www.wikidata.uk-ua.nina.az

Скалярний добуток Скаля рний добу ток англ dot product scalar product бінарна операція над векторами результатом якої є

Скалярний добуток

Скаля́рний добу́ток (англ. dot product, scalar product) — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.

Скалярний добуток геометричних векторів та обчислюється за формулою:

де та є довжинами векторів, а дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: .

Два означення добутку векторів:

  • Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
  • Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини на довжину проєкції на ).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів та позначають як . Можлива і скорочена форма запису: . Також можливе позначення , що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як передгільбертів простір.

Визначення в евклідовому просторі

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

в ортонормованому базисі -вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється так:

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому зі співмножників треба транспонувати й помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

Якщо простір евклідів, то:

Обчислення кута

В евклідовому просторі виконується така рівність:

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів

Для векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості

  • Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто , у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто .
  • Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
  • Скалярний добуток дистрибутивний стосовно додавання та віднімання.
  • В евклідовому просторі спряженим стосовно лінійного оператора називається оператор , для якого виконується рівність: для довільних , .

Узагальнене визначення

Якщо  — лінійний простір над полем , а  — комплексно спряжений до то білінійне відображення , або, при відображення називається скалярним добутком.

  • Скалярний добуток в дійсному векторному просторі , це симетричне додатньовизначене білінійне відображення , тобто, для та виконуються такі умови:
    1. білінійність:
    2. симетричність:
    3. додатньовизначеність: та якщо
  • Скалярний добуток в комплексному векторному просторі , це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення , тобто, для і виконуються такі умови:
    1. півторалінійність:
    2. ермітовість:
    3. додатньовизначеність: і , якщо . (те, що дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матриць

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. Водночас вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

де знаком позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

де знаком позначається ермітово-спряжена матриця.

Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця визначає скалярний добуток:

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця визначає скалярний добуток:

Див. також

Примітки

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. (1999). Линейная алгебра (вид. четверте). Москва: Наука, Физматлит. 
  2. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 

Література

Посилання

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (грудень 2017)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Skalya rnij dobu tok angl dot product scalar product binarna operaciya nad vektorami rezultatom yakoyi ye skalyar Skalyarnij dobutok geometrichnih vektoriv x displaystyle vec x ta y displaystyle vec y obchislyuyetsya za formuloyu x y x y cos x y displaystyle vec x cdot vec y vec x vec y cos measuredangle left vec x vec y right de x displaystyle vec x ta y displaystyle vec y ye dovzhinami vektoriv a cos x y displaystyle cos measuredangle left vec x vec y right dorivnyuye kosinusu kuta mizh cimi vektorami Yak i u vipadku zvichajnogo mnozhennya znak mnozhennya mozhna ne pisati x y x y displaystyle vec x cdot vec y vec x vec y Dva oznachennya dobutku vektoriv Skalyarnim dobutkom dvoh vektoriv nazivayut chislo rivne dobutku dovzhin cih vektoriv na kosinus kuta mizh nimi Skalyarnim dobutkom dvoh vektoriv nazivayut chislo rivne dobutku dovzhini odnogo z cih vektoriv na proyekciyu inshogo vektora na vis obumovlenu pershim z vkazanih vektoriv dobutok dovzhini x displaystyle vec x na dovzhinu proyekciyi y displaystyle vec y na x displaystyle vec x V linijnij algebri ponyattya skalyarnogo dobutku uzagalneno Tak skalyarnim dobutkom nazivayut funkciyu sho zistavlyaye pari elementiv vektornogo prostoru element z polya nad yakim pobudovanij vektornij prostir Skalyarnij dobutok dvoh vektoriv x x ta y y poznachayut yak x y displaystyle langle x y rangle Mozhliva i skorochena forma zapisu x y displaystyle xy Takozh mozhlive poznachennya x T y displaystyle x T y sho pidkreslyuye zv yazok z mnozhennyam matric Vzagali kazhuchi dlya vektornogo prostoru isnuyut rizni varianti skalyarnogo dobutku Prostir iz viznachenim skalyarnim dobutkom poznachayut yak peredgilbertiv prostir Zmist 1 Viznachennya v evklidovomu prostori 1 1 Norma vektoriv 1 2 Obchislennya kuta 1 3 Viznachennya standartnogo skalyarnogo dobutku v prostori kompleksnih vektoriv 1 4 Vlastivosti 2 Uzagalnene viznachennya 3 Predstavlennya u viglyadi dobutku matric 4 Div takozh 5 Primitki 6 Literatura 7 PosilannyaViznachennya v evklidovomu prostori RedaguvatiDokladnishe Evklidiv prostirV linijnij algebri skalyarnij dobutok dvoh vektoriv x x 1 x 2 x n displaystyle vec x begin pmatrix x 1 x 2 vdots x n end pmatrix i y y 1 y 2 y n displaystyle vec y begin pmatrix y 1 y 2 vdots y n end pmatrix v ortonormovanomu bazisi n n vimirnogo evklidovogo prostoru dorivnyuye sumi dobutkiv koordinat vektoriv x y i 1 n x i y i x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n displaystyle vec x cdot vec y sum i 1 n x i y i x 1 y 1 x 2 y 2 dotsb x n y n V zagalnomu vipadku x y i 1 n j 1 n x i g i j y j x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n displaystyle vec x cdot vec y sum i 1 n sum j 1 n x i g ij y j x 1 y 1 x 2 y 2 dotsb x n y n de g g element Matrici GramaNapriklad v trivimirnomu evklidovomu prostori skalyarnij dobutok dvoh vektoriv obchislyuyetsya tak 1 2 3 7 8 9 1 7 2 8 3 9 36 displaystyle begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 end pmatrix cdot begin pmatrix 7 8 9 end pmatrix 1 cdot 7 2 cdot 8 3 cdot 9 36 tobto dlya togo shob otrimati znachennya skalyarnogo dobutku matricyu stovpchik yaka vidpovidaye pershomu zi spivmnozhnikiv treba transponuvati j pomnozhiti na matricyu stovpchik drugogo vektora za pravilami mnozhennya matric Norma vektoriv Redaguvati Dokladnishe Norma matematika Zavdyaki skalyarnomu dobutku mozhna tak obchisliti normu vektora x x x displaystyle vec x sqrt vec x cdot vec x Yaksho prostir evklidiv to x x x x 1 2 x 2 2 x n 2 displaystyle vec x sqrt vec x cdot vec x sqrt x 1 2 x 2 2 dots x n 2 Obchislennya kuta Redaguvati V evklidovomu prostori vikonuyetsya taka rivnist x y x y cos x y displaystyle vec x cdot vec y vec x vec y cos measuredangle left vec x vec y right Na osnovi cogo mozhna obchisliti kut mizh vektorami x y arccos x y x y displaystyle measuredangle left vec x vec y right arccos frac vec x cdot vec y left vec x right left vec y right Viznachennya standartnogo skalyarnogo dobutku v prostori kompleksnih vektoriv Redaguvati Dokladnishe Ermitiv skalyarnij dobutokDlya C n displaystyle mathbb C n vektornogo prostoru nad polem kompleksnih chisel standartnij skalyarnij dobutok vektoriv x y C n displaystyle vec x vec y in mathbb C n viznachayetsya yak vidobrazhennya sho zadovilnyaye nastupnim umovam x y i 1 n x i y i x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n displaystyle vec x cdot vec y sum i 1 n x i overline y i x 1 overline y 1 x 2 overline y 2 dotsb x n overline y n de riska nad kompleksnim chislom poznachaye kompleksno spryazhene chislo Inshij variant skalyarnogo dobutku mozhna viznachiti yak x y i 1 n x i y i x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n displaystyle vec x cdot vec y sum i 1 n overline x i y i overline x 1 y 1 overline x 2 y 2 dotsb overline x n y n Take viznachennya zdebilshogo vikoristovuyetsya v fizici Rezultati oboh viznachen ye vzayemno spryazhenimi kompleksnimi chislami Dlya skalyarnogo dobutku vektora na samogo sebe yakij viznachaye normu vektora obidva viznachennya dayut odnakovij rezultat Vlastivosti Redaguvati Popri te sho u vipadku dijsnih chisel ye simetrichnim tobto x y y x displaystyle vec x cdot vec y vec y cdot vec x u vipadku kompleksnih chisel ye ermitovim tobto x y y x displaystyle vec x cdot vec y overline vec y cdot vec x Skalyarnij dobutok ne asociativnij i ne mozhe buti oskilki rezultatom skalyarnogo dobutku ye skalyar a ne vektor Skalyarnij dobutok distributivnij stosovno dodavannya ta vidnimannya V evklidovomu prostori spryazhenim stosovno linijnogo operatora A A nazivayetsya operator A displaystyle A dlya yakogo vikonuyetsya rivnist A x y x A y displaystyle langle A cdot x y rangle langle x A cdot y rangle dlya dovilnih x x y y 1 Uzagalnene viznachennya RedaguvatiYaksho L L linijnij prostir nad polem K displaystyle mathcal K a L displaystyle overline L kompleksno spryazhenij do L L to bilinijne vidobrazhennya L L K displaystyle L times L to mathcal K abo pri K C displaystyle mathcal K mathbb C vidobrazhennya L L K displaystyle L times overline L to mathcal K nazivayetsya skalyarnim dobutkom 2 Skalyarnij dobutok v dijsnomu vektornomu prostori V V ce simetrichne dodatnoviznachene bilinijne vidobrazhennya V V R displaystyle langle cdot cdot rangle colon V times V to mathbb R tobto dlya x y z V displaystyle x y z in V ta l R displaystyle lambda in mathbb R vikonuyutsya taki umovi bilinijnist x y z x z y z displaystyle langle x y z rangle langle x z rangle langle y z rangle x y z x y x z displaystyle langle x y z rangle langle x y rangle langle x z rangle x l y l x y l x y displaystyle langle x lambda y rangle lambda langle x y rangle langle lambda x y rangle simetrichnist x y y x displaystyle langle x y rangle langle y x rangle dodatnoviznachenist x x 0 displaystyle langle x x rangle geq 0 ta x x 0 displaystyle langle x x rangle 0 yaksho x 0 x 0 Skalyarnij dobutok v kompleksnomu vektornomu prostori V V ce ermitove dodatnoviznachene pivtoralinijne vidobrazhennya V V C displaystyle langle cdot cdot rangle colon V times V to mathbb C tobto dlya x y z V displaystyle x y z in V i l C displaystyle lambda in mathbb C vikonuyutsya taki umovi pivtoralinijnist x y z x z y z displaystyle langle x y z rangle langle x z rangle langle y z rangle x y z x y x z displaystyle langle x y z rangle langle x y rangle langle x z rangle l x y l x y x l y displaystyle langle lambda x y rangle lambda langle x y rangle langle x bar lambda y rangle ermitovist x y y x displaystyle langle x y rangle overline langle y x rangle dodatnoviznachenist x x 0 displaystyle langle x x rangle geq 0 i x x 0 displaystyle langle x x rangle 0 yaksho x 0 x 0 te sho x x displaystyle langle x x rangle dijsnij vitikaye z umovi 2 Dijsnij abo kompleksnij vektornij prostir v yakomu viznacheno skalyarnij dobutok nazivayetsya pregilbertovim Predstavlennya u viglyadi dobutku matric RedaguvatiStandartnij skalyarnij dobutok mozhna predstaviti yak dobutok matric Vodnochas vektor predstavlyayetsya u viglyadi matrici stovpchika U vipadku dijsnih chisel skalyarnij dobutok predstavlyayetsya yak x y x T y y T x displaystyle langle x y rangle x T y y T x de znakom T displaystyle T poznachayetsya transponuvannya matrici U vipadku kompleksnih chisel vikonuyetsya x y x y displaystyle langle x y rangle x y de znakom displaystyle poznachayetsya ermitovo spryazhena matricya Vzagali kazhuchi u vipadku dijsnih chisel kozhna simetrichna ta dodatnooznachena matricya A A viznachaye skalyarnij dobutok x y A x T A y displaystyle langle x y rangle A x T Ay analogichno u vipadku kompleksnih chisel kozhna ermitova dodatnooznachena matricya A A viznachaye skalyarnij dobutok x y A x A y displaystyle langle x y rangle A x Ay Div takozh RedaguvatiErmitiv skalyarnij dobutok Vektornij dobutok Gilbertiv prostir Norma matematika Nerivnist Koshi BunyakovskogoPrimitki Redaguvati Ilin V A Poznyak E G 1999 Linejnaya algebra vid chetverte Moskva Nauka Fizmatlit A I Kostrikin Yu I Manin Linejnaya algebra i geometriya Literatura RedaguvatiGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Malcev A I Osnovy linejnoj algebry 3 e izd Novosibirsk Nauka 1970 400 s ros Posilannya RedaguvatiDobutok skalyarnij Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno gruden 2017 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Skalyarnij dobutok amp oldid 36798533