Числова функція (у математиці) — функція, яка діє з одного числового простору (множини) в інший числовий простір (множину). Числові множини — це множини натуральних (), цілих (), раціональних (), дійсних () і комплексних чисел () разом з визначеними для відповідних множин алгебричними операціями. Для всіх перерахованих числових множин, крім комплексних чисел, визначено також відношення лінійного порядку, що дозволяє порівнювати числа за величиною. Числові простори — це числові множини разом з функцією відстані, заданою на відповідній множині.
У найзагальнішому випадку, числова функція — це функція, що набуває значення в області дійсних чисел і яка задана на довільному (найчастіше) метричному просторі. Така, наприклад, індикаторна або характеристична функція множини. Інший приклад числової функції — це функція відстані (або, що те ж саме, метрика).
Числові функції, задані на множині дійсних або комплексних чисел називають функціями відповідно дійсної або комплексної змінної і є предметом розгляду в аналізі:
- дійснозначні функції дійсної змінної розглядаються в математичному аналізі,
- комплекснозначні функції комплексної змінної розглядаються в комплексному аналізі.
Важливий предмет розгляду в аналізі — подання числових функцій у вигляді системи наближень (числових і функціональних рядів).
Числові функції мають як загальні властивості, якими можуть володіти відображення довільних метричних просторів (наприклад, неперервність), так і низку властивостей, безпосередньо пов'язаних з природою числових просторів. Такими є властивості
- диференційовності, інтегрованості, сумовності, вимірності (для довільних числових функцій);
а, також, властивості
- парності (непарності), монотонності (для дійснозначних функцій дійсної змінної);
- аналітичності, багатолистості (для комплекснозначних функцій комплексної змінної).
Числові функції широко використовуються прирозв'язуванні прикладних задач.
Властивості
Властивості, пов'язані з відношенням порядку
Нехай дано функцію Тоді
- функція називається зростаючою на , якщо
- функція називається строго зростаючою на , якщо
- функція називається спадною на , якщо
- функція називається строго спадною на , якщо
(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.
Періодичність
Функція називається періодичною з періодом , якщо
Якщо ця рівність не виконується для жодного , то функцію називають аперіодичною.
Парність
- функція називається непарною, якщо виконується рівність
- Функція називається парною, якщо виконується рівність
Екстремуми функції
Нехай дано функцію і — внутрішня точка області визначення Тоді
- називається точкою абсолютного (глобального) максимуму, якщо
- називається точкою абсолютного мінімуму, якщо
Графік функції
- Нехай дано відображення . Тоді його графіком називається множина
, де позначає декартів добуток множин і .- Графіком неперервної функції є крива на двовимірній площині.
- Графіком неперервної функції є поверхня в тривимірному просторі.
Приклади
- функція Діріхле
- Повертає одиницю, якщо аргумент — раціональне число, якщо ж ірраціональне, то повертає нуль.
- Область визначення: (вся числова вісь).
- Область значень: .
- Функція sgn (x)
- Повертає знак аргументу.
- Область визначення: .
- Область значень: .
-
- Область визначення: .
- Область значень: .
- Факторіал
- Повертає добуток всіх натуральних чисел, не більших від даного. Крім того, .
- Область визначення: (множина натуральних чисел з нулем).
- Область значень:
- Антьє (підлога)
- Повертає цілу частину числа.
- Область визначення: .
- Область значень: .
Способи задання функції
| Словесний | За допомогою природної мови | Ігрек дорівнює цілій частині від ікс. | ||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Аналітичний | За допомогою формули і стандартних позначень | |||||||||||||||||||||||
| Графічний | За допомогою графіка | |||||||||||||||||||||||
| Табличний | За допомогою таблиці значень |
|
Аналітичний спосіб
Найчастіше закон, що встановлює зв'язок між аргументом і функцією, задають за допомогою формул. Такий спосіб задання функції називають аналітичним. Цей спосіб дає можливість за кожним числовим значенням аргументу знайти відповідне йому числове значення функції точно або з деякою точністю. Якщо залежність між і задана формулою, розв'язаною відносно , тобто у вигляді , то кажуть, що функцію від задано в явному вигляді. Якщо ж значення і пов'язані деяким рівнянням вигляду , тобто формула не розв'язана відносно , то кажуть, що функцію задано неявно. Функцію можна визначити різними формулами на різних ділянках області визначення. Аналітичний спосіб є найпоширенішим способом задання функцій. Компактність, лаконічність, можливість обчислення значення функції для довільного значення аргументу з області визначення, можливість застосування до даної функції апарату математичного аналізу — основні переваги аналітичного способу задання функції. До недоліків можна віднести відсутність наочності, яку компенсує можливість побудови графіка, і необхідність виконання іноді дуже громіздких обчислень.
Приклади:
- ;
- ;
- ;
Табличний спосіб
Функцію можна задати, перерахувавши всі її можливі аргументи і значення для них. Після цього, якщо це необхідно, функцію можна довизначити для аргументів, яких немає в таблиці, інтерполяцією або екстраполяцією. Прикладами можуть служити програма передач, розклад поїздів або таблиця значень булевої функції:
Графічний спосіб
Функцію можна задати графічно, зобразивши множину точок її графіка на площині. Це може бути приблизний начерк, як має виглядати функція, або покази, зняті з приладу, наприклад, з осцилографа. Цей спосіб задання може бути недостатньо точним, однак у деяких випадках інші способи задання взагалі неможливо застосувати. Крім того, такий спосіб задання один з найнаочніших, зручних для сприйняття і якісного евристичного аналізу функції.
Рекурсивний спосіб
Функцію можна задати рекурсивно, тобто через саму себе. В цьому випадку одні значення функції визначаються через інші її значення.
Приклади:
Словесний спосіб
Функцію можна описати словами природної мови будь-яким однозначним способом, наприклад, описавши її вхідні й вихідні значення, або алгоритм, за яким функція задає відповідності між цими значеннями. Поряд із графічним способом, іноді це єдиний спосіб описати функцію, хоча природні мови і не настільки детерміновані, як формальні.
Приклади:
Класи числових функцій
Історичний нарис
Поява поняття
Математичне моделювання явищ і законів природи спричиняє виникнення поняття функції, яке спочатку обмежується алгебричними функціями (многочленами) і тригонометрією. Як і інші поняття математики, загальне поняття функції склалося не відразу, а пройшло довгий шлях розвитку. Зрозуміло, і в давнину при обчисленнях люди несвідомо використовували різні функції (наприклад, квадратний корінь) і навіть рівняння, однак як окремий математичний об'єкт, що допускає загальне аналітичне дослідження, функція могла з'явитися тільки після створення Вієтом символьної алгебри (XVI століття). Навіть у XVII столітті Непер, вводячи в ужиток логарифмічну функцію, використовував обхідний шлях — визначив її кінематично.
Спочатку об'єктом дослідження стали різноманітні алгебричні формули. Декарт розглядав неалгебричні залежності тільки у як рідкісний виняток. У нього й у Ферма формула розуміється не просто як обчислювальний алгоритм, але розглядається як (геометрично подаване) перетворення однієї неперервно змінюваної величини на іншу. У Барроу («Лекції з геометрії», 1670) в геометричній формі встановлюється взаємна оберненість дій диференціювання й інтегрування (зрозуміло, без вживання самих цих термінів). Це свідчить вже про абсолютно чітке володіння поняттям функції як цілісного об'єкта. У геометричному і механічному вигляді поняття функції ми знаходимо й у Ньютона.
Математичний термін «функція» вперше з'явився 1673 року в Ляйбніца, і до того ж не зовсім у сучасному його розумінні: Ляйбніц спочатку називав функцією різні відрізки, пов'язані з будь-якою кривою (наприклад, абсциси її точок). Пізніше, однак, у листуванні з Йоганном Бернуллі (1694) зміст терміна розширився і врешті-решт став синонімом «аналітично заданої залежності».
У першому друкованому курсі «Аналізу нескінченно малих для пізнання кривих ліній» Лопіталя (1696) термін «функція» не вживається.
Перші спроби визначення
На початку XVIII століття отримано розклади всіх стандартних функцій і багатьох інших. Завдяки, переважно, Ейлеру (1748) уточнено їх визначення. Ейлер уперше ясно визначив показникову функцію, а також логарифмічну як обернену до неї, і дав їх розклади в ряд. До Ейлера багато математиків вважали, наприклад, тангенс тупого кута додатним; Ейлер дав сучасні визначення всіх тригонометричних функцій (сам термін «тригонометрична функція» запропонував Клюгель 1770 року).
У застосуваннях аналізу з'являється багато нових трансцендентних функцій. Коли Гольдбах і Бернуллі спробували знайти неперервний аналог факторіала, молодий Ейлер повідомив у листі Гольдбаху про властивості гамма-функції (1729, назва належить Лежандру). Через рік Ейлер відкрив бета-функцію, і далі неодноразово повертався до цієї теми. Гамма-функція і пов'язані з нею (бета, дзета, циліндричні (Бесселя)) знаходять численні застосування в аналізі, а також у теорії чисел, а дзета-функція Рімана виявилася незамінним інструментом для вивчення розподілу простих чисел у натуральному ряді.
1757 року Вінченцо де Ріккаті, досліджуючи сектори гіперболи, вводить гіперболічні функції ch, sh (саме з такими позначеннями) і перераховує їх основні властивості. Чимало нових функцій виникло в зв'язку з неінтегровністю різних виразів. Ейлер визначив (1768) інтегральний логарифм (назву запропонував І. Зольднер[en], 1809), Л. Маскероні — інтегральні синус і косинус (1790). Незабаром з'являється і новий розділ математики: спеціальні функції.
З цим строкатим зібранням слід було щось робити, і математики вчинили радикально: всі функції, незалежно від їх походження, оголосили рівноправними. Єдина вимога, що ставиться до функції — визначеність, причому мається на увазі не однозначність самої функції (вона може бути і багатозначною), а недвозначність способу обчислення її значень.
Перше загальне визначення функції зустрічається в Йоганна Бернуллі (1718): «Функція — це величина, складена із змінної і сталої». В основі цього не цілком виразного визначення лежить ідея задання функції аналітичною формулою. Та ж ідея виступає й у визначенні Ейлера, яке він дав у «Вступі до аналізу нескінченних» (1748): «Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений певним чином з цієї змінної кількості і чисел або сталих кількостей».
Все ж у XVIII столітті було відсутнє досить ясне розуміння відмінності між функцією і її аналітичним виразом. Це відбилося в критиці Ейлером розв'язку задачі про коливання струни, запропонованого Бернуллі (1753). В основі розв'язку Бернуллі лежало твердження про можливість розкласти будь-яку функцію в тригонометричний ряд. Заперечуючи це, Ейлер вказав на те, що подібна розкладність надавала б будь-якій функції аналітичний вираз, тоді як функція може й не мати його (її можна задати графіком, «накресленим вільним рухом руки»).
Ця критика переконлива і з сучасної точки зору, бо не всі функції допускають аналітичне подання (правда, в Бернуллі йдеться про неперервну функцію, яка, як виявив 1885 року Веєрштрасс, завжди аналітично зображувана, але вона може й не розкладатися в тригонометричний ряд). Однак інші аргументи Ейлера вже помилкові. Наприклад, він вважав, що розкладання функції в тригонометричний ряд надає для неї єдиний аналітичний вираз, тоді як вона може бути «змішаною» функцією, подаваною на різних відрізках різними формулами. Насправді одне іншому не суперечить, але в ту епоху здавалося неможливим, щоб два аналітичних вирази, збігаючись на частині відрізка, не збігалися на всій його довжині. Пізніше, під час дослідження функцій багатьох змінних він зрозумів обмеженість колишнього визначення і визнав розривні функції, а потім, після дослідження комплексного логарифма — навіть багатозначні функції.
Під впливом теорії нескінченних рядів, які давали алгебричне подання майже будь-якої гладкої залежності, наявність явної формули поступово припинила бути обов'язковою для функції. Логарифм або показникова функція, наприклад, обчислюються як границі нескінченних рядів; такий підхід поширився й на інші нестандартні функції. З рядами стали поводитися як зі скінченними виразами, спочатку ніяк НЕ обґрунтовуючи коректності операцій і навіть не гарантуючи збіжності ряду.
Починаючи з «Диференціального числення» (1755), Ейлер фактично приймає сучасне визначення числової функції як довільної відповідності чисел:
Коли деякі кількості залежать від інших так, що при зміні останніх і самі вони зазнають зміни, то перші називають функціями других.
Загальне визначення
Від початку XIX століття все частіше й частіше визначають поняття функції без згадки про її аналітичне подання. У «Трактаті з диференціального й інтегрального числення» (1797–1802) Лакруа сказано: «Будь-яка величина, значення якої залежить від однієї або багатьох інших величин, називається функцією цих останніх» незалежно від того, відомий чи невідомий спосіб обчислення її значень.
В «Аналітичній теорії тепла» Фур'є (1822) є фраза: «Функція позначає функцію абсолютно довільну, тобто послідовність даних значень, підлеглих чи ні загальному закону і відповідних усім значенням, що містяться між і будь-якою величиною».
Близьке до сучасного і визначення Лобачевського:
… Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від називати число, яке дається для кожного і разом з поступово змінюється. Значення функції можна дати або аналітичним виразом, або умовою, яка надає засіб випробовувати всі числа і вибирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати й залишатися невідомою… Широкий погляд теорії допускає існування залежності лише в тому сенсі, щоб числа одні з іншими в зв'язку розуміти ніби даними разом.
Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадок про аналітичне задання, зазвичай приписуване Діріхле, неодноразово пропонувалося і до нього. Ось визначення Діріхле (1837):
у є функцією змінної х (на відрізку ), якщо кожному значенню х (на цьому відрізку) відповідає цілком певне значення у, причому байдуже, яким чином встановлено цю відповідність — аналітичною формулою, графіком, таблицею, чи навіть просто словами.
До кінця XIX століття поняття функції переростає рамки числових систем. Першими це зробили векторні функції, незабаром Фреге ввів логічні функції (1879), а після появи теорії множин Дедекінд (1887) і Пеано (1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.
Приклади
Неявні функції
Функції можна задавати за допомогою інших функцій і рівнянь.
Припустимо, задано функцію двох змінних, яка задовольняє особливим умовам (умовам теореми про неявні функції), тоді рівняння вигляду.
визначає неявну функцію вигляду .
Див. також
Примітки
- Область визначення й область значень числової функції — підмножини числового простору.
- Юшкевич А. П., 1966, с. 134-135.
- Юшкевич А. П., 1966, с. 137-138.
- ↑ Юшкевич А. П., 1966, с. 144-148.
- Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Просвещение, 1977. — С. 84.
Література
- А. П. Юшкевич. История математики под редакцией. — М. : Наука.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)
- Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
- Никольский С. М. Курс математического анализа. — 1975. — Т. 1-2.
- Юшкевич А. П. О развитии понятия функции // Историко-математические исследования. — М. : Наука, 1966. — № 17 (11 липня). — С. 123—150.