U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Gamma znachennya Gamma funkciya poznachayetsya velikoyu literoyu greckogo alfavitu Gamma G ye odnim iz sposobiv uzagalnennya funkciyi faktoriala do dijsnih i kompleksnih chisel iz zsuvom yiyi argumenta menshe na 1 Daniel Bernulli viviv cyu funkciyu dlya n sho ye dodatnim cilim chislom Gamma funkciya na dijsnij chastini oblasti znachenGamma funkciya meromorfna na vsij kompleksnij ploshini G n n 1 displaystyle Gamma n n 1 Hocha isnuyut i inshi podibni rozshirennya ce konkretne viznachennya ye najbilsh populyarnim i vzhivanim Gamma funkciya viznachena dlya vsih kompleksnih chisel okrim ne dodatnih cilih Dlya kompleksnih chisel iz dodatnoyu dijsnoyu chastinoyu gamma funkciya viznachayetsya cherez zbizhnij nevlasnij integral G z 0 x z 1 e x d x 0 1 ln 1 x z 1 d x displaystyle Gamma z int 0 infty x z 1 e x dx int limits 0 1 left ln frac 1 x right z 1 dx Cyu integralnu funkciyu za dopomogoyu analitichnogo prodovzhennya mozhna rozshiriti dlya vsih kompleksnih chisel krim nedodatnih cilih de funkciya maye prosti polyusi v rezultati chogo otrimuyut meromorfnu funkciyu yaku nazivayut gamma funkciyeyu Vona ne maye nuliv tozh vzayemna gamma funkciya 1 G z ye golomorfnoyu funkciyeyu Gamma funkciya vidpovidaye peretvorennyu Mellina dlya vid yemnoyi pokaznikovoyi funkciyi G z M e x z displaystyle Gamma z mathcal M e x z Gamma funkciya ye skladovoyu riznih funkcij rozpodilu imovirnostej tozh vona vikoristovuyetsya v takih oblastyah yak teoriya imovirnostej i statistika a takozh u kombinatorici Zmist 1 Motivuvannya 2 Viznachennya 2 1 Osnovne viznachennya 2 2 Alternativni viznachennya 2 2 1 Ejlerove viznachennya yak neskinchennogo dobutku 2 2 2 Viznachennya Vejyershtrassa 3 Mnozhina viznachennya 4 Chastkovi znachennya 5 Vlastivosti 5 1 Zagalni 5 2 Nerivnosti 5 3 Formula Stirlinga 6 Nablizhennya 7 Zastosuvannya dlya formuli Stirlinga 8 Istoriya 9 Div takozh 10 Dzherela 11 PrimitkiMotivuvannya Redaguvati nbsp Gamma funkciya interpolyuye funkciyu faktoriala dlya ne cilih znachen Gamma funkciyu mozhna rozglyadati yak rishennya nastupnoyi zadachi interpolyaciyi Neobhidno znajti gladku funkciyu yaka spoluchaye tochki x y zadani vidnoshennyam y x 1 pri dodatnih cilih znachennyah zminnoyi x Grafik pershih dekilkoh tochok faktorialiv dozvolyaye pripustiti sho taka kriva mozhliva ale bulo b bazhano znajti formulu yaka tochno opisuye cyu krivu v yakij kilkist operacij ne zalezhit vid rozmiru x Prostu formulu dlya faktorialu x 1 2 x ne mozhna zastosuvati napryamu dlya ne cilih znachen x oskilki vona ye dijsnoyu lishe koli x ye naturalnim chislom tobto dodatnim cilim Prosto kazhuchi ne isnuye prostogo rishennya dlya faktorialiv niyaki neskinchenni kombinaciyi sumuvannya dobutku pidnesennya u stepin pokaznikovih funkcij abo logarifmiv yaki b buli zdatni viraziti funkciyu x ale mozhna znajti zagalnu formulu dlya faktorialiv za dopomogoyu takih zasobiv yak integrali i granici iz diferencialnogo ta integralnogo chislennya Horoshim rishennyam ciyeyi zadachi ye gamma funkciya 1 Isnuye bagato sposobiv dlya poshirennya faktorialu do ne cilih znachen cherez mnozhinu okremih tochok mozhna provesti neskinchennu kilkist riznih krivih Gamma funkciya ye odnim iz samih korisnim virishennyam ciyeyi zadachi na praktici oskilki vona ye analitichnoyu funkciyeyu krim oblasti znachen ne dodatnih cilih 1 She odniyeyu vazhlivoyu osoblivistyu ciyeyi funkciyi ce te sho vona zadovolnyaye rekurentnomu spivvidnoshennyu sho viznachaye analogichnu vlastivist funkciyi faktorialu f 1 1 displaystyle f 1 1 nbsp f x 1 x f x displaystyle f x 1 xf x nbsp dlya x sho dorivnyuye bud yakomu dodatnomu dijsnomu chislu Ce dozvolyaye mnozhiti yiyi iz bud yakoyu periodichnoyu analitichnoyu funkciyeyu yaka matime znachennya odinici dlya dodatnih cilih napriklad taka funkciya yak ek sin mp x Viznachennya RedaguvatiOsnovne viznachennya Redaguvati Notaciyu G z vviv Adriyen Mari Lezhandr 1 Yaksho dijsna chastina kompleksnogo chisla z ye dodatnoyu Re z gt 0 todi integral G z 0 x z 1 e x d x displaystyle Gamma z int 0 infty x z 1 e x dx nbsp ye absolyutno zbizhnim i vidomij yak integral Ejlera drugogo rodu integral Ejlera pershogo rodu viznachaye beta funkciyu 1 Zastosuvavshi integruvannya chastinami mozhna pobachiti sho G z 1 0 x z e x d x x z e x 0 0 z x z 1 e x d x lim x x z e x 0 e 0 z 0 x z 1 e x d x displaystyle begin aligned Gamma z 1 amp int 0 infty x z e x dx 4pt amp Big x z e x Big 0 infty int 0 infty zx z 1 e x dx 4pt amp lim x to infty x z e x 0e 0 z int 0 infty x z 1 e x dx end aligned nbsp Viznachivshi sho x z e x 0 displaystyle x z e x to 0 nbsp pri tomu yak x displaystyle x to infty nbsp G z 1 z 0 x z 1 e x d x z G z displaystyle begin aligned Gamma z 1 amp z int 0 infty x z 1 e x dx 6pt amp z Gamma z end aligned nbsp Mozhemo rozrahuvati G 1 displaystyle Gamma 1 text nbsp G 1 0 x 1 1 e x d x e x 0 lim x e x e 0 0 1 1 displaystyle begin aligned Gamma 1 amp int 0 infty x 1 1 e x dx 6pt amp Big e x Big 0 infty 6pt amp lim x to infty e x e 0 6pt amp 0 1 6pt amp 1 end aligned nbsp Mayemo sho G 1 1 displaystyle Gamma 1 1 nbsp i G n 1 n G n displaystyle Gamma n 1 n Gamma n nbsp G n 1 2 3 n 1 n 1 displaystyle Gamma n 1 cdot 2 cdot 3 cdots n 1 n 1 nbsp dlya vsih dodatnih cilih chisel n Ce ye prikladom dovedennya metodom matematichnoyi indukciyi Alternativni viznachennya Redaguvati Funkciya G z displaystyle Gamma z nbsp ye neperervnim prodovzhennyam faktorialu n 1 2 n displaystyle n 1 2 n nbsp viznachenogo lishe dlya znachen n 1 2 displaystyle n 1 2 nbsp na usyu ploshinu C displaystyle mathbb C nbsp kompleksnoyi zminnoyi z x y x i y displaystyle z x y x iy nbsp Funkciya Ejlera G z displaystyle Gamma z nbsp mozhe buti viznachena odniyeyu z nizhchenavedenih formul G z 0 e t t z 1 d t R e z x gt 0 displaystyle Gamma z int 0 infty e t t z 1 dt quad mathrm Re z x gt 0 nbsp G z k 0 1 k k 1 z k 1 e t t z 1 d t z 0 1 displaystyle Gamma z sum k 0 infty frac 1 k k frac 1 z k int 1 infty e t t z 1 dt quad quad forall z neq 0 1 nbsp 1 G z lim k z z 1 z k 1 k k z 1 displaystyle frac 1 Gamma z lim k rightarrow infty frac z z 1 cdot cdot cdot z k 1 k k z 1 nbsp Vona zadovilnyaye nastupnim spivvidnoshennyam G z 1 z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z nbsp G z G 1 z p sin p z displaystyle Gamma z Gamma 1 z frac pi sin pi z nbsp 2 2 z 1 G z G z 1 2 p G 2 z displaystyle 2 2z 1 Gamma z Gamma z frac 1 2 sqrt pi Gamma 2z nbsp Oskilki G n 1 n displaystyle Gamma n 1 n nbsp to G z 1 displaystyle Gamma z 1 nbsp poznachayetsya yak z displaystyle z nbsp Vidpovidno do viznachennya faktorialu z G z 1 0 1 displaystyle z Gamma z 1 0 1 nbsp Binomialnij koeficiyent C z n displaystyle C z n nbsp virazhayetsya cherez gama funkciyu nastupnim chinom C z n G n 1 n G z n 1 z n z n 1 n G n z n G z displaystyle C z n frac Gamma n 1 n Gamma z n 1 frac z n z n frac 1 n Gamma n z n Gamma z nbsp Mozhna takozh predstaviti integral cherez gama funkciyuB z ϑ 0 1 t z 1 1 t ϑ 1 d t R e ϑ gt 0 displaystyle B z vartheta int 0 1 t z 1 1 t vartheta 1 dt quad quad mathrm Re vartheta gt 0 nbsp yakij maye nazvu Beta funkciyi Takim chinom B z ϑ G z G ϑ G z ϑ displaystyle B z vartheta frac Gamma z Gamma vartheta Gamma z vartheta nbsp 2 Ejlerove viznachennya yak neskinchennogo dobutku Redaguvati Pri poshuku nablizhennya dlya z dlya kompleksnogo chisla z viyavlyayetsya sho prostishe spochatku porahuvati n dlya deyakogo velikogo cilogo chisla n a potim vikoristati ce dlya aproksimaciyi znachennya dlya n z pislya chogo vikoristati rekurentne rivnyannya m m m 1 u zvorotnomu poryadku n raziv dlya togo shob zreshtoyu aproksimuvati z Krim togo cya aproksimaciya staye tochnoyu dlya granici iz tim yak n pryamuye do neskinchennosti Zokrema dlya deyakogo cilogo chisla m bude tak sho lim n n n 1 m n m 1 displaystyle lim n to infty frac n n 1 m n m 1 nbsp i mi hochemo shob ta sama formula vikonuvalasya yaksho dovilne cile m bude zamineno na dovilne kompleksne chislo z lim n n n 1 z n z 1 displaystyle lim n to infty frac n n 1 z n z 1 nbsp Pomnozhivshi obidvi chastini na z otrimayemo z lim n n z n z n 1 z lim n 1 n 1 z n z n 1 z lim n 1 n 1 z n z 1 1 1 1 1 2 1 1 n z n 1 1 1 z n 1 1 n z displaystyle begin aligned z amp lim n to infty n frac z n z n 1 z 8pt amp lim n to infty frac 1 cdots n 1 z cdots n z n 1 z 8pt amp lim n to infty frac 1 cdots n 1 z cdots n z left left 1 frac 1 1 right left 1 frac 1 2 right cdots left 1 frac 1 n right right z 8pt amp prod n 1 infty left frac 1 1 frac z n left 1 frac 1 n right z right end aligned nbsp Cya formula iz neskinchennim dobutkom ye zbizhnoyu dlya vsih kompleksnih chisel z krim vid yemnih cilih oskilki pri sprobi vikoristati rekurentne vidnoshennya m m m 1 v zvorotnomu poryadku do znachennya m 0 prizvede do dilennya na nul Analogichno i gamma funkciya viznachena vidpovidno do Ejlera yak neskinchennij dobutok bude spravedlivoyu dlya vsih kompleksnih chisel z displaystyle z nbsp za viklyuchennyam nedodatnih cilih G z 1 z n 1 1 1 n z 1 z n displaystyle Gamma z frac 1 z prod n 1 infty frac left 1 frac 1 n right z 1 frac z n nbsp Pri takij konstrukciyi gamma funkciya ye unikalnoyu funkciyeyu yaka odnochasno zadovolnyaye rivnyannyam G 1 1 displaystyle Gamma 1 1 nbsp G z 1 z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z nbsp dlya vsih kompleksnih chisel z displaystyle z nbsp krim ne dodatnih cilih i lim n G n z n 1 n z 1 displaystyle lim n to infty frac Gamma n z n 1 n z 1 nbsp dlya vsih kompleksnih chisel z displaystyle z nbsp 1 Rivnyannya G z G z 1 z displaystyle Gamma z frac Gamma z 1 z nbsp mozhna vikoristati dlya odnoznachnogo rozshirennya integralnoyi formuli dlya G z do meromorfnoyi funkciyi viznachenoyi dlya vsih kompleksnih chisel z krim cilih sho menshi abo rivni nulyu 1 Same cya rozshirena versiya yak pravilo nazivayetsya gamma funkciyeyu 1 Viznachennya Vejyershtrassa Redaguvati Viznachennya gamma funkciyi yake dav Vejyershtrass takozh ye dijsnim dlya vsih kompleksnih chisel z krim nedodatnih cilih G z e g z z n 1 1 z n 1 e z n displaystyle Gamma z frac e gamma z z prod n 1 infty left 1 frac z n right 1 e z n nbsp de g 0 577216 displaystyle gamma approx 0 577216 nbsp Stala Ejlera Maskeroni 1 Mnozhina viznachennya RedaguvatiIntegral yakim viznachayetsya gama funkciya ye nevlasnim i zbigayetsya pri Re z gt 0 displaystyle text Re z gt 0 nbsp Odnak vikoristovuyuchi rekurentne spivvidnoshennya G z 1 z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z nbsp yiyi mozhna prodovzhiti na vsyu kompleksnu ploshinu za vinyatkom tochok z n displaystyle z n nbsp de n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 ldots nbsp Gamma funkciya ye neperervnoyu funkciyeyu z prostoru neperervnih funkcionaliv Chebishova Vona ye stijkoyu za Adamarom virazhayetsya za tretim zakonom Lopitalya Chastkovi znachennya RedaguvatiOsoblivo vazhlivi chastkovi znachennya gama funkciyi v pevnih tochkah G 1 0 1 displaystyle Gamma 1 0 1 nbsp za oznachennyam G 2 1 displaystyle Gamma 2 1 nbsp G 1 2 p displaystyle Gamma 1 2 sqrt pi nbsp G 3 2 p 2 displaystyle Gamma 3 2 frac sqrt pi 2 nbsp G n n 1 displaystyle Gamma n n 1 nbsp div takozh faktorial G n G 1 n p sin n p displaystyle Gamma n Gamma 1 n frac pi sin n pi nbsp G n 1 2 1 3 5 2 n 3 2 n 1 p 2 n displaystyle Gamma left n frac 1 2 right 1 cdot 3 cdot 5 cdot cdot 2n 3 2n 1 frac sqrt pi 2 n nbsp de n displaystyle n nbsp cile dodatne chisloVlastivosti RedaguvatiZagalni Redaguvati Vazhlivim funkcionalnim rivnyannyam dlya gamma funkciyi ye Yejlerova formula vidobrazhennya en G 1 z G z p sin p z z Z displaystyle Gamma 1 z Gamma z pi over sin pi z qquad z not in mathbb Z nbsp z yakoyi viplivaye G e n 1 n 1 G e G 1 e G n 1 e displaystyle Gamma varepsilon n 1 n 1 frac Gamma varepsilon Gamma 1 varepsilon Gamma n 1 varepsilon nbsp i Formula podvoyennya Lagranzha en G z G z 1 2 2 1 2 z p G 2 z displaystyle Gamma z Gamma left z tfrac 1 2 right 2 1 2z sqrt pi Gamma 2z nbsp Dovedennya Yejlerovoyi formuli vidobrazhennyaOskilki e t lim n 1 t n n displaystyle e t lim n to infty left 1 frac t n right n nbsp gamma funkciyu mozhna predstaviti yak G z lim n 0 n t z 1 1 t n n d t displaystyle Gamma z lim n to infty int 0 n t z 1 left 1 frac t n right n dt nbsp Prointegruvavshi po chastinam n 1 displaystyle n 1 nbsp raziv otrimayemo G z lim n n n z n 1 n z 1 n 2 n z 2 1 n z n 1 0 n t z n 1 d t displaystyle Gamma z lim n to infty frac n nz frac n 1 n z 1 frac n 2 n z 2 cdots frac 1 n z n 1 int 0 n t z n 1 dt nbsp sho dorivnyuye G z lim n n n k 0 n z k 1 n z n displaystyle Gamma z lim n to infty frac n n prod k 0 n z k 1 n z n nbsp Ce mozhna perepisati nastupnim chinom G z lim n n z z k 1 n k z k lim n n z z k 1 n 1 1 z k displaystyle Gamma z lim n to infty frac n z z prod k 1 n frac k z k lim n to infty frac n z z prod k 1 n frac 1 1 frac z k nbsp Potim vikoristavshi funkcionalne rivnyannya dlya gamma funkciyi otrimayemo z G z G z G 1 z G z lim n 1 z k 1 n 1 1 z 2 k 2 displaystyle z Gamma z Gamma z Gamma 1 z Gamma z lim n to infty frac 1 z prod k 1 n frac 1 1 frac z 2 k 2 nbsp Vikoristavshi rozkladannya u ryad Fur ye funkciyu cos a x displaystyle cos ax nbsp mozhna predstaviti nastupnim chinom cos a x sin p a p a n 1 1 p sin p n a n a sin p n a n a cos n x displaystyle cos ax frac sin pi a pi a sum n 1 infty frac 1 pi left frac sin pi n a n a frac sin pi n a n a right cos nx nbsp de a Z displaystyle a not in mathbb Z nbsp i x p p displaystyle x in pi pi nbsp Vikoristavshi trigonometrichni totozhnosti cej viraz mozhna sprostiti nastupnim chinom cos a x sin p a p a 2 a sin p a p n 1 1 n cos n x a 2 n 2 displaystyle cos ax frac sin pi a pi a frac 2a sin pi a pi sum n 1 infty frac 1 n cos nx a 2 n 2 nbsp Yaksho prijnyati sho x p displaystyle x pi nbsp i rozdiliti rivnyannya na sin p a displaystyle sin pi a nbsp otrimayemo p cot p a 1 a 2 a n 1 1 a 2 n 2 displaystyle pi cot pi a frac 1 a 2a sum n 1 infty frac 1 a 2 n 2 nbsp Teper vikonayemo zaminu a m p displaystyle a frac m pi nbsp shob otrimati cot m 1 m 2 m n 1 1 m 2 n 2 p 2 displaystyle cot m frac 1 m 2m sum n 1 infty frac 1 m 2 n 2 pi 2 nbsp Prointegruvavshi obidvi storoni po intervalu vid 0 displaystyle 0 nbsp do z displaystyle z nbsp i zvivshi do stepenya otrimayemo sin z z n 1 1 z 2 n 2 p 2 k 1 1 z 2 k 2 p 2 displaystyle frac sin z z prod n 1 infty left 1 frac z 2 n 2 pi 2 right prod k 1 infty left 1 frac z 2 k 2 pi 2 right nbsp Todi p sin p z lim n 1 z k 1 n 1 1 z 2 k 2 displaystyle frac pi sin pi z lim n to infty frac 1 z prod k 1 n frac 1 1 frac z 2 k 2 nbsp Zvidsi viplivaye formula vidobrazhennya Ejlera G 1 z G z p sin p z z Z displaystyle Gamma 1 z Gamma z frac pi sin pi z qquad z not in mathbb Z nbsp Dovedennya formuli mnozhennya LagranzhaBeta funkciyu mozhna predstaviti nastupnim chinom B z 1 z 2 G z 1 G z 2 G z 1 z 2 0 1 t z 1 1 1 t z 2 1 d t displaystyle mathrm B z 1 z 2 frac Gamma z 1 Gamma z 2 Gamma z 1 z 2 int 0 1 t z 1 1 1 t z 2 1 dt nbsp Yaksho zadati z 1 z 2 z displaystyle z 1 z 2 z nbsp otrimayemo G 2 z G 2 z 0 1 t z 1 1 t z 1 d t displaystyle frac Gamma 2 z Gamma 2z int 0 1 t z 1 1 t z 1 dt nbsp Vikonavshi zaminu t 1 x 2 displaystyle t frac 1 x 2 nbsp otrimayemo G 2 z G 2 z 1 2 2 z 1 1 1 1 x 2 z 1 d x displaystyle frac Gamma 2 z Gamma 2z frac 1 2 2z 1 int 1 1 left 1 x 2 right z 1 dx nbsp Funkciya 1 x 2 z 1 displaystyle left 1 x 2 right z 1 nbsp ye parnoyu oskilki 2 2 z 1 G 2 z 2 G 2 z 0 1 1 x 2 z 1 d x displaystyle 2 2z 1 Gamma 2 z 2 Gamma 2z int 0 1 left 1 x 2 right z 1 dx nbsp Teper pripustimo B 1 2 z 0 1 t 1 2 1 1 t z 1 d t t s 2 displaystyle mathrm B left frac 1 2 z right int 0 1 t frac 1 2 1 1 t z 1 dt quad t s 2 nbsp Todi B 1 2 z 2 0 1 1 s 2 z 1 d s 2 0 1 1 x 2 z 1 d x displaystyle mathrm B left frac 1 2 z right 2 int 0 1 left 1 s 2 right z 1 ds 2 int 0 1 left 1 x 2 right z 1 dx nbsp Zvidsi viplivaye 2 2 z 1 G 2 z G 2 z B 1 2 z displaystyle 2 2z 1 Gamma 2 z Gamma 2z mathrm B left frac 1 2 z right nbsp Oskilki B 1 2 z G 1 2 G z G z 1 2 G 1 2 p displaystyle mathrm B left frac 1 2 z right frac Gamma left frac 1 2 right Gamma z Gamma left z frac 1 2 right quad Gamma left frac 1 2 right sqrt pi nbsp zvidsi otrimayemo formulu podvoyennya Lagranzha G z G z 1 2 2 1 2 z p G 2 z displaystyle Gamma z Gamma left z frac 1 2 right 2 1 2z sqrt pi Gamma 2z nbsp Formula podvoyennya ye osoblivim vipadkom teoremi pro mnozhennya Lagranzha en div 3 Eq 5 5 6 k 0 m 1 G z k m 2 p m 1 2 m 1 2 m z G m z displaystyle prod k 0 m 1 Gamma left z frac k m right 2 pi frac m 1 2 m frac 1 2 mz Gamma mz nbsp Prostoyu ale korisnoyu vlastivistyu yaka viplivaye iz viznachennya granici ce G z G z G z G z R displaystyle overline Gamma z Gamma overline z Rightarrow Gamma z Gamma overline z in mathbb R nbsp Zokrema pri z a bi cej dobutok dorivnyuye G a b i 2 G a 2 k 0 1 1 b 2 a k 2 G b i 2 p b sinh p b G 1 2 b i 2 p cosh p b displaystyle begin aligned Gamma a bi 2 amp Gamma a 2 prod k 0 infty frac 1 1 frac b 2 a k 2 4pt Gamma bi 2 amp frac pi b sinh pi b 6pt Gamma left tfrac 1 2 bi right 2 amp frac pi cosh pi b end aligned nbsp Odnim iz samih vidomih znachen gamma funkciyi dlya necilogo argumenta ye G 1 2 p displaystyle Gamma left tfrac 1 2 right sqrt pi nbsp yake otrimuyut yaksho zadati z 1 2 u formulah vidobrazhennya abo podvoyennya vikoristavshi rivnyannya dlya beta funkciyi iz x y 1 2 abo vikonavshi zaminu u x u viznachenni integralu gamma funkciyi iz chogo v rezultati otrimayut Gausiv integral U zagalnomu vipadku dlya nevid yemnih cilih chisel n mayemo G 1 2 n 2 n 4 n n p 2 n 1 2 n p n 1 2 n n p G 1 2 n 4 n n 2 n p 2 n 2 n 1 p p 1 2 n n displaystyle begin aligned Gamma left tfrac 1 2 n right amp 2n over 4 n n sqrt pi frac 2n 1 2 n sqrt pi n frac 1 2 choose n n sqrt pi 8pt Gamma left tfrac 1 2 n right amp 4 n n over 2n sqrt pi frac 2 n 2n 1 sqrt pi frac sqrt pi frac 1 2 choose n n end aligned nbsp de n poznachaye podvijnij faktorial vid n Koli n 0 n 1 Mozhe zdavatisya sho poglyanuvshi na formulu rezultat G 1 2 p mozhna uzagalniti dlya inshih okremih znachen G r de r ye racionalnim chislom Odnak ci chisla ne mozhna viraziti cherez samih sebe v ramkah elementarnih funkcij Bulo dovedeno sho G n r ye transcendentnim chislom i algebrayichno nezalezhnim vid p dlya bud yakogo cilogo n i bud yakogo drobu iz r 1 6 1 4 1 3 2 3 3 4 5 6 4 U zagalnomu vipadku dlya rozrahunku znachen gamma funkciyi neobhidno zastosovuvati chislovu aproksimaciyu Inshoyu korisnoyu graniceyu dlya asimptotichnogo nablizhennya ye lim n G n a G n n a 1 a C displaystyle lim n to infty frac Gamma n alpha Gamma n n alpha 1 qquad alpha in mathbb C nbsp Pohidni gamma funkciyi mozhna opisati za dopomogoyu poligamma funkciyi Napriklad G z G z ps 0 z displaystyle Gamma z Gamma z psi 0 z nbsp Dlya dodatnogo cilogo chisla m pohidnu gamma funkciyi mozhna rozrahuvati nastupnim chinom tut g ce Stala Ejlera Maskeroni G m 1 m g k 1 m 1 k displaystyle Gamma m 1 m left gamma sum k 1 m frac 1 k right nbsp Dlya Re x gt 0 n a pohidna gamma funkciyi dorivnyuye nbsp Pohidna funkciyi G z d n d x n G x 0 t x 1 e t ln t n d t displaystyle frac d n dx n Gamma x int 0 infty t x 1 e t ln t n dt nbsp Ce mozhna otrimati za dopomogoyu diferenciyuvannya integralu dlya gamma funkciyi po zminnij x i vikoristavshi integralne pravilo Lejbnica Vikoristavshi rivnyannya G n 1 1 n n p n i 1 r z a i k i a i z x z x x 1 g x 1 displaystyle Gamma n 1 1 n n sum limits pi vdash n prod i 1 r frac zeta a i k i cdot a i qquad zeta x begin cases zeta x amp x neq 1 gamma amp x 1 end cases nbsp de z z dzeta funkciya Rimana iz rozbittyam p a 1 a 1 k 1 a r a r k r displaystyle pi underbrace a 1 dots a 1 k 1 dots underbrace a r dots a r k r nbsp zokrema mayemo G z 1 z g 1 2 g 2 p 2 6 z 1 6 g 3 g p 2 2 2 z 3 z 2 O z 3 displaystyle Gamma z frac 1 z gamma tfrac 1 2 left gamma 2 frac pi 2 6 right z tfrac 1 6 left gamma 3 frac gamma pi 2 2 2 zeta 3 right z 2 O z 3 nbsp Nerivnosti Redaguvati Yaksho obmezhitisya dodatnimi cilimi chislami gamma funkciya ye suvoro logarifmichno opukloyu funkciyeyu Cyu vlastivist mozhna viznachiti za dopomogoyu troh navedenih ekvivalentnih nerivnostej Dlya bud yakih dvoh dodatnih dijsnih chisel x1 i x2 i dlya bud yakogo t 0 1 G t x 1 1 t x 2 G x 1 t G x 2 1 t displaystyle Gamma tx 1 1 t x 2 leq Gamma x 1 t Gamma x 2 1 t nbsp Krim togo cya nerivnist bude tochnoyu dlya t 0 1 Dlya bud yakih dvoh dodatnih dijsnih chisel x i y pri y gt x G y G x 1 y x gt exp G x G x displaystyle left frac Gamma y Gamma x right frac 1 y x gt exp left frac Gamma x Gamma x right nbsp Dlya bud yakogo dodatnogo dijsnogo chisla x G x G x gt G x displaystyle Gamma x Gamma x gt Gamma x nbsp Ostanni dva tverdzhennya viplivayut iz viznachennya tak samo yak i tverdzhennya sho ps 1 x gt 0 displaystyle psi 1 x gt 0 nbsp de ps 1 displaystyle psi 1 nbsp ce poligamma funkciya poryadku 1 Abi dovesti logarifmichnu opuklist gamma funkciyi dostatno sposterigati sho ps 1 displaystyle psi 1 nbsp maye ryad predstavlen dlya yakih pri dodatnomu dijsnomu x vona skladayetsya lishe iz dodatnih termiv Logarifmichna opuklist i nerivnist Yensena razom oznachayut sho dlya bud yakih dodatnih dijsnih chisel x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp and a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp G a 1 x 1 a n x n a 1 a n G x 1 a 1 G x n a n 1 a 1 a n displaystyle Gamma left frac a 1 x 1 cdots a n x n a 1 cdots a n right leq bigl Gamma x 1 a 1 cdots Gamma x n a n bigr frac 1 a 1 cdots a n nbsp Isnuyut takozh obmezhennya vidnoshennya gamma funkcij Najvidomishim ye Nerivnist Gautsi en yaka stverdzhuye sho dlya bud yakogo dodatnogo cilogo chisla x i bud yakogos 0 1 x 1 s lt G x 1 G x s lt x 1 1 s displaystyle x 1 s lt frac Gamma x 1 Gamma x s lt x 1 1 s nbsp Formula Stirlinga Redaguvati nbsp Predstavlennya gamma funkciyi u kompleksnij ploshini Kozhna tochka z displaystyle z nbsp zabarvlena vidpovidno do znachennya argumenta G z displaystyle Gamma z nbsp Takozh pokazano konturnij grafik dlya modulya G z displaystyle Gamma z nbsp nbsp 3 vimirnij grafik absolyutnih znachen kompleksnoyi gamma funkciyiPovedinka funkciyi G z displaystyle Gamma z nbsp dlya zrostayuchih cilih znachen zminnoyi ye prostoyu vona zrostaye dosit shvidko shvidshe za pokaznikovu funkciyu Asimptotichno pri z displaystyle z to infty nbsp velichina gamma funkciyi zadayetsya za dopomogoyu formuli Stirlinga G z 1 2 p z z e z displaystyle Gamma z 1 sim sqrt 2 pi z left frac z e right z nbsp de simvol displaystyle sim nbsp zadaye vidnoshennya z yakim obidvi storoni zbigayutsya do 1 1 abo asimptotichno shodyatsya Nablizhennya Redaguvati nbsp Porivnyannya gamma funkcih sinya liniya iz faktorialom sini tochki i nablizhennya Stirlinga chervona liniya Kompleksni znachennya gamma funkciyi mozhna obchisliti chiselnim sposobom iz dovilnoyu tochnistyu vikoristovuyuchi formulu Stirlinga abo nablizhennya Lancosa en Gamma funkciyu mozhna obrahuvati iz staloyu tochnistyu dlya Re z 1 2 zastosuvavshi do integrala Ejlera metod integruvannya chastinami Dlya bud yakogo dodatnogo chisla x gamma funkciyu mozhna zapisati yak G z 0 x e t t z d t t x e t t z d t t x z e x n 0 x n z z 1 z n x e t t z d t t displaystyle begin aligned Gamma z amp int 0 x e t t z frac dt t int x infty e t t z frac dt t amp x z e x sum n 0 infty frac x n z z 1 cdots z n int x infty e t t z frac dt t end aligned nbsp Koli Re z 1 2 i x 1 absolyutne znachennya ostannogo integralu ye menshim za x 1 e x Yaksho vibrati dostatno velike x cej viraz mozhe buti menshim za 2 N dlya bud yakogo bazhanogo znachennya N Tozh za dopomogoyu vishevkazanogo ryadu gamma funkciyu mozhna obrahuvati do N bitiv tochnosti Shvidkij algoritm dlya rozrahunku Ejlerovoyi gamma funkciyi dlya bud yakogo algebrayichnogo argumentu v tomu chisli racionalnogo E A Karacuba 5 6 7 Dlya argumentiv yaki ye cilimi kratnimi dlya 1 24 gamma funkciyu takozh mozhna shvidko rozrahuvati vikoristavshi iteraciyi dlya serednogo arifmetiko geometrichnogo Zastosuvannya dlya formuli Stirlinga RedaguvatiNastupnij rozklad v ryad gamma funkciyi dlya velikih cilih x displaystyle x nbsp daye asimptotichnij viraz dlya formuli Stirlinga sho vikoristovuyetsya dlya obchislennya faktorialu cilogo chisla G n 1 n 2 p n n e n 1 1 12 n 1 288 n 2 139 51840 n 3 571 2488320 n 4 O n 5 displaystyle Gamma n 1 n sqrt 2 pi n left frac n e right n left 1 frac 1 12n frac 1 288n 2 frac 139 51840n 3 frac 571 2488320n 4 O left n 5 right right nbsp Istoriya RedaguvatiPoznachennya gama funkciyi vviv u obig Lezhandr Div takozh RedaguvatiPoligamma funkciya Beta funkciya Nevlasnij integral Integral Rimana Integralne chislennya Bor Molerupova teorema Nepovna gamma funkciya Suma GaussaDzherela RedaguvatiPidkujko Sergij 2004 Matematichnij analiz T 1 Mnozhini Dijsni chisla Granicya poslidovnosti Granicya funkciyi Neperervnist funkciyi Diferencialne chislennya funkcij odniyeyi zminnoyi Lviv Galicka vidavnicha spilka s 530 ISBN 966 7893 26 HPerevirte znachennya isbn dovidka Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1300 s ukr Primitki Redaguvati a b v g d e zh i k Davis P J 1959 Leonhard Euler s Integral A Historical Profile of the Gamma Function American Mathematical Monthly 66 10 849 869 doi 10 2307 2309786 Arhiv originalu za 7 listopada 2012 Procitovano 3 grudnya 2016 A M Nahushev Uravneniya matematicheskoj biologii Shablon Dlmf Waldschmidt M 2006 Transcendence of Periods The State of the Art Pure Appl Math Quart 2 2 435 463 doi 10 4310 pamq 2006 v2 n2 a3 Arhiv originalu za 17 kvitnya 2012 Procitovano 10 bereznya 2019 nbsp E A Karatsuba Fast evaluation of transcendental functions Probl Inf Transm Vol 27 No 4 pp 339 360 1991 E A Karatsuba On a new method for fast evaluation of transcendental functions Russ Math Surv Vol 46 No 2 pp 246 247 1991 E A Karatsuba Fast Algorithms and the FEE Method Arhivovano 2 kvitnya 2021 u Wayback Machine nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Gamma funkciya amp oldid 40456013
