www.wikidata.uk-ua.nina.az

Прямокутний трикутник трикутник один із кутів якого прямий займає особливе місце в планіметрії оскільки для нього існуют

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.

Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона — гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерами a та b, а гіпотенуза — літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.

Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:

Властивості прямокутних трикутників

  1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
  2. Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи.
  3. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
  4. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутники, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
  5. Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

У прямокутного трикутника є такі ознаки рівності:

  • За двома катетами.

Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого, то такі трикутники рівні.

  • За катетом і прилеглим гострим кутом.

Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й прилеглому до нього гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

  • За катетом і протилежним гострим кутом.

Якщо катет і протилежний йому гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й протилежно йому гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

  • За гіпотенузою і катетом.

Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого, то такі трикутники рівні.

  • За гіпотенузою і гострим кутом.

Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого, то такі трикутники рівні.

Тригонометрія у прямому трикутнику

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, оскільки всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.

  • Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
  • Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
  • Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.
  • Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.

Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.

Звідси можна зробити висновок, що:

  • Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.
  • Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.
  • Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.

Вписане й описане коло прямокутного трикутника

Описане коло

Описане коло

Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. Нехай  — центр описаного кола навколо прямокутного ABC

Вписане коло

Вписане коло

У прямокутний трикутник ABC 

з прямим кутом  вписане коло, яке дотикається до катетів у точках  і . Відрізки  і  дорівнюють радіусу кола.

Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами і і гіпотенузою знаходиться за формулою:

Площа прямокутного трикутника може бути знайдена як добудок довжин відрізків на які гіпотенузу ділить точка дотику вписаного кола. Тобто, якщо  — точка дотику вписаного кола до гіпотенузи , то:

Теорема про висоту прямокутного трикутника

Нехай — висота прямокутного трикутника , опущена на гіпотенузу прямого кута, і нехай вона ділить гіпотенузу на відрізки та , які є проєкціями катетів та на гіпотенузу відповідно. Тоді справедливі такі рівності:

Доведення. Трикутники , та подібні між собою (за гострим кутом як прямокутні трикутники).

З подібності трикутників та маємо, що . Звідси випливає, що та . Також звідси випливає рівність .

З подібності трикутників та маємо, що . Звідси випливає, що . Також звідси випливає рівність .

Оскільки та , то, перемноживши між собою праві та ліві частини рівностей, одержимо .

Таким чином доведено всі чотири рівності.

Джерела

  • Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1
  • О. М. Роганін, О. І. Каплун. Математика. — Харків: Весна, 2009, ISBN 978-966-8896-77-4
  • М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова. Геометрія 7 клас. — Україна: Зодіак-ЕКО, 2007, ISBN 978-966-7090-45-6

Див. також

Примітки

  1. Darvasi, Gyula (March 2005). Converse of a Property of Right Triangles. The Mathematical Gazette 89 (514): 72–76. .

Посилання

Це незавершена стаття з геометрії.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pryamokutnij trikutnik trikutnik odin iz kutiv yakogo pryamij Pryamokutnij trikutnik zajmaye osoblive misce v planimetriyi oskilki dlya nogo isnuyut prosti spivvidnoshennya mizh storonami i kutami Storoni pryamokutnogo trikutnika mayut vlasni nazvi Dvi storoni sho utvoryuyut pryamij kut nazivayutsya katetami a tretya storona gipotenuzoyu Tradicijno kateti poznachayutsya literami a ta b a gipotenuza literoyu c Za teoremoyu Pifagora mozhna znajti bud yaku storonu pryamokutnogo trikutnika yaksho vidomi dvi inshi storoni Za teoremoyu Pifagora kvadrat gipotenuzi dorivnyuye sumi kvadrativ katetiv A B 2 A C 2 B C 2 displaystyle AB 2 AC 2 BC 2 Zvidsi mozhna znajti inshi storoni pryamokutnogo trikutnika A C 2 A B 2 B C 2 displaystyle AC 2 AB 2 BC 2 B C 2 A B 2 A C 2 displaystyle BC 2 AB 2 AC 2 Kateti ye vodnochas visotami pryamokutnogo trikutnika Tomu plosha pryamokutnogo trikutnika dorivnyuye S 1 2 a b displaystyle S frac 1 2 ab Zmist 1 Vlastivosti pryamokutnih trikutnikiv 2 Oznaki rivnosti pryamokutnih trikutnikiv 3 Trigonometriya u pryamomu trikutniku 4 Vpisane j opisane kolo pryamokutnogo trikutnika 4 1 Opisane kolo 4 2 Vpisane kolo 5 Teorema pro visotu pryamokutnogo trikutnika 6 Dzherela 7 Div takozh 8 Primitki 9 PosilannyaVlastivosti pryamokutnih trikutnikiv RedaguvatiSuma gostrih kutiv pryamokutnogo trikutnika dorivnyuye 90 Yaksho u pryamokutnomu trikutniku odin z gostrih kutiv dorivnyuye 30 to protilezhnij comu kutu katet bude dorivnyuvati polovini gipotenuzi Yaksho katet pryamokutnogo trikutnika dorivnyuye polovini gipotenuzi to kut sho lezhit proti cogo kateta dorivnyuye 30 Mediana provedena do gipotenuzi pryamokutnogo trikutnika dilit jogo na dva rivnobedrenih trikutniki oskilki mediana dorivnyuye polovini gipotenuzi Yaksho opisati kolo navkolo pryamokutnogo trikutnika to gipotenuza bude diametrom kola Oznaki rivnosti pryamokutnih trikutnikiv RedaguvatiU pryamokutnogo trikutnika ye taki oznaki rivnosti Za dvoma katetami Yaksho kateti odnogo pryamokutnogo trikutnika dorivnyuyut vidpovidno katetam drugogo to taki trikutniki rivni Za katetom i prileglim gostrim kutom Yaksho katet i prileglij do nogo gostrij kut odnogo pryamokutnogo trikutnika dorivnyuyut vidpovidno katetu j prileglomu do nogo gostromu kutu drugogo to taki trikutniki rivni Za katetom i protilezhnim gostrim kutom Yaksho katet i protilezhnij jomu gostrij kut odnogo pryamokutnogo trikutnika dorivnyuyut vidpovidno katetu j protilezhno jomu gostromu kutu drugogo to taki trikutniki rivni Za gipotenuzoyu i katetom Yaksho gipotenuza i katet odnogo pryamokutnogo trikutnika dorivnyuyut vidpovidno gipotenuzi j katetu drugogo to taki trikutniki rivni Za gipotenuzoyu i gostrim kutom Yaksho gipotenuza i gostrij kut odnogo pryamokutnogo trikutnika dorivnyuyut vidpovidno gipotenuzi j gostromu kutu drugogo to taki trikutniki rivni Trigonometriya u pryamomu trikutniku RedaguvatiTrigonometrichni funkciyi dlya gostrih kutiv mozhna viznachiti yak vidnoshennya storin pryamokutnogo trikutnika Dlya bud yakogo danogo kuta mozhna pobuduvati pryamokutnij trikutnik sho mistit takij kut i zi storonami protilezhnim katetom prileglim katetom i gipotenuzoyu pov yazanimi z cim kutom pevnim spivvidnoshennyam Ci vidnosini storin ne zalezhat vid konkretnogo obranogo pryamokutnogo trikutnika a zalezhat tilki vid zadanogo kuta oskilki vsi trikutniki pobudovani takim chinom ye podibnimi Sinusom gostrogo kuta pryamokutnogo trikutnika nazivayetsya vidnoshennya protilezhnogo kateta do gipotenuzi Kosinusom gostrogo kuta pryamokutnogo trikutnika nazivayetsya vidnoshennya prileglogo kateta do gipotenuzi Tangensom gostrogo kuta pryamokutnogo trikutnika nazivayetsya vidnoshennya protilezhnogo kateta do prileglogo kateta Kotangensom gostrogo kuta pryamokutnogo trikutnika nazivayetsya vidnoshennya prileglogo kateta do protilezhnogo kateta Rozglyanemo u formalnih poznachenih cherez malyunok vishe sin A a c displaystyle sin A frac a c zvidsi a c sin A displaystyle a c sin A c a sin A displaystyle c frac a sin A cos A b c displaystyle cos A frac b c zvidsi b c cos A displaystyle b c cos A c b cos A displaystyle c frac b cos A tg A a b displaystyle operatorname tg A frac a b zvidsi a b tg A displaystyle a b operatorname tg A b a tg A displaystyle b frac a operatorname tg A ctg A b a displaystyle operatorname ctg A frac b a zvidsi b a ctg A displaystyle b a operatorname ctg A a b ctg A displaystyle a frac b operatorname ctg A Zvidsi mozhna zrobiti visnovok sho Shob znajti katet protilezhnij do gostrogo kuta pryamokutnogo trikutnika potribno gipotenuzu pomnozhiti na sinus cogo kuta abo prileglij katet pomnozhiti na tangens cogo kuta Shob znajti katet prileglij do gostrogo kuta pryamokutnogo trikutnika potribno gipotenuzu pomnozhiti na kosinus cogo kuta abo protilezhnij katet pomnozhiti na kotangens cogo kuta Shob znajti gipotenuzu potribno katet prileglij do gostrogo kuta podiliti na kosinus cogo kuta abo katet protilezhnij do gostrogo kuta podiliti na sinus cogo kuta Vpisane j opisane kolo pryamokutnogo trikutnika Redaguvati Opisane koloOpisane kolo Redaguvati Centrom kola opisanogo navkolo pryamokutnogo trikutnika ye seredina gipotenuzi Nehaj O O centr opisanogo kola navkolo pryamokutnogo ABC A O O C 1 2 A C R displaystyle AO OC frac 1 2 AC R Vpisane kolo Redaguvati Vpisane koloU pryamokutnij trikutnik ABC z pryamim kutom C displaystyle angle text C vpisane kolo yake dotikayetsya do katetiv u tochkah K K i N N Vidrizki K C displaystyle KC i N C displaystyle NC dorivnyuyut radiusu kola Radius vpisanogo kola u pryamokutnij trikutnik z katetami a a i b displaystyle b i gipotenuzoyu c c znahoditsya za formuloyu r a b c 2 displaystyle r frac a b c 2 Plosha pryamokutnogo trikutnika mozhe buti znajdena yak dobudok dovzhin vidrizkiv na yaki gipotenuzu dilit tochka dotiku vpisanogo kola Tobto yaksho M M tochka dotiku vpisanogo kola do gipotenuzi A B displaystyle AB to 1 S A M M B displaystyle S AM MB Teorema pro visotu pryamokutnogo trikutnika Redaguvati Nehaj h h visota pryamokutnogo trikutnika A B C displaystyle ABC opushena na gipotenuzu pryamogo kuta i nehaj vona dilit gipotenuzu na vidrizki m m ta n n yaki ye proyekciyami katetiv a a ta b displaystyle b na gipotenuzu c c vidpovidno Todi spravedlivi taki rivnosti h 2 n m displaystyle h 2 n cdot m a 2 c m displaystyle a 2 c cdot m b 2 c n displaystyle b 2 c cdot n h c a b displaystyle h cdot c a cdot b Dovedennya Trikutniki A C H displaystyle ACH B C H displaystyle BCH ta A B C displaystyle ABC podibni mizh soboyu za gostrim kutom yak pryamokutni trikutniki Z podibnosti trikutnikiv A C H displaystyle ACH ta A B C displaystyle ABC mayemo sho h a b c n b displaystyle frac h a frac b c frac n b Zvidsi viplivaye sho b 2 c n displaystyle b 2 c cdot n ta h c a b displaystyle h cdot c a cdot b Takozh zvidsi viplivaye rivnist h a n b displaystyle h frac a cdot n b Z podibnosti trikutnikiv B C H displaystyle BCH ta A B C displaystyle ABC mayemo sho h b a c m a displaystyle frac h b frac a c frac m a Zvidsi viplivaye sho a 2 c m displaystyle a 2 c cdot m Takozh zvidsi viplivaye rivnist h b m a displaystyle h frac b cdot m a Oskilki h a n b displaystyle h frac a cdot n b ta h b m a displaystyle h frac b cdot m a to peremnozhivshi mizh soboyu pravi ta livi chastini rivnostej oderzhimo h 2 a n b b m a m n displaystyle h 2 frac a cdot n b cdot frac b cdot m a m cdot n Takim chinom dovedeno vsi chotiri rivnosti Dzherela RedaguvatiG P Bevz Geometriya trikutnika Kiyiv Geneza 2005 ISBN 966 504 431 1 O M Roganin O I Kaplun Matematika Harkiv Vesna 2009 ISBN 978 966 8896 77 4 M I Burda N A Tarasenkova Geometriya 7 klas Ukrayina Zodiak EKO 2007 ISBN 978 966 7090 45 6Div takozh RedaguvatiTeorema Falesa pro tri tochki na koliPrimitki Redaguvati Darvasi Gyula March 2005 Converse of a Property of Right Triangles The Mathematical Gazette 89 514 72 76 Posilannya RedaguvatiPryamokutnij trikutnik Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 165 ISBN 978 966 7407 83 4 Pryamokutnij trikutnik oznachennya vlastivosti prikladi Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pryamokutnij trikutnik amp oldid 39117906