www.wikidata.uk-ua.nina.az

Абелева група комутативна група група операція в якій задовольняє умові комутативності Названа на честь Нільса Абеля що

Абелева група

Абелева група (комутативна група) — група, операція в якій задовольняє умові комутативності. Названа на честь Нільса Абеля, що встановив роль таких груп в теорії розв'язності алгебричних рівнянь у радикалах. Зазвичай для позначення операції в абелевій групі використовується адитивний запис, тобто знак + для самої операції, що називається додаванням, знак 0 для нейтрального елементу, що називається нулем.

Теорія абелевих груп, що бере свій початок в теорії чисел, знаходить застосування в багатьох математичних теоріях.

Розвиток теорії модулів нерозривно пов'язаний з абелевими групами як модулями над кільцем цілих чисел. Багато результатів теорії абелевих груп вдається перенести на випадок модулів над кільцем головних ідеалів.

Теорія двоїстості характерів скінченних абелевих груп одержала глибокий розвиток в теорії двоїстості для топологічних локально компактних груп. Розвиток гомологічної алгебри дозволив вирішити ряд проблем в теорії абелевих груп, наприклад, дати опис множин всіх розширень однієї групи за допомогою іншої.

Приклади

Види абелевих груп

Вільна абелева група — пряма сума деякої множини нескінченних циклічних груп.

Довільна підгрупа вільної абелевої групи — вільна абелева група. Сукупність всіх елементів скінченного порядку абелевої групи утворює підгрупу, що називається підгрупою кручення абелевої групи. Факторгрупа абелевої групи по її підгрупі кручення є групою без кручення. Таким чином довільна абелева група — розширення періодичної абелевої групи при допомозі абелевої групи без кручення. Підгрупа кручень, взагалі кажучи, не виділяється у вигляді прямого доданку.

Періодична абелева група порядки всіх елементів якої є степенями фіксованого простого числа p, називається примарною по простому числу p (у загальній теорії груп використовується термін р-група). Всяка періодична абелева група може бути розкладена, притому єдиним способом у пряму суму примарних груп, що відносяться до різних простих чисел.

Скінченні абелеві групи

Основоположна теорема про структуру скінченної абелевої групи стверджує, що будь-яка скінченна абелева група може бути розкладена в пряму суму своїх циклічних підгруп, порядки яких є степенями простих чисел. Це наслідок загальної теореми про структуру скінченнопороджених абелевих груп для випадку, коли група не має елементів нескінченного порядку. ізоморфна прямій сумі і тоді і тільки тоді, коли і взаємно прості.

Отже, можна записати абелеву групу у формі прямої суми

двома різними способами:

  • Де числа ступені простих
  • Де ділить , яка ділить , і так далі до .

Наприклад, може бути розкладена в пряму суму двох циклічних підгруп порядків 3 та 5: . Те ж можна сказати про будь-яку абелеву групу порядку 15, приходимо до висновку, що всі абелеві групи близько 15 ізоморфні.

Скінченнопороджені абелеві групи

Повний опис відомий також для скінченнопороджених абелевих груп. Його дає основна теорема про абелеві групи із скінченним числом твірних: всяка скінченно породжена абелева група розкладається в пряму суму скінченного числа нерозкладних циклічних підгруп, з яких частина — скінченні примарні, частина — нескінченні. Такий розклад не є єдиним, але будь-які два розклади абелевих груп з скінченним числом твірних в пряму суму нерозкладних циклічних груп ізоморфні між собою і, таким чином, число нескінченних циклічних доданків і сукупність порядків примарних циклічних доданків не залежить від вибору розкладу. Ці числа, називаються інваріантами скінченнопородженої абелевої групи, вони є повною системою інваріантів в тому розумінні, що довільні дві групи, для яких ці інваріанти рівні, є ізоморфними. Всяка підгрупа абелевої групи з скінченним числом твірних сама має скінченну систему твірних.

Лінійна незалежність і ранг

Скінченна множина елементів абелевої групи називається лінійно залежною, якщо існують такі цілі числа , не всі рівні нулю, що Якщо таких чисел не існує, то ця множина називається лінійно незалежною. Довільна система елементів абелевої групи називається лінійно залежною, якщо лінійно залежна деяка скінченна її підсистема. Абелева група, що не є періодичною, володіє максимальними лінійно незалежними системами. Потужності всіх максимальних лінійно незалежних підсистем однакові і називаються рангом (Прюфера) даної абелевої групи. Ранг періодичної групи вважається рівним нулю. Ранг вільної абелевої групи рівний потужності системи її твірних. Всяка абелева група без кручення рангу I ізоморфна деякій підгрупі адитивної групи раціональних чисел.

Абелеві групи без кручення, розкладаються в пряму суму груп рангу 1, що називаються цілком розкладними. Не всяка підгрупа цілком розкладної групи буде цілком розкладною (але всякий прямий доданок). Для всякого цілого n існує абелева група без кручення рангу n, нерозкладна в пряму суму. Для зліченних абелевих груп без кручення може бути побудована повна система інваріантів.

Повні абелеві групи

Абелева група називається повною, якщо для будь-якого її елементу a і будь-якого цілого n в ній рівняння nx = a має розв'язок. Всі повні абелеві групи вичерпуються прямими сумами груп, ізоморфних і групам , причому потужності множин компонент, ізоморфних , а також (для кожного простого числа) утворюють повну і незалежну систему інваріантів повної групи. Довільна абелева група може бути ізоморфно вкладена в деяку повну абелеву групу. Повні абелеві групи і лише вони є ін'єктивними об'єктами в категорії абелевих груп. Таким чином, довільна абелева група подається у вигляді прямої суми повної групи і так званої редукованої групи, тобто групи, що не містить ненульових повних підгруп.

Властивості

Варіації та узагальнення

  • Диференціальною групою називається абелева група , в якій заданий такий ендоморфізм , щоо . Цей ендоморфізм називається диференціалом. Елементи диференціальних груп називаються ланцюгами, елементи ядра -циклами, елементи образу -границями.

Література

  • Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
  • Джозеф Ротман[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1984
  • Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Abeleva grupa komutativna grupa grupa operaciya v yakij zadovolnyaye umovi komutativnosti Nazvana na chest Nilsa Abelya sho vstanoviv rol takih grup v teoriyi rozv yaznosti algebrichnih rivnyan u radikalah Zazvichaj dlya poznachennya operaciyi v abelevij grupi vikoristovuyetsya aditivnij zapis tobto znak dlya samoyi operaciyi sho nazivayetsya dodavannyam znak 0 dlya nejtralnogo elementu sho nazivayetsya nulem Teoriya abelevih grup sho bere svij pochatok v teoriyi chisel znahodit zastosuvannya v bagatoh matematichnih teoriyah Rozvitok teoriyi moduliv nerozrivno pov yazanij z abelevimi grupami yak modulyami nad kilcem cilih chisel Bagato rezultativ teoriyi abelevih grup vdayetsya perenesti na vipadok moduliv nad kilcem golovnih idealiv Teoriya dvoyistosti harakteriv skinchennih abelevih grup oderzhala glibokij rozvitok v teoriyi dvoyistosti dlya topologichnih lokalno kompaktnih grup Rozvitok gomologichnoyi algebri dozvoliv virishiti ryad problem v teoriyi abelevih grup napriklad dati opis mnozhin vsih rozshiren odniyeyi grupi za dopomogoyu inshoyi Zmist 1 Prikladi 2 Vidi abelevih grup 2 1 Skinchenni abelevi grupi 2 2 Skinchennoporodzheni abelevi grupi 2 3 Linijna nezalezhnist i rang 2 4 Povni abelevi grupi 3 Vlastivosti 4 Variaciyi ta uzagalnennya 5 Literatura 6 PosilannyaPrikladi RedaguvatiVsi ciklichni grupi zokrema aditivna grupa cilih chisel abelevi Abelevimi grupami budut vsilyaki pryami sumi ciklichnih grup Aditivna grupa racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q sho ye lokalno ciklichnoyu grupoyu tobto grupoyu vsi skinchenno porodzheni pidgrupi yakoyi ciklichni P grupi abo kvaziciklichni grupi Z p displaystyle mathbb Z p infty de r dovilne proste chislo Vidi abelevih grup RedaguvatiVilna abeleva grupa pryama suma deyakoyi mnozhini neskinchennih ciklichnih grup Dovilna pidgrupa vilnoyi abelevoyi grupi vilna abeleva grupa Sukupnist vsih elementiv skinchennogo poryadku abelevoyi grupi utvoryuye pidgrupu sho nazivayetsya pidgrupoyu kruchennya abelevoyi grupi Faktorgrupa abelevoyi grupi po yiyi pidgrupi kruchennya ye grupoyu bez kruchennya Takim chinom dovilna abeleva grupa rozshirennya periodichnoyi abelevoyi grupi pri dopomozi abelevoyi grupi bez kruchennya Pidgrupa kruchen vzagali kazhuchi ne vidilyayetsya u viglyadi pryamogo dodanku Periodichna abeleva grupa poryadki vsih elementiv yakoyi ye stepenyami fiksovanogo prostogo chisla p nazivayetsya primarnoyu po prostomu chislu p u zagalnij teoriyi grup vikoristovuyetsya termin r grupa Vsyaka periodichna abeleva grupa mozhe buti rozkladena pritomu yedinim sposobom u pryamu sumu primarnih grup sho vidnosyatsya do riznih prostih chisel Skinchenni abelevi grupi Redaguvati Osnovopolozhna teorema pro strukturu skinchennoyi abelevoyi grupi stverdzhuye sho bud yaka skinchenna abeleva grupa mozhe buti rozkladena v pryamu sumu svoyih ciklichnih pidgrup poryadki yakih ye stepenyami prostih chisel Ce naslidok zagalnoyi teoremi pro strukturu skinchennoporodzhenih abelevih grup dlya vipadku koli grupa ne maye elementiv neskinchennogo poryadku Z m n displaystyle mathbb Z mn izomorfna pryamij sumi Z m displaystyle mathbb Z m i Z n displaystyle mathbb Z n todi i tilki todi koli m displaystyle m i n displaystyle n vzayemno prosti Otzhe mozhna zapisati abelevu grupu G displaystyle G u formi pryamoyi sumi Z k 1 Z k u displaystyle mathbb Z k 1 oplus ldots oplus mathbb Z k u dvoma riznimi sposobami De chisla k 1 k u displaystyle k 1 ldots k u stupeni prostih De k 1 displaystyle k 1 dilit k 2 displaystyle k 2 yaka dilit k 3 displaystyle k 3 i tak dali do k u displaystyle k u Napriklad Z 15 Z Z 15 displaystyle mathbb Z 15 mathbb Z mathbb Z 15 mozhe buti rozkladena v pryamu sumu dvoh ciklichnih pidgrup poryadkiv 3 ta 5 Z 15 Z 0 5 10 0 3 6 9 12 displaystyle mathbb Z 15 mathbb Z 0 5 10 oplus 0 3 6 9 12 Te zh mozhna skazati pro bud yaku abelevu grupu poryadku 15 prihodimo do visnovku sho vsi abelevi grupi blizko 15 izomorfni Skinchennoporodzheni abelevi grupi Redaguvati Dokladnishe Skinchennoporodzhena abeleva grupaPovnij opis vidomij takozh dlya skinchennoporodzhenih abelevih grup Jogo daye osnovna teorema pro abelevi grupi iz skinchennim chislom tvirnih vsyaka skinchenno porodzhena abeleva grupa rozkladayetsya v pryamu sumu skinchennogo chisla nerozkladnih ciklichnih pidgrup z yakih chastina skinchenni primarni chastina neskinchenni Takij rozklad ne ye yedinim ale bud yaki dva rozkladi abelevih grup z skinchennim chislom tvirnih v pryamu sumu nerozkladnih ciklichnih grup izomorfni mizh soboyu i takim chinom chislo neskinchennih ciklichnih dodankiv i sukupnist poryadkiv primarnih ciklichnih dodankiv ne zalezhit vid viboru rozkladu Ci chisla nazivayutsya invariantami skinchennoporodzhenoyi abelevoyi grupi voni ye povnoyu sistemoyu invariantiv v tomu rozuminni sho dovilni dvi grupi dlya yakih ci invarianti rivni ye izomorfnimi Vsyaka pidgrupa abelevoyi grupi z skinchennim chislom tvirnih sama maye skinchennu sistemu tvirnih Linijna nezalezhnist i rang Redaguvati Skinchenna mnozhina elementiv g 1 g k displaystyle g 1 ldots g k abelevoyi grupi nazivayetsya linijno zalezhnoyu yaksho isnuyut taki cili chisla n 1 n k displaystyle n 1 ldots n k ne vsi rivni nulyu sho i 1 k n i g i 0 displaystyle sum i 1 k n i g i 0 Yaksho takih chisel ne isnuye to cya mnozhina nazivayetsya linijno nezalezhnoyu Dovilna sistema elementiv abelevoyi grupi nazivayetsya linijno zalezhnoyu yaksho linijno zalezhna deyaka skinchenna yiyi pidsistema Abeleva grupa sho ne ye periodichnoyu volodiye maksimalnimi linijno nezalezhnimi sistemami Potuzhnosti vsih maksimalnih linijno nezalezhnih pidsistem odnakovi i nazivayutsya rangom Pryufera danoyi abelevoyi grupi Rang periodichnoyi grupi vvazhayetsya rivnim nulyu Rang vilnoyi abelevoyi grupi rivnij potuzhnosti sistemi yiyi tvirnih Vsyaka abeleva grupa bez kruchennya rangu I izomorfna deyakij pidgrupi aditivnoyi grupi racionalnih chisel Abelevi grupi bez kruchennya rozkladayutsya v pryamu sumu grup rangu 1 sho nazivayutsya cilkom rozkladnimi Ne vsyaka pidgrupa cilkom rozkladnoyi grupi bude cilkom rozkladnoyu ale vsyakij pryamij dodanok Dlya vsyakogo cilogo n isnuye abeleva grupa bez kruchennya rangu n nerozkladna v pryamu sumu Dlya zlichennih abelevih grup bez kruchennya mozhe buti pobudovana povna sistema invariantiv Povni abelevi grupi Redaguvati Abeleva grupa nazivayetsya povnoyu yaksho dlya bud yakogo yiyi elementu a i bud yakogo cilogo n v nij rivnyannya nx a maye rozv yazok Vsi povni abelevi grupi vicherpuyutsya pryamimi sumami grup izomorfnih Q displaystyle mathbb Q i grupam Z p displaystyle mathbb Z p infty prichomu potuzhnosti mnozhin komponent izomorfnih Q displaystyle mathbb Q a takozh Z p displaystyle mathbb Z p infty dlya kozhnogo prostogo chisla utvoryuyut povnu i nezalezhnu sistemu invariantiv povnoyi grupi Dovilna abeleva grupa mozhe buti izomorfno vkladena v deyaku povnu abelevu grupu Povni abelevi grupi i lishe voni ye in yektivnimi ob yektami v kategoriyi abelevih grup Takim chinom dovilna abeleva grupa podayetsya u viglyadi pryamoyi sumi povnoyi grupi i tak zvanoyi redukovanoyi grupi tobto grupi sho ne mistit nenulovih povnih pidgrup Vlastivosti RedaguvatiBud yaka abeleva grupa maye prirodnu strukturu modulya nad kilcem cilih chisel Dijsno nehaj n displaystyle n naturalne chislo a x displaystyle x element komutativnoyi grupi G displaystyle G z operaciyeyu sho poznachayetsya yak displaystyle todi n x displaystyle nx mozhna viznachiti yak x x x displaystyle x x ldots x n displaystyle n raz i n x n x displaystyle n x nx Tverdzhennya ta teoremi virni dlya abelevih grup tobto moduliv nad kilcem golovnih idealiv Z displaystyle mathbb Z chasto mozhut buti uzagalneni na moduli nad dovilnim kilcem golovnih idealiv Tipovim prikladom ye klasifikaciya skinchennovoporodzhenih abelevih grup Mnozhina gomomorfizmiv Hom G H displaystyle operatorname Hom G H vsih grupovih gomomorfizmiv z G displaystyle G u H displaystyle H sama ye abelevoyu grupoyu Dijsno nehaj f g G H displaystyle f g G to H dva gomomorfizmi grup mizh abelevimi grupami todi yih suma f g displaystyle f g zadana yak f g x f x g x displaystyle f g x f x g x tezh ye gomomorfizmom ce nevirno yaksho H displaystyle H nekomutativna grupa Variaciyi ta uzagalnennya RedaguvatiDiferencialnoyu grupoyu nazivayetsya abeleva grupa C displaystyle mathbf C v yakij zadanij takij endomorfizm d C C displaystyle d colon mathbf C to mathbf C shoo d 2 0 displaystyle d 2 0 Cej endomorfizm nazivayetsya diferencialom Elementi diferencialnih grup nazivayutsya lancyugami elementi yadra ker d displaystyle ker d ciklami elementi obrazu I m d displaystyle mathrm Im d granicyami Literatura RedaguvatiVinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Dzhozef Rotman en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Matematicheskaya enciklopediya V pyati tomah Tom 1 Pod red I M Vinogradova M Sovetskaya enciklopediya 1984 Phillip A Griffith 1970 Infinite Abelian group theory Chicago Lectures in Mathematics University of Chicago Press ISBN 0 226 30870 7 Posilannya RedaguvatiAbeleva grupa Arhivovano 25 lyutogo 2022 u Wayback Machine VUE Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Abeleva grupa amp oldid 36996812