www.wikidata.uk-ua.nina.az

Неперервна функція Непере рвна фу нкція в математичному аналізі це функція у якій малим змінам аргумента відповідають ма

Неперервна функція

Непере́рвна фу́нкція — в математичному аналізі це функція, у якій малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції. Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу».

Усі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.

Означення Редагувати

Приклад неперервної функції
Приклад розривної функції в точці . Функція не є неперервною зліва точки
проте є неперервною справа: : .

Функція дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного знайдеться таке (яке залежить від ), що з випливає

Функція неперервна в області , якщо неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай  — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці x0 Редагувати

Функція f називається неперервною в точці якщо:

  1. функція f(x) визначена в точці x0.
  2. існує границя
  3. .

Означення неперервності в точці x0 за Коші Редагувати

Функція f називається неперервною в точці якщо:

Означення неперервності в точці x0 за Гайне Редагувати

Функція f називається неперервною в точці якщо:

Точки розриву Редагувати

Якщо умова, що входить у визначення неперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція має в даній точці розрив. Інакше кажучи, якщо —  значення функції в точці , то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з . Мовою околів умова розривності функції  в точці є запереченням умови неперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує такий окіл точки  в області значень функції , що як би ми близько не підходили до точки в області визначення функції завжди знайдуться такі точки, образи яких будуть за межами околу точки .

Класифікація точок розриву в R¹  Редагувати

Класифікація розривів функцій залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції . Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь:

  • якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки.
  • якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Усувна точка розриву Редагувати

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці: , то точка називається точкою усувного розриву функції (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію  у точці усувного розриву і покласти , то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Точка розриву «стрибок» Редагувати

Розрив «стрибок» виникає, якщо

Точка розриву «полюс» Редагувати

Розрив «полюс» виникає, якщо одна з односторонніх границь нескінченна.

Точка суттєвого розриву Редагувати

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок в Rn, n>1 Редагувати

Для функцій та немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

  • Якщо , то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
  • Полюс визначається як . В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що , яким шляхом б він не ріс.
  • Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

Властивості Редагувати

Локальні Редагувати

  • Функція, неперервна в точці , є обмеженою в деякому околі цієї точки.
  • Якщо функція неперервна в точці і (або ), то (або ) для всіх, досить близьких до .
  • Якщо функції та неперервні в точці ,то функції та теж неперервні в точці .
  • Якщо функції та неперервні в точці і при цьому , то функція теж неперервна в точці .
  • Якщо функція неперервна в точці та функція неперервна в точці , то їх композиція неперервна в точці .

Глобальні Редагувати

  • Областю значень функції , неперервної на відрізку , є відрізок де мінімум і максимум беруться по відрізку .
  • Якщо функція неперервна на відрізку та то існує точка в якій .
  • Якщо функція неперервна на відрізку і число задовольняє нерівності або нерівності то існує точка у котрій .
  • Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна .
  • Монотонна функція на відрізку неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями та .
  • Якщо функції и неперервні на відрізку , причому та то існує точка в якій Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

Топологічні Редагувати

Вивчення топологічних властивостей неперервних функцій відбувається шляхом їх розшарування на гомотопічні класи, де кожний клас складається з функцій, які можуть неперервно деформуватися одна в одну. Нехай та  — топологічні простори, а та  — неперервні функції, які відображають в . Відзначимо одиничний інтервал на дійсній прямій Тоді функції та є гомотопними, якщо існує неперервна функція , яка відображає у , для якої а Неперервна функція , яка описує неперервну деформацію функції у , називається гомотопією. Кожний гомотопічний клас характеризується степенем відображення яку називають топологічним індексом. Усі функції, які відображають у , можна розбити на гомотопічні класи, такі, що дві функції належать одному класові, якщо вони є гомотопними.

Приклади Редагувати

Елементарні функції Редагувати

Довільні многочлени, раціональні функції, показові функції, логарифми, тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція з усувним розривом Редагувати

Функція задається формулою

неперервна в будь-якій точці Точка є точкою усувного розриву, бо границя функції

Функція знака Редагувати

функція

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці .

Точка є точкою розриву першого роду, причому

Ступінчаста функція Редагувати

Ступінчаста функція, яка визначається як

є всюди неперервна, крім точки , де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення .

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення .

Функція Діріхле Редагувати

функція

називається функцією Діріхле . По суті, функція Діріхле — це характеристична функція множини раціональних чисел . Ця функція є всюди розривною функцією, оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

Функція Рімана Редагувати

функція

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел (), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Варіації і узагальнення Редагувати

Рівномірна неперервність Редагувати

Функція називається рівномірно неперервної на , якщо для будь-якого існує таке, що для будь-яких двох точок і яких, що , виконується .

Кожна рівномірно неперервна на множині функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення — компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

Напівнеперервність Редагувати

  • функція напівнеперервна знизу в точці , якщо для будь-якого існує така околиця , що для будь-якого ;
  • функція називається напівнеперервна зверху в точці , якщо для будь-якого існує такий окіл точки , що для будь-якого .

Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок:

  • якщо взяти функцію , неперервну в точці , і зменшити значення (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці ;
  • якщо взяти функцію , неперервну в точці , і збільшити значення на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці .

Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення:

  • якщо , то будемо вважати таку функцію напівнеперервна знизу в точці ;
  • якщо ,то будемо вважати таку функцію напівнеперервна зверху в точці .

Одностороння неперервність Редагувати

Функція називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння:

Неперервність майже всюди Редагувати

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція така, що вона неперервна всюди на , крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди .

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Nepere rvna fu nkciya v matematichnomu analizi ce funkciya u yakij malim zminam argumenta vidpovidayut mali zmini znachennya funkciyi Ce oznachaye sho grafik neperervnoyi funkciyi ne maye stribkiv tobto mozhe buti nakreslenij ne vidrivayuchi olivec vid paperu Usi elementarni funkciyi neperervni na svoyij oblasti viznachennya Neperervni funkciyi traplyayutsya nabagato chastishe nizh diferencijovni mnozhina vsih neperervnih funkcij zamknena vidnosno arifmetichnih operacij za vinyatkom dilennya i kompoziciyi ta utvoryuye chi ne najvazhlivishij klas funkcij v analizi Zmist 1 Oznachennya 1 1 Oznachennya neperervnosti v tochci x0 1 2 Oznachennya neperervnosti v tochci x0 za Koshi 1 3 Oznachennya neperervnosti v tochci x0 za Gajne 2 Tochki rozrivu 2 1 Klasifikaciya tochok rozrivu v R 2 1 1 Usuvna tochka rozrivu 2 1 2 Tochka rozrivu stribok 2 1 3 Tochka rozrivu polyus 2 1 4 Tochka suttyevogo rozrivu 2 2 Klasifikaciya izolovanih osoblivih tochok v Rn n gt 1 3 Vlastivosti 3 1 Lokalni 3 2 Globalni 3 3 Topologichni 4 Prikladi 4 1 Elementarni funkciyi 4 2 Funkciya z usuvnim rozrivom 4 3 Funkciya znaka 4 4 Stupinchasta funkciya 4 5 Funkciya Dirihle 4 6 Funkciya Rimana 5 Variaciyi i uzagalnennya 5 1 Rivnomirna neperervnist 5 2 Napivneperervnist 5 3 Odnostoronnya neperervnist 5 4 Neperervnist majzhe vsyudi 6 Div takozh 7 DzherelaOznachennya Redaguvati nbsp Priklad neperervnoyi funkciyi nbsp Priklad rozrivnoyi funkciyi v tochci x 2 displaystyle x 2 nbsp Funkciya ne ye neperervnoyu zliva tochki x 2 displaystyle x 2 nbsp lim x 2 x lt 2 f x 2 f 2 displaystyle lim x to 2 atop x lt 2 f x 2 neq f 2 nbsp f displaystyle f nbsp prote ye neperervnoyu sprava lim x 2 x gt 2 f x 3 f 2 displaystyle lim x to 2 atop x gt 2 f x 3 f 2 nbsp f displaystyle f nbsp Funkciya f x displaystyle f x nbsp dijsnoyi zminnoyi yaka oznachena v oblasti D R displaystyle D subseteq mathbb R nbsp neperervna v tochci x 0 D displaystyle x 0 in D nbsp yaksho dlya dovilnogo ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp znajdetsya take d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp yake zalezhit vid ϵ displaystyle epsilon nbsp sho z x D x x 0 lt d displaystyle x in D x x 0 lt delta nbsp viplivaye f x f x 0 lt ϵ displaystyle f x f x 0 lt epsilon nbsp Funkciya f x displaystyle f x nbsp neperervna v oblasti S R displaystyle S subseteq mathbb R nbsp yaksho f x displaystyle f x nbsp neperervna v kozhnij tochci ciyeyi oblasti Nehaj A R f A R x 0 displaystyle A subset mathbb R quad f A to mathbb R quad x 0 nbsp granichna tochka mnozhini A Oznachennya neperervnosti v tochci x0 Redaguvati Funkciya f nazivayetsya neperervnoyu v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp yaksho funkciya f x viznachena v tochci x0 isnuye granicya lim x x 0 f x displaystyle lim x to x 0 f x nbsp lim x x 0 f x f x 0 displaystyle lim x to x 0 f x f x 0 nbsp Oznachennya neperervnosti v tochci x0 za Koshi Redaguvati Funkciya f nazivayetsya neperervnoyu v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp yaksho ϵ gt 0 d gt 0 x x x 0 lt d f x f x 0 lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x left x x 0 right lt delta implies left f x f x 0 right lt epsilon nbsp Oznachennya neperervnosti v tochci x0 za Gajne Redaguvati Funkciya f nazivayetsya neperervnoyu v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp yaksho x n lim n x n x 0 lim n f x n f x 0 displaystyle forall x n lim n to infty x n x 0 implies lim n to infty f x n f x 0 nbsp Tochki rozrivu RedaguvatiYaksho umova sho vhodit u viznachennya neperervnosti funkciyi v deyakij tochci porushuyetsya to kazhut sho rozglyanuta funkciya maye v danij tochci rozriv Inakshe kazhuchi yakshoA displaystyle A nbsp znachennya funkciyi f displaystyle f nbsp v tochci a displaystyle a nbsp to mezha takoyi funkciyi yaksho vin isnuye ne zbigayetsya z A displaystyle A nbsp Movoyu okoliv umova rozrivnosti funkciyi f displaystyle f nbsp v tochci a displaystyle a nbsp ye zaperechennyam umovi neperervnosti rozglyanutoyi funkciyi v danij tochci a same isnuye takij okil tochki A displaystyle A nbsp v oblasti znachen funkciyi f displaystyle f nbsp sho yak bi mi blizko ne pidhodili do tochki a displaystyle a nbsp v oblasti viznachennya funkciyi f displaystyle f nbsp zavzhdi znajdutsya taki tochki obrazi yakih budut za mezhami okolu tochki A displaystyle A nbsp Klasifikaciya tochok rozrivu v R Redaguvati Klasifikaciya rozriviv funkcij f X Y displaystyle f X to Y nbsp zalezhit vid togo yak vlashtovani mnozhini X ta Y Dali navedeno klasifikaciyu dlya najprostishogo vipadku funkciyi f R R displaystyle f mathbb R to mathbb R nbsp Podibnim chinom klasifikuyut i osoblivi tochki tochki de funkciya ne viznachena Yaksho funkciya maye rozriv v danij tochci tobto granicya funkciyi v danij tochci vidsutnya abo ne zbigayetsya zi znachennyam funkciyi v danij tochci to dlya chislovih funkcij vinikaye dva mozhlivih varianti pov yazanih z isnuvannyam u chislovih funkcij odnostoronnih granic yaksho obidvi odnostoronni granici isnuyut i skinchenni to taku tochku nazivayut tochkoyu rozrivu pershogo rodu Do tochok rozrivu pershogo rodu vidnosyat usuvni rozrivi i stribki yaksho hocha b odna z odnostoronnih granic ne isnuye abo ne ye skinchenoyu velichinoyu to taku tochku nazivayut tochkoyu rozrivu drugogo rodu Do tochok rozrivu drugogo rodu vidnosyat polyusi i tochki suttyevogo rozrivu Usuvna tochka rozrivu Redaguvati Yaksho granicya funkciyi isnuye i skinchenna ale funkciya ne viznachena v cij tochci abo granicya ne zbigayetsya zi znachennyam funkciyi v danij tochci lim x a f x f a displaystyle lim limits x to a f x neq f a nbsp to tochka a displaystyle a nbsp nazivayetsya tochkoyu usuvnogo rozrivu funkciyi f displaystyle f nbsp v kompleksnomu analizi usuvna osobliva tochka Yaksho vipraviti funkciyu f displaystyle f nbsp u tochci usuvnogo rozrivu i poklasti f a lim x a f x displaystyle f a lim limits x to a f x nbsp to vijde funkciya neperervna v danij tochci Taka operaciya nad funkciyeyu nazivayetsya doviznachennyam funkciyi do neperervnoyi abo doviznachennyam funkciyi za neperervnistyu sho i obgruntovuye nazvu tochki yak tochki usuvnogo rozrivu Tochka rozrivu stribok Redaguvati Rozriv stribok vinikaye yaksho lim x a 0 f x lim x a 0 f x displaystyle lim limits x to a 0 f x neq lim limits x to a 0 f x nbsp Tochka rozrivu polyus Redaguvati Rozriv polyus vinikaye yaksho odna z odnostoronnih granic neskinchenna lim x a 0 f x displaystyle lim limits x to a 0 f x pm infty nbsp abo lim x a 0 f x displaystyle lim limits x to a 0 f x pm infty nbsp Tochka suttyevogo rozrivu Redaguvati U tochci suttyevogo rozrivu odna z odnostoronnih granic vzagali vidsutnya Klasifikaciya izolovanih osoblivih tochok v Rn n gt 1 Redaguvati Dlya funkcij f R n R n displaystyle f mathbb R n to mathbb R n nbsp ta f C C displaystyle f mathbb C to mathbb C nbsp nemaye potrebi pracyuvati z tochkami rozrivu ale neridko dovoditsya pracyuvati z osoblivimi tochkami tochkami de funkciya ne viznachena Klasifikaciya podibna Yaksho lim x a f x displaystyle exists lim limits x to a f x nbsp to ce usuvna osobliva tochka analogichno funkciyi dijsnogo argumentu Polyus viznachayetsya yak lim x a f x displaystyle lim limits x to a f x infty nbsp V bagatovimirnih prostorah yaksho modul chisla roste vvazhayetsya sho f x displaystyle f x to infty nbsp yakim shlyahom b vin ne ris Yaksho granicya vzagali ne isnuye ce suttyeva osobliva tochka Ponyattya stribok vidsutnye Te sho v R displaystyle mathbb R nbsp vvazhayetsya stribkom v prostorah bilshih rozmirnostej suttyeva osobliva tochka Vlastivosti RedaguvatiLokalni Redaguvati Funkciya neperervna v tochci a displaystyle a nbsp ye obmezhenoyu v deyakomu okoli ciyeyi tochki Yaksho funkciya f displaystyle f nbsp neperervna v tochci a displaystyle a nbsp i f a gt 0 displaystyle f a gt 0 nbsp abo f a lt 0 displaystyle f a lt 0 nbsp to f x gt 0 displaystyle f x gt 0 nbsp abo f x lt 0 displaystyle f x lt 0 nbsp dlya vsihx displaystyle x nbsp dosit blizkih do a displaystyle a nbsp Yaksho funkciyi f displaystyle f nbsp ta g displaystyle g nbsp neperervni v tochci a displaystyle a nbsp to funkciyi f g displaystyle f g nbsp ta f g displaystyle f cdot g nbsp tezh neperervni v tochci a displaystyle a nbsp Yaksho funkciyi f displaystyle f nbsp ta g displaystyle g nbsp neperervni v tochci a displaystyle a nbsp i pri comu g a 0 displaystyle g a neq 0 nbsp to funkciya f g displaystyle f g nbsp tezh neperervna v tochci a displaystyle a nbsp Yaksho funkciya f displaystyle f nbsp neperervna v tochci a displaystyle a nbsp ta funkciya g displaystyle g nbsp neperervna v tochci b f a displaystyle b f a nbsp to yih kompoziciya h g f displaystyle h g circ f nbsp neperervna v tochci a displaystyle a nbsp Globalni Redaguvati Funkciya neperervna na vidrizku abo bud yakij inshij kompaktnij mnozhini rivnomirno neperervna na nomu Funkciya neperervna na vidrizku abo bud yakij inshij kompaktnij mnozhini obmezhena i dosyagaye na nij svoye maksimalne i minimalne znachennya Dokladnishe Persha teorema Vejyershtrassa ta Druga teorema VejyershtrassaOblastyu znachen funkciyi f displaystyle f nbsp neperervnoyi na vidrizku a b displaystyle a b nbsp ye vidrizok min f max f displaystyle min f max f nbsp de minimum i maksimum berutsya po vidrizku a b displaystyle a b nbsp Yaksho funkciya f displaystyle f nbsp neperervna na vidrizku a b displaystyle a b nbsp ta f a f b lt 0 displaystyle f a cdot f b lt 0 nbsp to isnuye tochka 3 a b displaystyle xi in a b nbsp v yakij f 3 0 displaystyle f xi 0 nbsp Yaksho funkciya f displaystyle f nbsp neperervna na vidrizku a b displaystyle a b nbsp i chislo f displaystyle varphi nbsp zadovolnyaye nerivnosti f a lt f lt f b displaystyle f a lt varphi lt f b nbsp abo nerivnosti f a gt f gt f b displaystyle f a gt varphi gt f b nbsp to isnuye tochka 3 a b displaystyle xi in a b nbsp u kotrij f 3 f displaystyle f xi varphi nbsp Neperervne vidobrazhennya vidrizka v dijsnu pryamu in yektivne v tomu i tilki v tomu vipadku koli dana funkciya na vidrizku strogo monotonna Monotonna funkciya na vidrizku a b displaystyle a b nbsp neperervna v tomu i tilki v tomu vipadku koli oblast yiyi znachen ye vidrizkom z kincyami f a displaystyle f a nbsp ta f b displaystyle f b nbsp Yaksho funkciyi f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp neperervni na vidrizku a b displaystyle a b nbsp prichomu f a lt g a displaystyle f a lt g a nbsp ta f b gt g b displaystyle f b gt g b nbsp to isnuye tochka 3 a b displaystyle xi in a b nbsp v yakij f 3 g 3 displaystyle f xi g xi nbsp Zvidsi zokrema viplivaye sho bud yake neperervne vidobrazhennya vidrizka v sebe maye hocha b odnu neruhomu tochku Topologichni Redaguvati Vivchennya topologichnih vlastivostej neperervnih funkcij vidbuvayetsya shlyahom yih rozsharuvannya na gomotopichni klasi de kozhnij klas skladayetsya z funkcij yaki mozhut neperervno deformuvatisya odna v odnu Nehaj X displaystyle X nbsp ta Y displaystyle Y nbsp topologichni prostori a f 0 x displaystyle f 0 x nbsp ta f 1 x displaystyle f 1 x nbsp neperervni funkciyi yaki vidobrazhayut X displaystyle X nbsp v Y displaystyle Y nbsp Vidznachimo odinichnij interval I displaystyle I nbsp na dijsnij pryamij 0 t 1 displaystyle 0 leqslant t leqslant 1 nbsp Todi funkciyi f 0 x displaystyle f 0 x nbsp ta f 1 x displaystyle f 1 x nbsp ye gomotopnimi yaksho isnuye neperervna funkciya F x t displaystyle F x t nbsp yaka vidobrazhaye X I displaystyle X times I nbsp u Y displaystyle Y nbsp dlya yakoyi F x 0 f 0 x displaystyle F x 0 f 0 x nbsp a F x 1 f 1 x displaystyle F x 1 f 1 x nbsp Neperervna funkciya F x t displaystyle F x t nbsp yaka opisuye neperervnu deformaciyu funkciyi f 0 x displaystyle f 0 x nbsp u f 1 x displaystyle f 1 x nbsp nazivayetsya gomotopiyeyu Kozhnij gomotopichnij klas harakterizuyetsya stepenem vidobrazhennya n displaystyle n nbsp yaku nazivayut topologichnim indeksom Usi funkciyi yaki vidobrazhayut X displaystyle X nbsp u Y displaystyle Y nbsp mozhna rozbiti na gomotopichni klasi taki sho dvi funkciyi nalezhat odnomu klasovi yaksho voni ye gomotopnimi Prikladi RedaguvatiElementarni funkciyi Redaguvati Dovilni mnogochleni racionalni funkciyi pokazovi funkciyi logarifmi trigonometrichni funkciyi pryami i zvorotni neperervni skriz u svoyij oblasti viznachennya Funkciya z usuvnim rozrivom Redaguvati Funkciya f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp zadayetsya formuloyu f x sin x x x 0 0 x 0 displaystyle f x begin cases frac sin x x amp x neq 0 0 amp x 0 end cases nbsp neperervna v bud yakij tochci x 0 displaystyle x neq 0 nbsp Tochka x 0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu usuvnogo rozrivu bo granicya funkciyi lim x 0 f x lim x 0 sin x x 1 f 0 displaystyle lim limits x to 0 f x lim limits x to 0 frac sin x x 1 neq f 0 nbsp Funkciya znaka Redaguvati funkciya f x sgn x 1 x lt 0 0 x 0 1 x gt 0 x R displaystyle f x operatorname sgn x begin cases 1 amp x lt 0 0 amp x 0 1 amp x gt 0 end cases quad x in mathbb R nbsp nazivayetsya funkciyeyu znaka Cya funkciya neperervna v kozhnij tochci x 0 displaystyle x neq 0 nbsp Tochka x 0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu rozrivu pershogo rodu prichomu lim x 0 f x 1 1 lim x 0 f x displaystyle lim limits x to 0 f x 1 neq 1 lim limits x to 0 f x nbsp v toj chas yak v samij tochci funkciya obertayetsya v nul Stupinchasta funkciya Redaguvati Stupinchasta funkciya yaka viznachayetsya yak f x 1 x 0 0 x lt 0 x R displaystyle f x begin cases 1 amp x geqslant 0 0 amp x lt 0 end cases quad x in mathbb R nbsp ye vsyudi neperervna krim tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp de funkciya terpit rozriv pershogo rodu Prote v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp isnuye pravobichna granicya yaka zbigayetsya zi znachennyam funkciyi v danij tochci Takim chinom dana funkciya ye prikladom neperervnoyi sprava funkciyi na vsij oblasti viznachennya Analogichno stupinchasta funkciya yaka viznachayetsya yak f x 1 x gt 0 0 x 0 x R displaystyle f x begin cases 1 amp x gt 0 0 amp x leqslant 0 end cases quad x in mathbb R nbsp ye prikladom neperervnoyi zliva funkciyi na vsij oblasti viznachennya Funkciya Dirihle Redaguvati Dokladnishe Funkciya Dirihlefunkciya f x 1 x Q 0 x R Q displaystyle f x begin cases 1 amp x in mathbb Q 0 amp x in mathbb R setminus mathbb Q end cases nbsp nazivayetsya funkciyeyu Dirihle Po suti funkciya Dirihle ce harakteristichna funkciya mnozhini racionalnih chisel Cya funkciya ye vsyudi rozrivnoyu funkciyeyu oskilki na kozhnomu intervali isnuyut yak racionalni tak i irracionalni chisla Funkciya Rimana Redaguvati funkciya f x 1 n x m n Q m n 1 0 x R Q displaystyle f x begin cases frac 1 n amp x frac m n in mathbb Q m n 1 0 amp x in mathbb R setminus mathbb Q end cases nbsp nazivayetsya funkciyeyu Rimana abo funkciyeyu Toma Cya funkciya ye neperervnoyu vsyudi u mnozhini irracionalnih chisel R Q displaystyle mathbb R setminus mathbb Q nbsp oskilki granicya funkciyi v kozhnij tochci dorivnyuye nulyu Variaciyi i uzagalnennya RedaguvatiRivnomirna neperervnist Redaguvati Dokladnishe Rivnomirna neperervnistFunkciya f displaystyle f nbsp nazivayetsya rivnomirno neperervnoyi na E displaystyle E nbsp yaksho dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp take sho dlya bud yakih dvoh tochok x 1 displaystyle x 1 nbsp i x 2 displaystyle x 2 nbsp yakih sho x 1 x 2 lt d displaystyle x 1 x 2 lt delta nbsp vikonuyetsya f x 1 f x 2 lt e displaystyle f x 1 f x 2 lt varepsilon nbsp Kozhna rivnomirno neperervna na mnozhini E displaystyle E nbsp funkciya ochevidno ye takozh i neperervnoyu na nomu Zvorotne vzagali kazhuchi nevirno Odnak yaksho oblast viznachennya kompakt to neperervna funkciya viyavlyayetsya takozh i rivnomirno neperervnoyu na danomu vidrizku Napivneperervnist Redaguvati Dokladnishe Napivneperervna funkciyaIsnuye dvi simetrichni odna do odnoyi vlastivosti napivneperervna znizu i napivneperervna zverhu funkciya f displaystyle f nbsp napivneperervna znizu v tochci a displaystyle a nbsp yaksho dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye taka okolicya U E a displaystyle U E a nbsp sho f x gt f a e displaystyle f x gt f a varepsilon nbsp dlya bud yakogo x U E a displaystyle x in U E a nbsp funkciya f displaystyle f nbsp nazivayetsya napivneperervna zverhu v tochci a displaystyle a nbsp yaksho dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye takij okil tochki U E a displaystyle U E a nbsp sho f x lt f a e displaystyle f x lt f a varepsilon nbsp dlya bud yakogo x U E a displaystyle x in U E a nbsp Mizh neperervnistyu i napivneperervnistyu ye takij zv yazok yaksho vzyati funkciyu f displaystyle f nbsp neperervnu v tochci a displaystyle a nbsp i zmenshiti znachennya f a displaystyle f a nbsp na kincevu velichinu to mi otrimayemo funkciyu napivneperervnu znizu v tochci a displaystyle a nbsp yaksho vzyati funkciyu f displaystyle f nbsp neperervnu v tochci a displaystyle a nbsp i zbilshiti znachennya f a displaystyle f a nbsp na kincevu velichinu to mi otrimayemo funkciyu napivneperervnu zverhu v tochci a displaystyle a nbsp Vidpovidno do cogo mozhna dopustiti dlya napivneperervnih funkcij neskinchenni znachennya yaksho f a displaystyle f a infty nbsp to budemo vvazhati taku funkciyu napivneperervna znizu v tochci a displaystyle a nbsp yaksho f a displaystyle f a infty nbsp to budemo vvazhati taku funkciyu napivneperervna zverhu v tochci a displaystyle a nbsp Odnostoronnya neperervnist Redaguvati Funkciya f displaystyle f nbsp nazivayetsya odnostoronno neperervnoyu zliva sprava v kozhnij tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp yiyi oblasti viznachennya yaksho dlya odnostoronnoyi granici vikonuyetsya rivnyannya f x 0 lim x x 0 f x displaystyle f x 0 lim limits x to x 0 f x nbsp f x 0 lim x x 0 f x displaystyle f x 0 lim limits x to x 0 f x nbsp Neperervnist majzhe vsyudi Redaguvati Na dijsnij pryamij zazvichaj rozglyadayetsya prosta linijna mira Lebega Yaksho funkciya f displaystyle f nbsp taka sho vona neperervna vsyudi na E displaystyle E nbsp krim mozhlivo mnozhini miri nul to taka funkciya nazivayetsya neperervnoyu majzhe vsyudi U tomu vipadku koli mnozhina tochok rozrivu funkciyi ne bilshe nizh zlichenna mi otrimuyemo klas integrovanih za Rimanom funkcij div Kriterij integrovanosti funkciyi za Rimanom Div takozh RedaguvatiTeorema Bolcano Koshi Linijnij neperervnij operator Absolyutna neperervnist Prostir neperervnih funkcijDzherela RedaguvatiZavalo S T 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola s 462 ukr Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1100 s ukr Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Moskva Nauka 1962 T 1 607 s ros Funkciya neperervna Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Neperervnist funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 225 594 s nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Neperervna funkciya amp oldid 39860989