www.wikidata.uk-ua.nina.az

Лінійна комбінація вираз побудований на множині елементів шляхом множення кожного елемента на коефіцієнти з подальшим до

Лінійна комбінація

Лінійна комбінація — вираз, побудований на множині елементів шляхом множення кожного елемента на коефіцієнти з подальшим додаванням результатів (наприклад, лінійною комбінацією x і y буде вираз такого вигляду αx + βy, де α і β- коефіцієнти)..

Поняття лінійної комбінації є одним з ключових в лінійній алгебрі та суміжних галузях математики. У класичному випадку лінійна комбінація розглядається в контексті векторних просторів, але існують узагальнення на довільні модулі над кільцями та бімодулі.

Визначення Редагувати

Якщо K поле (наприклад, поле дійсних чисел) і V є векторним простором над K (елементи V - вектори, а елементи K - скаляри). Якщо - вектори, а - скаляри, то лінійна комбінація цих векторів зі скалярами в якості коефіцієнтів - це: . Існує деяка двозначність у застосуванні поняття “лінійна комбінація”, оскільки воно може відноситись як і до самого виразу, так і до його результату. У більшості випадків мається на увазі значення, так як множину всіх лінійних комбінацій завжди утворюють підпростір. Однак можна сказати також “дві різні лінійні комбінації можуть дати це саме значення” і в цьому випадку під лінійною комбінацією потрібно розуміти вираз. Слабо відчутна різниця між цими двома поняттями є сутністю поняття лінійної залежності - сімейство векторів F лінійно незалежні в точності тоді, коли будь-яка лінійна комбінація векторів з F (як значення) єдина (як вираз). У будь-якому випадку, навіть якщо лінійна комбінація розглядається як вираз, все це відноситься до коефіцієнтів для кожного vi тривіальна зміна (наприклад, перестановки елементів або додавання елементів з нульовими коефіцієнтами) не дають іншої лінійної комбінації.

У залежності від ситуації K і V можуть бути задані явно, або можуть бути очевидними від контексту. У останньому випадку часто говорять про лінійну комбінацію векторів з довільними коефіцієнтами (за винятком того, що вони належать K). Або, якщо S - підмножина V, то можна говорити про лінійну комбінацію векторів з S, де і коефіцієнти, і вектори не специфіковані - за винятком тієї вимоги, що вектори повинні належати множині S, а коефіцієнти - полю K. Нарешті, можна говорити просто про лінійні комбінації, де нічого не специфіковано ( за винятком того, що вектори повинні належати множині V, а коефіцієнти - полю K). У цьому випадку, можливо, мова йде про вираз, оскільки будь-який вектор V однозначно є значенням деякої лінійної комбінації.

За означенням, лінійна комбінація включає тільки скінченну множину векторів (за виключенням спеціальних узагальнень). Однак множина S, з якої беруться вектори, можу бути нескінченною. Кожна ж індивідуальна лінійна комбінація включає лише кінцеве число векторів з цієї множини. Також немає причин, щоб не міг бути нульовим: рахується, що в цьому випадку результат лінійної комбінації буде нульовий вектор у V.

Приклади та контрприклади Редагувати

Вектори Редагувати

Нехай поле K - множина дійсних чисел, а простір векторів V - евклідів простір . Будь-який вектор у є лінійною комбінацією одиничних векторів .

Наприклад, вектор можна записати:

Функції Редагувати

Нехай K - множина всіх комплексних чисел, і нехай V - множина всіх неперервних функцій з дійсної прямої в комплексну площину . Взявши вектори (функції) і , визначених формулами (тут - основа натурального логарифма і уявна одиниця):

, , можна отримати серед інших наступні їх лінійні комбінації:

  • ,
  • .

З іншого боку, постійна функція 3 не є лінійною комбінацією і .

Многочлени Редагувати

Нехай K - це , або будь-яке поле, і нехай V - множина P всіх многочленів з коефіцієнтами із K. Нехай задані вектори (многочлени) .

Чи є многочлен лінійною комбінацією ?

Щоб визначити це, чи є многочлен лінійною комбінацією можна записати комбінацію з довільними коефіцієнтами і прирівняти її до даного многочлену

Розкриваючи дужки,

і звівши однорідні многочлени

випливає

Розв'язком цієї системи лінійних рівнянь є . Таким чином, даний многочлен записується лінійною комбінацією :


Інший приклад — , він не може бути представлений лінійною комбінацією :

звівши тепер коефіцієнти для , отримаємо суперечність .

Лінійна оболонка Редагувати

Нехай } — вектори в деякому векторному просторі V над деяким полем K. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів називається лінійною оболонкою (чи просто оболонкою) векторів з S. Позначення — чи :

Лінійна незалежність Редагувати

Для деяких наборів векторів можуть бути представлені у вигляді лінійної комбінації неоднозначно:

Якщо відняти третій член рівності з другого і позначити коефіцієнтами <math>c_i = a_i - b_i</math>, отримаємо нетривіальну комбінацію, яка в результаті дасть нульовий вектор:

Якщо таке можливо, набір називається лінійно залежним. У іншому випадку - лінійно незалежні. Аналогічно говорять про залежність чи незалежність довільної множини векторів S.

Якщо S - лінійно незалежним і оболонка S збігається з V, говорять, що S є базою(базисом) у V.

Афінна, конічна і опукла комбінація Редагувати

Якщо наложити коефіцієнти, які використовуються у лінійній комбінації, деякі умови, отримаємо поняття концепції барицентричної комбінації (чи афінної комбінації), конічні комбінації[en] і опуклої комбінації, а  також відповідного поняття множин таких лінійних комбінацій

Тип комбінації Обмеження на коефіцієнти Назва множини Модель простору
Лінійна комбінація без обмеження Векторний підпростір
Барицентрична комбінація Афінний підпростір Афінна гіперплощина
Конічна комбінація[en] Опуклий конус Квадрант / Октант
Опукла комбінація и Опукла множина Симплекс

Оскільки тут є місце обмеження на вид комбінацій, то в результаті отримаємо більш широкі класи об'єктів. Таким чином, поняття афінних підмножин, опуклих конусів і опуклих множин виступають як узагальнене поняття векторного простору: векторний простір одночасно є також і афінним підпростором, і опуклим конусом, і опуклою множиною, але опукла множина зовсім не обов'язково буде векторним чи афінним підпростором чи опуклим конусом.

Ці поняття виникають, коли беруть визначення лінійної комбінації об'єктів, але не будь-які. Наприклад, розподілення ймовірностей замкнуті відносно операцій утворення опуклих комбінацій ( і утворюють опуклу множину), але не конічних, барицентричних чи лінійних (останні комбінації визначають заряди).

Лінійну і барицентричну комбінацію можна визначити для будь-якого поля (чи кільця), а конічна і опукла комбінація потребує поняття “позитивного”, так що їх можна визначити тільки над впорядкованим полем (чи впорядкованим кільцем).

Якщо дозволено тільки множення на скаляр, але не додавання, отримаємо (не обов'язково опуклий) конус. Часто обмежуються множенням тільки на додатковий скаляр.

Теорія операд Редагувати

На більш загальній мові теорію операд можна розглядати векторний простір як алгебри над операдою (нескінченна пряма сума, в якої тільки кінцеве число члена є ненульовим), який параметризує лінійні комбінації. Наприклад, вектор в такому підході відповідає лінійній комбінації . Подібним образом можна розглядати барицентричні, конічні і опуклі комбінації як відповідні підоперадам, у яких члени в сумі дають 1, члени яких невід’ємні, чи і то, і інше. Такі комбінації  будуть нескінченними афінними гіперплощинами, нескінченними гіпероктантами і нескінченними сімплексами.

З цієї точки точки зору лінійна комбінація може розглядатись як найбільша загальна операція у векторному просторі, якщо векторний простір є алгеброю над операдою лінійної комбінації, це в точності означає, що всі можливі алгебраїчні операції у векторному просторі є лінійними комбінаціями.

Основні операції додавання і множення на скаляр разом з існуванням адитивноті рівності і адитивної інверсії неможливо скомбінувати більше складним образом, ніж утворенням лінійної комбінації. Ці основні операції є генерувальними множинами для операди всіх лінійних комбінацій.

Узагальнення Редагувати

Якщо V - топологічний векторний простір, то можна застосувати наявну топологію V і дати сенс деяким нескінченним лінійним комбінаціям елементів цього простору. Наприклад, можна говорити про картинка[прояснити] до нескінченності. Такі нескінченні лінійні комбінації не завжди мають сенс, зазвичай сенс вдається надати тільки збіжним комбінаціям. Збільшення запасу допустимих лінійних комбінацій може призвести до зміни об'єму поняття оболонки, лінійної незалежності й бази.

Якщо K — комутативне кільце, а не поле, то все, що говорилось про лінійні комбінації вище, узагальнюється на цей випадок без змін. Єдина різниця — такі простори називають модулями (а не векторними просторами), і не всі результати, справедливі стосовно до векторних просторів, залишаються справедливими й щодо модулів.

Якщо K — некомутативне кільце, то поняття лінійної комбінації з коефіцієнтами із K також можна запровадити — з тією особливістю, що модулі над некомутативним кільцем можуть бути ліві та праві, то і лінійна комбінація може теж бути лівою і правою.

Складнішою є ситуація, коли V — бімодуль над двома кільцями і . У цьому випадку найбільш загальний вид лінійної комбінації такий:

де належить , належить , і належить V.

Застосування Редагувати

Важливим застосуванням лінійної комбінації є хвильові функції та квантова механіка

Джерела Редагувати

  • Гельфанд І. М. (1998). Лекции по линейной алгебре (вид. п'яте). Москва: Наука. с. 320 с. ISBN 5-7913-0015-8. 
  • Завало, С.Т. (1974). Алгебра i теорія чисел. (рос.) (вид. перше). Москва. с. 464 с. ISBN 5-7913-0015-8. 

Дивитись також Редагувати

  1. David C. Lay. . Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. — Reading, Mass. : Addison–Wesley, 2006. — 576 p. — ISBN 0-321-28713-4.
  2. Gilbert Strang. . Linear Algebra and Its Applications. 4th ed. — Belmont, Calif. : Brooks Cole, 2005. — viii + 487 p. — ISBN 0-03-010567-6.
  3. Sheldon Axler. . Linear Algebra Done Right. 2nd ed. — New York : Springer, 2002. — viii + 251 p. — ISBN 0-387-98258-2.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Linijna kombinaciya viraz pobudovanij na mnozhini elementiv shlyahom mnozhennya kozhnogo elementa na koeficiyenti z podalshim dodavannyam rezultativ napriklad linijnoyu kombinaciyeyu x i y bude viraz takogo viglyadu ax by de a i b koeficiyenti 1 2 3 Ponyattya linijnoyi kombinaciyi ye odnim z klyuchovih v linijnij algebri ta sumizhnih galuzyah matematiki U klasichnomu vipadku linijna kombinaciya rozglyadayetsya v konteksti vektornih prostoriv ale isnuyut uzagalnennya na dovilni moduli nad kilcyami ta bimoduli Zmist 1 Viznachennya 2 Prikladi ta kontrprikladi 2 1 Vektori 2 2 Funkciyi 2 3 Mnogochleni 3 Linijna obolonka 4 Linijna nezalezhnist 5 Afinna konichna i opukla kombinaciya 6 Teoriya operad 7 Uzagalnennya 8 Zastosuvannya 9 Dzherela 10 Divitis takozhViznachennya RedaguvatiYaksho K pole napriklad pole R displaystyle mathbb R nbsp dijsnih chisel i V ye vektornim prostorom nad K elementi V vektori a elementi K skalyari Yaksho v 1 v n displaystyle v 1 dots v n nbsp vektori a a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp skalyari to linijna kombinaciya cih vektoriv zi skalyarami v yakosti koeficiyentiv ce a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 a n v n displaystyle a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 cdots a n v n nbsp Isnuye deyaka dvoznachnist u zastosuvanni ponyattya linijna kombinaciya oskilki vono mozhe vidnositis yak i do samogo virazu tak i do jogo rezultatu U bilshosti vipadkiv mayetsya na uvazi znachennya tak yak mnozhinu vsih linijnih kombinacij v 1 v n displaystyle v 1 dots v n nbsp zavzhdi utvoryuyut pidprostir Odnak mozhna skazati takozh dvi rizni linijni kombinaciyi mozhut dati ce same znachennya i v comu vipadku pid linijnoyu kombinaciyeyu potribno rozumiti viraz Slabo vidchutna riznicya mizh cimi dvoma ponyattyami ye sutnistyu ponyattya linijnoyi zalezhnosti simejstvo vektoriv F linijno nezalezhni v tochnosti todi koli bud yaka linijna kombinaciya vektoriv z F yak znachennya yedina yak viraz U bud yakomu vipadku navit yaksho linijna kombinaciya rozglyadayetsya yak viraz vse ce vidnositsya do koeficiyentiv dlya kozhnogo vi trivialna zmina napriklad perestanovki elementiv abo dodavannya elementiv z nulovimi koeficiyentami ne dayut inshoyi linijnoyi kombinaciyi U zalezhnosti vid situaciyi K i V mozhut buti zadani yavno abo mozhut buti ochevidnimi vid kontekstu U ostannomu vipadku chasto govoryat pro linijnu kombinaciyu vektoriv v 1 v n displaystyle v 1 dots v n nbsp z dovilnimi koeficiyentami za vinyatkom togo sho voni nalezhat K Abo yaksho S pidmnozhina V to mozhna govoriti pro linijnu kombinaciyu vektoriv z S de i koeficiyenti i vektori ne specifikovani za vinyatkom tiyeyi vimogi sho vektori povinni nalezhati mnozhini S a koeficiyenti polyu K Nareshti mozhna govoriti prosto pro linijni kombinaciyi de nichogo ne specifikovano za vinyatkom togo sho vektori povinni nalezhati mnozhini V a koeficiyenti polyu K U comu vipadku mozhlivo mova jde pro viraz oskilki bud yakij vektor V odnoznachno ye znachennyam deyakoyi linijnoyi kombinaciyi Za oznachennyam linijna kombinaciya vklyuchaye tilki skinchennu mnozhinu vektoriv za viklyuchennyam specialnih uzagalnen Odnak mnozhina S z yakoyi berutsya vektori mozhu buti neskinchennoyu Kozhna zh individualna linijna kombinaciya vklyuchaye lishe kinceve chislo vektoriv z ciyeyi mnozhini Takozh nemaye prichin shob n displaystyle n nbsp ne mig buti nulovim rahuyetsya sho v comu vipadku rezultat linijnoyi kombinaciyi bude nulovij vektor u V Prikladi ta kontrprikladi RedaguvatiVektori Redaguvati Nehaj pole K mnozhina R displaystyle mathbb R nbsp dijsnih chisel a prostir vektoriv V evklidiv prostir R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Bud yakij vektor u R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ye linijnoyu kombinaciyeyu odinichnih vektoriv e 1 1 0 0 e 2 0 1 0 e 3 0 0 1 displaystyle e 1 1 0 0 e 2 0 1 0 e 3 0 0 1 nbsp Napriklad vektor a 1 a 2 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 nbsp mozhna zapisati a 1 a 2 a 3 a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 nbsp a 1 1 0 0 a 2 0 1 0 a 3 0 0 1 displaystyle a 1 1 0 0 a 2 0 1 0 a 3 0 0 1 nbsp a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 displaystyle a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 nbsp Funkciyi Redaguvati Nehaj K mnozhina C displaystyle mathbb C nbsp vsih kompleksnih chisel i nehaj V mnozhina vsih neperervnih funkcij z dijsnoyi pryamoyi R displaystyle mathbb R nbsp v kompleksnu ploshinu C displaystyle mathbb C nbsp Vzyavshi vektori funkciyi f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp viznachenih formulami tut e displaystyle e nbsp osnova naturalnogo logarifma i i displaystyle i nbsp uyavna odinicya f t e i t displaystyle f t e it nbsp g t e i t displaystyle g t e it nbsp mozhna otrimati sered inshih nastupni yih linijni kombinaciyi cos t 1 2 e i t 1 2 e i t displaystyle cos t begin matrix frac 1 2 end matrix e it begin matrix frac 1 2 end matrix e it nbsp 2 sin t i e i t i e i t displaystyle 2 sin t i e it i e it nbsp Z inshogo boku postijna funkciya 3 ne ye linijnoyu kombinaciyeyu f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp Mnogochleni Redaguvati Nehaj K ce R displaystyle mathbb R nbsp C displaystyle mathbb C nbsp abo bud yake pole i nehaj V mnozhina P vsih mnogochleniv z koeficiyentami iz K Nehaj zadani vektori mnogochleni p 1 1 p 2 x 1 p 3 x 2 x 1 displaystyle p 1 1 p 2 x 1 p 3 x 2 x 1 nbsp Chi ye mnogochlen x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp linijnoyu kombinaciyeyu p 1 p 2 p 3 displaystyle p 1 p 2 p 3 nbsp Shob viznachiti ce chi ye mnogochlen x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp linijnoyu kombinaciyeyu p 1 p 2 p 3 displaystyle p 1 p 2 p 3 nbsp mozhna zapisati kombinaciyu z dovilnimi koeficiyentami a 1 a 2 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 nbsp i pririvnyati yiyi do danogo mnogochlenu a 1 1 a 2 x 1 a 3 x 2 x 1 x 2 1 displaystyle a 1 1 a 2 x 1 a 3 x 2 x 1 x 2 1 nbsp Rozkrivayuchi duzhki a 1 a 2 x a 2 a 3 x 2 a 3 x a 3 x 2 1 displaystyle a 1 a 2 x a 2 a 3 x 2 a 3 x a 3 x 2 1 nbsp i zvivshi odnoridni mnogochleni a 3 x 2 a 2 a 3 x a 1 a 2 a 3 1 x 2 0 x 1 displaystyle a 3 x 2 a 2 a 3 x a 1 a 2 a 3 1x 2 0x 1 nbsp viplivaye a 3 1 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a 3 1 displaystyle a 3 1 quad a 2 a 3 0 quad a 1 a 2 a 3 1 nbsp Rozv yazkom ciyeyi sistemi linijnih rivnyan ye a 1 1 a 2 1 a 3 1 displaystyle a 1 1 a 2 1 a 3 1 nbsp Takim chinom danij mnogochlen zapisuyetsya linijnoyu kombinaciyeyu p 1 p 2 p 3 displaystyle p 1 p 2 p 3 nbsp x 2 1 1 x 1 x 2 x 1 p 1 p 2 p 3 displaystyle x 2 1 1 x 1 x 2 x 1 p 1 p 2 p 3 nbsp Inshij priklad x 3 1 displaystyle x 3 1 nbsp vin ne mozhe buti predstavlenij linijnoyu kombinaciyeyu p 1 p 2 p 3 displaystyle p 1 p 2 p 3 nbsp 0 x 3 a 3 x 2 a 2 a 3 x a 1 a 2 a 3 displaystyle 0x 3 a 3 x 2 a 2 a 3 x a 1 a 2 a 3 nbsp 1 x 3 0 x 2 0 x 1 displaystyle 1x 3 0x 2 0x 1 nbsp dd zvivshi teper koeficiyenti dlya x 3 displaystyle x 3 nbsp otrimayemo superechnist 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Linijna obolonka RedaguvatiDokladnishe Linijna obolonkaNehaj S v 1 v n displaystyle S v 1 dots v n nbsp vektori v deyakomu vektornomu prostori V nad deyakim polem K Mnozhina vsih linijnih kombinacij cih vektoriv nazivayetsya linijnoyu obolonkoyu chi prosto obolonkoyu vektoriv z S Poznachennya s p a n S displaystyle mathrm span S nbsp chi S p S displaystyle mathrm Sp S nbsp S p v 1 v n a 1 v 1 a n v n a 1 a n K displaystyle mathrm Sp v 1 ldots v n a 1 v 1 cdots a n v n mid a 1 ldots a n subseteq K nbsp Linijna nezalezhnist RedaguvatiDokladnishe Linijna nezalezhnistDlya deyakih naboriv v 1 v n displaystyle v 1 v n nbsp vektoriv mozhut buti predstavleni u viglyadi linijnoyi kombinaciyi neodnoznachno v a i v i b i v i displaystyle v sum a i v i sum b i v i nbsp de a i b i displaystyle a i neq b i nbsp Yaksho vidnyati tretij chlen rivnosti z drugogo i poznachiti koeficiyentami lt math gt c i a i b i lt math gt otrimayemo netrivialnu kombinaciyu yaka v rezultati dast nulovij vektor 0 c i v i displaystyle 0 sum c i v i nbsp Yaksho take mozhlivo nabir v 1 v n displaystyle v 1 v n nbsp nazivayetsya linijno zalezhnim U inshomu vipadku linijno nezalezhni Analogichno govoryat pro zalezhnist chi nezalezhnist dovilnoyi mnozhini vektoriv S Yaksho S linijno nezalezhnim i obolonka S zbigayetsya z V govoryat sho S ye bazoyu bazisom u V Afinna konichna i opukla kombinaciya RedaguvatiYaksho nalozhiti koeficiyenti yaki vikoristovuyutsya u linijnij kombinaciyi deyaki umovi otrimayemo ponyattya koncepciyi baricentrichnoyi kombinaciyi chi afinnoyi kombinaciyi konichni kombinaciyi en i opukloyi kombinaciyi a takozh vidpovidnogo ponyattya mnozhin takih linijnih kombinacij Tip kombinaciyi Obmezhennya na koeficiyenti Nazva mnozhini Model prostoruLinijna kombinaciya bez obmezhennya Vektornij pidprostir R n displaystyle mathbf R n nbsp Baricentrichna kombinaciya a i 1 displaystyle sum a i 1 nbsp Afinnij pidprostir Afinna giperploshinaKonichna kombinaciya en a i 0 displaystyle a i geq 0 nbsp Opuklij konus Kvadrant OktantOpukla kombinaciya a i 0 displaystyle a i geq 0 nbsp i a i 1 displaystyle sum a i 1 nbsp Opukla mnozhina SimpleksOskilki tut ye misce obmezhennya na vid kombinacij to v rezultati otrimayemo bilsh shiroki klasi ob yektiv Takim chinom ponyattya afinnih pidmnozhin opuklih konusiv i opuklih mnozhin vistupayut yak uzagalnene ponyattya vektornogo prostoru vektornij prostir odnochasno ye takozh i afinnim pidprostorom i opuklim konusom i opukloyu mnozhinoyu ale opukla mnozhina zovsim ne obov yazkovo bude vektornim chi afinnim pidprostorom chi opuklim konusom Ci ponyattya vinikayut koli berut viznachennya linijnoyi kombinaciyi ob yektiv ale ne bud yaki Napriklad rozpodilennya jmovirnostej zamknuti vidnosno operacij utvorennya opuklih kombinacij i utvoryuyut opuklu mnozhinu ale ne konichnih baricentrichnih chi linijnih ostanni kombinaciyi viznachayut zaryadi Linijnu i baricentrichnu kombinaciyu mozhna viznachiti dlya bud yakogo polya chi kilcya a konichna i opukla kombinaciya potrebuye ponyattya pozitivnogo tak sho yih mozhna viznachiti tilki nad vporyadkovanim polem chi vporyadkovanim kilcem Yaksho dozvoleno tilki mnozhennya na skalyar ale ne dodavannya otrimayemo ne obov yazkovo opuklij konus Chasto obmezhuyutsya mnozhennyam tilki na dodatkovij skalyar Teoriya operad RedaguvatiNa bilsh zagalnij movi teoriyu operad mozhna rozglyadati vektornij prostir yak algebri nad operadoyu R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp neskinchenna pryama suma v yakoyi tilki kinceve chislo chlena ye nenulovim yakij parametrizuye linijni kombinaciyi Napriklad vektor 2 3 5 0 displaystyle 2 3 5 0 dots nbsp v takomu pidhodi vidpovidaye linijnij kombinaciyi 2 v 1 3 v 2 5 v 3 0 v 4 displaystyle 2v 1 3v 2 5v 3 0v 4 cdots nbsp Podibnim obrazom mozhna rozglyadati baricentrichni konichni i opukli kombinaciyi yak vidpovidni pidoperadam u yakih chleni v sumi dayut 1 chleni yakih nevid yemni chi i to i inshe Taki kombinaciyi budut neskinchennimi afinnimi giperploshinami neskinchennimi giperoktantami i neskinchennimi simpleksami Z ciyeyi tochki tochki zoru linijna kombinaciya mozhe rozglyadatis yak najbilsha zagalna operaciya u vektornomu prostori yaksho vektornij prostir ye algebroyu nad operadoyu linijnoyi kombinaciyi ce v tochnosti oznachaye sho vsi mozhlivi algebrayichni operaciyi u vektornomu prostori ye linijnimi kombinaciyami Osnovni operaciyi dodavannya i mnozhennya na skalyar razom z isnuvannyam aditivnoti rivnosti i aditivnoyi inversiyi nemozhlivo skombinuvati bilshe skladnim obrazom nizh utvorennyam linijnoyi kombinaciyi Ci osnovni operaciyi ye generuvalnimi mnozhinami dlya operadi vsih linijnih kombinacij Uzagalnennya RedaguvatiYaksho V topologichnij vektornij prostir to mozhna zastosuvati nayavnu topologiyu V i dati sens deyakim neskinchennim linijnim kombinaciyam elementiv cogo prostoru Napriklad mozhna govoriti pro kartinka proyasniti do neskinchennosti Taki neskinchenni linijni kombinaciyi ne zavzhdi mayut sens zazvichaj sens vdayetsya nadati tilki zbizhnim kombinaciyam Zbilshennya zapasu dopustimih linijnih kombinacij mozhe prizvesti do zmini ob yemu ponyattya obolonki linijnoyi nezalezhnosti j bazi Yaksho K komutativne kilce a ne pole to vse sho govorilos pro linijni kombinaciyi vishe uzagalnyuyetsya na cej vipadok bez zmin Yedina riznicya taki prostori nazivayut modulyami a ne vektornimi prostorami i ne vsi rezultati spravedlivi stosovno do vektornih prostoriv zalishayutsya spravedlivimi j shodo moduliv Yaksho K nekomutativne kilce to ponyattya linijnoyi kombinaciyi z koeficiyentami iz K takozh mozhna zaprovaditi z tiyeyu osoblivistyu sho moduli nad nekomutativnim kilcem mozhut buti livi ta pravi to i linijna kombinaciya mozhe tezh buti livoyu i pravoyu Skladnishoyu ye situaciya koli V bimodul nad dvoma kilcyami K L displaystyle K L nbsp i K R displaystyle K R nbsp U comu vipadku najbilsh zagalnij vid linijnoyi kombinaciyi takij a 1 v 1 b 1 a n v n b n displaystyle a 1 v 1 b 1 cdots a n v n b n nbsp de a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp nalezhit K L displaystyle K L nbsp nalezhit K R displaystyle K R nbsp i v 1 v n displaystyle v 1 dots v n nbsp nalezhit V Zastosuvannya RedaguvatiVazhlivim zastosuvannyam linijnoyi kombinaciyi ye hvilovi funkciyi ta kvantova mehanikaDzherela RedaguvatiGelfand I M 1998 Lekcii po linejnoj algebre vid p yate Moskva Nauka s 320 s ISBN 5 7913 0015 8 Zavalo S T 1974 Algebra i teoriya chisel ros vid pershe Moskva s 464 s ISBN 5 7913 0015 8 Divitis takozh Redaguvati David C Lay Linear Algebra and Its Applications 3rd ed Reading Mass Addison Wesley 2006 576 p ISBN 0 321 28713 4 Gilbert Strang Linear Algebra and Its Applications 4th ed Belmont Calif Brooks Cole 2005 viii 487 p ISBN 0 03 010567 6 Sheldon Axler Linear Algebra Done Right 2nd ed New York Springer 2002 viii 251 p ISBN 0 387 98258 2 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Linijna kombinaciya amp oldid 40199164