У математиці під сумою Гаусса розуміють певний вид скінченних сум коренів з одиниці, як правило, записаних у вигляді
Тут сума береться за всіма елементами r деякого скінченного комутативного кільця R, ψ(r) — гомоморфізм адитивної групи R+ в одиничне коло, χ(r) — гомоморфізм групи одиниць R× в одиничне коло, розширене елементом 0. Суми Гаусса є аналогом гама-функцій для випадку скінченних полів.
Ці суми часто зустрічаються в теорії чисел, зокрема, у функціональних рівняннях L-функцій Діріхле.
Карл Фрідріх Гаусс використовував властивості сум для розв'язування деяких задач теорії чисел, зокрема він застосував їх в одному з доведень квадратичного закону взаємності. Спочатку під сумами Гаусса мали на увазі квадратичні суми Гаусса, для яких R — поле лишків за модулем p, а χ - символ Лежандра. Для цього випадку Гаусс показав, що G(χ) = p1/2 або ip1/2 коли p порівнянне з 1 або 3 за модулем 4 відповідно.
Альтернативна форма запису суми Гаусса:
Загальну теорію сум Гаусса розроблено на початку XIX століття з використанням сум Якобі та їх розкладів на прості у кругових полях.
Значення сум Гаусса для теорії чисел виявлено лише в 1920-х роках. У цей час Герман Вейль застосував для дослідження рівномірних розподілів загальніші тригонометричні суми, згодом названі сумами Вейля. Тоді ж І. М. Виноградов використав суми Гаусса для отримання оцінки зверху найменшого квадратичного нелишку за модулем р. Суми Гаусса дозволяють установити зв'язок між двома важливими об'єктами теорії чисел: мультиплікативними та адитивними характерами. Квадратичні суми Гаусса тісно пов'язані з теорією θ-функцій.
Абсолютне значення сум Гаусса зазвичай знаходять за допомогою теореми Планшереля для скінченних груп. У випадку, коли R — поле з p елементів і χ нетривіальний, абсолютне значення дорівнює p1/2. Обчислення точного значення загальних сум Гаусса є непростою задачею.
Властивості сум Гаусса для характеру Діріхле Редагувати
Сума Гаусса для характеру Діріхле за модулем N
Якщо χ — примітивний, то
і, зокрема, не дорівнює нулю. Загальніше, якщо N0 — кондуктор характеру χ і χ 0 — примітивний характер Диріхле за модулем N0, що індукує χ, то
де μ — функція Мебіуса.
З цього випливає, що G(χ) не дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли N/N 0 вільне від квадратів і взаємно просте з N0.
Виконується також співвідношення
де χ — комплексне спряження характеру Діріхле.
Якщо χ′ — характер Діріхле за модулем N′, такий що N та N′ взаємно прості, то
Див. також Редагувати
- Теорема Човли — Морделла[en]
- Еліптична сума Гаусса[en]
Література Редагувати
- Berndt, B. C.[en]; Evans, R. J.; Williams, K. S. Gauss and Jacobi Sums. — Wiley, 1998. — (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts) — ISBN 0-471-12807-4.
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael. A Classical Introduction to Modern Number Theory. — 2nd. — Springer-Verlag, 1990. — Т. 84. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-97329-X.
- Section 3.4 of Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic number theory. American Mathematical Society Colloquium Publications 53. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0. MR 2061214. Zbl 1059.11001.
- Artin E.,Tate J., Class field theory, N. Y.-Amst., 1967
- Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956 (рос.)
- Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971 (рос.)
- Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971 (рос.)
- Прахар К. Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967 (рос.)
- Хассе Г. Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953 (рос.)
Кондуктор характеру Редагувати
- Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969 (рос.)
- Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые, пер. с англ., М., 1973 (рос.)