www.wikidata.uk-ua.nina.az

Корінь з одиниці Корінь n го степеня з одиниці комплексний корінь многочлена x n 1 n 1 displaystyle x n 1 n geqslant 1 І

Корінь з одиниці

Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена . Іншими словами, це комплексне число , для якого

Корені п'ятого степеня з одиниці (вершини пятикутника)

Запис Редагувати

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

Тоді за формулою Муавра

одержимо:

Тут  — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна , і всі вони різні.

Властивості Редагувати

Геометричні властивості Редагувати

Алгебраїчні властивості Редагувати

  • Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
  • Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
  • Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків . Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент , індекс якого взаємно простий .
  • Якщо , то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці має місце формула:

Приклади Редагувати

Кубічні корені з одиниці

Кубічні корені з одиниці:

Корені 4-го степеня з одиниці:

Для коренів 5-го степеня є 4 первісні елементи:

Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Korin n go stepenya z odinici kompleksnij korin mnogochlena x n 1 n 1 displaystyle x n 1 n geqslant 1 Inshimi slovami ce kompleksne chislo x displaystyle x dlya yakogoKoreni p yatogo stepenya z odinici vershini pyatikutnika x n 1 displaystyle x n 1 Zmist 1 Zapis 2 Vlastivosti 2 1 Geometrichni vlastivosti 2 2 Algebrayichni vlastivosti 2 3 Prikladi 3 Div takozh 4 DzherelaZapis RedaguvatiPredstavimo odinicyu v trigonometrichnomu viglyadi 1 cos 0 i sin 0 displaystyle 1 cos 0 i sin 0 nbsp Todi za formuloyu Muavra cos x i sin x n cos n x i sin n x displaystyle cos x i sin x n cos nx i sin nx nbsp oderzhimo u k cos 2 p k n i sin 2 p k n k 0 1 n 1 displaystyle u k cos frac 2 pi k n i sin frac 2 pi k n quad k 0 1 n 1 nbsp Tut u k displaystyle u k nbsp koreni z odinici Koreni z odinici mozhna takozh zapisati v pokaznikovij formi u k e 2 p k i n k 0 1 n 1 displaystyle u k e frac 2 pi ki n quad k 0 1 n 1 nbsp Z cih formul viplivaye sho kilkist koreniv n go stepenya z odinici zavzhdi rivna n displaystyle n nbsp i vsi voni rizni Vlastivosti RedaguvatiGeometrichni vlastivosti Redaguvati Modul kozhnogo korenya rivnij 1 Na kompleksnij ploshini koreni z odinici utvoryuyut vershini pravilnogo mnogokutnika vpisanogo v odinichne kolo Odniyeyu z vershin zavzhdi ye odinicya Yaksho u k displaystyle u k nbsp korin z odinici to spryazhene do nogo chislo u k displaystyle overline u k nbsp tezh korin z odinici Algebrayichni vlastivosti Redaguvati Koreni z odinici cili algebrayichni chisla Koreni z odinici utvoryuyut abelevu grupu shodo operaciyi mnozhennya Obernenij element dlya kozhnogo elementu ciyeyi grupi rivnij spryazhenomu elementu Zokrema bud yakij cilij stepin korenya z odinici tezh ye korenem z odinici Grupa koreniv z odinici izomorfna aditivnij grupi lishkiv Z n displaystyle mathbb Z n nbsp Zvidsi viplivaye sho vona ye ciklichnoyu grupoyu za porodzhuyuchij element grupi mozhe buti vzyatij dovilnij element u k displaystyle u k nbsp indeks k displaystyle k nbsp yakogo vzayemno prostij n displaystyle n nbsp Naslidki element u 1 displaystyle u 1 nbsp zavzhdi ye pervisnim yaksho n displaystyle n nbsp proste chislo to stepeni bud yakogo korenya okrim 1 displaystyle pm 1 nbsp ohoplyuyut vsyu grupu chislo pervisnih koreniv rivne f n displaystyle varphi n nbsp de f displaystyle varphi nbsp funkciya Ejlera Yaksho n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp to dlya sumi stepeniv bud yakogo pervisnogo korenya z odinici u displaystyle u nbsp maye misce formula k 0 n 1 u k u n 1 u 1 0 displaystyle sum k 0 n 1 u k frac u n 1 u 1 0 nbsp Prikladi Redaguvati nbsp Kubichni koreni z odiniciKubichni koreni z odinici 1 1 i 3 2 1 i 3 2 displaystyle left 1 frac 1 i sqrt 3 2 frac 1 i sqrt 3 2 right nbsp Koreni 4 go stepenya z odinici 1 i 1 i displaystyle left 1 i 1 i right nbsp Dlya koreniv 5 go stepenya ye 4 pervisni elementi e 2 p i k 5 k 1 2 3 4 u 5 1 4 v 5 u 5 8 i u v 1 1 displaystyle left e 2 pi ik over 5 k in 1 2 3 4 right left left frac u sqrt 5 1 4 v sqrt frac 5 u sqrt 5 8 i right u v in 1 1 right nbsp Dlya koreniv 6 go stepenya pervisnih elementiv tilki dva 1 i 3 2 1 i 3 2 displaystyle left frac 1 i sqrt 3 2 frac 1 i sqrt 3 2 right nbsp Div takozh RedaguvatiGrupa Pryufera Ikosiani Krugove pole Mnogochlen podilu kola Suma GaussaDzherela RedaguvatiVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Milne James S 1998 Algebraic Number Theory Course Notes Arhiv originalu za 27 serpnya 2010 Procitovano 12 serpnya 2010 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Korin z odinici amp oldid 40171326