Te nzor vid lat tendere tyagnutis prostiratisya matematichnij ob yekt sho uzagalnyuye taki ponyattya yak skalyar vektor kovektor linijnij operator i bilinijna forma Vivchennyam tenzoriv zajmayetsya tenzorne chislennya Tenzor mehanichnih napruzhen tenzor drugogo poryadku Komponenti tenzora u trivimirnij Dekartovij sistemi koordinat utvoryuyut matricyu s T e 1 T e 2 T e 3 s 11 s 12 s 13 s 21 s 22 s 23 s 31 s 32 s 33 displaystyle begin aligned sigma amp begin bmatrix mathbf T mathbf e 1 mathbf T mathbf e 2 mathbf T mathbf e 3 end bmatrix amp begin bmatrix sigma 11 amp sigma 12 amp sigma 13 sigma 21 amp sigma 22 amp sigma 23 sigma 31 amp sigma 32 amp sigma 33 end bmatrix end aligned stovpcyami yakoyi ye napruzhennya sili na odinicyu ploshi sho diyut na grani kuba e1 e2 i e3 V deyakomu bazisi tenzor predstavlyayetsya u viglyadi bagatovimirnoyi tablici d d d displaystyle d times d times cdots times d chislo spivmnozhnikiv zbigayetsya z valentnistyu tenzora zapovnenoyi chislami komponentami tenzora Pri zamini bazisu komponenti tenzora zminyuyutsya pevnim chinom pri comu sam tenzor ne zalezhit vid viboru bazisu Zmist 1 Oznachennya 2 Oznachennya tenzornogo ob yekta 3 Prikladi 4 Tenzorni operaciyi 5 Tenzor yak multilinijna funkciya 6 Komponenti tenzora 7 Simetriyi 8 Div takozh 9 LiteraturaOznachennya RedaguvatiTenzor rangu m n nad vektornim prostorom V ye element tenzornogo dobutku m prostoriv V ta n spryazhenih prostoriv V tobto prostoriv linijnih funkcionaliv 1 form na V t T n m V V V V V m n displaystyle begin matrix tau in T n m V amp amp underbrace V otimes dots otimes V amp otimes amp underbrace V otimes dots otimes V amp amp m amp amp n end matrix Suma chisel m n nazivayetsya valentnistyu tenzora Tenzor rangu m n takozh nazivayetsya m raziv kontravariantnim ta n raziv kovariantnim Oznachennya tenzornogo ob yekta RedaguvatiOsnovnoyu vlastivistyu i faktichno oznachennyam tenzora T i j k l displaystyle T ij cdots kl cdots ye zakon peretvorennya jogo komponent pri zmini sistemi koordinat 1 T i j k l a k 1 k a l 1 l b i i 1 b j j 1 T i 1 j 1 k 1 l 1 displaystyle 1 qquad hat T ij cdots kl cdots alpha k 1 k alpha l 1 l cdots beta i i 1 beta j j 1 cdots T i 1 j 1 cdots k 1 l 1 cdots de vzayemno oberneni matrici perehodu a j i b j i displaystyle alpha j i beta j i ye chastinnimi pohidnimi funkcij sho zadayut novi koordinati vidnosno starih ta navpaki 2 a j i x i x j b j i x i x j displaystyle 2 qquad alpha j i partial hat x i over partial x j qquad beta j i partial x i over partial hat x j Prikladi RedaguvatiTenzor rangu 0 0 ye skalyar Tenzor rangu 1 0 ye vektor Tenzor rangu 0 1 ye kovektor kovariantnij vektor tobto element prostoru V Tenzor rangu 0 2 ye bilinijna forma Tenzor rangu 1 1 ye linijnij operator Forma ob yemu na n displaystyle n mirnomu linijnomu prostori ye prikladom antisimetrichnogo tenzora ranga 0 n displaystyle 0 n abo n displaystyle n raz kovariantnogo Tenzor krivini R j k l i displaystyle R jkl i priklad tenzora ranga 1 3 displaystyle 1 3 jogo zgortki tenzor Richchi R i j displaystyle R ij i skalyarna krivina R R i j g i j displaystyle R R ij g ij prikladi tenzoriv vidpovidno ranga 0 2 displaystyle 0 2 i 0 0 displaystyle 0 0 tobto ostannij skalyar Simvol Levi Chiviti tenzor 3 go ranga e i j k displaystyle varepsilon ijk Tenzorni operaciyi RedaguvatiDokladnishe Operaciyi nad tenzoramiTenzori dopuskayut taki unarni operaciyi Mnozhennya na skalyar vikonuyetsya pokomponentno Zgortka tenzora specifichna tenzorna operaciya sho znizhuye rang tenzora i taki binarni operaciyi Dodavannya tenzoriv odnakovoyi valentnosti ta skladu indeksiv vikonuyetsya pokomponentno Mnozhennya tenzoriv dobutkom tenzora rangu m n na tenzor rangu m n ye tenzor rangu m m n n tobto yaksho s T n m displaystyle sigma in T n m i t T n m displaystyle tau in T n m to yih dobutoks t T n n m m T n m T n m displaystyle sigma otimes tau in T n n m m T n m otimes T n m dd Tenzor yak multilinijna funkciya RedaguvatiPro tenzor rangu 0 n zruchno dumati yak pro funkciyu a v 1 v 2 v n displaystyle alpha v 1 v 2 dots v n z v i V displaystyle v i in V yaka linijna po kozhnomu argumentu v i displaystyle v i taki funkciyi nazivayutsya polilinijnimi tobto a v 1 c v i v n c a v 1 v i v n displaystyle alpha v 1 dots cv i dots v n c cdot alpha v 1 dots v i dots v n a v 1 v i v i v n a v 1 v i v n a v 1 v i v n displaystyle alpha v 1 dots v i v i dots v n alpha v 1 dots v i dots v n alpha v 1 dots v i dots v n Takozh mozhna dumati i pro dovilnij tenzor rangu n m ale v comu vipadku treba rozglyadati funkciyu a w 1 w 2 w n v 1 v 2 v m displaystyle alpha w 1 w 2 dots w n v 1 v 2 dots v m de w i V v i V displaystyle w i in V v i in V Komponenti tenzora RedaguvatiKomponentami koordinatami tenzora v bazisi vidnesennya e i V i 1 d i m V displaystyle e i in V i 1 dim V ye chisla t j 1 j 2 j n i 1 i 2 i m t e j 1 e j 2 e j n e i 1 e i 2 e i m displaystyle tau j 1 j 2 dots j n i 1 i 2 dots i m tau e j 1 e j 2 dots e j n e i 1 e i 2 dots e i m 1 i a j b d displaystyle 1 leq i a j b leq d de e j V j 1 d displaystyle e j in V j 1 d ye bazis v prostori V displaystyle V dualnij bazisu e i displaystyle e i tobto e j e i d i j displaystyle e j e i delta i j de d i j displaystyle delta i j ye simvol Kronekera Indeksi sho vidnosyatsya do prostoriv V displaystyle V zobrazhayut verhnimi indeksami i nazivayut kontravariantnimi a indeksi sho vidnosyatsya do prostoriv V displaystyle V vidpovidno zobrazhayut znizu i nazivayut kovariantnimi Simetriyi RedaguvatiV riznogo rodu zastosuvannyah chasto vinikayut tenzori z pevnoyu vlastivistyu simetriyi Simetrichnim za dvoma ko kontra variantnimi indeksami nazivayetsya tenzor yakij zadovolnyaye takij vimozi T e j 1 e j 2 e j n e i 1 e i 2 e i m T e j 2 e j 1 e j n e i 1 e i 2 e i m displaystyle T underline e j 1 e j 2 e j n e i 1 e i 2 e i m T underline e j 2 e j 1 e j n e i 1 e i 2 e i m T e j 1 e j 2 e j n e i 1 e i 2 e i m T e j 1 e j 2 e j n e i 2 e i 1 e i m displaystyle T e j 1 e j 2 e j n underline e i 1 e i 2 e i m T e j 1 e j 2 e j n underline e i 2 e i 1 e i m abo v komponentah T j 1 j 2 j n i 1 i 2 i m T j 2 j 1 j n i 1 i 2 i m displaystyle T underline j 1 j 2 j n i 1 i 2 i m T underline j 2 j 1 j n i 1 i 2 i m j 1 j 2 1 2 d i m V d i m V displaystyle quad forall j 1 j 2 1 2 dim V dim V T j 1 j 2 j n i 1 i 2 i m T j 1 j 2 j n i 2 i 1 i m displaystyle T j 1 j 2 j n underline i 1 i 2 i m T j 1 j 2 j n underline i 2 i 1 i m i 1 i 2 1 2 d i m V d i m V displaystyle quad forall i 1 i 2 1 2 dim V dim V Analogichno viznachayetsya kosa simetriya abo antisimetrichnist T e j 1 e j 2 e j n e i 1 e i 2 e i m T e j 2 e j 1 e j n e i 1 e i 2 e i m displaystyle T underline e j 1 e j 2 e j n e i 1 e i 2 e i m T underline e j 2 e j 1 e j n e i 1 e i 2 e i m T e j 1 e j 2 e j n e i 1 e i 2 e i m T e j 1 e j 2 e j n e i 2 e i 1 e i m displaystyle T e j 1 e j 2 e j n underline e i 1 e i 2 e i m T e j 1 e j 2 e j n underline e i 2 e i 1 e i m abo v komponentah T j 1 j 2 j n i 1 i 2 i m T j 2 j 1 j n i 1 i 2 i m displaystyle T underline j 1 j 2 j n i 1 i 2 i m T underline j 2 j 1 j n i 1 i 2 i m j 1 j 2 1 2 dim V dim V displaystyle quad forall j 1 j 2 1 2 dim V dim V T j 1 j 2 j n i 1 i 2 i m T j 1 j 2 j n i 2 i 1 i m displaystyle T j 1 j 2 j n underline i 1 i 2 i m T j 1 j 2 j n underline i 2 i 1 i m i 1 i 2 1 2 dim V dim V displaystyle quad forall i 1 i 2 1 2 dim V dim V Simetriya abo antisimetriya ne obov yazkovo povinna ohoplyuvati tilki susidni indeksi vona mozhe vklyuchati j indeksi z riznih misc tenzora Golovnoyu umovoyu ye te sho simetriya abo antisimetriya mozhe stosuvatisya tilki indeksiv odnogo sortu ko abo kontravariantnih Simetriyi mizh ko i kontravariantnimi indeksami tenzoriv ne mayut sensu oskilki navit yaksho voni sposterigayutsya v komponentah to rujnuyutsya pri perehodi do inshogo bazisu vidnesennya Ci viznachennya prirodnim chinom uzagalnyuyutsya na vipadok bilshe nizh dvoh indeksiv Pri comu za bud yakoyi perestanovki indeksiv za yakimi tenzor ye simetrichnim jogo diya ne zminyuyetsya a pri antisimetriyi za indeksami znak diyi tenzora zminyuyetsya na protilezhnij dlya neparnih perestanovok sho oderzhuyutsya z pochatkovogo roztashuvannya indeksiv neparnim chislom transpozicij perestanovok dvoh indeksiv i zberigayetsya dlya parnih Div takozh RedaguvatiOperaciyi nad tenzorami Strukturnij tenzorLiteratura RedaguvatiGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros M A Razumova V M Hotyayincev Osnovi vektornogo i tenzornogo analizu navchalnij posibnik Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2011 216s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Tenzor amp oldid 37367642
