matematici taka funkciya g yaka v kompoziciyi z f daye totozhne vidobrazhennya Funkciya f displaystyle f i obernena yij funkciya f 1 displaystyle f 1 Yaksho f a 3 displaystyle f a 3 to f 1 3 a displaystyle f 1 3 a Nehaj f X Y ta g Y X deyaki funkciyi vidobrazhennya Zmist 1 Viznachennya 2 Isnuvannya 3 Prikladi 4 Vlastivosti 5 Rozkladannya v stepenevij ryad 6 Div takozh 7 DzherelaViznachennya RedaguvatiFunkciya g Y X displaystyle g Y to X nbsp nazivayetsya obernenoyu do funkciyi f X Y displaystyle f X to Y nbsp yaksho vikonani nastupni rivnosti f g y y displaystyle f g y y nbsp dlya vsih y Y displaystyle y in Y nbsp g f x x displaystyle g f x x nbsp dlya vsih x X displaystyle x in X nbsp Isnuvannya RedaguvatiShob znajti obernenu funkciyu potribno rozv yazati rivnyannya y f x displaystyle y f x nbsp shodo x displaystyle x nbsp Yaksho vono maye bilshe nizh odin korin to funkciyi obernenoyi do f displaystyle f nbsp ne isnuye Takim chinom funkciya f x displaystyle f x nbsp obernena na promizhku a b displaystyle a b nbsp todi i tilki todi koli na comu promizhku vona vzayemno odnoznachna Dlya neperervnoyi funkciyi F y displaystyle F y nbsp viraziti y displaystyle y nbsp iz rivnyannya x F y 0 displaystyle x F y 0 nbsp mozhlivo tilki v tomu vipadku koli funkciya F y displaystyle F y nbsp strogo monotonna div teorema pro neyavnu funkciyu Tim ne mensh neperervnu funkciyu zavzhdi mozhna obernuti na promizhkah yiyi strogoyi monotonnosti Napriklad x displaystyle sqrt x nbsp ye obernenoyu funkciyeyu do x 2 displaystyle x 2 nbsp na 0 displaystyle 0 infty nbsp hocha na promizhku 0 displaystyle infty 0 nbsp obernena funkciya insha x displaystyle sqrt x nbsp Yaksho kompoziciya funkcij f o g EY de E Y Y totozhne vidobrazhennya to f maye nazvu livogo obernenogo vidobrazhennya funkciyi do g a g pravogo obernenogo vidobrazhennya funkciyi do f Yaksho spravedlivo i f o g EYi g o f EX to g maye nazvu obernenogo vidobrazhennya obernenoyi funkciyi do f i poznachayetsya yak f 1 Tobto f 1 f x f f 1 x x Prikladi RedaguvatiYaksho F R R F x a x displaystyle F mathbb R to mathbb R F x a x nbsp de a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp to F 1 x log a x displaystyle F 1 x log a x nbsp Yaksho F x a x b x R displaystyle F x ax b x in mathbb R nbsp de a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp fiksovani postijni i a 0 displaystyle a neq 0 nbsp to F 1 x x b a displaystyle F 1 x frac x b a nbsp Yaksho F x x n x 0 n Z displaystyle F x x n x geq 0 n in mathbb Z nbsp to F 1 x x n displaystyle F 1 x sqrt n x nbsp Ne slid plutati poznachku f 1 z poznachennyam stepenya Napriklad dlya funkciyi viznachenoyi yak f x 3x 2 obernenoyu funkciyeyu bude x x 2 3 Ce chasto zapisuyetsya yak f x 3 x 2 displaystyle f colon x to 3x 2 nbsp f 1 x x 2 3 displaystyle f 1 colon x to x 2 3 nbsp Vlastivosti RedaguvatiOblastyu viznachennya F 1 displaystyle F 1 nbsp ye mnozhina Y displaystyle Y nbsp a oblastyu znachen mnozhina X displaystyle X nbsp Pri pobudovi mayemo y F x x F 1 y displaystyle y F x Leftrightarrow x F 1 y nbsp abo F F 1 y y y Y displaystyle F left F 1 y right y forall y in Y nbsp F 1 F x x x X displaystyle F 1 F x x forall x in X nbsp abo korotshe F F 1 i d Y displaystyle F circ F 1 mathrm id Y nbsp F 1 F i d X displaystyle F 1 circ F mathrm id X nbsp de displaystyle circ nbsp oznachaye kompoziciyu funkcij a i d X i d Y displaystyle mathrm id X mathrm id Y nbsp Totozhni vidobrazhennya na X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp Funkciya F displaystyle F nbsp ye obernenoyu do F 1 displaystyle F 1 nbsp F 1 1 F displaystyle left F 1 right 1 F nbsp Nehaj F X R Y R displaystyle F X subset mathbb R to Y subset mathbb R nbsp biyekciya Nehaj F 1 Y X displaystyle F 1 Y to X nbsp yiyi obernena funkciya Todi grafiki funkcij y F x displaystyle y F x nbsp i y F 1 x displaystyle y F 1 x nbsp simetrichni vidnosno pryamoyi y x displaystyle y x nbsp Rozkladannya v stepenevij ryad RedaguvatiObernena funkciya analitichnoyi funkciyi mozhe buti predstavlena u viglyadi stepenevogo ryadu F 1 y k 0 A k x 0 y f x 0 k k displaystyle F 1 y sum k 0 infty A k x 0 frac y f x 0 k k nbsp de koeficiyenti A k displaystyle A k nbsp zadayutsya rekursivnoyu formuloyu A k x A 0 x x A n 1 x A n x F x displaystyle A k x begin cases A 0 x x A n 1 x frac A n x F x end cases nbsp Div takozh RedaguvatiFunkciya matematika Totozhna funkciya Kompoziciya funkcij Teorema pro obernenu funkciyu Obernenij operatorDzherela RedaguvatiKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Zavalo S T 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola s 462 ukr Funkciya obernena do danoyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 176 594 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Obernena funkciya amp oldid 35062403
