www.wikidata.uk-ua.nina.az

Квадратична форма Квадрати чна фо рма однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних Зміст 1 Означ

Квадратична форма

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Означення Редагувати

Нехай є полем. Квадратичною формою над полем називається однорідний многочлен другого степеня, тобто:

Якщо характеристика поля не є рівною 2, то як правило у цьому виразі В іншому випадку можна ввести нові коефіцієнти Для полів характеристики 2 таку заміну не можливо провести.

Квадратичну форму від n змінний називають n-арною, зокрема бінарною для n = 2.

Квадратичні простори і білінійні форми Редагувати

Еквівалентно , нехай є скінченновимірним векторним простором . Тоді квадратичною формою називається відображення для якого для всіх і відображення є білінійним, тобто лінійним по аргументах і .

Простір із введеною квадратичною формою називається квадратичним простором.

Для полів характеристика яких не є рівною 2 квадратична форма породжує симетричну білінійну форму:

Ця білінійна форма називається асоційованою білінійною формою. Навпаки симетрична білінійна форма породжує квадратичну форму:

Для полів характеристики 2 можна ввести білінійну форму пов'язану із квадратичною але у цьому випадку навпаки ця форма не визначає початкову квадратичну форму оскільки

Асоційовані білінійні форми дозволяють записати квадратичну форму як однорідний многочлен другого степеня від координат вектора у деякому базисі . А саме:

де — розклад вектора через елементи базису, а

Для двох квадратичних просторів і лінійне відображення називається ізометрією якщо воно є ін'єктивним і Якщо це лінійне відображення є ізоморфізмом, то простори називаються ізометричними. Ізометричні простори є ізоморфними як квадратичні простори.

Матриця квадратичної форми Редагувати

Нехай є квадратичною формою.

Матрицю називають матрицею квадратичної форми . У разі, якщо характеристика поля не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто .

Позначивши вектор-стовпець змінних квадратичну форму можна записати у матричному виді:

Навпаки кожна симетрична матриця таким чином задає квадратичну форму.

Якщо квадратична форма визначена як квадратичне відображення на квадратичному просторі над полем характеристика якого не є рівною 2, то елементи матриці задаються значеннями асоційованої білінійної форми для деякого базису :

Якщо  — деякий базис лінійного простору то квадратична форма буде представлена як:

Якщо деякий інший базис e де  — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

Квадратичні форми називаються еквівалентними, якщо їх матриці пов'язані рівністю для деякої невиродженої матриці .

З формули випливає, що визначник матриці квадратичної форми не є її інваріантом (тобто не зберігається при заміні базису, на відміну, наприклад, від матриці лінійного відображення), але її ранг є інваріантом. Таким чином, визначено поняття рангу квадратичної форми.

Якщо матриця квадратичної форми має повний ранг , то квадратичну форму називають невиродженою, в іншому випадку - виродженою.

Приклади Редагувати

Квадратична форма від однієї змінної:

Квадратична форма від двох змінних:

Квадратична форма від трьох змінних:

Канонічна форма Редагувати

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: .

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа). Дана діагоналізація може бути не є диною

У випадку дійсних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі рівні 1, -1 або 0. Для комплексних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі рівні 1 або 0.

Для дійсних квадратичних форм виконується закон інерції Сильвестра: кількість нульових, додатних та від'ємних елементів в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.

Означені дійсні квадратичні форми Редагувати

Квадратична форма над полем дійсних чисел називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо

Одним із важливих результатів про додатноозначені і від'ємноозначені матриці є критерій Сильвестра:

  • Квадратична форма є додатноозначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
  • Квадратичная форма є від'ємноозначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kvadrati chna fo rma odnoridnij mnogochlen drugogo stepenya vid odniyeyi chi dekilkoh zminnih Zmist 1 Oznachennya 1 1 Kvadratichni prostori i bilinijni formi 1 2 Matricya kvadratichnoyi formi 2 Prikladi 3 Kanonichna forma 4 Oznacheni dijsni kvadratichni formi 5 DzherelaOznachennya RedaguvatiNehaj K displaystyle K nbsp ye polem Kvadratichnoyu formoyu nad polem K displaystyle K nbsp nazivayetsya odnoridnij mnogochlen drugogo stepenya tobto q x 1 x n i 1 n j 1 n a i j x i x j a i j K displaystyle q x 1 ldots x n sum i 1 n sum j 1 n a ij x i x j quad a ij in K nbsp Yaksho harakteristika polya ne ye rivnoyu 2 to yak pravilo u comu virazi a i j a j i displaystyle a ij a ji nbsp V inshomu vipadku mozhna vvesti novi koeficiyenti a i j a j i a i j a j i 2 displaystyle a ij a ji frac a ij a ji 2 nbsp Dlya poliv harakteristiki 2 taku zaminu ne mozhlivo provesti Kvadratichnu formu vid n zminnij nazivayut n arnoyu zokrema binarnoyu dlya n 2 Kvadratichni prostori i bilinijni formi Redaguvati Ekvivalentno nehaj V displaystyle V nbsp ye skinchennovimirnim vektornim prostorom K displaystyle K nbsp Todi kvadratichnoyu formoyu nazivayetsya vidobrazhennya q V K displaystyle q V to K nbsp dlya yakogo q a v a 2 q v displaystyle q av a 2 q v nbsp dlya vsih a K v V displaystyle a in K v in V nbsp i vidobrazhennya q u v q u q v displaystyle q u v q u q v nbsp ye bilinijnim tobto linijnim po argumentah u displaystyle u nbsp i v displaystyle v nbsp Prostir V displaystyle V nbsp iz vvedenoyu kvadratichnoyu formoyu nazivayetsya kvadratichnim prostorom Dlya poliv harakteristika yakih ne ye rivnoyu 2 kvadratichna forma porodzhuye simetrichnu bilinijnu formu b q u v 1 2 q u v q u q v displaystyle b q u v tfrac 1 2 q u v q u q v nbsp Cya bilinijna forma nazivayetsya asocijovanoyu bilinijnoyu formoyu Navpaki simetrichna bilinijna forma b u v displaystyle b u v nbsp porodzhuye kvadratichnu formu q u b u u displaystyle q u b u u nbsp Dlya poliv harakteristiki 2 mozhna vvesti bilinijnu formu q u v q u q v displaystyle q u v q u q v nbsp pov yazanu iz kvadratichnoyu ale u comu vipadku navpaki cya forma ne viznachaye pochatkovu kvadratichnu formu oskilki q u u q u q u 0 displaystyle q u u q u q u 0 nbsp Asocijovani bilinijni formi dozvolyayut zapisati kvadratichnu formu yak odnoridnij mnogochlen drugogo stepenya vid koordinat vektora u deyakomu bazisi e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 dots e n nbsp A same q x i j 1 n a i j x i x j displaystyle q x sum i j 1 n a ij x i x j nbsp de x x 1 e 1 x 2 e 2 x n e n displaystyle x x 1 e 1 x 2 e 2 cdots x n e n nbsp rozklad vektora cherez elementi bazisu a a i j a j i b q e i e j b q e j e i displaystyle a ij a ji b q e i e j b q e j e i nbsp Dlya dvoh kvadratichnih prostoriv V q 1 displaystyle V q 1 nbsp i W q 2 displaystyle W q 2 nbsp linijne vidobrazhennya nazivayetsya izometriyeyu yaksho vono ye in yektivnim i q 1 v q 2 T v displaystyle q 1 v q 2 T v nbsp Yaksho ce linijne vidobrazhennya ye izomorfizmom to prostori nazivayutsya izometrichnimi Izometrichni prostori ye izomorfnimi yak kvadratichni prostori Matricya kvadratichnoyi formi Redaguvati Nehaj q x 1 x n i 1 n j 1 n a i j x i x j displaystyle q x 1 ldots x n sum i 1 n sum j 1 n a ij x i x j nbsp ye kvadratichnoyu formoyu Matricyu A a i j displaystyle A a ij nbsp nazivayut matriceyu kvadratichnoyi formi q x displaystyle q x nbsp U razi yaksho harakteristika polya K displaystyle K nbsp ne dorivnyuye 2 mozhna vvazhati sho matricya kvadratichnoyi formi simetrichna tobto a i j a j i displaystyle a ij a ji nbsp Poznachivshi x displaystyle x nbsp vektor stovpec zminnih x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp kvadratichnu formu mozhna zapisati u matrichnomu vidi q x x T A x displaystyle q x x mathrm T Ax nbsp Navpaki kozhna simetrichna matricya takim chinom zadaye kvadratichnu formu Yaksho kvadratichna forma viznachena yak kvadratichne vidobrazhennya na kvadratichnomu prostori nad polem harakteristika yakogo ne ye rivnoyu 2 to elementi matrici zadayutsya znachennyami asocijovanoyi bilinijnoyi formi dlya deyakogo bazisu e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 dots e n nbsp a i j b q e i e j displaystyle a ij b q e i e j nbsp Yaksho e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n nbsp deyakij bazis linijnogo prostoru V displaystyle V nbsp to kvadratichna forma bude predstavlena yak q x x T A x i j 1 n a i j x i x j displaystyle q textbf x textbf x mathrm T A textbf x sum i j 1 n a ij x i x j nbsp Yaksho e 1 e n e 1 e n S displaystyle e 1 ldots e n e 1 ldots e n S nbsp deyakij inshij bazis e V displaystyle V nbsp de S displaystyle S nbsp nevirodzhena matricya Todi pri perehodi do novogo bazisu matricya kvadratichnoyi formi zminitsya na kongruentnu matricyu A S T A S displaystyle A S T AS nbsp Kvadratichni formi nazivayutsya ekvivalentnimi yaksho yih matrici pov yazani rivnistyu A C T A C displaystyle A C T A C nbsp dlya deyakoyi nevirodzhenoyi matrici C displaystyle C nbsp Z formuli A C T A C displaystyle A C T A C nbsp viplivaye sho viznachnik matrici kvadratichnoyi formi ne ye yiyi invariantom tobto ne zberigayetsya pri zamini bazisu na vidminu napriklad vid matrici linijnogo vidobrazhennya ale yiyi rang ye invariantom Takim chinom viznacheno ponyattya rangu kvadratichnoyi formi Yaksho matricya kvadratichnoyi formi maye povnij rang n displaystyle n nbsp to kvadratichnu formu nazivayut nevirodzhenoyu v inshomu vipadku virodzhenoyu Prikladi RedaguvatiKvadratichna forma vid odniyeyi zminnoyi Q x a x 2 displaystyle Q x ax 2 nbsp Kvadratichna forma vid dvoh zminnih Q x y a x 2 b y 2 c x y displaystyle Q x y ax 2 by 2 cxy nbsp Kvadratichna forma vid troh zminnih Q x y z a x 2 b y 2 c z 2 d x y e x z f y z displaystyle Q x y z ax 2 by 2 cz 2 dxy exz fyz nbsp Kanonichna forma RedaguvatiDlya dovilnoyi kvadratichnoyi formi isnuye bazis v yakomu yiyi matricya ye diagonalnoyu a sama forma maye kanonichnij viglyad Q x i l i x i 2 displaystyle Q x sum i lambda i x i 2 nbsp Dlya privedennya kvadratichnoyi formi do kanonichnogo viglyadu vikoristovuyut metod vidilennya povnih kvadrativ metod Lagranzha Dana diagonalizaciya mozhe buti ne ye dinoyuU vipadku dijsnih chisel n arnu kvadratichnu formu mozhna privesti do diagonalnogo vidu de usi l i displaystyle lambda i nbsp rivni 1 1 abo 0 Dlya kompleksnih chisel n arnu kvadratichnu formu mozhna privesti do diagonalnogo vidu de usi l i displaystyle lambda i nbsp rivni 1 abo 0 Dlya dijsnih kvadratichnih form vikonuyetsya zakon inerciyi Silvestra kilkist nulovih dodatnih ta vid yemnih elementiv l i displaystyle lambda i nbsp v diagonalnij matrici kanonichnoyi formi ne zalezhit vid obranogo bazisu Ci tri chisla nazivayutsya signaturoyu kvadratichnoyi formi Oznacheni dijsni kvadratichni formi RedaguvatiKvadratichna forma Q x displaystyle Q x nbsp nad polem dijsnih chisel nazivayetsya dodatnooznachenoyu vid yemnooznachenoyu yaksho x 0 Q x gt 0 Q x lt 0 displaystyle forall x neq 0 Q x gt 0 quad Q x lt 0 nbsp Odnim iz vazhlivih rezultativ pro dodatnooznacheni i vid yemnooznacheni matrici ye kriterij Silvestra Kvadratichna forma ye dodatnooznachenoyu todi i tilki todi koli vsi kutovi minori yiyi matrici strogo dodatni Kvadratichnaya forma ye vid yemnooznachenoyu todi i tilki todi koli znaki vsih kutovih minoriv yiyi matrici cherguyutsya prichomu minor poryadku 1 vid yemnij Dzherela RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Kvadratichni formi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 63 594 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kvadratichna forma amp oldid 36797667