www.wikidata.uk-ua.nina.az

Коло Ко ло це геометричне місце точок площини відстань від яких до заданої точки що називається центром кола є сталою ве

Коло

Ко́ло — це геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є сталою величиною і дорівнює радіусу кола. Коло є найпростішою замкненою фігурою.

Коло
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Коло (значення).

Простіше визначення: коло — це замкнена крива, всі точки якої рівновіддалені від однієї, яка є центром кола. Частина площини, обмежена колом, — це круг.

Коло також можна визначити як особливий вид еліпса, в якого два фокуси збігаються, а ексцентриситет дорівнює 0, або як двовимірну форму, що охоплює найбільшу площу на одиницю квадрата периметра, якщо використовувати мову варіаційного числення.

Коло з центром у точці і радіусом позначають .

Інструментом для побудови кола є циркуль.

Визначення Евкліда

Коло є плоскою фігурою, що обмежено однією лінією, такою, що всі прямі лінії, які можна намалювати з певної точки в середині неї до обмежувальної лінії, є рівними. Обмежувальна лінія називається окружністю, а точка є центром.

— Евклід, Елементи, Книга I

Термінологія

Внутрішню частину кола, тобто геометричне місце точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.

Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд, діаметр, проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.

Пряма може не мати з колом спільних точок, мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).

Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.

Хорда, січна, дотична, діаметр, радіус.
Дуга, сектор та сегмент

Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.

Історія

Циркуль, зображений у рукописі 13-го століття, де він є символом Божого акту створення світу. Німб також має форму кола.
Круглий монгольський малюнок на шовку

Коло було відомим ще до початку записаної історії. Люди могли спостерігати кола в природі, такі як Місяць, Сонце, коротке стебло рослини, яке крутить вітер і утворює коло на піску. Коло є основою колеса, що стало революційним винаходом, а із пов'язаним з ним зубчастим колесом зробило можливим існування сучасних механічних машин. У математиці вивчення кола допомогло розвитку геометрії, астрономії і числення.

Ранній розвиток науки, зокрема геометрії, астрології та астрономії, пов'язували з божественним для середньовічних вчених, більшість з яких вірила, що існує щось «божественне» або «досконале», яке можна знайти, вивчаючи коло.

Деякі важливі та цікаві моменти з історії кола:

  • 1700 до н. е. — Папірус Рінда описує метод знаходження площі круглого поля. Результат відповідає такому значенню 25681 (3.16049…), що дає наближене значення числа π.
  • 300 до н. е. — Книга 3 із Начал Евкліда (Елементи) присвячена властивостям кола.
  • У Сьомому листі[en] Платона подано детальне визначення і пояснення кола. Платон пояснює, що таке ідеальне коло і чим воно відрізняється від будь-якого малюнка, слів, визначень або пояснень.
  • 1880 н. е. — Ліндеман довів, що π є трансцендентним числом, що дало остаточну відповідь на задачу тисячоліття про квадратуру круга.

Означення кола

Алгебраїчне означення

Коло з радіусом r = 1, і з центром в координатах (a, b) = (1.2, −0.5)

Коло радіуса на площині з декартовою системою координат описується рівнянням:

де r — радіус кола, точка (a, b) — центр кола.

Це рівняння випливає з теореми Піфагора при її застосовувані до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус є гіпотенузою прямокутного трикутника, катети якого та .

Рівняння кола з радіусом та центром в початку координат має вигляд:

Загальне рівняння кола:

Якщо відомі координати трьох точок на площині і , то рівняння кола, яке проходить через ці точки, можна записати через визначник:

Параметричне означення

Коло радіуса на площині в декартовій системі координат і описується системою рівнянь:

де параметр  — пробігає значення від до . З геометричної точки зору — це кут до осі променя, проведеного з початку координат до точки . Якщо записати та через параметр , що пробігає множину всіх дійсних чисел, отримаємо:

Полярні координати

Рівняння кола в полярних координатах:

де  — радіус кола,  — відстань від початку координат до центру кола та  — кут відкладений проти годинникової стрілки від додатної осі до лінії, що з'єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого знаходиться в початку координат , це рівняння спрощується до вигляду . Якщо або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуємо рівняння:

В загальному випадку, рівняння можна розв'язати для r:

Розв'язок зі знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Комплексна площина

Рівняння кола на комплексній площині:

або в параметричному вигляді

Означення Аполлонія

Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками

Властивості

  • Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і до того ж тільки одне.
  • Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.
  • Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих певної довжини коло обмежує область максимальної площі.
  • Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.
    • Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
    • Вписаний кут, що спирається на діаметр кола дорівнює 90°.
  • Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом, дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.
  • Кут між хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті, і дуги навпроти неї.
  • Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
  • Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
  • При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків, на які ділиться інша.
  • Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині степені точки відносно кола.
    • Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

Довжина кола і площа круга

Довжину дуги кола з радіусом , утвореного центральним кутом , виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою

Довжину кола з радіусом можна обчислити за формулою

де  — число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.

Площа обмеженого колом круга дорівнює

де  — діаметр.

Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру круга: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрата з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцендентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеман.

Коло як конічний переріз

Коло є простою плоскою кривою другого порядку і класифікується як один із видів конічного перетину. У вужчому сенсі коло — окремий випадком еліпса, тобто еліпс з однаковими півосями, або іншими словами, коло є еліпсом з нульовим ексцентриситетом.

Дотичні і нормалі

Рівняння дотичної до кола в точці визначається рівнянням

де A, B і С — коефіцієнти в загальному рівнянні кола.

Рівняння нормалі в цій же точці можна записати як

Див. також

Примітки

  1. Arthur Koestler, The Sleepwalkers[en]: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959) (англ.)
  2. Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato [ 2017-01-23 у Wayback Machine.] Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, «Of Plato» (англ.)
  3. Chronology for 30000 BC to 500 BC [ 2008-03-22 у Wayback Machine.]. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.
  4. Squaring the circle [ 2008-06-24 у Wayback Machine.]. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.

Посилання

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Circle geometry


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ko lo ce geometrichne misce tochok ploshini vidstan vid yakih do zadanoyi tochki sho nazivayetsya centrom kola ye staloyu velichinoyu i dorivnyuye radiusu kola Kolo ye najprostishoyu zamknenoyu figuroyu Kolo U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Kolo znachennya Prostishe viznachennya kolo ce zamknena kriva vsi tochki yakoyi rivnoviddaleni vid odniyeyi yaka ye centrom kola Chastina ploshini obmezhena kolom ce krug Kolo takozh mozhna viznachiti yak osoblivij vid elipsa v yakogo dva fokusi zbigayutsya a ekscentrisitet dorivnyuye 0 abo yak dvovimirnu formu sho ohoplyuye najbilshu ploshu na odinicyu kvadrata perimetra yaksho vikoristovuvati movu variacijnogo chislennya Kolo z centrom u tochci O displaystyle O i radiusom r displaystyle r poznachayut O r displaystyle O r Instrumentom dlya pobudovi kola ye cirkul Zmist 1 Viznachennya Evklida 2 Terminologiya 3 Istoriya 4 Oznachennya kola 4 1 Algebrayichne oznachennya 4 2 Parametrichne oznachennya 4 3 Polyarni koordinati 4 4 Kompleksna ploshina 4 5 Oznachennya Apolloniya 5 Vlastivosti 6 Dovzhina kola i plosha kruga 7 Kolo yak konichnij pereriz 8 Dotichni i normali 9 Div takozh 10 Primitki 11 PosilannyaViznachennya Evklida RedaguvatiKolo ye ploskoyu figuroyu sho obmezheno odniyeyu liniyeyu takoyu sho vsi pryami liniyi yaki mozhna namalyuvati z pevnoyi tochki v seredini neyi do obmezhuvalnoyi liniyi ye rivnimi Obmezhuvalna liniya nazivayetsya okruzhnistyu a tochka ye centrom Evklid Elementi Kniga ITerminologiya RedaguvatiVnutrishnyu chastinu kola tobto geometrichne misce tochok viddal yakih do centra kola ne perevishuye radius nazivayut krugom Vidrizok pryamoyi sho spoluchaye dvi tochki kola nazivayetsya hordoyu Najdovsha z hord diametr prohodit cherez centr kola Diametr kola dorivnyuye dvom radiusam Pryama mozhe ne mati z kolom spilnih tochok mati z kolom odnu spilnu tochku taka pryama nazivayetsya dotichnoyu do kola abo mati z nim dvi spilni tochki taka pryama nazivayetsya sichnoyu do kola Dotichna do kola zavzhdi perpendikulyarna do jogo diametra odin z kinciv yakogo ye tochkoyu dotiku Horda sichna dotichna diametr radius Duga sektor ta segment Dvi tochki na koli rozbivayut kolo na dvi dugi Kut mizh dvoma radiusami provedenimi do dvoh tochok na koli nazivayetsya centralnim Oblast kruga obmezhena dvoma radiusami j dugoyu nazivayetsya sektorom kola Oblast kruga obmezhena hordoyu ta dugoyu nazivayetsya segmentom Istoriya Redaguvati Cirkul zobrazhenij u rukopisi 13 go stolittya de vin ye simvolom Bozhogo aktu stvorennya svitu Nimb takozh maye formu kola Kruglij mongolskij malyunok na shovku Kolo bulo vidomim she do pochatku zapisanoyi istoriyi Lyudi mogli sposterigati kola v prirodi taki yak Misyac Sonce korotke steblo roslini yake krutit viter i utvoryuye kolo na pisku Kolo ye osnovoyu kolesa sho stalo revolyucijnim vinahodom a iz pov yazanim z nim zubchastim kolesom zrobilo mozhlivim isnuvannya suchasnih mehanichnih mashin U matematici vivchennya kola dopomoglo rozvitku geometriyi astronomiyi i chislennya Rannij rozvitok nauki zokrema geometriyi astrologiyi ta astronomiyi pov yazuvali z bozhestvennim dlya serednovichnih vchenih bilshist z yakih virila sho isnuye shos bozhestvenne abo doskonale yake mozhna znajti vivchayuchi kolo 1 2 Deyaki vazhlivi ta cikavi momenti z istoriyi kola 1700 do n e Papirus Rinda opisuye metod znahodzhennya ploshi kruglogo polya Rezultat vidpovidaye takomu znachennyu 256 81 3 16049 sho daye nablizhene znachennya chisla p 3 300 do n e Kniga 3 iz Nachal Evklida Elementi prisvyachena vlastivostyam kola U Somomu listi en Platona podano detalne viznachennya i poyasnennya kola Platon poyasnyuye sho take idealne kolo i chim vono vidriznyayetsya vid bud yakogo malyunka sliv viznachen abo poyasnen 1880 n e Lindeman doviv sho p ye transcendentnim chislom sho dalo ostatochnu vidpovid na zadachu tisyacholittya pro kvadraturu kruga 4 Oznachennya kola RedaguvatiAlgebrayichne oznachennya Redaguvati Kolo z radiusom r 1 i z centrom v koordinatah a b 1 2 0 5 Kolo radiusa r displaystyle r na ploshini z dekartovoyu sistemoyu koordinat O x y displaystyle Oxy opisuyetsya rivnyannyam x a 2 y b 2 r 2 displaystyle left x a right 2 left y b right 2 r 2 de r radius kola tochka a b centr kola Ce rivnyannya viplivaye z teoremi Pifagora pri yiyi zastosovuvani do kozhnoyi tochki kola yak pokazano na risunku sprava de radius ye gipotenuzoyu pryamokutnogo trikutnika kateti yakogo x a displaystyle x a ta y b displaystyle y b Rivnyannya kola z radiusom r displaystyle r ta centrom v pochatku koordinat maye viglyad x 2 y 2 r 2 displaystyle x 2 y 2 r 2 Zagalne rivnyannya kola A x 2 A y 2 D x E y F 0 displaystyle Ax 2 Ay 2 Dx Ey F 0 Yaksho vidomi koordinati troh tochok na ploshini x 1 y 1 displaystyle left x 1 y 1 right x 2 y 2 displaystyle left x 2 y 2 right i x 3 y 3 displaystyle left x 3 y 3 right to rivnyannya kola yake prohodit cherez ci tochki mozhna zapisati cherez viznachnik x 2 y 2 x y 1 x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 y 3 2 x 3 y 3 1 0 displaystyle begin vmatrix x 2 y 2 amp x amp y amp 1 x 1 2 y 1 2 amp x 1 amp y 1 amp 1 x 2 2 y 2 2 amp x 2 amp y 2 amp 1 x 3 2 y 3 2 amp x 3 amp y 3 amp 1 end vmatrix 0 Parametrichne oznachennya Redaguvati Kolo radiusa r displaystyle r na ploshini v dekartovij sistemi koordinat x displaystyle x i y displaystyle y opisuyetsya sistemoyu rivnyan x a r cos t y b r sin t displaystyle left begin array ccl x amp amp a r cos t y amp amp b r sin t end array right de parametr t displaystyle t probigaye znachennya vid 0 displaystyle 0 do 2 p displaystyle 2 pi Z geometrichnoyi tochki zoru ce kut do osi x displaystyle x promenya provedenogo z pochatku koordinat do tochki x y displaystyle x y Yaksho zapisati x displaystyle x ta y displaystyle y cherez parametr t displaystyle t sho probigaye mnozhinu R displaystyle mathbb R vsih dijsnih chisel otrimayemo x a r 1 t 2 1 t 2 displaystyle x a r frac 1 t 2 1 t 2 y b r 2 t 1 t 2 displaystyle y b r frac 2t 1 t 2 Polyarni koordinati Redaguvati Rivnyannya kola v polyarnih koordinatah r 2 2 r r 0 cos 8 ϕ r 0 2 a 2 displaystyle r 2 2rr 0 cos theta phi r 0 2 a 2 de a displaystyle a radius kola r 0 displaystyle r 0 vidstan vid pochatku koordinat do centru kola ta ϕ displaystyle phi kut vidkladenij proti godinnikovoyi strilki vid dodatnoyi osi x displaystyle x do liniyi sho z yednuye pochatok koordinat z centrom kola Dlya kola centr yakogo znahoditsya v pochatku koordinat r 0 0 displaystyle r 0 0 ce rivnyannya sproshuyetsya do viglyadu r a displaystyle r a Yaksho r 0 a displaystyle r 0 a abo yaksho pochatok koordinat lezhit na koli todi otrimuyemo rivnyannya r 2 a cos 8 ϕ displaystyle r 2a cos theta phi V zagalnomu vipadku rivnyannya mozhna rozv yazati dlya r r r 0 cos 8 ϕ a 2 r 0 2 sin 2 8 ϕ displaystyle r r 0 cos theta phi sqrt a 2 r 0 2 sin 2 theta phi Rozv yazok zi znakom minus pered korenem daye identichnu krivu Kompleksna ploshina Redaguvati Rivnyannya kola na kompleksnij ploshini z z 0 R displaystyle left z z 0 right R de z 0 displaystyle z 0 centr kola z radiusom R displaystyle R abo v parametrichnomu viglyadi z z 0 R e i t t R displaystyle z z 0 Re it t in mathbb R Oznachennya Apolloniya Redaguvati d 1 d 2 const displaystyle frac d 1 d 2 textrm const Apollonij iz Pergi pokazav sho kolo mozhna takozh zadati yak mnozhinu tochok na ploshini yaki mayut odnakove vidnoshennya vidstanej do dvoh fokusiv A i B Pro take kolo inodi kazhut sho vono zadane dvoma tochkamiVlastivosti RedaguvatiCherez tri tochki sho ne lezhat na odnij pryamij mozhna provesti kolo i do togo zh tilki odne Tochka dotiku dvoh kil lezhit na pryamij sho prohodit cherez yihni centri Izoperimetrichna nerivnist Z usih zamknutih krivih pevnoyi dovzhini kolo obmezhuye oblast maksimalnoyi ploshi Vpisanij kut dorivnyuye polovini centralnogo kuta sho spirayetsya na jogo dugu abo dopovnyuye polovinu cogo kuta do 180 Dva vpisanih kuti sho spirayutsya na odnu j tu zh dugu rivni Vpisanij kut sho spirayetsya na diametr kola dorivnyuye 90 Kut mizh dvoma sichnimi provedenimi z tochki sho lezhit poza kolom dorivnyuye pivriznici mir dug sho lezhat mizh sichnimi Kut mizh hordami sho peretinayutsya dorivnyuye pivsumi mir dugi sho lezhit u kuti i dugi navproti neyi Kut mizh dotichnoyu ta hordoyu dorivnyuye polovini gradusnoyi miri dugi sho styaguyetsya hordoyu Vidrizki dotichnih do kola provedenih z odniyeyi tochki rivni j utvoryuyut rivni kuti z pryamoyu sho prohodit cherez cyu tochku i centr kola Pri peretini dvoh hord dobutok vidrizkiv na yaki dilitsya odna z nih tochkoyu peretinu dorivnyuye dobutku vidrizkiv na yaki dilitsya insha Dobutok dovzhin vidstanej vid obranoyi tochki do dvoh tochok peretinu kola ta sichnoyi sho prohodit cherez obranu tochku ne zalezhit vid viboru sichnoyi i dorivnyuye absolyutnij velichini stepeni tochki vidnosno kola Kvadrat dovzhini vidrizka dotichnoyi dorivnyuye dobutku dovzhin vidrizkiv sichnoyi i dorivnyuye absolyutnij velichini miri tochki vidnosno kola Dovzhina kola i plosha kruga RedaguvatiDovzhinu dugi kola z radiusom R displaystyle R utvorenogo centralnim kutom f displaystyle varphi vimiryanim u radianah mozhna obchisliti za formuloyu L f R displaystyle L varphi R Dovzhinu kola z radiusom R displaystyle R mozhna obchisliti za formuloyu C 2 p R displaystyle C 2 pi R de p displaystyle pi chislo pi yake viznachayetsya yak vidnoshennya dovzhini kola do jogo diametra Plosha obmezhenogo kolom kruga dorivnyuye S p R 2 p D 2 4 displaystyle S pi R 2 pi frac D 2 4 de D 2 R displaystyle D 2R diametr Uprodovzh bagatoh stolit matematikiv cikavila zadacha pro kvadraturu kruga pobudovu za dopomogoyu linijki ta cirkulya kvadrata z plosheyu sho dorivnyuvala b ploshi kruga Cya zadacha ne maye rozv yazku oskilki chislo pi transcendentne sho doviv u 1882 Ferdinand fon Lindeman Kolo yak konichnij pereriz RedaguvatiKolo ye prostoyu ploskoyu krivoyu drugogo poryadku i klasifikuyetsya yak odin iz vidiv konichnogo peretinu U vuzhchomu sensi kolo okremij vipadkom elipsa tobto elips z odnakovimi pivosyami abo inshimi slovami kolo ye elipsom z nulovim ekscentrisitetom Dotichni i normali RedaguvatiRivnyannya dotichnoyi do kola v tochci x 1 y 1 displaystyle left x 1 y 1 right viznachayetsya rivnyannyam A 2 x 1 x B 2 y 1 y A 2 x 1 B 2 y 1 C 0 displaystyle left frac A 2 x 1 right x left frac B 2 y 1 right y left frac A 2 x 1 frac B 2 y 1 C right 0 de A B i S koeficiyenti v zagalnomu rivnyanni kola Rivnyannya normali v cij zhe tochci mozhna zapisati yak x x 1 2 x 1 A y y 1 2 y 1 B displaystyle frac x x 1 2x 1 A frac y y 1 2y 1 B Div takozh RedaguvatiKrug Krivi drugogo poryadku Polyarne kolo Gipercikl geometriya Kolovij grafPrimitki Redaguvati Arthur Koestler The Sleepwalkers en A History of Man s Changing Vision of the Universe 1959 angl Proclus The Six Books of Proclus the Platonic Successor on the Theology of Plato Arhivovano 2017 01 23 u Wayback Machine Tr Thomas Taylor 1816 Vol 2 Ch 2 Of Plato angl Chronology for 30000 BC to 500 BC Arhivovano 2008 03 22 u Wayback Machine History mcs st andrews ac uk Retrieved on 2012 05 03 Squaring the circle Arhivovano 2008 06 24 u Wayback Machine History mcs st andrews ac uk Retrieved on 2012 05 03 Posilannya RedaguvatiKolo Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 109 594 s Vikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Circle geometryKolo PlanetMath org vebsajt Weisstein Eric W Circle angl na sajti Wolfram MathWorld Interaktivni Java dodatki Arhivovano 6 chervnya 2017 u Wayback Machine dlya ilyustraciyi vlastivostej ta elementarnih pobudov iz kolami Kolo Arhivovano 17 bereznya 2019 u Wayback Machine na sajti cut the knot FIZMA neT Arhivovano 15 travnya 2021 u Wayback Machine Matematika onlajn Kolo ta jogo elementi Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kolo amp oldid 38876512