www.wikidata.uk-ua.nina.az

Векторний добуток Ве кторний добу ток білінійна антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі На відміну в

Векторний добуток

Ве́кторний добу́ток — білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку векторів евклідового простору, результатом векторного добутку є вектор (його також називають «векторним добутком»), а не скаляр.

Векторний добуток (вертикальний вектор) змінюється разом з кутом між векторами

Векторний добуток двох векторів у тривимірному евклідовому просторі — вектор, перпендикулярний до обох вихідних векторів, довжина якого дорівнює площі паралелограма, утвореного вихідними векторами, а вибір з двох напрямків визначається так, щоб трійка з векторів-множників, узятих в такому ж порядку, як записано в добутку, і отриманого вектора була правою. Векторний добуток колінеарних векторів (зокрема, якщо хоча б один з множників — нульовий вектор) вважається рівним нульовому вектору.

Таким чином, для визначення векторного добутку двох векторів необхідно задати орієнтацію простору, тобто сказати, яка трійка векторів є правою, а яка — лівою. При цьому не є обов'язковим задання у розглянутому просторі будь-якої системи координат. Зокрема, при заданій орієнтації простору результат векторного добутку не залежить від того, чи є розглядувана система координат правою, чи лівою. При цьому формули вираження координат векторного добутку через координати вихідних векторів у правій і лівій ортонормованій прямокутній системі координат відрізняються знаком.

Векторний добуток не має властивості комутативності та асоціативності. Він є антикомутативним і, на відміну від скалярного добутку векторів, результат є знову вектором.

Корисний для «вимірювання» перпендикулярності векторів — модуль векторного добутку двох векторів дорівнює добутку їхніх модулів, якщо вони перпендикулярні, і зменшується до нуля, якщо вектори колінеарні.

Має багато технічних і фізичних застосувань. Наприклад, момент імпульсу і сила Лоренца математично записуються у вигляді векторного добутку.

Історія

Векторний добуток було введено У. Гамільтоном у 1846 році одночасно зі скалярним добутком у зв'язку з кватерніонами — відповідно, як векторна і скалярна частина добутку двох кватерніонів, скалярна частина яких дорівнює нулю.

Позначення

Найчастіше для позначення векторного добутку вживається символ ×. Векторний добуток позначається також квадратними дужками, в яких співмножники розділені комами. Крім того, в фізичних текстах заведено позначати вектори жирним шрифтом.

Праві і ліві трійки векторів у тривимірному евклідовому просторі

Розглянемо впорядковану трійку некомпланарних (лінійно незалежних) векторів в тривимірному евклідовому просторі. В орієнтованому просторі така трійка векторів буде або «правою», або «лівою».

Геометричне визначення

Нехай початки розгляданих векторів перебувають в одній точці. Упорядкована трійка некомпланарних векторів у тривимірному просторі називається правою, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від вектора до вектору видно спостерігачеві проти годинникової стрілки. І навпаки, якщо найкоротший поворот видно за годинниковою стрілкою, то трійка називається лівою.

Визначення за допомогою руки

Знаходження напрямку векторного добутку використовуючи правило правої руки

Інше визначення пов'язане з правою рукою людини, звідки і взято назву. На малюнку трійка векторів , , є правою.

Алгебричне визначення

Існує також аналітичний спосіб визначення правої і лівої трійки векторів, який вимагає задання у розглянутому просторі правої або лівої системи координат, причому не обов'язково прямокутної і ортонормованої.

Потрібно скласти матрицю, першим рядком якої будуть координати вектора , другим — вектора , третім — вектора . Потім, залежно від знака визначника цієї матриці, можна зробити такі висновки:

  • Якщо визначник додатний, то трійка векторів має ту ж орієнтацію, що й система координат.
  • Якщо визначник від'ємний, то трійка векторів має орієнтацію, протилежну орієнтації системи координат.
  • Якщо визначник дорівнює нулю, то вектори компланарні (лінійно залежні).

Зауваження

Визначення «правої» і «лівої» трійки векторів залежать від орієнтації простору, але не вимагають задання у розглянутому просторі будь-якої системи координат, як і не вимагає цього визначення самого векторного добутку. При цьому формули вираження координат векторного добутку через координати вихідних векторів будуть відрізнятися знаком у правій і лівій прямокутній системі координат.

Всі праві між собою (і ліві між собою) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

За заданої орієнтації простору система координат називається правою (лівою), якщо трійка з векторів з координатами , , є правою (лівою).

Геометричне визначення і визначення за допомогою руки самі задають орієнтацію простору. Алгебраїчне визначення задає спосіб розбиття трійок некомпланарних векторів на два класи однаково орієнтованих векторів, але воно не задає орієнтації простору, а використовує вже задану — ту, на підставі якої дана система координат вважається правою або лівою. При цьому, якщо орієнтація системи координат невідома, можна порівнювати знак визначника зі знаком визначника іншої трійки некомпланарних векторів, орієнтація якої відома — якщо знаки збігаються, то трійки однаково орієнтовані, якщо знаки протилежні — трійки протилежно орієнтовані.

Алгебраїчне означення векторного добутку

Довільний вектор в описується своїми координатами відносно стандартного базису Векторним добутком двох -векторів

називається -вектор

який також символічно записується у вигляді детермінанту:

Насправді ці формули для векторного добутку виконуються у будь-якому ортонормованому базисі .

Геометричне означення векторного добутку

У науковій літературі з механіки і фізики розповсюджено дещо інше означення векторного добутку.

Векторним добутком двох -векторів називається -вектор , який задовольняє наступним вимогам:

Властивості

Геометричні властивості векторного добутку

Малюнок 1: Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку.
Малюнок 2: Об'єм паралелепіпеда при використанні векторного і скалярного добутку векторів; пунктирні лінії показують проєкції вектора c на a × b і вектора b × c на a. Це відповідає різним способам обчислення об'єму.
  • Необхідною і достатньою умовою колінеарності двох ненульових векторів є рівність нулю їх векторного добутку.
  • Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на зведених до спільного початку векторах і (див. малюнок 1)
  • Якщо  — одиничний вектор, ортогональний векторам і і вибраний так, що трійка  — права, а  — площа паралелограма, побудованого на них (зведених до спільного початку), то для векторного добутку справедлива формула:
  • Якщо  — який-небудь вектор,  — будь-яка площина, яка містить цей вектор,  — одиничний вектор, що лежить у площині і ортогональний до ,  — одиничний вектор, ортогональний до площини і спрямований так, що трійка векторів є правою, то для будь-якого вектора , що лежить у площині , справедлива формула
  • При використанні векторного і скалярного добутків можна вирахувати об'єм паралелепіпеда, побудованого на зведених до спільного початку векторах a, b і c (див. малюнок 2). Такий добуток трьох векторів називається мішаним.

На малюнку показано, що цей об'єм може бути знайдений двома способами: геометричний результат зберігається навіть при заміні «скалярного» і «векторного» добутків місцями:

Величина векторного добутку залежить від синуса кута між початковими векторами, тому векторний добуток може сприйматися як степінь «перпендикулярності» векторів так само, як і скалярний добуток може розглядатися як степінь «паралельності». Векторний добуток двох одиничних векторів дорівнює 1 (одиничного вектора), якщо початкові вектори перпендикулярні, і дорівнює 0 (нульовому вектору), якщо вектори паралельні або антипаралельні.

Алгебричні властивості векторного добутку

Далі і позначають відповідно векторний і скалярний добуток векторів і .

Подання Опис
Антикомутативність.
Ассоціативність множення на скаляр.
Дистрибутивність за додаванням.
Тотожність Якобі.
Формула «БАЦ мінус ЦАБ», тотожність Лагранжа[ru].
Частковий випадок мультиплікативності норми кватерніонів.
Значення цього виразу називають мішаним добутком векторів , , .

Вираження в координатах

У правому ортонормованому базисі

Якщо два вектори і подані у правому ортонормованому базисі координатами

то їх векторний добуток має координати

Для запам'ятовування цієї формули зручно використовувати символічний визначник:

де , , , або

де  — символ Леві-Чивіти.

У лівому ортонормованому базисі

Якщо базис лівий ортонормований, то векторний добуток у координатах має вигляд

Для запам'ятовування, аналогічно:

або

Формули для лівої системи координат можна отримати з формул правої системи координат, записавши ті ж вектори і у допоміжній правій системі координат ():

У довільній афінній системі координат

Векторний добуток у довільній афінній системі координат має координати

Варіації та узагальнення

Кватерніони

Координати векторного добутку в правому ортонормованому базисі можна також записати в кватерніонній формі, тому букви , ,  — стандартні позначення для ортів в : вони розглядаються як уявні кватерніони.

Зауважимо, що співвідношення через векторний добуток між , і відповідають правилам множення для кватерніонів , і . Якщо уявити вектор як кватерніон , то векторний добуток двох векторів виходить взяттям векторної частини від добутку відповідних їм кватерніонів. Скалярний добуток цих векторів протилежний скалярній частині добутку цих кватерніонів.

Перетворення до матричної форми

Векторний добуток двох векторів у координатах у правому ортонормованому базисі можна записати як добуток кососиметричної матриці і вектора:

де

Нехай дорівнює векторному добутку:

тоді

Така форма запису дозволяє узагальнити векторний добуток на вищі розмірності, подаючи псевдовектори (кутова швидкість, індукція тощо) як такі кососиметричні матриці. Ясно, що такі фізичні величини будуть мати незалежних компонент у -вимірному просторі. У тривимірному просторі виходять три незалежні компоненти, тому такі величини можна подавати як вектори цього простору.

З такою формою запису також здебільшого простіше працювати (наприклад, в епіполярній геометрії).

Із загальних властивостей векторного добутку випливає, що

а оскільки кососиметрична, то

У такій формі запису легко довести тотожність Лагранжа[ru] (правило «БАЦ мінус ЦАБ»).

Поширення на матриці

У тривимірному випадку можна визначити в координатах у довільному базисі векторний добуток матриць і добуток матриці на вектор. Це робить очевидним зазначений вище ізоморфізм і дозволяє спростити багато викладок. Подамо матрицю як стовпець векторів, тоді

Множення матриці на вектор зліва визначається аналогічно, якщо подати як рядок векторів. Транспонування матриці, відповідно, переводить рядок векторів у стовпець векторів, і навпаки. Легко узагальнити багато співвідношень для векторів на співвідношення для векторів і матриць, наприклад ( — матриця, ,  — вектори):

Після цього можна змінити форму запису для векторного добутку:

 — одинична матриця. Звідси очевидні існування і вигляд матриці, що відповідає векторному множенню на вектор ліворуч. Аналогічно можна отримати вираз для множення матриці на вектор праворуч. Поширюючи операції над векторами на матриці покомпонентно, подаючи їх як «вектори з векторів», стандартні співвідношення для векторів легко узагальнюються на матриці. Наприклад, теорема Стокса в набуде вигляду:

де ротор матриці обчислюється як векторний добуток матриці на оператор Гамільтона зліва (базис вважається правим ортонормованим). У цих позначеннях дуже легко довести, наприклад, такі форми теореми Стокса:

Розмірності, не рівні трьом

Нехай  — розмірність простору.

Векторний добуток, що володіє всіма властивостями звичайного тривимірного векторного добутку, тобто бінарне білінійне антисиметричне невироджене відображення можна ввести тільки для розмірностей 3 і 7.

Однак є просте узагальнення на інші натуральні виміри, починаючи з 3, а якщо потрібно — і на розмірність 2 (останнє, щоправда, дещо специфічним чином). Тоді це узагальнення, на відміну від неможливого, описаного трохи вище, вводиться не для пари векторів, а лише для набору векторів-співмножників. Цілком аналогічно мішаному добутку, природно узагальнюваному в -вимірному просторі на операцію з співмножниками. Використовуючи символ Леві-Чивіти з індексами можна явно записати такий -валентний векторний добуток як

Таке узагальнення дає гіперплощу розмірності .

Якщо потрібно ввести операцію саме для двох співмножників, що має геометричний сенс, гранично близький до змісту векторного добутку (тобто представляє орієнтовану площу), то результат вже не буде вектором, оскільки при не знайдеться єдиної, однозначно визначеної нормалі до двовимірної площини, натягнутої на множники. Можна ввести бівектор, компоненти якого дорівнюють проєкціям орієнтованої площі паралелограма, натягнутого на пару векторів, на координатні площини:

Ця конструкція називається зовнішнім добутком.

Для двовимірного випадку операція

називається псевдоскалярним добутком[ru], оскільки отримуваний простір одновимірний і результат є псевдоскаляром. (Двоіндексний зовнішній добуток, описаний вище, можна ввести і для двовимірного простору, однак він, очевидно, досить тривіально пов'язаний зі псевдоскалярним добутком, а саме зовнішній добуток у цьому випадку подається матрицею, на діагоналі якої нулі, а два недіагональні елементи, що залишилися, дорівнюють псевдоскалярному добутку і мінус псевдоскалярному добутку).

Алгебра Лі векторів

Векторний добуток вводить на структуру алгебри Лі (оскільки він задовольняє обом аксіомам — антисиметричності і тотожності Якобі). Ця структура відповідає ототожненню з дотичною алгеброю Лі до групи Лі ортогональних лінійних перетворень тривимірного простору.

Примітки

  1. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101.
  2. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.

Див. також

Інше

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ve ktornij dobu tok bilinijna antisimetrichna operaciya na vektorah u trivimirnomu prostori Na vidminu vid skalyarnogo dobutku vektoriv evklidovogo prostoru rezultatom vektornogo dobutku ye vektor jogo takozh nazivayut vektornim dobutkom a ne skalyar Vektornij dobutok vertikalnij vektor zminyuyetsya razom z kutom mizh vektoramiVektornij dobutok dvoh vektoriv u trivimirnomu evklidovomu prostori vektor perpendikulyarnij do oboh vihidnih vektoriv dovzhina yakogo dorivnyuye ploshi paralelograma utvorenogo vihidnimi vektorami a vibir z dvoh napryamkiv viznachayetsya tak shob trijka z vektoriv mnozhnikiv uzyatih v takomu zh poryadku yak zapisano v dobutku i otrimanogo vektora bula pravoyu Vektornij dobutok kolinearnih vektoriv zokrema yaksho hocha b odin z mnozhnikiv nulovij vektor vvazhayetsya rivnim nulovomu vektoru Takim chinom dlya viznachennya vektornogo dobutku dvoh vektoriv neobhidno zadati oriyentaciyu prostoru tobto skazati yaka trijka vektoriv ye pravoyu a yaka livoyu Pri comu ne ye obov yazkovim zadannya u rozglyanutomu prostori bud yakoyi sistemi koordinat Zokrema pri zadanij oriyentaciyi prostoru rezultat vektornogo dobutku ne zalezhit vid togo chi ye rozglyaduvana sistema koordinat pravoyu chi livoyu Pri comu formuli virazhennya koordinat vektornogo dobutku cherez koordinati vihidnih vektoriv u pravij i livij ortonormovanij pryamokutnij sistemi koordinat vidriznyayutsya znakom Vektornij dobutok ne maye vlastivosti komutativnosti ta asociativnosti Vin ye antikomutativnim i na vidminu vid skalyarnogo dobutku vektoriv rezultat ye znovu vektorom Korisnij dlya vimiryuvannya perpendikulyarnosti vektoriv modul vektornogo dobutku dvoh vektoriv dorivnyuye dobutku yihnih moduliv yaksho voni perpendikulyarni i zmenshuyetsya do nulya yaksho vektori kolinearni Maye bagato tehnichnih i fizichnih zastosuvan Napriklad moment impulsu i sila Lorenca matematichno zapisuyutsya u viglyadi vektornogo dobutku Zmist 1 Istoriya 2 Poznachennya 3 Pravi i livi trijki vektoriv u trivimirnomu evklidovomu prostori 3 1 Geometrichne viznachennya 3 2 Viznachennya za dopomogoyu ruki 3 3 Algebrichne viznachennya 3 4 Zauvazhennya 4 Algebrayichne oznachennya vektornogo dobutku 5 Geometrichne oznachennya vektornogo dobutku 6 Vlastivosti 6 1 Geometrichni vlastivosti vektornogo dobutku 6 2 Algebrichni vlastivosti vektornogo dobutku 7 Virazhennya v koordinatah 7 1 U pravomu ortonormovanomu bazisi 7 2 U livomu ortonormovanomu bazisi 7 3 U dovilnij afinnij sistemi koordinat 8 Variaciyi ta uzagalnennya 8 1 Kvaternioni 8 2 Peretvorennya do matrichnoyi formi 8 3 Poshirennya na matrici 8 4 Rozmirnosti ne rivni trom 9 Algebra Li vektoriv 10 Primitki 11 Div takozh 12 PosilannyaIstoriya RedaguvatiVektornij dobutok bulo vvedeno U Gamiltonom u 1846 roci 1 odnochasno zi skalyarnim dobutkom u zv yazku z kvaternionami vidpovidno yak vektorna i skalyarna chastina dobutku dvoh kvaternioniv skalyarna chastina yakih dorivnyuye nulyu 2 Poznachennya RedaguvatiNajchastishe dlya poznachennya vektornogo dobutku vzhivayetsya simvol Vektornij dobutok poznachayetsya takozh kvadratnimi duzhkami v yakih spivmnozhniki rozdileni komami Krim togo v fizichnih tekstah zavedeno poznachati vektori zhirnim shriftom u v u v u v u v u v displaystyle vec u times vec v vec u vec v vec u times vec v mathbf u times mathbf v mathbf u mathbf v Pravi i livi trijki vektoriv u trivimirnomu evklidovomu prostori RedaguvatiRozglyanemo vporyadkovanu trijku nekomplanarnih linijno nezalezhnih vektoriv a b c displaystyle vec a vec b vec c v trivimirnomu evklidovomu prostori V oriyentovanomu prostori taka trijka vektoriv bude abo pravoyu abo livoyu Geometrichne viznachennya Redaguvati Nehaj pochatki rozglyadanih vektoriv perebuvayut v odnij tochci Uporyadkovana trijka nekomplanarnih vektoriv a b c displaystyle vec a vec b vec c u trivimirnomu prostori nazivayetsya pravoyu yaksho z kincya vektora c displaystyle vec c najkorotshij povorot vid vektora a vec a do vektoru b displaystyle vec b vidno sposterigachevi proti godinnikovoyi strilki I navpaki yaksho najkorotshij povorot vidno za godinnikovoyu strilkoyu to trijka nazivayetsya livoyu Viznachennya za dopomogoyu ruki Redaguvati Znahodzhennya napryamku vektornogo dobutku vikoristovuyuchi pravilo pravoyi rukiInshe viznachennya pov yazane z pravoyu rukoyu lyudini zvidki i vzyato nazvu Na malyunku trijka vektoriv a vec a b displaystyle vec b a b displaystyle vec a times vec b ye pravoyu Algebrichne viznachennya Redaguvati Isnuye takozh analitichnij sposib viznachennya pravoyi i livoyi trijki vektoriv yakij vimagaye zadannya u rozglyanutomu prostori pravoyi abo livoyi sistemi koordinat prichomu ne obov yazkovo pryamokutnoyi i ortonormovanoyi Potribno sklasti matricyu pershim ryadkom yakoyi budut koordinati vektora a vec a drugim vektora b displaystyle vec b tretim vektora c displaystyle vec c Potim zalezhno vid znaka viznachnika ciyeyi matrici mozhna zrobiti taki visnovki Yaksho viznachnik dodatnij to trijka vektoriv maye tu zh oriyentaciyu sho j sistema koordinat Yaksho viznachnik vid yemnij to trijka vektoriv maye oriyentaciyu protilezhnu oriyentaciyi sistemi koordinat Yaksho viznachnik dorivnyuye nulyu to vektori komplanarni linijno zalezhni Zauvazhennya Redaguvati Viznachennya pravoyi i livoyi trijki vektoriv zalezhat vid oriyentaciyi prostoru ale ne vimagayut zadannya u rozglyanutomu prostori bud yakoyi sistemi koordinat yak i ne vimagaye cogo viznachennya samogo vektornogo dobutku Pri comu formuli virazhennya koordinat vektornogo dobutku cherez koordinati vihidnih vektoriv budut vidriznyatisya znakom u pravij i livij pryamokutnij sistemi koordinat Vsi pravi mizh soboyu i livi mizh soboyu trijki vektoriv nazivayutsya odnakovo oriyentovanimi Za zadanoyi oriyentaciyi prostoru sistema koordinat nazivayetsya pravoyu livoyu yaksho trijka z vektoriv z koordinatami 1 0 0 displaystyle 1 0 0 0 1 0 displaystyle 0 1 0 0 0 1 displaystyle 0 0 1 ye pravoyu livoyu Geometrichne viznachennya i viznachennya za dopomogoyu ruki sami zadayut oriyentaciyu prostoru Algebrayichne viznachennya zadaye sposib rozbittya trijok nekomplanarnih vektoriv na dva klasi odnakovo oriyentovanih vektoriv ale vono ne zadaye oriyentaciyi prostoru a vikoristovuye vzhe zadanu tu na pidstavi yakoyi dana sistema koordinat vvazhayetsya pravoyu abo livoyu Pri comu yaksho oriyentaciya sistemi koordinat nevidoma mozhna porivnyuvati znak viznachnika zi znakom viznachnika inshoyi trijki nekomplanarnih vektoriv oriyentaciya yakoyi vidoma yaksho znaki zbigayutsya to trijki odnakovo oriyentovani yaksho znaki protilezhni trijki protilezhno oriyentovani Algebrayichne oznachennya vektornogo dobutku RedaguvatiDovilnij vektor v R 3 displaystyle mathbb R 3 opisuyetsya svoyimi koordinatami vidnosno standartnogo bazisu i j k displaystyle vec i vec j vec k Vektornim dobutkom dvoh 3 3 vektoriv u u 1 i u 2 j u 3 k v v 1 i v 2 j v 3 k displaystyle vec u u 1 vec i u 2 vec j u 3 vec k quad vec v v 1 vec i v 2 vec j v 3 vec k nazivayetsya 3 3 vektor u v u 2 v 3 u 3 v 2 i u 3 v 1 u 1 v 3 j u 1 v 2 u 2 v 1 k displaystyle vec u times vec v u 2 v 3 u 3 v 2 vec i u 3 v 1 u 1 v 3 vec j u 1 v 2 u 2 v 1 vec k yakij takozh simvolichno zapisuyetsya u viglyadi 3 3 displaystyle 3 times 3 determinantu u v i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 displaystyle vec u times vec v begin vmatrix vec i amp vec j amp vec k u 1 amp u 2 amp u 3 v 1 amp v 2 amp v 3 end vmatrix Naspravdi ci formuli dlya vektornogo dobutku vikonuyutsya u bud yakomu ortonormovanomu bazisi R 3 displaystyle mathbb R 3 Geometrichne oznachennya vektornogo dobutku RedaguvatiU naukovij literaturi z mehaniki i fiziki rozpovsyudzheno desho inshe oznachennya vektornogo dobutku Vektornim dobutkom dvoh 3 3 vektoriv u v R 3 displaystyle vec u vec v in mathbb R 3 nazivayetsya 3 3 vektor u v R 3 displaystyle vec u times vec v in mathbb R 3 yakij zadovolnyaye nastupnim vimogam u v u v sin 8 displaystyle vec u times vec v vec u vec v sin theta de 8 theta ce kut mizh u displaystyle vec u ta v displaystyle vec v dovzhina abo pravilo paralelogramu vektor u v displaystyle vec u times vec v ortogonalnij do vektoriv u displaystyle vec u ta v displaystyle vec v ortogonalnist vektori u v u v displaystyle vec u vec v vec u times vec v utvoryuyut pravu trijku vektoriv oriyentaciya Vlastivosti RedaguvatiGeometrichni vlastivosti vektornogo dobutku Redaguvati Malyunok 1 Plosha paralelograma dorivnyuye modulyu vektornogo dobutku Malyunok 2 Ob yem paralelepipeda pri vikoristanni vektornogo i skalyarnogo dobutku vektoriv punktirni liniyi pokazuyut proyekciyi vektora c na a b i vektora b c na a Ce vidpovidaye riznim sposobam obchislennya ob yemu Neobhidnoyu i dostatnoyu umovoyu kolinearnosti dvoh nenulovih vektoriv ye rivnist nulyu yih vektornogo dobutku Modul vektornogo dobutku a b displaystyle vec a vec b dorivnyuye ploshi S S paralelograma pobudovanogo na zvedenih do spilnogo pochatku vektorah a vec a i b displaystyle vec b div malyunok 1 Yaksho e displaystyle vec e odinichnij vektor ortogonalnij vektoram a vec a i b displaystyle vec b i vibranij tak sho trijka a b e displaystyle vec a vec b vec e prava a S S plosha paralelograma pobudovanogo na nih zvedenih do spilnogo pochatku to dlya vektornogo dobutku spravedliva formula a b S e displaystyle vec a vec b S cdot vec e Yaksho c displaystyle vec c yakij nebud vektor p pi bud yaka ploshina yaka mistit cej vektor e displaystyle vec e odinichnij vektor sho lezhit u ploshini p pi i ortogonalnij do c displaystyle vec c g displaystyle vec g odinichnij vektor ortogonalnij do ploshini p pi i spryamovanij tak sho trijka vektoriv e c g displaystyle vec e vec c vec g ye pravoyu to dlya bud yakogo vektora a vec a sho lezhit u ploshini p pi spravedliva formula a c P r e a c g displaystyle vec a vec c mathrm Pr vec e vec a cdot vec c cdot vec g Pri vikoristanni vektornogo i skalyarnogo dobutkiv mozhna virahuvati ob yem paralelepipeda pobudovanogo na zvedenih do spilnogo pochatku vektorah a b i c div malyunok 2 Takij dobutok troh vektoriv nazivayetsya mishanim V a b c displaystyle V langle vec a vec b vec c rangle Na malyunku pokazano sho cej ob yem mozhe buti znajdenij dvoma sposobami geometrichnij rezultat zberigayetsya navit pri zamini skalyarnogo i vektornogo dobutkiv miscyami V a b c a b c displaystyle V langle vec a vec b vec c rangle langle vec a vec b vec c rangle Velichina vektornogo dobutku zalezhit vid sinusa kuta mizh pochatkovimi vektorami tomu vektornij dobutok mozhe sprijmatisya yak stepin perpendikulyarnosti vektoriv tak samo yak i skalyarnij dobutok mozhe rozglyadatisya yak stepin paralelnosti Vektornij dobutok dvoh odinichnih vektoriv dorivnyuye 1 odinichnogo vektora yaksho pochatkovi vektori perpendikulyarni i dorivnyuye 0 nulovomu vektoru yaksho vektori paralelni abo antiparalelni Algebrichni vlastivosti vektornogo dobutku Redaguvati Dali a b displaystyle vec a vec b i a b displaystyle langle vec a vec b rangle poznachayut vidpovidno vektornij i skalyarnij dobutok vektoriv a vec a i b displaystyle vec b Podannya Opis a b b a displaystyle vec a vec b vec b vec a Antikomutativnist a a b a a b a a b displaystyle alpha cdot vec a vec b vec a alpha cdot vec b alpha cdot vec a vec b Associativnist mnozhennya na skalyar a b c a c b c displaystyle vec a vec b vec c vec a vec c vec b vec c Distributivnist za dodavannyam a b c b c a c a b 0 displaystyle vec a vec b vec c vec b vec c vec a vec c vec a vec b 0 Totozhnist Yakobi a a 0 displaystyle vec a vec a vec 0 a b c b a c c a b displaystyle vec a vec b vec c vec b cdot langle vec a vec c rangle vec c cdot langle vec a vec b rangle Formula BAC minus CAB totozhnist Lagranzha ru a b 2 a b 2 a 2 b 2 displaystyle vec a vec b 2 langle vec a vec b rangle 2 vec a 2 cdot vec b 2 Chastkovij vipadok multiplikativnosti normi kvaternioniv a b c a b c displaystyle langle vec a vec b vec c rangle langle vec a vec b vec c rangle Znachennya cogo virazu nazivayut mishanim dobutkom vektoriv a a b displaystyle b c c Virazhennya v koordinatah RedaguvatiU pravomu ortonormovanomu bazisi Redaguvati Yaksho dva vektori a displaystyle vec a i b displaystyle vec b podani u pravomu ortonormovanomu bazisi koordinatami a a x a y a z displaystyle vec a a x a y a z b b x b y b z displaystyle vec b b x b y b z to yih vektornij dobutok maye koordinati a b a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x displaystyle vec a vec b a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x Dlya zapam yatovuvannya ciyeyi formuli zruchno vikoristovuvati simvolichnij viznachnik a b i j k a x a y a z b x b y b z displaystyle vec a vec b begin vmatrix mathbf i amp mathbf j amp mathbf k a x amp a y amp a z b x amp b y amp b z end vmatrix de i 1 0 0 displaystyle mathbf i 1 0 0 j 0 1 0 displaystyle mathbf j 0 1 0 k 0 0 1 displaystyle mathbf k 0 0 1 abo a b i j k 1 3 e i j k a j b k displaystyle vec a vec b i sum j k 1 3 varepsilon ijk a j b k de e i j k displaystyle varepsilon ijk simvol Levi Chiviti U livomu ortonormovanomu bazisi Redaguvati Yaksho bazis livij ortonormovanij to vektornij dobutok u koordinatah maye viglyad a b a z b y a y b z a x b z a z b x a y b x a x b y displaystyle vec a vec b a z b y a y b z a x b z a z b x a y b x a x b y Dlya zapam yatovuvannya analogichno a b i j k a x a y a z b x b y b z displaystyle vec a vec b begin vmatrix mathbf i amp mathbf j amp mathbf k a x amp a y amp a z b x amp b y amp b z end vmatrix abo a b i j k 1 3 e i j k a j b k displaystyle vec a vec b i sum j k 1 3 varepsilon ijk cdot a j cdot b k Formuli dlya livoyi sistemi koordinat mozhna otrimati z formul pravoyi sistemi koordinat zapisavshi ti zh vektori a displaystyle vec a i b displaystyle vec b u dopomizhnij pravij sistemi koordinat i i j j k k displaystyle mathbf i mathbf i mathbf j mathbf j mathbf k mathbf k a b i j k a x a y a z b x b y b z i j k a x a y a z b x b y b z i j k a x a y a z b x b y b z displaystyle vec a vec b begin vmatrix mathbf i amp mathbf j amp mathbf k a x amp a y amp a z b x amp b y amp b z end vmatrix begin vmatrix mathbf i amp mathbf j amp mathbf k a x amp a y amp a z b x amp b y amp b z end vmatrix begin vmatrix mathbf i amp mathbf j amp mathbf k a x amp a y amp a z b x amp b y amp b z end vmatrix U dovilnij afinnij sistemi koordinat Redaguvati Vektornij dobutok u dovilnij afinnij sistemi koordinat O e 1 e 2 e 3 displaystyle O vec e 1 vec e 2 vec e 3 maye koordinati a b e 2 e 3 e 3 e 1 e 1 e 2 a x a y a z b x b y b z displaystyle vec a vec b begin vmatrix vec e 2 vec e 3 amp vec e 3 vec e 1 amp vec e 1 vec e 2 a x amp a y amp a z b x amp b y amp b z end vmatrix Variaciyi ta uzagalnennya RedaguvatiKvaternioni Redaguvati Koordinati vektornogo dobutku v pravomu ortonormovanomu bazisi mozhna takozh zapisati v kvaternionnij formi tomu bukvi i displaystyle mathbf i j displaystyle mathbf j k displaystyle mathbf k standartni poznachennya dlya ortiv v R 3 displaystyle mathbb R 3 voni rozglyadayutsya yak uyavni kvaternioni Zauvazhimo sho spivvidnoshennya cherez vektornij dobutok mizh i displaystyle mathbf i j displaystyle mathbf j i k displaystyle mathbf k vidpovidayut pravilam mnozhennya dlya kvaternioniv i i j j i k k Yaksho uyaviti vektor a 1 a 2 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 yak kvaternion a 1 i a 2 j a 3 k displaystyle a 1 i a 2 j a 3 k to vektornij dobutok dvoh vektoriv vihodit vzyattyam vektornoyi chastini vid dobutku vidpovidnih yim kvaternioniv Skalyarnij dobutok cih vektoriv protilezhnij skalyarnij chastini dobutku cih kvaternioniv Peretvorennya do matrichnoyi formi Redaguvati Vektornij dobutok dvoh vektoriv u koordinatah u pravomu ortonormovanomu bazisi mozhna zapisati yak dobutok kososimetrichnoyi matrici i vektora a b a b 0 a 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a 1 0 b 1 b 2 b 3 displaystyle vec a vec b vec a times vec b begin bmatrix 0 amp a 3 amp a 2 a 3 amp 0 amp a 1 a 2 amp a 1 amp 0 end bmatrix begin bmatrix b 1 b 2 b 3 end bmatrix b a b T a b 1 b 2 b 3 0 a 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a 1 0 displaystyle vec b vec a vec b T vec a times begin bmatrix b 1 amp b 2 amp b 3 end bmatrix begin bmatrix 0 amp a 3 amp a 2 a 3 amp 0 amp a 1 a 2 amp a 1 amp 0 end bmatrix de a d e f 0 a 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a 1 0 displaystyle vec a times stackrel rm def begin bmatrix 0 amp a 3 amp a 2 a 3 amp 0 amp a 1 a 2 amp a 1 amp 0 end bmatrix Nehaj a vec a dorivnyuye vektornomu dobutku a c d displaystyle vec a vec c vec d todi a c d T T c d T displaystyle vec a times vec c vec d T T vec c vec d T Taka forma zapisu dozvolyaye uzagalniti vektornij dobutok na vishi rozmirnosti podayuchi psevdovektori kutova shvidkist indukciya tosho yak taki kososimetrichni matrici Yasno sho taki fizichni velichini budut mati n n 1 2 displaystyle n n 1 2 nezalezhnih komponent u n n vimirnomu prostori U trivimirnomu prostori vihodyat tri nezalezhni komponenti tomu taki velichini mozhna podavati yak vektori cogo prostoru Z takoyu formoyu zapisu takozh zdebilshogo prostishe pracyuvati napriklad v epipolyarnij geometriyi Iz zagalnih vlastivostej vektornogo dobutku viplivaye sho a a 0 displaystyle vec a times vec a vec 0 i a T a 0 displaystyle vec a T vec a times vec 0 a oskilki a displaystyle vec a times kososimetrichna to b T a b 0 displaystyle vec b T vec a times vec b 0 U takij formi zapisu legko dovesti totozhnist Lagranzha ru pravilo BAC minus CAB Poshirennya na matrici Redaguvati U trivimirnomu vipadku mozhna viznachiti v koordinatah u dovilnomu bazisi vektornij dobutok matric i dobutok matrici na vektor Ce robit ochevidnim zaznachenij vishe izomorfizm i dozvolyaye sprostiti bagato vikladok Podamo matricyu A A yak stovpec vektoriv todi a 1 a 2 a 3 b a 1 b a 2 b a 3 b displaystyle begin bmatrix vec a 1 vec a 2 vec a 3 end bmatrix times vec b begin bmatrix vec a 1 times vec b vec a 2 times vec b vec a 3 times vec b end bmatrix a 1 a 2 a 3 b a 1 b a 2 b a 3 b displaystyle begin bmatrix vec a 1 vec a 2 vec a 3 end bmatrix cdot vec b begin bmatrix vec a 1 cdot vec b vec a 2 cdot vec b vec a 3 cdot vec b end bmatrix Mnozhennya matrici na vektor zliva viznachayetsya analogichno yaksho podati A A yak ryadok vektoriv Transponuvannya matrici vidpovidno perevodit ryadok vektoriv u stovpec vektoriv i navpaki Legko uzagalniti bagato spivvidnoshen dlya vektoriv na spivvidnoshennya dlya vektoriv i matric napriklad A A matricya x displaystyle vec x y displaystyle vec y vektori A x y A x y displaystyle A cdot vec x times vec y A times vec x cdot vec y A x y x A y y A x displaystyle A times vec x times vec y vec x A cdot vec y vec y A cdot vec x Pislya cogo mozhna zminiti formu zapisu dlya vektornogo dobutku x y E x y E x y displaystyle vec x times vec y E cdot vec x times vec y E times vec x cdot vec y E E odinichna matricya Zvidsi ochevidni isnuvannya i viglyad matrici sho vidpovidaye vektornomu mnozhennyu na vektor livoruch Analogichno mozhna otrimati viraz dlya mnozhennya matrici na vektor pravoruch Poshiryuyuchi operaciyi nad vektorami na matrici pokomponentno podayuchi yih yak vektori z vektoriv standartni spivvidnoshennya dlya vektoriv legko uzagalnyuyutsya na matrici Napriklad teorema Stoksa v R 3 displaystyle mathbb R 3 nabude viglyadu S rot A T d S S A d r displaystyle int limits Sigma operatorname rot mathbf A T mathbf d Sigma int limits partial Sigma mathbf A cdot d mathbf r de rotor matrici A A obchislyuyetsya yak vektornij dobutok matrici A A na operator Gamiltona zliva bazis vvazhayetsya pravim ortonormovanim U cih poznachennyah duzhe legko dovesti napriklad taki formi teoremi Stoksa S grad u d S S u d r displaystyle int limits Sigma operatorname grad u times mathbf d Sigma int limits partial Sigma u d mathbf r S d S a S a d r displaystyle int limits Sigma left mathbf d Sigma left nabla mathbf a right right int limits partial Sigma mathbf a times d mathbf r Rozmirnosti ne rivni trom Redaguvati Nehaj n n rozmirnist prostoru Vektornij dobutok sho volodiye vsima vlastivostyami zvichajnogo trivimirnogo vektornogo dobutku tobto binarne bilinijne antisimetrichne nevirodzhene vidobrazhennya R n R n R n displaystyle mathbb R n times mathbb R n to mathbb R n mozhna vvesti tilki dlya rozmirnostej 3 i 7 Odnak ye proste uzagalnennya na inshi naturalni vimiri pochinayuchi z 3 a yaksho potribno i na rozmirnist 2 ostannye shopravda desho specifichnim chinom Todi ce uzagalnennya na vidminu vid nemozhlivogo opisanogo trohi vishe vvoditsya ne dlya pari vektoriv a lishe dlya naboru n 1 displaystyle n 1 vektoriv spivmnozhnikiv Cilkom analogichno mishanomu dobutku prirodno uzagalnyuvanomu v n n vimirnomu prostori na operaciyu z n n spivmnozhnikami Vikoristovuyuchi simvol Levi Chiviti e i 1 i 2 i 3 i n displaystyle varepsilon i 1 i 2 i 3 ldots i n z n n indeksami mozhna yavno zapisati takij n 1 displaystyle n 1 valentnij vektornij dobutok yak P i a b c j k m 1 n e i j k a j b k c m det e 1 e n a b c e i displaystyle P i mathbf a b c ldots sum j k m ldots 1 n varepsilon ijk ldots a j b k c m ldots det begin pmatrix mathbf e 1 vdots mathbf e n end pmatrix mathbf a b c ldots cdot mathbf e i Take uzagalnennya daye giperploshu rozmirnosti n 1 n 1 Yaksho potribno vvesti operaciyu same dlya dvoh spivmnozhnikiv sho maye geometrichnij sens granichno blizkij do zmistu vektornogo dobutku tobto predstavlyaye oriyentovanu ploshu to rezultat vzhe ne bude vektorom oskilki pri n 3 displaystyle n neq 3 ne znajdetsya yedinoyi odnoznachno viznachenoyi normali do dvovimirnoyi ploshini natyagnutoyi na mnozhniki Mozhna vvesti bivektor komponenti yakogo dorivnyuyut proyekciyam oriyentovanoyi ploshi paralelograma natyagnutogo na paru vektoriv na koordinatni ploshini P i j a b a i b j a j b i displaystyle P ij mathbf a b a i b j a j b i Cya konstrukciya nazivayetsya zovnishnim dobutkom Dlya dvovimirnogo vipadku operaciya P a b a 1 b 2 a 2 b 1 displaystyle P mathbf a b a 1 b 2 a 2 b 1 nazivayetsya psevdoskalyarnim dobutkom ru oskilki otrimuvanij prostir odnovimirnij i rezultat ye psevdoskalyarom Dvoindeksnij zovnishnij dobutok opisanij vishe mozhna vvesti i dlya dvovimirnogo prostoru odnak vin ochevidno dosit trivialno pov yazanij zi psevdoskalyarnim dobutkom a same zovnishnij dobutok u comu vipadku podayetsya matriceyu na diagonali yakoyi nuli a dva nediagonalni elementi sho zalishilisya dorivnyuyut psevdoskalyarnomu dobutku i minus psevdoskalyarnomu dobutku Algebra Li vektoriv RedaguvatiVektornij dobutok vvodit na R 3 displaystyle mathbb R 3 strukturu algebri Li oskilki vin zadovolnyaye obom aksiomam antisimetrichnosti i totozhnosti Yakobi Cya struktura vidpovidaye ototozhnennyu R 3 displaystyle mathbb R 3 z dotichnoyu algebroyu Li s o 3 displaystyle so 3 do grupi Li S O 3 displaystyle SO 3 ortogonalnih linijnih peretvoren trivimirnogo prostoru Primitki Redaguvati Crowe M J A History of Vector Analysis The Evolution of the Idea of a Vectorial System Courier Dover Publications 1994 S 32 270 s ISBN 0486679101 Hamilton W R On Quaternions or on a New System of Imaginaries in Algebra Philosophical Magazine 3rd Series London 1846 T 29 S 30 Div takozh RedaguvatiSkalyarnij dobutok Aksialnij vektor Psevdoskalyarnij dobutok ru tilki na ploshini Mishanij skalyarno vektornij dobutok vektoriv tilki v R 3 displaystyle mathbb R 3 Podvijnij vektorno vektornij dobutok vektoriv ru tilki v R 3 displaystyle mathbb R 3 Vektornij dobutok u semivimirnomu prostori en Inshe Rotor DivergenciyaPosilannya RedaguvatiDobutok vektornij Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vektornij dobutok amp oldid 37449741