Rivnomirna neperervnist v matematichnomu i funkcionalnomu analizi ce vlastivist funkciyi buti odnakovo neperervnoyu v usih tochkah oblasti viznachennya Grafik f x 1 x displaystyle f x frac 1 x peretinaye gorishnyu i dolishnyu riski obmezhuvalnogo vikna visota shirota 2 e 2 d displaystyle 2 varepsilon times 2 delta yakoyu malenkoyu ne bula b d displaystyle delta otzhe f x displaystyle f x ne rivnomirno neperervna Todi yak funkciya g x x displaystyle g x sqrt x rivnomirno neperervna Zmist 1 Oznachennya 2 Vlastivosti 3 Div takozh 4 DzherelaOznachennya RedaguvatiNehaj dano dva metrichni prostori X ϱ X displaystyle X varrho X nbsp i Y ϱ Y displaystyle Y varrho Y nbsp Funkciya f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp nazivayetsya rivnomirno neperervnoyu na pidmnozhini M X displaystyle M subset X nbsp yaksho e gt 0 d d e gt 0 x 1 x 2 M ϱ X x 1 x 2 lt d ϱ Y f x 1 f x 2 lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists delta delta varepsilon gt 0 forall x 1 x 2 in M quad bigl varrho X x 1 x 2 lt delta bigr Rightarrow bigl varrho Y f x 1 f x 2 lt varepsilon bigr nbsp Zokrema dijsnoznachna funkciya dijsnogo zminnogo f M R R displaystyle f M subset mathbb R to mathbb R nbsp rivnomirno neperervna yaksho e gt 0 d d e gt 0 x 1 x 2 M x 1 x 2 lt d f x 1 f x 2 lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists delta delta varepsilon gt 0 forall x 1 x 2 in M quad bigl x 1 x 2 lt delta bigr Rightarrow bigl f x 1 f x 2 lt varepsilon bigr nbsp Vibir d displaystyle delta nbsp u viznachenni rivnomirnoyi neperervnosti zalezhit vid e displaystyle varepsilon nbsp ale ne vid x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 nbsp Vlastivosti RedaguvatiFunkciya rivnomirno neperervna na mnozhini M displaystyle M nbsp neperervna na nij Zvorotne vzagali kazhuchi ne spravdzhuyetsya Napriklad funkciyaf x 1 x x 0 1 displaystyle f x frac 1 x x in 0 1 nbsp neperervna na vsij oblasti viznachennya ale ne ye rivnomirno neperervnoyu oskilki pri bud yakomu e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp mozhna vkazati vidrizok skilki zavgodno maloyi dovzhini takij sho na jogo kincyah znachennya funkciyi vidriznyatimutsya bilshe nizh na e displaystyle varepsilon nbsp Inshij priklad funkciya f x x 2 x displaystyle f x x 2 x in infty infty nbsp neperervna na vsij chislovij osi ale ne ye rivnomirno neperervnoyu oskilki lim x f x a x f x lim x x 2 2 a a 2 x 2 x 2 2 a displaystyle lim x to infty f left x frac a x right f x lim x to infty x 2 2a a 2 x 2 x 2 2a nbsp Dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp mozhna vibrati vidrizok yak zavgodno maloyi dovzhini e x displaystyle varepsilon x nbsp takij sho riznicya znachen funkciyi f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp na kincyah vidrizka bude bilshe e displaystyle varepsilon nbsp Zokrema na vidrizku x x e x displaystyle left x x frac varepsilon x right nbsp riznicya znachen funkciyi zbigayetsya do 2 e displaystyle 2 varepsilon nbsp Teorema Kantora Gejne Funkciya neperervna na kompaktnij pidmnozhini K X displaystyle K subset X nbsp rivnomirno neperervna na nij Zokrema yaksho f C a b displaystyle f in C bigl a b bigr nbsp to vona rivnomirno neperervna na a b displaystyle a b nbsp Nehaj f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp ce rivnomirno neperervne vidobrazhennya i x n n 1 displaystyle x n n 1 infty nbsp poslidovnist Koshi v X displaystyle X nbsp Todi f x n n 1 displaystyle bigl f x n bigr n 1 infty nbsp poslidovnist Koshi v Y displaystyle Y nbsp Bud yake lipshiceve vidobrazhennya ye rivnomirno neperervnim Div takozh RedaguvatiRivnostepeneva neperervnist Absolyutna neperervnistDzherela RedaguvatiGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1300 s ukr Burbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnomirna neperervnist amp oldid 40598026
