Морфізм — структурозберігальне відображення між двома математичними структурами. Тобто, відображення між множинами що зберігає структури (так що структури визначені для першої множини відображаються на еквівалентні структури в другій множині).
Частковими випадками морфізму є:
- гомоморфізм — зберігає алгебраїчні структури;
- гомеоморфізм — зберігає топологічні структури;
- дифеоморфізм — зберігає диференціальні структури.
Наприклад:
- в теорії множин морфізмами є функції,
- в лінійній алгебрі — лінійні оператори,
- в теорії груп — гомоморфізм груп,
- в топології — неперервні функції.
Теорія категорій Редагувати
Морфізм — основне поняття теорії категорії, яка не розглядає природу конкретних математичних структур. А вивчає категорії (об'єктів, математичних структур) за допомогою комутативних діаграм (в яких морфізми зображаються стрілками).
Для морфізмів виконуються дві аксіоми:
- Існування одиниці: для довільного об'єкта X існує морфізм idX : X → X називається тотожний морфізм на X, такий, що для кожного f : A → B отримаємо idB o f = f = f o idA.
- Асоціативність: h o (g o f) = (h o g) o f щодо операції композиції.
Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм Редагувати
Морфізм називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм , що та . Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.
Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Безліч ендоморфізмів є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом .
Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів по композиції.
Мономорфізм, епіморфізм, біморфізм Редагувати
Мономорфізм — це морфізм такий, що для будь-яких з випливає, що . Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.
Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких з слідує .
Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, але не будь-який біморфізм є ізоморфізмом.
Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно. Будь-який ізоморфізм є мономорфізмом і епіморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.
Див. також Редагувати
| Ця стаття не містить посилань на джерела. (січень 2019) |