www.wikidata.uk-ua.nina.az

Базис математика Ба зисом дав гр βασις основа векторного простору V displaystyle V називається впорядкований набір векто

Базис (математика)

Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору називається впорядкований набір векторів , якщо кожний вектор із можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

Ілюстрація стандартного базису в R2. Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Базис.

Коефіцієнти кільця називаються координатами вектора відносно базису . Ця рівність зазвичай записується скорочено:

. Тобто так само, як і для запису матриць.

Якщо та - деяке дійсне число, то

Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел.

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір.

Вектори базису є лінійно незалежними.

Обертання Редагувати

Ліва та права системи координат у трьохвимірному просторі. Базисом є трійка векторів е1, е2, е3, кожний з яких спрямований уздовж якоїсь із осей.

Набір лінійно незалежних векторів можна неперервно перетворювати, тому ні у якій проміжній конфігурації об'єм не перетвориться на нуль, або до набору (правий базис), або до набору (лівий базис). Зокрема, перетворення здійснюється як поворот у площині, натягнутій на вектори на кут

Знак у формулі, наведеній під малюнком, визначається парністю перестановки.

Існує застереження щодо складання обертань: трьохвимірні обертання не комутують.

Приклад Редагувати

Вектори ei = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в .

Нескінченовимірні простори Редагувати

Цей розділ потребує доповнення. (грудень 2013)

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 
  2. С.Т.Завало, В.Н.Костарчук, Б.И.Хацет - Алгебра и теория чисел. 
  3. М.Г.Иванов - Механика и теория поля. 
  4. Moti Ben-Ari - A Tutorial on Euler Angles and Quaternions. 

Джерела Редагувати


Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (грудень 2013)
Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ba zisom dav gr basis osnova vektornogo prostoru V displaystyle V nazivayetsya vporyadkovanij nabir vektoriv e 1 e n displaystyle e 1 e n yaksho kozhnij vektor iz V displaystyle V mozhna odnoznachno predstaviti u viglyadi linijnoyi kombinaciyi Ilyustraciya standartnogo bazisu v R2 Blakitnij i pomaranchevij vektori ye elementami bazisu zelenij vektor mozhe buti predstavlenij cherez bazisni vektori vin linijno zalezhit vid nih U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Bazis v i 1 n a i e i a i K displaystyle v sum i 1 n a i e i quad a i in mathbb K Koeficiyenti a i displaystyle a i kilcya K displaystyle mathbb K nazivayutsya koordinatami vektora v displaystyle v vidnosno bazisu e i displaystyle e i 1 Cya rivnist zazvichaj zapisuyetsya skorocheno a a 1 a 2 a n displaystyle a alpha 1 alpha 2 alpha n Tobto tak samo yak i dlya zapisu matric Yaksho a a 1 a 2 a 3 displaystyle a alpha 1 alpha 2 alpha 3 b b 1 b 2 b 3 displaystyle b beta 1 beta 2 beta 3 ta l displaystyle lambda deyake dijsne chislo toa b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 l a l a 1 l a 2 l a 3 a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 displaystyle a b Leftrightarrow alpha 1 beta 1 land alpha 2 beta 2 land alpha 3 beta 3 quad quad lambda a lambda alpha 1 lambda alpha 2 lambda alpha 3 quad quad a b alpha 1 beta 1 alpha 2 beta 2 alpha 3 beta 3 Takim chinom kozhnij vektor prostoru povnistyu viznachayetsya svoyimi koordinatami tobto vporyadkovanoyu trijkoyu dijsnih chisel a operaciyi nad vektorami prostoru zvodyatsya do operacij nad vporyadkovanimi trijkami dijsnih chisel Takim chinom z algebrichnoyi tochki zoru vektori prostoru mozhna vvazhati vporyadkovanimi trijkami chisel 2 Predstavlennya vektora u viglyadi linijnoyi kombinaciyi bazisnih vektoriv nazivayetsya rozkladannyam vektora po danomu bazisu Kilkist vektoriv bazisu ne zalezhit vid viboru bazisnih vektoriv i dorivnyuye rozmirnosti prostoru i poznachayetsya dim V displaystyle dim V Isnuyut prostori yak iz skinchennim tak j neskinchennim bazisom Napriklad n vimirnij ekvlidovij prostir Vektori bazisu ye linijno nezalezhnimi Zmist 1 Obertannya 2 Priklad 3 Neskinchenovimirni prostori 4 Div takozh 5 Primitki 6 DzherelaObertannya Redaguvati nbsp Liva ta prava sistemi koordinat u trohvimirnomu prostori Bazisom ye trijka vektoriv e1 e2 e3 kozhnij z yakih spryamovanij uzdovzh yakoyis iz osej Nabir linijno nezalezhnih vektoriv mozhna neperervno peretvoryuvati tomu ni u yakij promizhnij konfiguraciyi ob yem ne peretvoritsya na nul abo do naboru e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 e n nbsp pravij bazis abo do naboru e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 e n nbsp livij bazis Zokrema peretvorennya zdijsnyuyetsya yak povorot u ploshini natyagnutij na vektori e 1 e 2 displaystyle e 1 e 2 nbsp na kut p 2 displaystyle frac pi 2 nbsp nbsp e 1 e 2 e n e 1 e 2 e n displaystyle e 1 e 2 e n rightarrow e 1 e 2 e n nbsp Znak u formuli navedenij pid malyunkom viznachayetsya parnistyu perestanovki 3 Isnuye zasterezhennya shodo skladannya obertan trohvimirni obertannya ne komutuyut 4 Priklad RedaguvatiVektori ei 0 1 0 1 i n utvoryuyut bazis v K n displaystyle mathbb K n nbsp Neskinchenovimirni prostori RedaguvatiCej rozdil potrebuye dopovnennya gruden 2013 Div takozh Redaguvati nbsp Portal Matematika Lema Stejnica pro zaminu Ortonormovanij bazis Reper matematika Tenzor Bazis ciklivPrimitki Redaguvati A I Kostrikin Yu I Manin Linejnaya algebra i geometriya S T Zavalo V N Kostarchuk B I Hacet Algebra i teoriya chisel M G Ivanov Mehanika i teoriya polya Moti Ben Ari A Tutorial on Euler Angles and Quaternions Dzherela RedaguvatiGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Malcev A I Osnovy linejnoj algebry 3 e izd Novosibirsk Nauka 1970 400 s ros Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno gruden 2013 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Bazis matematika amp oldid 37445492