www.wikidata.uk-ua.nina.az

Паралелограм Паралелогра м чотирикутник протилежні сторони якого попарно паралельні тобто лежать на паралельних прямих Ц

Паралелограм

Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Паралелограм
Цей паралелограм є ромбоїдом, оскільки він не має прямих кутів і його сторони не рівні.
Вид Чотирикутник
Ребра і вершини 4
Група симетрії[en] C2, [2]+, (22)
Площа b × h (основа × висота);
ab sin θ (добуток прилеглих сторін на синус кута при будь-якій вершині)
Властивості опуклий

Існує декілька видів паралелограм

  • Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі;
  • Ромб — паралелограм, всі чотири сторони якого рівні між собою;
  • Квадрат — рівнобічний прямокутник або ромб з прямими кутами при вершинах.

Паралелограм є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному.

Особливі випадки

  • Ромбоїд – чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні, а прилеглі сторони не рівні, а його кути не є прямими кутами.
  • Прямокутник – паралелограм, чотири кути якого рівні (прямі).
  • Ромб – паралелограм, чотири сторони якого є рівними.
  • Квадрат – паралелограм, чотири сторони і чотири кути якого є рівними.

Властивості

Простий (не перехрещений) чотирикутник є паралелограмом тоді й лише тоді якщо одне із наведених нижче тверджень є вірним:

  • Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто та .
  • Протилежні кути паралелограма рівні, тобто та .
  • Діагоналі паралелограма перетинаються та точкою перетину діляться навпіл.
  • Одна пара протилежних сторін є паралельними і мають однакову довжину.
  • Кожна з діагоналей поділяє чотирикутник на два конгруентні трикутники.
  • Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює . Загальна сума кутів паралелограма дорівнює .
  • Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів двох його суміжних сторін (правило паралелограма).
  • Сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки до сторін не залежить від місця розташування точки. (Це твердження є продовженням теореми Вівіані.)

Інші властивості

  • В паралелограмі дві сторони рівні та паралельні.
  • В паралелограмі протилежні сторони попарно рівні.
  • В паралелограмі протилежні кути попарно рівні.
  • Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
  • Будь-яка пряма, яка проходить через центр паралелограма поділяє його площу навпіл.
  • Сума кутів при кожній стороні становить .
  • В паралелограмі діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
  • Діагоналі паралелограма поділяють його на чотири трикутника однакової площі.

Площа паралелограма

Паралелограм можна перебудувати у прямокутник з такою ж площею.
Анімація для формули визначення площі .

Паралелограм із основою b і висотою h можна розділити на трапецію і прямокутний трикутник, і перебудувати у прямокутник, як показано на малюнку праворуч. Це означає, що площа паралелограма є такою ж як у прямокутника із такою ж основою і висотою:

Іншими словами, площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, яка перпендикулярна до цієї сторони:

.

Площа паралелограма, це площа внутрішньої області, що виділена синім і визначається як :, де B і C — сторони паралелограма.

Також площа паралелограма рівна добутку двох його непаралельних сторін та синуса кута між ними:

Якщо розглядати паралелограм як геометричну фігуру, яка побудована на двох векторах та , то площа паралелограма буде дорівнювати модулю векторного добутку цих векторів:

Площа паралелограма (як і будь-якого чотирикутника без самоперетинів) рівна півдобутку діагоналей, помноженому на синус кута між ними: .

Площа паралелограма із сторонами B і C (B ≠ C) і кутом утвореним перетином діагоналей дорівнює наступному

Якщо паралелограм заданий довжинами B і C двох прилеглих сторін і довжиною однієї з діагоналей D1, тоді площу можна знайти за допомогою формули Герона. Що задається наступним чином

де і перший множник 2 додано оскільки, будь-яка обрана діагональ поділяє паралелограм на два конгруентні трикутники.

Площа паралелограма при відомих декартових координатах вершин

Нехай існують вектори і нехай позначає матрицю елементів a і b. Тоді площею паралелограма, що заданий за допомогою a і b буде .

Нехай існують вектори і нехай . тоді площа паралелограма, що задана за допомогою a і b буде дорівнювати .

Нехай існують точки . Тоді площа паралелограма із вершинами в точках a, b і c є еквівалентною абсолютному значенню детермінанта матриці, що побудована так, що a, b і c є її рядками і остання колонка доповнена одиницями, як наведено нижче:

Доведення, що діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

Паралелограм ABCD

Аби довести, що діагоналі паралелограма перетинаються, використаємо конгруентні трикутники:

(оскільки це кути, що утворені перетином прямої із двома паралельними прямими AB і DC).

Також, сторона AB має таку ж саму довжину, що і сторона DC, оскільки протилежні сторони паралелограма є рівними.

Таким чином, трикутники ABE і CDE конгруентні (постулат Кут-Сторона-Кут (КСК), два відповідні кути і прилегла сторона).

Тому,

Оскільки діагоналі AC і BD поділяють одна одну на відрізки однакової довжини, діагоналі перетинають одна одну.

Відповідно, оскільки діагоналі AC і BD перетинають одна одну в точці E, точка E є серединою кожної діагоналі.

Див. також

Примітки

  1. Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 51-52.
  2. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 22.
  3. Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
  4. Dunn, J.A., and J.E. Pretty, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
  5. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Paralelogra m chotirikutnik protilezhni storoni yakogo poparno paralelni tobto lezhat na paralelnih pryamih ParalelogramCej paralelogram ye romboyidom oskilki vin ne maye pryamih kutiv i jogo storoni ne rivni Vid ChotirikutnikRebra i vershini 4Grupa simetriyi en C2 2 22 Plosha b h osnova visota ab sin 8 dobutok prileglih storin na sinus kuta pri bud yakij vershini Vlastivosti opuklijIsnuye dekilka vidiv paralelogram Pryamokutnik paralelogram vsi kuti yakogo pryami Romb paralelogram vsi chotiri storoni yakogo rivni mizh soboyu Kvadrat rivnobichnij pryamokutnik abo romb z pryamimi kutami pri vershinah Paralelogram ye ploskoyu geometrichnoyu figuroyu jogo analogom u trivimirnomu Zmist 1 Osoblivi vipadki 2 Vlastivosti 3 Inshi vlastivosti 4 Plosha paralelograma 4 1 Plosha paralelograma pri vidomih dekartovih koordinatah vershin 5 Dovedennya sho diagonali paralelograma peretinayutsya i tochkoyu peretinu dilyatsya navpil 6 Div takozh 7 Primitki 8 PosilannyaOsoblivi vipadki RedaguvatiRomboyid chotirikutnik protilezhni storoni yakogo paralelni a prilegli storoni ne rivni a jogo kuti ne ye pryamimi kutami Pryamokutnik paralelogram chotiri kuti yakogo rivni pryami Romb paralelogram chotiri storoni yakogo ye rivnimi Kvadrat paralelogram chotiri storoni i chotiri kuti yakogo ye rivnimi Vlastivosti RedaguvatiProstij ne perehreshenij chotirikutnik ye paralelogramom todi j lishe todi yaksho odne iz navedenih nizhche tverdzhen ye virnim 1 2 Protilezhni storoni paralelograma rivni tobto A B D C displaystyle AB DC ta A D B C displaystyle AD BC Protilezhni kuti paralelograma rivni tobto A C displaystyle angle A angle C ta B D displaystyle angle B angle D Diagonali paralelograma peretinayutsya ta tochkoyu peretinu dilyatsya navpil Odna para protilezhnih storin ye paralelnimi i mayut odnakovu dovzhinu Kozhna z diagonalej podilyaye chotirikutnik na dva kongruentni trikutniki Suma kutiv prileglih do odniyeyi storoni dorivnyuye 180 displaystyle 180 circ Zagalna suma kutiv paralelograma dorivnyuye 360 displaystyle 360 circ Suma kvadrativ diagonalej dorivnyuye podvoyenij sumi kvadrativ dvoh jogo sumizhnih storin pravilo paralelograma Suma vidstanej vid bud yakoyi vnutrishnoyi tochki do storin ne zalezhit vid miscya roztashuvannya tochki 3 Ce tverdzhennya ye prodovzhennyam teoremi Viviani Inshi vlastivosti RedaguvatiV paralelogrami dvi storoni rivni ta paralelni V paralelogrami protilezhni storoni poparno rivni V paralelogrami protilezhni kuti poparno rivni Tochka peretinu diagonalej ye centrom simetriyi paralelograma Bud yaka pryama yaka prohodit cherez centr paralelograma podilyaye jogo ploshu navpil 4 Suma kutiv pri kozhnij storoni stanovit 180 displaystyle 180 circ V paralelogrami diagonali peretinayutsya i tochkoyu peretinu dilyatsya navpil Diagonali paralelograma podilyayut jogo na chotiri trikutnika odnakovoyi ploshi Plosha paralelograma Redaguvati Paralelogram mozhna perebuduvati u pryamokutnik z takoyu zh plosheyu Animaciya dlya formuli viznachennya ploshi S b h displaystyle S bh Paralelogram iz osnovoyu b i visotoyu h mozhna rozdiliti na trapeciyu i pryamokutnij trikutnik i perebuduvati u pryamokutnik yak pokazano na malyunku pravoruch Ce oznachaye sho plosha paralelograma ye takoyu zh yak u pryamokutnika iz takoyu zh osnovoyu i visotoyu S b h displaystyle S bh Inshimi slovami plosha paralelograma dorivnyuye dobutku jogo storoni na visotu yaka perpendikulyarna do ciyeyi storoni S D C h D C B C h B C displaystyle S DC cdot h DC BC cdot h BC Plosha paralelograma ce plosha vnutrishnoyi oblasti sho vidilena sinim i viznachayetsya yak S B C sin 8 displaystyle S B cdot C cdot sin theta de B i C storoni paralelograma Takozh plosha paralelograma rivna dobutku dvoh jogo neparalelnih storin ta sinusa kuta mizh nimi S D C A D sin D D C B C sin C displaystyle S DC cdot AD cdot sin angle D DC cdot BC cdot sin angle C Yaksho rozglyadati paralelogram yak geometrichnu figuru yaka pobudovana na dvoh vektorah D A displaystyle vec DA ta D C displaystyle vec DC to plosha paralelograma bude dorivnyuvati modulyu vektornogo dobutku cih vektoriv S D C D A D C D A sin C D A displaystyle S vec DC times vec DA DC cdot DA cdot sin angle CDA Plosha paralelograma yak i bud yakogo chotirikutnika bez samoperetiniv rivna pivdobutku diagonalej pomnozhenomu na sinus kuta mizh nimi S d 1 d 2 sin g 2 displaystyle S frac d 1 d 2 sin gamma 2 Plosha paralelograma iz storonami B i C B C i kutom g displaystyle gamma utvorenim peretinom diagonalej dorivnyuye nastupnomu 5 S tan g 2 B 2 C 2 displaystyle S frac tan gamma 2 cdot left B 2 C 2 right Yaksho paralelogram zadanij dovzhinami B i C dvoh prileglih storin i dovzhinoyu odniyeyi z diagonalej D1 todi ploshu mozhna znajti za dopomogoyu formuli Gerona Sho zadayetsya nastupnim chinom S 2 K K B K C K D 1 displaystyle S 2 sqrt K K B K C K D 1 de K B C D 1 2 displaystyle K B C D 1 2 i pershij mnozhnik 2 dodano oskilki bud yaka obrana diagonal podilyaye paralelogram na dva kongruentni trikutniki Plosha paralelograma pri vidomih dekartovih koordinatah vershin Redaguvati Nehaj isnuyut vektori a b R 2 displaystyle mathbf a mathbf b in mathbb R 2 i nehaj V a 1 a 2 b 1 b 2 R 2 2 displaystyle V begin bmatrix a 1 amp a 2 b 1 amp b 2 end bmatrix in mathbb R 2 times 2 poznachaye matricyu elementiv a i b Todi plosheyu paralelograma sho zadanij za dopomogoyu a i b bude det V a 1 b 2 a 2 b 1 displaystyle det V a 1 b 2 a 2 b 1 Nehaj isnuyut vektori a b R n displaystyle mathbf a mathbf b in mathbb R n i nehaj V a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n R 2 n displaystyle V begin bmatrix a 1 amp a 2 amp dots amp a n b 1 amp b 2 amp dots amp b n end bmatrix in mathbb R 2 times n todi plosha paralelograma sho zadana za dopomogoyu a i b bude dorivnyuvati det V V T displaystyle sqrt det VV mathrm T Nehaj isnuyut tochki a b c R 2 displaystyle a b c in mathbb R 2 Todi plosha paralelograma iz vershinami v tochkah a b i c ye ekvivalentnoyu absolyutnomu znachennyu determinanta matrici sho pobudovana tak sho a b i c ye yiyi ryadkami i ostannya kolonka dopovnena odinicyami yak navedeno nizhche S det a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1 displaystyle S left det begin bmatrix a 1 amp a 2 amp 1 b 1 amp b 2 amp 1 c 1 amp c 2 amp 1 end bmatrix right Dovedennya sho diagonali paralelograma peretinayutsya i tochkoyu peretinu dilyatsya navpil Redaguvati Paralelogram ABCDAbi dovesti sho diagonali paralelograma peretinayutsya vikoristayemo kongruentni trikutniki A B E C D E displaystyle angle ABE cong angle CDE vnutrishni riznostoronni kuti rivni za rozmirom B A E D C E displaystyle angle BAE cong angle DCE vnutrishni riznostoronni kuti rivni za rozmirom oskilki ce kuti sho utvoreni peretinom pryamoyi iz dvoma paralelnimi pryamimi AB i DC Takozh storona AB maye taku zh samu dovzhinu sho i storona DC oskilki protilezhni storoni paralelograma ye rivnimi Takim chinom trikutniki ABE i CDE kongruentni postulat Kut Storona Kut KSK dva vidpovidni kuti i prilegla storona Tomu A E C E displaystyle AE CE B E D E displaystyle BE DE Oskilki diagonali AC i BD podilyayut odna odnu na vidrizki odnakovoyi dovzhini diagonali peretinayut odna odnu Vidpovidno oskilki diagonali AC i BD peretinayut odna odnu v tochci E tochka E ye seredinoyu kozhnoyi diagonali Div takozh RedaguvatiPravilo paralelograma Trapeciya Paralelogram sil AntiparalelogramPrimitki Redaguvati Owen Byer Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer Methods for Euclidean Geometry Mathematical Association of America 2010 pp 51 52 Zalman Usiskin and Jennifer Griffin The Classification of Quadrilaterals A Study of Definition Information Age Publishing 2008 p 22 Chen Zhibo and Liang Tian The converse of Viviani s theorem The College Mathematics Journal 37 5 2006 pp 390 391 Dunn J A and J E Pretty Halving a triangle Mathematical Gazette 56 May 1972 p 105 Mitchell Douglas W The area of a quadrilateral Mathematical Gazette July 2009 Posilannya RedaguvatiParalelogram Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 145 ISBN 978 966 7407 83 4 Eric W Weisstein Parallelogram at MathWorld Geometriya Pidruch dlya 7 9 kl sered shk L S Atanasyan V F Butuzov S B Kadomcev ta in K Osvita 1993 304 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Paralelogram amp oldid 38375971