www.wikidata.uk-ua.nina.az

Евклідів простір скінченновимірний дійсний векторний простір E E зі скалярним добутком 1 Названий на честь давньогрецько

Евклідів простір

Евклідів простір — скінченновимірний дійсний векторний простір зі скалярним добутком . Названий на честь давньогрецького математика Евкліда із Александрії. Розширює дво-вимірну евклідову площину до тривимірного простору, і є поняттям Евклідової геометрії. Термін "евклідовий" дозволяє відрізняти ці простори від інших типів просторів, що можуть розглядатися в сучасній геометрії. Евклідів простір також узагальнюють і до більшої кількості вимірів.

Кожна точка тривимірного Евклідового простору визначається трьома координатами.

В класичній давньогрецькій геометрії існує визначення евклідової площини і тривимірного евклідового простору, що ґрунтується на певних постулатах, в той час як інші властивості цих просторів виведені як теореми. Також використовувалися геометричні побудови для визначення раціональних чисел, що є відношеннями співмірних довжин[en][джерело?][сумнівно — обговорити]. Коли алгебра і математичний аналіз набули достатнього розвиту, цей зв'язок зберігся і тепер більш загальним стало визначення Евклідового простору на основі векторних просторів, що дозволяють використовувати декартові координати і методи алгебри та диференціального та інтегрального числення. Це означає, що точки визначають за допомогою трійок дійсних чисел, які називаються координатними векторами, а геометричні фігури описують рівняннями і нерівностями, що визначають співвідношення цих координат. Цей підхід також дозволяє легко узагальнити w. геометрію до евклідових просторів до просторів більшої розмірності.

Евклідів простір визначено за допомогою аксіом, які не вказують як саме мають бути представлені точки цього простору. Евклідів простір може бути побудований за допомогою декартової системи координат, як один із можливих способів його представлення. В такому випадку, Евклідів простір моделюють застосовуючи дійсний простір координат (), що має таку ж розмірність. Для одного виміру це була б шкала дійсних чисел; для двох вимірів, він представляється декартовою системою координат на площині; і для більшої кількості вимірів, це є координатний простір[en] із трьома або більше координатами, що представлені дійсними числами. Математики позначають -вимірний Евклідів простір як , якщо вони хочуть підкреслити його природу та властивості, але також використовують позначення , оскільки ці дві структури мають подібні властивості і їх як правило не розрізняють. Евклідові простори мають скінченну кількість вимірів.

Евклідова метрика

Нехай декартові координати в тривимірному просторі такі, що якщо точці відповідають три її координати , а точці  — координати . Тоді, якщо квадрат довжини прямолінійного відрізку, що з'єднує та дорівнює: , то такий простір називають евклідовим простором, а декартові координати з такими властивостями називають евклідовими координатами.

Узагальнюючи на випадок n вимірів, отримаємо .

Функція відстані між двома точками має назву метрики, а наведений вище вид такої функції для евклідового простору має назву евклідової метрики.

Вектори в евклідовому просторі

З точками евклідового простору зручно зіставити вектори. Назвемо вектор, направлений від початку координат у точку радіус-вектором цієї точки. Декартові координати точки будемо називати координатами радіус-вектора. Два вектори, які направлені з початку координат до точок та з координатами та можна складати покоординатно. Тобто отримати вектор з координатами .

Можна також помножити вектор на число (скаляр). Одиничні вектори , , мають довжину, яка дорівнює , а самі вектори взаємно перпендикулярні.

Будь-який вектор може бути розкладений по одиничних векторах: . Тут простір тривимірний. Для -вимірного простору все аналогічно. Тому евклідів простір визначається також як лінійний (векторний) простір, в якому квадрат відстані між точками (кінцями радіус-векторів) визначається за формулою

Див. також

Примітки

  1. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 
  2. Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (вид. 4th). Dover Publications. с. 50–62. ISBN 0-486-20630-0. 
  3. Gabi, Aalex. What is the difference between Euclidean and Cartesian spaces?. Mathematics Stack Exchange. Mathematics Stack Exchange. 
  4. E.D. Solomentsev (7 лютого 2011). . Encyclopedia of Mathematics. Springer. Архів оригіналу за 2 травня 2014. Процитовано 1 травня 2014. 

Джерела

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Evklidiv prostir skinchennovimirnij dijsnij vektornij prostir E E zi skalyarnim dobutkom 1 Nazvanij na chest davnogreckogo matematika Evklida iz Aleksandriyi 2 Rozshiryuye dvo vimirnu evklidovu ploshinu do trivimirnogo prostoru i ye ponyattyam Evklidovoyi geometriyi Termin evklidovij dozvolyaye vidriznyati ci prostori vid inshih tipiv prostoriv sho mozhut rozglyadatisya v suchasnij geometriyi Evklidiv prostir takozh uzagalnyuyut i do bilshoyi kilkosti vimiriv Kozhna tochka trivimirnogo Evklidovogo prostoru viznachayetsya troma koordinatami V klasichnij davnogreckij geometriyi isnuye viznachennya evklidovoyi ploshini i trivimirnogo evklidovogo prostoru sho gruntuyetsya na pevnih postulatah v toj chas yak inshi vlastivosti cih prostoriv vivedeni yak teoremi Takozh vikoristovuvalisya geometrichni pobudovi dlya viznachennya racionalnih chisel sho ye vidnoshennyami spivmirnih dovzhin en dzherelo sumnivno obgovoriti Koli algebra i matematichnij analiz nabuli dostatnogo rozvitu cej zv yazok zberigsya i teper bilsh zagalnim stalo viznachennya Evklidovogo prostoru na osnovi vektornih prostoriv sho dozvolyayut vikoristovuvati dekartovi koordinati i metodi algebri ta diferencialnogo ta integralnogo chislennya Ce oznachaye sho tochki viznachayut za dopomogoyu trijok dijsnih chisel yaki nazivayutsya koordinatnimi vektorami a geometrichni figuri opisuyut rivnyannyami i nerivnostyami sho viznachayut spivvidnoshennya cih koordinat Cej pidhid takozh dozvolyaye legko uzagalniti w geometriyu do evklidovih prostoriv do prostoriv bilshoyi rozmirnosti Evklidiv prostir viznacheno za dopomogoyu aksiom yaki ne vkazuyut yak same mayut buti predstavleni tochki cogo prostoru 3 Evklidiv prostir mozhe buti pobudovanij za dopomogoyu dekartovoyi sistemi koordinat yak odin iz mozhlivih sposobiv jogo predstavlennya V takomu vipadku Evklidiv prostir modelyuyut zastosovuyuchi dijsnij prostir koordinat R n displaystyle mathbb R n sho maye taku zh rozmirnist Dlya odnogo vimiru ce bula b shkala dijsnih chisel dlya dvoh vimiriv vin predstavlyayetsya dekartovoyu sistemoyu koordinat na ploshini i dlya bilshoyi kilkosti vimiriv ce ye koordinatnij prostir en iz troma abo bilshe koordinatami sho predstavleni dijsnimi chislami Matematiki poznachayut n n vimirnij Evklidiv prostir yak E n displaystyle mathbb E n yaksho voni hochut pidkresliti jogo prirodu ta vlastivosti ale takozh vikoristovuyut poznachennya R n displaystyle mathbb R n oskilki ci dvi strukturi mayut podibni vlastivosti i yih yak pravilo ne rozriznyayut Evklidovi prostori mayut skinchennu kilkist vimiriv 4 Zmist 1 Evklidova metrika 2 Vektori v evklidovomu prostori 3 Div takozh 4 Primitki 5 DzherelaEvklidova metrika RedaguvatiNehaj dekartovi koordinati v trivimirnomu prostori taki sho yaksho tochci P P vidpovidayut tri yiyi koordinati x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 a tochci Q displaystyle Q koordinati y 1 y 2 y 3 displaystyle y 1 y 2 y 3 Todi yaksho kvadrat dovzhini pryamolinijnogo vidrizku sho z yednuye P P ta Q displaystyle Q dorivnyuye l 2 x 1 y 1 2 x 2 y 2 2 x 3 y 3 2 displaystyle l 2 x 1 y 1 2 x 2 y 2 2 x 3 y 3 2 to takij prostir nazivayut evklidovim prostorom a dekartovi koordinati z takimi vlastivostyami nazivayut evklidovimi koordinatami Uzagalnyuyuchi na vipadok n vimiriv otrimayemo l 2 x 1 y 1 2 x 2 y 2 2 x n y n 2 k 1 n x k y k 2 displaystyle l 2 x 1 y 1 2 x 2 y 2 2 dots x n y n 2 sum k 1 n x k y k 2 Funkciya vidstani mizh dvoma tochkami maye nazvu metriki a navedenij vishe vid takoyi funkciyi dlya evklidovogo prostoru maye nazvu evklidovoyi metriki Vektori v evklidovomu prostori RedaguvatiZ tochkami evklidovogo prostoru zruchno zistaviti vektori Nazvemo vektor napravlenij vid pochatku koordinat u tochku P P radius vektorom ciyeyi tochki Dekartovi koordinati x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 tochki P P budemo nazivati koordinatami radius vektora Dva vektori yaki napravleni z pochatku koordinat do tochok P P ta Q displaystyle Q z koordinatami p x 1 x 2 x 3 displaystyle mathbf p x 1 x 2 x 3 ta q y 1 y 2 y 3 displaystyle mathbf q y 1 y 2 y 3 mozhna skladati pokoordinatno Tobto otrimati vektor p q displaystyle mathbf p mathbf q z koordinatami x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 displaystyle x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 Mozhna takozh pomnozhiti vektor na chislo skalyar Odinichni vektori e 1 1 0 0 displaystyle mathbf e 1 1 0 0 e 2 0 1 0 displaystyle mathbf e 2 0 1 0 e 3 0 0 1 displaystyle mathbf e 3 0 0 1 mayut dovzhinu yaka dorivnyuye 1 displaystyle 1 a sami vektori vzayemno perpendikulyarni Bud yakij vektor v x 1 x 2 x 3 displaystyle mathbf v x 1 x 2 x 3 mozhe buti rozkladenij po odinichnih vektorah v e 1 x 1 e 2 x 2 e 3 x 3 displaystyle mathbf v mathbf e 1 x 1 mathbf e 2 x 2 mathbf e 3 x 3 Tut prostir trivimirnij Dlya n n vimirnogo prostoru vse analogichno Tomu evklidiv prostir viznachayetsya takozh yak linijnij vektornij prostir v yakomu kvadrat vidstani mizh tochkami kincyami radius vektoriv viznachayetsya za formuloyu l 2 k 1 n x k y k 2 displaystyle l 2 sum k 1 n x k y k 2 Div takozh Redaguvati Portal Matematika Geometriya Lobachevskogo Prostir Lobachevskogo Planimetriya StereometriyaPrimitki Redaguvati A I Kostrikin Yu I Manin Linejnaya algebra i geometriya Ball W W Rouse 1960 1908 A Short Account of the History of Mathematics vid 4th Dover Publications s 50 62 ISBN 0 486 20630 0 Gabi Aalex What is the difference between Euclidean and Cartesian spaces Mathematics Stack Exchange Mathematics Stack Exchange E D Solomentsev 7 lyutogo 2011 Euclidean space Encyclopedia of Mathematics Springer Arhiv originalu za 2 travnya 2014 Procitovano 1 travnya 2014 Dzherela RedaguvatiGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Evklidiv prostir amp oldid 36906090