www.wikidata.uk-ua.nina.az

Лінійна алгебра Ліні йна а лгебра частина алгебри що вивчає вектори векторні простори лінійні відображення та системи лі

Лінійна алгебра

Ліні́йна а́лгебра — частина алгебри, що вивчає вектори, векторні простори, лінійні відображення та системи лінійних рівнянь. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях. Лінійна алгебра широко використовується в абстрактній алгебрі та функціональному аналізі і застосовується у природничих науках.

Предмет лінійної алгебри

До лінійної алгебри відносять: теорію лінійних рівнянь, теорію визначників, теорію матриць, теорію векторних просторів та лінійних перетворень у них, теорію форм (наприклад, квадратичних), теорію інваріантів (частково), тензорне числення (частково).

Історія

Історично першим питанням лінійної алгебри було знаходження розв'язків лінійних рівнянь. Побудова теорії для систем таких рівнянь потребувала таких інструментів, як теорія матриць і визначників, і привела до появи теорії векторних просторів.

Лінійні рівняння як рівняння прямих і площин стали природним предметом вивчення після винаходу Декартом і Ферма методу координат (близько 1636). Гамільтон у своїй роботі 1833 представляв комплексні числа у вигляді, як ми б зараз сказали, двовимірного дійсного векторного простору, йому належить відкриття кватерніонів, а також авторство терміну «вектор». Теорія матриць була розроблена у працях Келі (1850-ті). Системи лінійних рівнянь у векторному для матриці вигляді вперше з'явилися, мабуть, у роботах Лагерра (1867). Герман Грассман у роботах 1844 та 1862 року вивчає те, що ми тепер назвали б алгеброю, і його формальний виклад по суті є першою аксіоматичною теорією систем алгебри. У явному вигляді аксіоми лінійного простору сформульовані в роботі Пеано (1888).

Основні поняття

Розвиток лінійної алгебри почався з практичних задач розв'язування лінійних рівнянь та аналітичної геометрії. Поступово сформувалися абстрактні поняття вектора, матриці, векторного простору, скалярного добутку, визначників тощо.

Вектор

Вектор у лінійній алгебрі є узагальненням геометричного тривимірного вектора, що використовується в геометрії та механіці. У розумінні лінійної алгебри вектор — це індексована сукупність чисел або інших математичних об'єктів , яка має ту властивість, що її можна множити на число, наприклад , і результатом цього добутку буде новий вектор . Вектори можна також додавати, і сумою двох векторів буде вектор, в якому кожному індексу відповідатиме сума відповідних компонент векторів-доданків:

Компонентами векторів є зазвичай дійсні числа, хоча вони можуть бути іншими математичними об'єктами, наприклад, комплексними числами, векторами або матрицями. Важливо тільки, щоб для них була визначена операція додавання. Аналогічно, число, на яке можна помножити вектор, зазвичай є дійсним числом, але може бути й комплексним, головне, щоб для вектора була визначена операція множення на нього.

Вище вектори записані у вигляді рядка, однак, у лінійній алгебрі їх частіше записують у вигляді стовбчика:

Векторний простір

Векторним або лінійним простором називають множину векторів, до якої належать вектори з будь-яким можливим значенням компонент, тобто це множина всіх векторів заданої природи. Окрім того, що у векторному просторі визначені операції додавання векторів та множення на скаляр (число), для того щоб множина векторів складала векторний простір на ній повинен діяти ряд аксіом: комутативності, асоціативності, дистрибутивності додавання і множення на скаляр, існування нульового і протилежного елемента.

Число n, яке визначає кількість елементів вектора називається розмірністю векторного простору. Лінійна алгебра вивчає векторні простори скінченної розмірності. Вектори з нескінченним числом компонент вивчаються іншими розділами математики, зокрема функціональним аналізом.

Лінійне відображення

Між двома векторними просторами можна задати відображення. Лінійна алгебра вивчає відображення, які називаються лінійними. Лінійне відображення пов'язує між собою два векторні простори, побудовані над одним і тим же полем, тобто числа, на які множаться вектори повинні мати однакову природу. Воно є гомоморфізмом, тобто кожному елементу однієї множини лінійне відображення ставить у відповідність елемент іншої множини, крім того, воно має ту властивість, що сумі елементів однієї множини відповідає сума відповідних елементів іншої множини, і елементу, помноженому на число, відповідає елемент іншої множини, помножений на те ж число.

Лінійне відображення простору у себе (ендоморфізм) називається лінійним перетворенням.

Матриця

Найважливішим способом задання лінійного відображення є матриця — таблиця чисел або інших математичних об'єктів з двома індексами, наприклад . За допомогою матриці лінійне відображення задається у вигляді

тобто кожна компонента вектора y з векторного простору Y є лінійною комбінацією компонент вектора x з векторного простору X з коефіцієнтами, які визнаються елементами матриці A.

У випадку лінійного перетворення матриця перетворення квадратна.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Система лінійних рівнянь від трьох змінних визначає набір площин. Точка перетину є розв'язком.

Задача знаходження елемента векторного простору, який при лінійному перетворенні переходить у визначений елемент іншого векторного простору приводить до поняття системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими — це система рівнянь виду

Вона може бути представлена у​ матричній формі як:

або:

Вивчення розділу «Лінійна алгебра»

Лінійні простори

Лінійні перетворення

Білінійні та квадратичні форми

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Аналітична геометрія

Примітки

Література

Українською

  1. Андрійчук В.І., Забавський, Б.В. (2008 р.). . Львів: Міністерство освіти і науки України, Львівський національний університет імені Івана Франка. ISBN 9789666136230. Архів оригіналу за 21 січня 2022. Процитовано 13 червня 2016.  (укр.)
  2. Боднарчук Ю.В.; Олійник Б.В. (2010 р.). . Київ: Києво-Могилянська академія. с. 176. ISBN 978-966-518-539-0. Архів оригіналу за 27 вересня 2016. Процитовано 17 червня 2016.  (укр.)
  3. В. В. Булдигін; І. В. Алєксєєва; В. О. Гайдей; О. О. Диховичний; Н. Р. Коновалова; Л. Б. Федорова (2011 р.). . Київ: ТВіМС. ISBN 966–8725–05–0. Архів оригіналу за 20 листопада 2014. Процитовано 22 травня 2016.  (укр.)
  4. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: навч. посіб. / О. М. Рибицька, Д. М. Білонога, П. І. Каленюк ; М-во освіти і науки, молоді та спорту України, Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Л. : Вид-во Львів. політехніки, 2011. — 124 с. : іл. — Бібліогр.: с. 116 (10 назв). — ISBN 978-617-607-142-6 : 1
  5. Романів О.М. (2014 р.). Лінійна алгебра. Львів: І.Е. Чижиков. ISBN 9789662645118.  (укр.)
  6. Овчинников П. П.; Яремчук Ф. П.; Михайленко В. М. (2003 р.). Вища математика: Підручник. У 2 частинах. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра: Аналітична геометрія: Вступ до математичного аналізу: Диференціальне і інтегральне числення. Київ: "Техніка". ISBN 966-575-055-0.  (укр.)
  7. Тевяшев А. Д.; Литвин О.Г. (2002 р.). Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1: Лінійна алгебра і аналітична геометрія: Диференціальне числення функцій однієї змінної. Харків: ХТУРЕ. ISBN 5-7763-1513-1.  (укр.)
  8. Дубовик В. П.; Юрик І. І. (2006 р.). Вища математика. Київ: Університетська бібліотека. ISBN 966-539-320-0.  (укр.)
  9. Єрмаков А. І., Крамар М. М. Лінійна алгебра: Навчальний посібник. — Луганськ: Вид-во СУДУ, 2000. 176 с.
  10. Городецький В.В.; Колісник Р.С.; Сікора В.С. (2014 р.). Курс лінійної алгебри в теоремах і задачах. Чернівці: С.Н. Яворський.  (укр.)

Іншими мовами

  1. Serge Lang (1997 р.). Introduction to Linear Algebra (Undergraduate Texts in Mathematics) 2nd edition. New York: Springer. ISBN 978-0387962054.  (англ.)
  2. Gilbert Strang (2009 р.). Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition. Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0980232714.  (англ.)
  1. Beezer, Robert A. (2015). . Архів оригіналу за 21 травня 2016. Процитовано 22 травня 2016.  (англ.)
  2. Hefferon, Jim (2014). . Архів оригіналу за 8 березня 2016. Процитовано 22 травня 2016.  (англ.)
  3. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
  4. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)
Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Lini jna a lgebra chastina algebri sho vivchaye vektori vektorni prostori linijni vidobrazhennya ta sistemi linijnih rivnyan Vektorni prostori zustrichayutsya v matematici ta yiyi prikladnih zastosuvannyah Linijna algebra shiroko vikoristovuyetsya v abstraktnij algebri ta funkcionalnomu analizi i zastosovuyetsya u prirodnichih naukah Zmist 1 Predmet linijnoyi algebri 2 Istoriya 3 Osnovni ponyattya 3 1 Vektor 3 2 Vektornij prostir 3 3 Linijne vidobrazhennya 3 4 Matricya 3 5 Sistema linijnih algebrayichnih rivnyan 4 Vivchennya rozdilu Linijna algebra 4 1 Linijni prostori 4 2 Linijni peretvorennya 4 3 Bilinijni ta kvadratichni formi 4 4 Sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan 4 5 Analitichna geometriya 5 Primitki 6 Literatura 6 1 Ukrayinskoyu 6 2 Inshimi movamiPredmet linijnoyi algebri RedaguvatiDo linijnoyi algebri vidnosyat teoriyu linijnih rivnyan teoriyu viznachnikiv teoriyu matric teoriyu vektornih prostoriv ta linijnih peretvoren u nih teoriyu form napriklad kvadratichnih teoriyu invariantiv chastkovo tenzorne chislennya chastkovo Istoriya RedaguvatiIstorichno pershim pitannyam linijnoyi algebri bulo znahodzhennya rozv yazkiv linijnih rivnyan Pobudova teoriyi dlya sistem takih rivnyan potrebuvala takih instrumentiv yak teoriya matric i viznachnikiv i privela do poyavi teoriyi vektornih prostoriv Linijni rivnyannya yak rivnyannya pryamih i ploshin stali prirodnim predmetom vivchennya pislya vinahodu Dekartom i Ferma metodu koordinat blizko 1636 Gamilton u svoyij roboti 1833 predstavlyav kompleksni chisla u viglyadi yak mi b zaraz skazali dvovimirnogo dijsnogo vektornogo prostoru jomu nalezhit vidkrittya kvaternioniv a takozh avtorstvo terminu vektor Teoriya matric bula rozroblena u pracyah Keli 1850 ti Sistemi linijnih rivnyan u vektornomu dlya matrici viglyadi vpershe z yavilisya mabut u robotah Lagerra 1867 German Grassman u robotah 1844 ta 1862 roku vivchaye te sho mi teper nazvali b algebroyu i jogo formalnij viklad po suti ye pershoyu aksiomatichnoyu teoriyeyu sistem algebri U yavnomu viglyadi aksiomi linijnogo prostoru sformulovani v roboti Peano 1888 Osnovni ponyattya RedaguvatiRozvitok linijnoyi algebri pochavsya z praktichnih zadach rozv yazuvannya linijnih rivnyan ta analitichnoyi geometriyi Postupovo sformuvalisya abstraktni ponyattya vektora matrici vektornogo prostoru skalyarnogo dobutku viznachnikiv tosho Vektor Redaguvati Vektor u linijnij algebri ye uzagalnennyam geometrichnogo trivimirnogo vektora sho vikoristovuyetsya v geometriyi ta mehanici U rozuminni linijnoyi algebri vektor ce indeksovana sukupnist chisel abo inshih matematichnih ob yektiv x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n yaka maye tu vlastivist sho yiyi mozhna mnozhiti na chislo napriklad l displaystyle lambda i rezultatom cogo dobutku bude novij vektor l x 1 l x 2 l x n displaystyle lambda x 1 lambda x 2 ldots lambda x n Vektori mozhna takozh dodavati i sumoyu dvoh vektoriv bude vektor v yakomu kozhnomu indeksu vidpovidatime suma vidpovidnih komponent vektoriv dodankiv x 1 x 2 x n y 1 y 2 y n x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n displaystyle x 1 x 2 ldots x n y 1 y 2 ldots y n x 1 y 1 x 2 y 2 ldots x n y n Komponentami vektoriv x i displaystyle x i ye zazvichaj dijsni chisla hocha voni mozhut buti inshimi matematichnimi ob yektami napriklad kompleksnimi chislami vektorami abo matricyami Vazhlivo tilki shob dlya nih bula viznachena operaciya dodavannya Analogichno chislo na yake mozhna pomnozhiti vektor zazvichaj ye dijsnim chislom ale mozhe buti j kompleksnim golovne shob dlya vektora bula viznachena operaciya mnozhennya na nogo Vishe vektori zapisani u viglyadi ryadka odnak u linijnij algebri yih chastishe zapisuyut u viglyadi stovbchika x x 1 x 2 x n displaystyle x left begin matrix x 1 x 2 vdots x n end matrix right Vektornij prostir Redaguvati Dokladnishe Vektornij prostirVektornim abo linijnim prostorom nazivayut mnozhinu vektoriv do yakoyi nalezhat vektori z bud yakim mozhlivim znachennyam komponent tobto ce mnozhina vsih vektoriv zadanoyi prirodi Okrim togo sho u vektornomu prostori viznacheni operaciyi dodavannya vektoriv ta mnozhennya na skalyar chislo dlya togo shob mnozhina vektoriv skladala vektornij prostir na nij povinen diyati ryad aksiom komutativnosti asociativnosti distributivnosti dodavannya i mnozhennya na skalyar isnuvannya nulovogo i protilezhnogo elementa Chislo n yake viznachaye kilkist elementiv vektora nazivayetsya rozmirnistyu vektornogo prostoru Linijna algebra vivchaye vektorni prostori skinchennoyi rozmirnosti Vektori z neskinchennim chislom komponent vivchayutsya inshimi rozdilami matematiki zokrema funkcionalnim analizom Linijne vidobrazhennya Redaguvati Dokladnishe Linijne vidobrazhennyaMizh dvoma vektornimi prostorami mozhna zadati vidobrazhennya Linijna algebra vivchaye vidobrazhennya yaki nazivayutsya linijnimi Linijne vidobrazhennya pov yazuye mizh soboyu dva vektorni prostori pobudovani nad odnim i tim zhe polem tobto chisla na yaki mnozhatsya vektori povinni mati odnakovu prirodu Vono ye gomomorfizmom tobto kozhnomu elementu odniyeyi mnozhini linijne vidobrazhennya stavit u vidpovidnist element inshoyi mnozhini krim togo vono maye tu vlastivist sho sumi elementiv odniyeyi mnozhini vidpovidaye suma vidpovidnih elementiv inshoyi mnozhini i elementu pomnozhenomu na chislo vidpovidaye element inshoyi mnozhini pomnozhenij na te zh chislo Linijne vidobrazhennya prostoru u sebe endomorfizm nazivayetsya linijnim peretvorennyam Matricya Redaguvati Dokladnishe Matricya matematika Najvazhlivishim sposobom zadannya linijnogo vidobrazhennya ye matricya tablicya chisel abo inshih matematichnih ob yektiv z dvoma indeksami napriklad a i j displaystyle a ij Za dopomogoyu matrici linijne vidobrazhennya X Y displaystyle X rightarrow Y zadayetsya u viglyadi y i j a i j x i displaystyle y i sum j a ij x i tobto kozhna komponenta vektora y z vektornogo prostoru Y ye linijnoyu kombinaciyeyu komponent vektora x z vektornogo prostoru X z koeficiyentami yaki viznayutsya elementami matrici A U vipadku linijnogo peretvorennya matricya peretvorennya kvadratna Sistema linijnih algebrayichnih rivnyan Redaguvati Dokladnishe Sistema linijnih algebrayichnih rivnyan Sistema linijnih rivnyan vid troh zminnih viznachaye nabir ploshin Tochka peretinu ye rozv yazkom Zadacha znahodzhennya elementa vektornogo prostoru yakij pri linijnomu peretvorenni perehodit u viznachenij element inshogo vektornogo prostoru privodit do ponyattya sistemi linijnih algebrayichnih rivnyan Sistema m linijnih algebrayichnih rivnyan z n nevidomimi ce sistema rivnyan vidu a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m n x n b m displaystyle begin cases a 11 x 1 a 12 x 2 dots a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 dots a 2n x n b 2 dots a m1 x 1 a m2 x 2 dots a mn x n b m end cases Vona mozhe buti predstavlena u matrichnij formi yak a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2 a m n x 1 x 2 x n b 1 b 2 b m displaystyle begin pmatrix a 11 amp a 12 amp cdots amp a 1n a 21 amp a 22 amp cdots amp a 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 amp a m2 amp cdots amp a mn end pmatrix begin pmatrix x 1 x 2 vdots x n end pmatrix begin pmatrix b 1 b 2 vdots b m end pmatrix abo A x b displaystyle Ax b Vivchennya rozdilu Linijna algebra RedaguvatiLinijni prostori Redaguvati Linijnij prostir modul nad kilcem Linijna nezalezhnist vektoriv rang sistemi vektoriv Bazis linijnogo prostoru matricya perehodu pri zmini bazisa Linijnij pidprostirLinijni peretvorennya Redaguvati Linijne vidobrazhennya linijnij operator linijne peretvorennya matricya linijnogo peretvorennya Vlasni znachennya ta vlasni vektori linijnogo peretvorennya harakteristichnij polinom teorema Gamiltona Keli Yadro ta obraz linijnogo operatora Invariantni pidprostori dlya linijnogo peretvorennya Bilinijni ta kvadratichni formi Redaguvati Bilinijna forma kvadratichna forma zakon inerciyi kriterij Silvestra Pravilo paralelogramaSistemi linijnih algebrayichnih rivnyan Redaguvati Sistema linijnih algebrayichnih rivnyan Teorema Kronekera Kapelli Metod Kramera Metod Gausa Metod Gausa ZhordanaAnalitichna geometriya Redaguvati Evklidiv prostir Skalyarnij dobutokPrimitki RedaguvatiLiteratura RedaguvatiUkrayinskoyu Redaguvati Andrijchuk V I Zabavskij B V 2008 r Linijna algebra Lviv Ministerstvo osviti i nauki Ukrayini Lvivskij nacionalnij universitet imeni Ivana Franka ISBN 9789666136230 Arhiv originalu za 21 sichnya 2022 Procitovano 13 chervnya 2016 ukr Bodnarchuk Yu V Olijnik B V 2010 r Linijna algebra ta analitichna geometriya Kiyiv Kiyevo Mogilyanska akademiya s 176 ISBN 978 966 518 539 0 Arhiv originalu za 27 veresnya 2016 Procitovano 17 chervnya 2016 ukr V V Buldigin I V Alyeksyeyeva V O Gajdej O O Dihovichnij N R Konovalova L B Fedorova 2011 r Linijna algebra ta analitichna geometriya Navch posibnik Kiyiv TViMS ISBN 966 8725 05 0 Arhiv originalu za 20 listopada 2014 Procitovano 22 travnya 2016 ukr Linijna algebra ta analitichna geometriya navch posib O M Ribicka D M Bilonoga P I Kalenyuk M vo osviti i nauki molodi ta sportu Ukrayini Nac un t Lviv politehnika L Vid vo Lviv politehniki 2011 124 s il Bibliogr s 116 10 nazv ISBN 978 617 607 142 6 1 Romaniv O M 2014 r Linijna algebra Lviv I E Chizhikov ISBN 9789662645118 ukr Ovchinnikov P P Yaremchuk F P Mihajlenko V M 2003 r Visha matematika Pidruchnik U 2 chastinah Ch 1 Linijna i vektorna algebra Analitichna geometriya Vstup do matematichnogo analizu Diferencialne i integralne chislennya Kiyiv Tehnika ISBN 966 575 055 0 ukr Tevyashev A D Litvin O G 2002 r Visha matematika u prikladah ta zadachah Ch 1 Linijna algebra i analitichna geometriya Diferencialne chislennya funkcij odniyeyi zminnoyi Harkiv HTURE ISBN 5 7763 1513 1 ukr Dubovik V P Yurik I I 2006 r Visha matematika Kiyiv Universitetska biblioteka ISBN 966 539 320 0 ukr Yermakov A I Kramar M M Linijna algebra Navchalnij posibnik Lugansk Vid vo SUDU 2000 176 s Gorodeckij V V Kolisnik R S Sikora V S 2014 r Kurs linijnoyi algebri v teoremah i zadachah Chernivci S N Yavorskij ukr Inshimi movami Redaguvati Serge Lang 1997 r Introduction to Linear Algebra Undergraduate Texts in Mathematics 2nd edition New York Springer ISBN 978 0387962054 angl Gilbert Strang 2009 r Introduction to Linear Algebra Fourth Edition Wellesley Cambridge Press ISBN 978 0980232714 angl Beezer Robert A 2015 A First Course in Linear Algebra Arhiv originalu za 21 travnya 2016 Procitovano 22 travnya 2016 angl Hefferon Jim 2014 Linear Algebra Arhiv originalu za 8 bereznya 2016 Procitovano 22 travnya 2016 angl Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Malcev A I Osnovy linejnoj algebry 3 e izd Novosibirsk Nauka 1970 400 s ros Linijna algebra Arhivovano 6 zhovtnya 2017 u Wayback Machine Enciklopediya suchasnoyi Ukrayini red kol I M Dzyuba ta in NAN Ukrayini NTSh K Institut enciklopedichnih doslidzhen NAN Ukrayini 2001 2022 ISBN 966 02 2074 X Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Linijna algebra amp oldid 39889041