www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорія категорій розділ математики що вивчає властивості відношень між математичними структурами незалежно від внутрішнь

Теорія категорій

Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, незалежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти сполучені морфізмами (стрілками).

Теорія категорій посідає центральне місце в сучасній математиці, а також має застосування в інформатиці та теоретичній фізиці. Сучасне викладання алгебричної геометрії та гомологічної алгебри основане на теорії категорії. Поняття теорії категорій використане в мові функційного програмування Haskell.

Історія Редагувати

Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням теорія категорій завдячує алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднувальну та уніфікувальну роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.

Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. позначилася дедалі більша цікавість до неабелевих категорій, спонуканий задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному дослідженню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозв'язок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і замкнутих категорій, була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).

Визначення Редагувати

Категорія Редагувати

Категорія складається з класу , елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу , елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти наступним умовам:

  1. Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас ; якщо , то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f.
  2. Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу .
  3. У класі заданий частковий закон множення: добуток морфізмів та визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, він позначається і належить класу .
  4. Справедливий закон асоціативності: для будь-яких морфізмів, для яких дані добутки визначені.
  5. У кожному класі визначений такий морфізм , що для ; морфізми називаються одиничними, тотожними, або одиницями.

Приклади категорій Редагувати

Всі перераховані вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії з такою властивістю називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад, категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.

Комутативні діаграми Редагувати

Категорія з об'єктами X, Y, Z та морфізмами f, g

Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:

Двоїстість Редагувати

Для категорії можна визначити двоїсту категорію , у якій:

  • об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії;
  • морфізми одержуються «обертанням стрілок»:

Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).

Справедливий принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.

Морфізми Редагувати

  • Морфізм називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм , що та . Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.
  • Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Множина ендоморфізмів є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом .
  • Мономорфізм — це морфізм такий, що для будь-яких з випливає, що .

Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

  • Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких з слідує .
  • Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.

Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно.

Універсальні об'єкти Редагувати

Початковий (універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.

Якщо початкові об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.

Двоїстим чином визначається термінальний (універсально притягуючий) об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.

Добуток і сума об'єктів Редагувати

добуток
кодобуток (пряма сума)
  • Добуток об'єктів та — це об'єкт з морфізмами та такими, що для будь-якого об'єкта з морфізмами та існує єдиний морфізм такий, що .

Морфізми та називаються проєкціями.

Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

Приклади Редагувати

  • У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин , а пряма сума — диз'юнктне об'єднання .
  • У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток , а прямий добуток — сума кілець .
  • У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів .

Фактор-категорія Редагувати

Фактор-категорія — конструкція, яка є аналогічною конструкції фактор-множини або фактор-алгебри. Нехай  — довільна категорія, у класі морфізмів задане відношення еквівалентності яке задовільняє наступним умовам

  • якщо то кінці морфізмів та співпадають;
  • якщо та добуток визначений, то

Через позначається клас еквівалентності морфізму Фактор-категорією категорії по відношенню еквівалентності називається категорія у якої ті самі об'єкти, що й у а для будь-якої пари об'єктів множина морфізмів складається з класів еквівалентності де у добуток морфізмів визначається формулою

Усяка мала категорія є фактор-категорії шляхів над підходячим орієнтованим графом.

Ядерна пара морфізму — узагальнення поняття еквівалентности, індукованого відображенням однієї множини у іншу. Морфізми категорії є ядерною парою морфізму якщо та якщо для пари довільних морфізмів для якої існує такий єдиний морфізм що та

Функтори Редагувати

Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше

  • (Коваріантний) функтор ставить у відповідність кожному об'єктові категорії об'єкт категорії і кожному морфізму морфізм так, що
    • і
    • .
  • Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з у , тобто «функтор, що перевертає стрілки».

Мала категорія Редагувати

Клас об'єктів не обов'язково є множиною у сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія , у якій об'єкти є множиною та морфізми є множиною, називається малою.

Нехай  — функтор з малої категорії у довільну. Шаром функтора над є категорія, об'єктами якої є пари об'єктів та морфізмів категорії , а морфізмами між парами — трійки морфізмів таких, що Двоїсто, ко-шаром називається категорія, яка складається з пар об'єктів та морфізмів у якій морфізмами є трійки які задовільняють співвідношенню Функтор (або, відповідно, ), який діє як на об'єктах й як на морфізмах, називається забуваючим функтором.

Тензорна категорія Редагувати

Нехай категорія та нехай  — функтор, які називаються тензорним добутком. Категорія називається тензорною, якщо виконуються наступні умови:

  1. Заданий деякий ізоморфізм функторів Це значить, що для є ізоморфізм.
  2. Виконується аксіома п'ятикутника:
  3. Є об'єкт для якого задані натуральні ізоморфізми та
  4. Виконується аксіома трикутника:

Наприклад, для трійок та є такий ізоморфізм , що діаграма

є комутативною.

Категорія Дрінфельда Редагувати

Володимир Гершонович Дрінфельд визначив квазі-трикутну моноїдальну категорію. Нехай  — категорія, об'єктами якої є -модулі, а Це — -лінійна адитивна категорія. Тепер нехай Розгляньмо гомоморфізм який визначається формулою , і Тут є морфізмом асоціативності (асоціатором Дрінфельда). Через позначений елемент Казіміра. Через позначені співвідношення шестикутника. Для довільних має місце тензорний добуток Морфізм асоціативності є елементом Для визначмо також скручення формулою де є перестановкою. Морфізми визначають структуру квазі-трикутної категорії на

Функтор Сера Редагувати

Функтором Сера триангульованої -лінійної -скінченної категорії є коваріантний адитивний функтор який комутує із зсувами, якщо має місце автоеквівалентність така, що мають місце біфункторіальні ізоморфізми

де Якщо функтор Сера існує, то він єдиний з точністю до ізоморфізму.

Для гладкого проективного многовиду розмірності й канонічного пучка класична двоїстість Сера

де є наслідком того, що є функтором Сера на довільній категорії обмежених комплексів когерентних пучків Якщо на триангульованій -лінійній -скінченній категорії є функтор Сера, то така категорія є категорією із двоїстістю Сера.

Нехай  — скінченновимірна алгебра над яка має скінченну гомологічну розмірність,  — довільна категорія скінченновимірних лівих -модулів. Наявні два функтори дуалізації, які переводять у (праві моулі), й навпаки:

Тут  — категорія скінченнопороджених модулів над скінченновимірною -алгеброю глобальної розмірності. Композиція називається функтором Накаями й є функтором Сера у категорії

Тріагнульована -лінійна -скінченна категорія називається категорією Калабі-Яу, якщо триангульований -кратний функтор зсуву є функтором Сера. Найменше називається розмірністю Калабі-Яу категорії й позначається Якщо категорія не є категорією Калабі-Яу, то

Триангульовані категорії із двоїстістю Сера представляють інтерес тому, що на спадкових абелевих категоріях Нетер є двоїстість Сера.

Мультикатегорія Редагувати

Мультикатегорією є набір об'єктів стрілок операція композиції визначається як у звичайній категорії. У звичайній категорії область визначення  — одиничний об'єкт, тоді як у мультикатегорії це скінченна множина об'єктів. Іншими словами, для звичайної категорії тоді як у мультикатегорії

Примітки Редагувати

  1. Хелемский, А. Я. (2004). Лекции по функциональному анализу (рос.). Москва: МЦНМО. ISBN 5-94057-065-8. 
  2. D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — в 1988. — XIII, 257 р. — ISBN 0-13-162736-8.
  3. . Архів оригіналу за 5 березня 2010. Процитовано 15 березня 2010. 
  4. Топоси для фізики. [ 5 грудня 2008 у Wayback Machine.] {ref-en}
  5. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats [ 25 березня 2010 у Wayback Machine.], — New York: John Wiley and Sons, — 1990.
  6. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985. 
  7. . Архів оригіналу за 28 лютого 2020. 
  8. В. Г. Дринфельд, О квазитреугольных квазихопфовых алгебрах и одной группе, тесно связанной с Gal(Q/Q), Алгебра и анализ, 1990, том 2, выпуск 4, 149–181. 
  9. А. И. Бондал, М. М. Капранов, Представимые функторы, функторы Серра и перестройки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1989, том 53, выпуск 6, 1183–1205. 

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
  • Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.

Посилання Редагувати


Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoriya kategorij rozdil matematiki sho vivchaye vlastivosti vidnoshen mizh matematichnimi strukturami nezalezhno vid vnutrishnoyi budovi struktur abstraguyetsya vid mnozhin ta funkcij do diagram de ob yekti spolucheni morfizmami strilkami Teoriya kategorij posidaye centralne misce v suchasnij matematici 1 a takozh maye zastosuvannya v informatici 2 ta teoretichnij fizici 3 4 Suchasne vikladannya algebrichnoyi geometriyi ta gomologichnoyi algebri osnovane na teoriyi kategoriyi Ponyattya teoriyi kategorij vikoristane v movi funkcijnogo programuvannya Haskell Zmist 1 Istoriya 2 Viznachennya 2 1 Kategoriya 2 2 Prikladi kategorij 2 3 Komutativni diagrami 2 4 Dvoyistist 2 5 Morfizmi 2 6 Universalni ob yekti 2 7 Dobutok i suma ob yektiv 2 7 1 Prikladi 3 Faktor kategoriya 4 Funktori 5 Mala kategoriya 6 Tenzorna kategoriya 7 Kategoriya Drinfelda 8 Funktor Sera 9 Multikategoriya 10 Primitki 11 Div takozh 12 Literatura 13 PosilannyaIstoriya RedaguvatiPonyattya kategoriya bulo vvedeno v 1945 roci Svoyim pohodzhennyam teoriya kategorij zavdyachuye algebrayichnij topologiyi Podalshi doslidzhennya viyavili ob yednuvalnu ta unifikuvalnu rol ponyattya kategoriya i pov yazanogo z nim ponyattya funktora dlya bagatoh rozdiliv matematiki Teoretiko kategornij analiz osnov teoriyi gomologiyi priviv do vidilennya u seredini 50 h rr 20 st tak zvanih abelevih kategorij v ramkah yakih viyavilosya mozhlivim zdijsniti osnovni pobudovi gomologichnoyi algebri U 60 i rr 20 st poznachilasya dedali bilsha cikavist do neabelevih kategorij sponukanij zadachami logiki zagalnoyi algebri topologiyi i algebrayichnoyi geometriyi Intensivnij rozvitok universalnoyi algebri i aksiomatichna pobudova teoriyi gomotopij poklali pochatok riznim napryamam doslidzhen kategornomu doslidzhennyu mnogovidiv universalnoyi algebri teoriyi izomorfizmiv pryamih rozkladiv teoriyi zv yazanih funktoriv i teoriyi dvoyistosti funktoriv Podalshij rozvitok viyaviv istotnij vzayemozv yazok mizh cimi doslidzhennyami Zavdyaki viniknennyu teoriyi vidnosnih kategorij sho shiroko vikoristovuye tehniku zv yazanih funktoriv i zamknutih kategorij bula vstanovlena dvoyistist mizh teoriyeyu gomotopij i teoriyeyu universalnih algebr zasnovana na interpretaciyi kategornih viznachen monoyida i komonoyida u vidpovidnih funktoriv Inshij sposib vvedennya dodatkovih struktur v kategoriyah pov yazanij iz zadannyam v kategoriyah topologiyi i pobudovi kategoriyi puchkiv nad topologichnoyu kategoriyeyu tak zv toposi Viznachennya RedaguvatiKategoriya Redaguvati Kategoriya C displaystyle mathcal C nbsp skladayetsya z klasu Ob C displaystyle text Ob mathcal C nbsp elementi yakogo nazivayutsya ob yektami kategoriyi ta klasu Mor C displaystyle text Mor mathcal C nbsp elementi yakogo nazivayutsya morfizmami kategoriyi Ci klasi povinni zadovolnyati nastupnim umovam Kozhnij vporyadkovanij pari ob yektiv A V zistavleno klas Hom C A B displaystyle text Hom mathcal C A B nbsp yaksho f Hom C A B displaystyle f in text Hom mathcal C A B nbsp to A nazivayetsya pochatkom abo oblastyu viznachennya morfizmu f a V kinec abo oblast znachen f Kozhen morfizm kategoriyi nalezhit odnomu i lishe odnomu klasu Hom C A B displaystyle text Hom mathcal C A B nbsp U klasi M o r C displaystyle Mor mathcal C nbsp zadanij chastkovij zakon mnozhennya dobutok morfizmiv f Hom A B displaystyle f in text Hom A B nbsp ta g Hom C D displaystyle g in text Hom C D nbsp viznacheno todi i tilki todi koli V S vin poznachayetsya g f displaystyle g circ f nbsp i nalezhit klasu Hom A D displaystyle text Hom A D nbsp Spravedlivij zakon asociativnosti h g f h g f displaystyle h circ g circ f h circ g circ f nbsp dlya bud yakih morfizmiv dlya yakih dani dobutki viznacheni U kozhnomu klasi Hom A A displaystyle text Hom A A nbsp viznachenij takij morfizm i d A displaystyle id A nbsp sho f i d A i d B f f displaystyle f circ id A id B circ f f nbsp dlya f Hom A B displaystyle f in text Hom A B nbsp morfizmi i d A displaystyle id A nbsp nazivayutsya odinichnimi totozhnimi abo odinicyami Zamitka klas ob yektiv zvichajno ne ye mnozhinoyu v sensi aksiomatichnoyi teoriyi mnozhin Kategoriya v yakij ob yekti skladayut mnozhinu nazivayetsya maloyu Krim togo u principi mozhlivo z nevelikim vipravlennyam viznachennya rozglyadati kategoriyi v yakih morfizmi mizh bud yakimi dvoma ob yektami takozh utvoryuyut klas abo navit veliku strukturu 5 Prikladi kategorij Redaguvati Set kategoriya mnozhin Ob yektami ye mnozhini morfizmami vidobrazhennya mnozhin a mnozhennya zbigayetsya z poslidovnim vikonannyam vidobrazhen Top kategoriya topologichnih prostoriv Ob yektami ye topologichni prostori morfizmami vsi neperervni vidobrazhennya topologichnih prostoriv a mnozhennya znovu zbigayetsya z poslidovnim vikonannyam vidobrazhen Group kategoriya grup Ob yektami ye grupi morfizmami vsi gomomorfizmi grup a mnozhennya zbigayetsya z poslidovnim vikonannyam gomomorfizmiv Za analogiyeyu mozhna vvesti kategoriyu kilec i t d VectK kategoriya vektornih prostoriv nad polem K Morfizmi linijni vidobrazhennya vektornih prostoriv Rel kategoriya binarnih vidnoshen mnozhini klas ob yektiv ciyeyi kategoriyi zbigayetsya z klasom ob yektiv Set a morfizmami mnozhini A v mnozhinu V ye binarni vidnoshennya cih mnozhin tobto vsilyaki pidmnozhini dekartovogo dobutku A V mnozhennya zbigayetsya z mnozhennyam binarnih vidnoshen Monoyid ye kategoriyeyu z odnim ob yektom navpaki kozhna kategoriya sho skladayetsya z odnogo ob yekta ye monoyidom Dlya bud yakoyi chastkovo vporyadkovanoyi mnozhini mozhna pobuduvati malu kategoriyu ob yektami yakoyi ye elementi mnozhini prichomu mizh elementami x i y isnuye yedinij morfizm todi i tilki todi koli x y zrozumilo slid vidriznyati cyu kategoriyu vid kategoriyi chastkovo vporyadkovanih mnozhin Vsi pererahovani vishe kategoriyi dopuskayut izomorfne vkladennya v kategoriyu mnozhin Kategoriyi z takoyu vlastivistyu nazivayutsya konkretnimi Ne vsyaka kategoriya ye konkretnoyu napriklad kategoriya ob yektami yakoyi ye vsi topologichni prostori a morfizmami klasi gomotopnih vidobrazhen Komutativni diagrami Redaguvati nbsp Kategoriya z ob yektami X Y Z ta morfizmami f gStandartnim sposobom opisu tverdzhen teoriyi kategorij ye komutativni diagrami Komutativna diagrama ce oriyentovanij graf u vershinah yakogo znahodyatsya ob yekti a strilkami ye morfizmi abo funktori prichomu rezultat kompoziciyi strilok ne zalezhit vid vibranogo shlyahu Napriklad aksiomi teoriyi kategorij mozhna zapisati za dopomogoyu diagram Dvoyistist Redaguvati Dlya kategoriyi C displaystyle mathcal C nbsp mozhna viznachiti dvoyistu kategoriyu C o p displaystyle mathcal C op nbsp u yakij ob yekti zbigayutsya z ob yektami pochatkovoyi kategoriyi morfizmi oderzhuyutsya obertannyam strilok Hom C o p B A Hom C A B displaystyle text Hom mathcal C op B A simeq text Hom mathcal C A B nbsp Vzagali dlya bud yakogo tverdzhennya teoriyi kategorij mozhna sformulyuvati podvijne tverdzhennya za dopomogoyu zvernennya strilok Chasto podvijne yavishe poznachayetsya tim zhe terminom z pristavkoyu ko div prikladi dali Spravedlivij princip dvoyistosti tverdzhennya r istinno v teoriyi kategorij todi i tilki todi koli v cij teoriyi istinno dvoyiste tverdzhennya r Bagato ponyat i rezultativ v matematici viyavilisya dvoyistimi odin odnomu z tochki zoru ponyat teoriyi kategorij in yektivnist i syur yektivnist mnogovidi i radikali v algebri i t d Morfizmi Redaguvati Morfizm f Hom A B displaystyle f in text Hom A B nbsp nazivayetsya izomorfizmom yaksho isnuye takij morfizm g Hom B A displaystyle g in text Hom B A nbsp sho g f i d A displaystyle g circ f id A nbsp ta f g i d B displaystyle f circ g id B nbsp Dva ob yekti mizh yakimi isnuye izomorfizm nazivayutsya izomorfnimi Zokrema totozhnij morfizm ye izomorfizmom tomu bud yakij ob yekt izomorfnij sam sobi Morfizmi v yakih pochatok i kinec zbigayutsya nazivayut endomorfizmami Mnozhina endomorfizmiv End A Hom A A displaystyle text End A text Hom A A nbsp ye monoyidom shodo operaciyi kompoziciyi z odinichnim elementom i d A displaystyle id A nbsp Endomorfizmi yaki odnochasno ye izomorfizmami nazivayutsya avtomorfizmami Avtomorfizmi bud yakogo ob yekta utvoryuyut grupu avtomorfizmiv Aut A displaystyle text Aut A nbsp po kompoziciyi Monomorfizm ce morfizm f Hom A B displaystyle f in text Hom A B nbsp takij sho dlya bud yakih g 1 g 2 Hom X A displaystyle g 1 g 2 in text Hom X A nbsp z f g 1 f g 2 displaystyle f circ g 1 f circ g 2 nbsp viplivaye sho g 1 g 2 displaystyle g 1 g 2 nbsp Kompoziciya monomorfizmiv ye monomorfizmom Epimorfizm ce takij morfizm sho dlya bud yakih g 1 g 2 Hom B X displaystyle g 1 g 2 in text Hom B X nbsp z g 1 f g 2 f displaystyle g 1 circ f g 2 circ f nbsp sliduye g 1 g 2 displaystyle g 1 g 2 nbsp Bimorfizm ce morfizm sho ye odnochasno monomorfizmom i epimorfizmom Bud yakij izomorfizm ye bimorfizmom zvorotne vzagali kazhuchi virno ne dlya vsih kategorij Monomorfizm epimorfizm i bimorfizm ye uzagalnennyami ponyat in yektivnogo syur yektivnogo i biyektivnogo vidobrazhennya vidpovidno Universalni ob yekti Redaguvati Dokladnishe Pochatkovij ta terminalnij ob yektiPochatkovij universalno vidshtovhuyuchij ob yekt kategoriyi ce takij ob yekt z yakogo isnuye yedinij morfizm v bud yakij inshij ob yekt Yaksho pochatkovi ob yekti v kategoriyi isnuyut to vsi voni izomorfni Dvoyistim chinom viznachayetsya terminalnij universalno prityaguyuchij ob yekt ce takij ob yekt v yakij isnuye yedinij morfizm z bud yakogo inshogo ob yekta Priklad U kategoriyi Set inicialnim ob yektom ye porozhnya mnozhina displaystyle emptyset nbsp terminalnim mnozhina z odnogo elementu displaystyle cdot nbsp Priklad U kategoriyi Group inicialnij i terminalnij ob yekt zbigayutsya ce grupa z odnogo elementu Dobutok i suma ob yektiv Redaguvati nbsp dobutok nbsp kodobutok pryama suma Dobutok ob yektiv X 1 displaystyle X 1 nbsp taX 2 displaystyle X 2 nbsp ce ob yekt X 1 X 2 displaystyle X 1 times X 2 nbsp z morfizmami p 1 X 1 X 2 X 1 displaystyle pi 1 X 1 times X 2 to X 1 nbsp ta p 2 X 1 X 2 X 2 displaystyle pi 2 X 1 times X 2 to X 2 nbsp takimi sho dlya bud yakogo ob yekta Y displaystyle Y nbsp z morfizmami f 1 Y X 1 displaystyle f 1 Y to X 1 nbsp ta f 2 Y X 2 displaystyle f 2 Y to X 2 nbsp isnuye yedinij morfizm f Y X 1 X 2 displaystyle f Y to X 1 times X 2 nbsp takij sho f p 1 f 1 f p 2 f 2 displaystyle f circ pi 1 f 1 quad f circ pi 2 f 2 nbsp Morfizmi p 1 X 1 X 2 X 1 displaystyle pi 1 X 1 times X 2 to X 1 nbsp ta p 2 X 1 X 2 X 2 displaystyle pi 2 X 1 times X 2 to X 2 nbsp nazivayutsya proyekciyami Dualno viznachayetsya kodobutok pryama suma X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp ob yektiv X 1 displaystyle X 1 nbsp i X 2 displaystyle X 2 nbsp Vidpovidni morfizmi i 1 X 1 X 1 X 2 displaystyle i 1 X 1 to X 1 X 2 nbsp ta i 2 X 2 X 1 X 2 displaystyle i 2 X 2 to X 1 X 2 nbsp nazivayutsya vkladennyami Ne zvazhayuchi na svoyu nazvu v zagalnomu vipadku voni mozhut i ne buti monomorfizmami Yaksho dobutok i kodobutok isnuyut to voni viznachayutsya odnoznachno z tochnistyu do izomorfizmu Prikladi Redaguvati U kategoriyi Set pryamij dobutok A i B ce dobutok v sensi teoriyi mnozhin A B displaystyle A times B nbsp a pryama suma diz yunktne ob yednannya A B displaystyle A sqcup B nbsp U kategoriyi Ring pryama suma ce tenzornij dobutok A B displaystyle A otimes B nbsp a pryamij dobutok suma kilec A B displaystyle A oplus B nbsp U kategoriyi VectK pryamij dobutok i pryama suma izomorfni ce suma vektornih prostoriv A B displaystyle A oplus B nbsp Faktor kategoriya RedaguvatiFaktor kategoriya konstrukciya yaka ye analogichnoyu konstrukciyi faktor mnozhini abo faktor algebri Nehaj R displaystyle R nbsp dovilna kategoriya u klasi morfizmiv M o r R displaystyle mathrm Mor R nbsp zadane vidnoshennya ekvivalentnosti displaystyle sim nbsp yake zadovilnyaye nastupnim umovam yaksho a b displaystyle alpha sim beta nbsp to kinci morfizmiv a displaystyle alpha nbsp ta b displaystyle beta nbsp spivpadayut yaksho a b g d displaystyle alpha sim beta gamma sim delta nbsp ta dobutok a g displaystyle alpha gamma nbsp viznachenij to a g b d displaystyle alpha gamma sim beta delta nbsp Cherez a displaystyle alpha nbsp poznachayetsya klas ekvivalentnosti morfizmu a displaystyle alpha nbsp Faktor kategoriyeyu kategoriyi R displaystyle mathcal R nbsp po vidnoshennyu ekvivalentnosti nazivayetsya kategoriya R displaystyle mathcal R sim nbsp u yakoyi ti sami ob yekti sho j u R displaystyle mathcal R nbsp a dlya bud yakoyi pari ob yektiv A B displaystyle A B nbsp mnozhina morfizmiv M o r A B R displaystyle mathrm Mor A B in mathcal R sim nbsp skladayetsya z klasiv ekvivalentnosti a displaystyle alpha nbsp de a A B displaystyle alpha A rightarrow B nbsp u R displaystyle R nbsp dobutok morfizmiv a b displaystyle alpha beta nbsp viznachayetsya formuloyu a b a b displaystyle alpha beta alpha beta nbsp Usyaka mala kategoriya ye faktor kategoriyi shlyahiv nad pidhodyachim oriyentovanim grafom 6 Yaderna para morfizmu uzagalnennya ponyattya ekvivalentnosti indukovanogo vidobrazhennyam odniyeyi mnozhini u inshu Morfizmi ϑ 1 ϑ 2 R A displaystyle vartheta 1 vartheta 2 R rightarrow A nbsp kategoriyi R displaystyle mathcal R nbsp ye yadernoyu paroyu morfizmu a A B displaystyle alpha A rightarrow B nbsp yaksho ϑ 1 a ϑ 2 a displaystyle vartheta 1 alpha vartheta 2 alpha nbsp ta yaksho dlya pari dovilnih morfizmiv f ps X A displaystyle varphi psi X rightarrow A nbsp dlya yakoyi f a ps a displaystyle varphi alpha psi alpha nbsp isnuye takij yedinij morfizm g X R displaystyle gamma X rightarrow R nbsp sho f g ϑ 1 displaystyle varphi gamma vartheta 1 nbsp ta ps g ϑ 2 displaystyle psi gamma vartheta 2 nbsp Funktori RedaguvatiFunktori vidobrazhennya kategorij sho zberigayut strukturu Tochnishe Kovariantnij funktor F C D displaystyle mathcal F mathcal C to mathcal D nbsp stavit u vidpovidnist kozhnomu ob yektovi kategoriyi C displaystyle mathcal C nbsp ob yekt kategoriyi D displaystyle mathcal D nbsp i kozhnomu morfizmu f A B displaystyle f A to B nbsp morfizm F f F A F B displaystyle F f F A to F B nbsp tak sho F i d A i d F A displaystyle F id A id F A nbsp i F g F f F g f displaystyle F g circ F f F g circ f nbsp Kontravariantnij funktor abo kofunktor ce funktor z C displaystyle mathcal C nbsp u D o p displaystyle mathcal D op nbsp tobto funktor sho perevertaye strilki Mala kategoriya RedaguvatiKlas ob yektiv ne obov yazkovo ye mnozhinoyu u sensi aksiomatichnoyi teoriyi mnozhin Kategoriya C displaystyle mathcal C nbsp u yakij ob yekti O b C displaystyle mathrm Ob mathcal C nbsp ye mnozhinoyu ta morfizmi M o r C displaystyle Mor mathcal C nbsp ye mnozhinoyu nazivayetsya maloyu Nehaj F C D displaystyle mathcal F mathbb C rightarrow mathbb D nbsp funktor z maloyi kategoriyi u dovilnu Sharom F d displaystyle mathcal F d nbsp funktora F displaystyle mathcal F nbsp nad a O b D displaystyle a in mathrm Ob mathbb D nbsp ye kategoriya ob yektami yakoyi ye pari a a displaystyle a alpha nbsp ob yektiv a O b C displaystyle a in mathrm Ob mathbb C nbsp ta morfizmiv a S a d displaystyle alpha Sa rightarrow d nbsp kategoriyi D displaystyle mathbb D nbsp a morfizmami a a b b displaystyle a alpha rightarrow b beta nbsp mizh parami trijki f a b displaystyle f alpha beta nbsp morfizmiv f C a b a D S a d b D S b b displaystyle f in mathbb C a b a in mathbb D Sa d beta in mathbb D Sb beta nbsp takih sho b S f a displaystyle beta circ Sf alpha nbsp Dvoyisto ko sharom d S displaystyle d S nbsp nazivayetsya kategoriya yaka skladayetsya z par a a displaystyle a alpha nbsp ob yektiv a O b C displaystyle a in mathrm Ob mathbb C nbsp ta morfizmiv a d S a displaystyle alpha d rightarrow Sa nbsp u yakij morfizmami a a b b displaystyle a alpha rightarrow b beta nbsp ye trijki f a b a b displaystyle f a rightarrow b alpha beta nbsp yaki zadovilnyayut spivvidnoshennyu S f a b displaystyle Sf circ alpha beta nbsp Funktor H d d S C displaystyle mathcal H d d S rightarrow mathbb C nbsp abo vidpovidno H d S d C displaystyle mathcal H d S d rightarrow mathbb C nbsp yakij diye yak a a a displaystyle a alpha mapsto a nbsp na ob yektah j yak f a b f displaystyle f alpha beta mapsto f nbsp na morfizmah nazivayetsya zabuvayuchim funktorom Tenzorna kategoriya RedaguvatiNehaj C displaystyle mathcal C nbsp kategoriya ta nehaj C C C displaystyle otimes mathcal C times mathcal C rightarrow mathcal C nbsp funktor yaki nazivayutsya tenzornim dobutkom Kategoriya nazivayetsya tenzornoyu yaksho vikonuyutsya nastupni umovi Zadanij deyakij izomorfizm funktoriv a 1 1 displaystyle a otimes otimes times 1 rightarrow 1 times otimes nbsp Ce znachit sho dlya U V W X C displaystyle U V W X in mathcal C nbsp ye izomorfizm Vikonuyetsya aksioma p yatikutnika U V W X C a U V W X a U V W X 1 U a V W X a U V W X a U V W 1 X displaystyle forall U V W X in mathcal C quad quad a U V W otimes X circ a U otimes V W X 1 U otimes a V W X circ a U V otimes W X circ a U V W otimes 1 X nbsp Ye ob yekt I displaystyle I nbsp dlya yakogo zadani naturalni izomorfizmi l I 1 1 displaystyle l otimes I times 1 rightarrow 1 nbsp ta r 1 I 1 displaystyle r otimes 1 times I rightarrow 1 nbsp Vikonuyetsya aksioma trikutnika V W C 1 V l W a V I W r V 1 W displaystyle V W in mathcal C quad quad 1 V otimes l W circ a V I W r V otimes 1 W nbsp Napriklad dlya trijok U V W C displaystyle U V W in mathcal C nbsp ta f g h M o r C displaystyle f g h in mathrm Mor mathcal C nbsp ye takij izomorfizm a U V W U V W U V W displaystyle a U V W U otimes V otimes W rightarrow U otimes V otimes W nbsp sho diagrama nbsp ye komutativnoyu 7 Kategoriya Drinfelda RedaguvatiVolodimir Gershonovich Drinfeld viznachiv kvazi trikutnu monoyidalnu kategoriyu Nehaj C displaystyle mathfrak C nbsp kategoriya ob yektami yakoyi ye g displaystyle mathfrak g nbsp moduli a H o m C U W H o m g U W n displaystyle mathrm Hom mathfrak C U W mathrm Hom mathfrak g U W n nbsp Ce C displaystyle C nbsp linijna aditivna kategoriya Teper nehaj V 1 V 2 V 3 C displaystyle V 1 V 2 V 3 in mathfrak C nbsp Rozglyanmo gomomorfizm 8 T 3 ℏ E n d V 1 V 2 V 3 displaystyle theta T 3 hbar rightarrow End V 1 otimes V 2 otimes V 3 nbsp yakij viznachayetsya formuloyu 8 t i j W i j displaystyle theta t ij Omega ij nbsp i F V 1 V 2 V 3 8 F displaystyle Phi V 1 V 2 V 3 theta Phi nbsp Tut F displaystyle Phi nbsp ye morfizmom asociativnosti asociatorom Drinfelda Cherez W displaystyle Omega nbsp poznachenij element Kazimira Cherez T 3 ℏ displaystyle T 3 hbar nbsp poznacheni spivvidnoshennya shestikutnika Dlya dovilnih V 1 V 2 C displaystyle V 1 V 2 in mathfrak C nbsp maye misce tenzornij dobutok V 1 V 2 displaystyle V 1 otimes V 2 nbsp Morfizm asociativnosti F V 1 V 2 V 3 displaystyle Phi V 1 V 2 V 3 nbsp ye elementom H o m C V 1 V 2 V 3 V 1 V 2 V 3 displaystyle mathrm Hom mathfrak C V 1 otimes V 2 otimes V 3 V 1 otimes V 2 otimes V 3 nbsp Dlya V 1 V 2 C displaystyle V 1 V 2 in mathfrak C nbsp viznachmo takozh skruchennya S V 1 V 2 V 1 V 2 V 2 V 1 displaystyle mathfrak S V 1 V 2 V 1 otimes V 2 rightarrow V 2 otimes V 1 nbsp formuloyu S V 1 V 2 s exp ℏ W 2 displaystyle mathfrak S V 1 V 2 s circ exp hbar Omega 2 nbsp de s displaystyle s nbsp ye perestanovkoyu Morfizmi F V 1 V 2 V 3 S V 1 V 2 displaystyle Phi V 1 V 2 V 3 mathfrak S V 1 V 2 nbsp viznachayut strukturu kvazi trikutnoyi kategoriyi na S displaystyle mathfrak S nbsp 8 Funktor Sera RedaguvatiFunktorom Sera triangulovanoyi C displaystyle C nbsp linijnoyi H o m displaystyle mathrm Hom nbsp skinchennoyi kategoriyi A displaystyle mathcal A nbsp ye kovariantnij aditivnij funktor F A A displaystyle F mathcal A rightarrow mathcal A nbsp yakij komutuye iz zsuvami yaksho maye misce avtoekvivalentnist F A A displaystyle F mathcal A rightarrow mathcal A nbsp taka sho mayut misce bifunktorialni izomorfizmiH o m A E G D H o m A G F E displaystyle mathrm Hom mathcal A E G cong D mathrm Hom mathcal A G F E nbsp de D H o m C k E G O b A displaystyle D mathrm Hom C k E G in mathrm Ob mathcal A nbsp Yaksho funktor Sera isnuye to vin yedinij z tochnistyu do izomorfizmu Dlya gladkogo proektivnogo mnogovidu M displaystyle M nbsp rozmirnosti n displaystyle n nbsp j kanonichnogo puchka w M n W M displaystyle omega M land n Omega M nbsp klasichna dvoyistist SeraH i M F D E x t n i F w M displaystyle H i M mathfrak F cong D mathrm Ext n i mathfrak F omega M nbsp de F c o h M displaystyle mathfrak F in mathrm coh M nbsp ye naslidkom togo sho F w M n displaystyle F otimes omega M n nbsp ye funktorom Sera na dovilnij kategoriyi obmezhenih kompleksiv kogerentnih puchkiv D b c o h M displaystyle D b mathrm coh M nbsp Yaksho na triangulovanij C displaystyle C nbsp linijnij H o m displaystyle mathrm Hom nbsp skinchennij kategoriyi A displaystyle mathcal A nbsp ye funktor Sera to taka kategoriya ye kategoriyeyu iz dvoyististyu Sera Nehaj A displaystyle A nbsp skinchennovimirna algebra nad C displaystyle C nbsp yaka maye skinchennu gomologichnu rozmirnist A D b A m o d displaystyle mathcal A D b A mathrm mod nbsp dovilna kategoriya skinchennovimirnih livih A displaystyle A nbsp moduliv Nayavni dva funktori dualizaciyi yaki perevodyat D b A m o d displaystyle D b A mathrm mod nbsp u D b m o r A displaystyle D b mathrm mor A nbsp pravi mouli j navpaki D b A m o d d D b m o d A d D b A m o d displaystyle D b A mathrm mod overset delta rightarrow D b mathrm mod A overset d rightarrow D b A mathrm mod nbsp d M R H o m A M A d M H o m C M C displaystyle delta M R mathrm Hom A M A quad quad d M mathrm Hom C M C nbsp Tut m o d A displaystyle mathrm mod A nbsp kategoriya skinchennoporodzhenih moduliv nad skinchennovimirnoyu C displaystyle C nbsp algebroyu A displaystyle A nbsp globalnoyi rozmirnosti Kompoziciya F d d displaystyle F d circ delta nbsp nazivayetsya funktorom Nakayami j ye funktorom Sera u kategoriyi A D b A m o d displaystyle mathcal A D b A mathrm mod nbsp Triagnulovana C displaystyle C nbsp linijna H o m displaystyle mathrm Hom nbsp skinchenna kategoriya A displaystyle mathcal A nbsp nazivayetsya kategoriyeyu Kalabi Yau yaksho triangulovanij n displaystyle n nbsp kratnij funktor zsuvu n displaystyle n nbsp ye funktorom Sera Najmenshe n 0 displaystyle n geq 0 nbsp nazivayetsya rozmirnistyu Kalabi Yau kategoriyi A displaystyle mathcal A nbsp j poznachayetsya C Y d i m A displaystyle mathrm CYdim mathcal A nbsp Yaksho kategoriya A displaystyle mathcal A nbsp ne ye kategoriyeyu Kalabi Yau to C Y d i m A displaystyle mathrm CYdim mathcal A infty nbsp Triangulovani kategoriyi iz dvoyististyu Sera predstavlyayut interes tomu sho na spadkovih abelevih kategoriyah A displaystyle mathbb A nbsp Neter ye dvoyistist Sera 9 Multikategoriya RedaguvatiMultikategoriyeyu ye nabir ob yektiv a b displaystyle a b nbsp strilok f 1 f 2 displaystyle f 1 f 2 nbsp operaciya kompoziciyi viznachayetsya yak u zvichajnij kategoriyi U zvichajnij kategoriyi oblast viznachennya d o m f displaystyle mathrm dom f nbsp odinichnij ob yekt todi yak u multikategoriyi ce skinchenna mnozhina ob yektiv Inshimi slovami dlya zvichajnoyi kategoriyi a b displaystyle a rightarrow b nbsp todi yak u multikategoriyi a 1 a 2 a k b k N displaystyle begin bmatrix a 1 a 2 a k end bmatrix rightarrow b quad k in mathbb N nbsp Primitki Redaguvati Helemskij A Ya 2004 Lekcii po funkcionalnomu analizu ros Moskva MCNMO ISBN 5 94057 065 8 D E Rydeheard R M Burstall Computational Category Theory New York Prentice Hall v 1988 XIII 257 r ISBN 0 13 162736 8 Chi potribna fizikam teoriya kategorij Arhiv originalu za 5 bereznya 2010 Procitovano 15 bereznya 2010 Toposi dlya fiziki Arhivovano 5 grudnya 2008 u Wayback Machine ref en J Adamek H Herrlich G E Strecker Abstract and concrete categories The joy of cats Arhivovano 25 bereznya 2010 u Wayback Machine New York John Wiley and Sons 1990 Matematicheskaya enciklopediya M Sovetskaya enciklopediya I M Vinogradov 1977 1985 Tenzornye kategorii i R matrica dlya Uq sl2 Arhiv originalu za 28 lyutogo 2020 V G Drinfeld O kvazitreugolnyh kvazihopfovyh algebrah i odnoj gruppe tesno svyazannoj s Gal Q Q Algebra i analiz 1990 tom 2 vypusk 4 149 181 A I Bondal M M Kapranov Predstavimye funktory funktory Serra i perestrojki Izv AN SSSR Ser matem 1989 tom 53 vypusk 6 1183 1205 Div takozh RedaguvatiKategoriya Teoriya grup Lyambda chislennya Kategoriya dobutku Teoriya toposivLiteratura RedaguvatiS Maklejn Kategorii dlya rabotayushego matematika M FIZMATLIT 2004 352 s ISBN 5 9221 0400 4 I Bukur A Delyanu Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov M Mir 1972 Calenko M S Shulgejfer E G Osnovy teorii kategorij M Nauka 1974 Adamek Jiri Herrlich Horst Strecker George E 1990 Abstract and concrete categories John Wiley amp Sons ISBN 0 471 60922 6 Awodey Steven 2006 Category Theory Oxford Logic Guides 49 Oxford University Press Pedicchio Maria Cristina Tholen Walter 2004 Categorical foundations Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97 Cambridge University Press Posilannya RedaguvatiKategorij teoriya Arhivovano 19 kvitnya 2016 u Wayback Machine Enciklopediya suchasnoyi Ukrayini red kol I M Dzyuba ta in NAN Ukrayini NTSh K Institut enciklopedichnih doslidzhen NAN Ukrayini 2001 2022 ISBN 966 02 2074 X Category Theory and Haskell Arhivovano 13 grudnya 2017 u Wayback Machine Category Theory for Programmers Arhivovano 27 chervnya 2018 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoriya kategorij amp oldid 38823416