Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
Функтор — відображення однієї в іншу, узгоджене зі структурою категорій. Функтори були вперше введені в (алгебраїчній топології), де алгебраїчні структури пов'язуються з топологічними просторами, а їхні гомоморфізми — з неперервними відображеннями. В наш час[] функтори використовуються в багатьох розділах математики для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт філософа (Р. Карнапа).
Визначення
Одномісним коваріантним функтором з категорії у категорію , називається пара відображень що позначаються зазвичай однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:
- для кожного ;
- для будь-яких морфізмів і .
Функтор з категорії , двоїстої категорії , у категорію називається одномісним контраваріантним функтором з у . Таким чином для контраваріантного функтора як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) для будь-яких морфізмів .
n-містним функтором з категорій в категорію , коваріантним за аргументами і контраваріантним за рештою аргументів, називається функтор з (декартового добутку) категорій у категорію , де при і при інших i. Двомісні функтори, коваріантні за обома аргументами, називаються біфункторами.
Поліноміальний функтор
В алгебрі є ендофунктором у категорії (скінченновимірних) векторних просторів, що поліноміально не залежить від векторних просторів.
Нехай та - однорідні поліноміальні функтори степенів та відповідно. Тоді - однорідний поліноміальний функтор степеня який відповідає представленню групи
Приклади
- Функтор , що відображає кожен об'єкт категорії в деякий фіксований об'єкт X категорії , а кожен морфізм категорії в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
- (Тотожне відображення) довільної категорії в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається .
- Нехай — довільна категорія — категорія множин, А — фіксований об'єкт з . Зіставлення кожному множини і кожному морфізму відображення , де для кожного , є функтором з у . Цей функтор називається основним коваріантним функтором з у з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з у з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються і відповідно. Якщо — категорія векторних просторів над полем K, то функтор задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е*. У категорії (топологічних абелевих груп) функтор , де Q — (факторгрупа) групи дійсних чисел по (підгрупі) (цілих чисел), зіставляє кожній групі її групу характерів.
У будь-якій категорії зі скінченними (добутками), добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний за всіма аргументами, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду (універсальних алгебр), що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція (фундаментальної групи) топологічного простору, конструкції груп (гомології) і (когомології) різних розмірностей і т. д.
Будь-який функтор визначає відображення кожної множини в множину зіставляючи морфізму морфізм . функтор F називається (унівалентним), якщо всі вказані відображення (ін'єктивні), і (повним), якщо всі ці відображення сюр'єктивні.
Див. також
- (Забутливий функтор)
- (Конкретна категорія)
Література
- Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — .
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет