www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дотична У геометрії доти чна пряма або просто доти чна до кривої в точці пряма яка проходить через точку кривої і збігає

Дотична

У геометрії, доти́чна пряма́ (або просто доти́чна) до кривої в точці — пряма, яка проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Дотична (червона) до кривої

Кажучи загальними словами, дотична пряма — це пряма, що найкраще наближає криву. Можна дотичну пряму визначити, як граничне положення січної.

Історія

Евклід робить кілька посилань на дотичну (ἐφαπτομένη ephaptoménē) до кола в третій книзі «Начал» (300 р. до н. е.). У своєму творі «Конічні перетини» (бл. 225 р. до н. е.), Аполлоній визначає дотичну як лінію, таку, що жодна інша пряма не може впасти між нею і кривою.

Архімед (бл. 287—212 до н. е.) знайшов дотичну до архімедової спіралі, розглядаючи шлях точки, що рухається по кривій.

У 1630-х роках П'єр Ферма розробив техніку адекватності для обчислення дотичних та інших задач в аналізі і використовував це для обчислення дотичних до параболи. Рене Декарт незалежно використовував свій метод нормалей, заснований на спостереженні, що радіус кола завжди нормальний для самого кола.

Ці методи призвели до розвитку диференціального числення в XVII столітті. Багато людей зробили свій внесок. Роберваль виявив загальний метод малювання дотичних, розглядаючи криву, описану рухомою точкою, рух якої є результатом декількох більш простих рухів. Рене-Франсуа де Слуз та Йоганнес Хадде знайшли алгебраїчні алгоритми для пошуку дотичних. Подальші розробки включали розробки Джона Валліса та Ісаака Барроу, що ведуть до теорії Ісаака Ньютона та Ґотфріда Ляйбніца.

Визначення дотичної в 1828 р. було «прямою лінією, яка торкається кривої і не перерізає її». Це старе визначення дозволяє запобігти виникненню будь-якої дотичної точки перегину. Він був відхилений, а сучасні визначення еквівалентні тим, які визначали Лейбніц, який визначав дотичну лінію як лінію через пару нескінченно близьких точок на кривій.

Дотична до графіка функції

В кожній точці, пряма дотикається до кривої. Її кут нахилу похідна; області, де похідна додатна, від'ємна, а також рівна нулю позначені зеленим, червоним і чорним кольорами відповідно.

Дотичною до графіка функції , диференційованої в точці , називається пряма, що проходить через точку і має кутовий коефіцієнт . Якщо функція диференційована в точці , то в цій точці до графіка можна провести дотичну. Якщо в точці до графіка функції можна провести не вертикальну дотичну, то функція диференційована в точці х.

Рівняння дотичної до кривої у точці має вигляд: : де  — похідна функції у точці . Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k має вигляд . Для дотичної k= , то . Дотична проходить через точку , то координати цієї точки задовольняють рівняння дотичної, тобто . Звідси .

Дотична до кола

Дотична до кола

Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. При цьому дана точка кола називається точкою дотику. Пряма а проведена через точку A кола перпендикулярно до радіуса ОА. Пряма а є дотичною до кола. Точка A є точкою дотику. Можна також сказати, що коло дотикається до прямої а в точці A.

Дотична площина

Дотична площина до сфери

Площина, яка проходить через точку кульової поверхні і перпендикулярна до радіуса, проведеного у цю точку, називається дотичною площиною. Ця точка називається точкою дотику. Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику. Пряма, яка належить дотичній до кулі площині і проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цій точці. Оскільки дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку, то дотична пряма теж має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.

Див. також

Примітки

  1. Ungar, Peter; Shenk, Al; Munem, M. A.; Foulis, D. J.; Anton, Howard (1986-03). Calculus and Analytic Geometry.. The American Mathematical Monthly 93 (3). с. 221. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2323355. Процитовано 26 грудня 2019. 
  2. ↑ Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics : an introduction (вид. 3rd ed). Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-321-38700-7. OCLC 71006826. 
  3. Wolfson, Paul R. (2001-03). . The American Mathematical Monthly 108 (3). с. 206. doi:10.2307/2695381. Архів оригіналу за 11 жовтня 2016. Процитовано 26 грудня 2019. 
  4. 2. Noah Webster “The Wildest Innovator”. The Dictionary Wars. Princeton: Princeton University Press. 31 грудня 2019. с. 21–40. ISBN 978-0-691-18999-4. 
  5. Admin. Шкиль М.І., Слепкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра та початки аналізу: підручник для 11 класу ОНЛАЙН. edu-lib.com (ru-RU). Процитовано 26 грудня 2019. 
  6. Admin. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся ОНЛАЙН. edu-lib.com (ru-RU). Процитовано 26 грудня 2019. 

Посилання


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U geometriyi doti chna pryama abo prosto doti chna do krivoyi v tochci pryama yaka prohodit cherez tochku krivoyi i zbigayetsya z neyu v cij tochci z tochnistyu do pershogo poryadku Dotichna chervona do krivoyiKazhuchi zagalnimi slovami dotichna pryama ce pryama sho najkrashe nablizhaye krivu Mozhna dotichnu pryamu viznachiti yak granichne polozhennya sichnoyi Zmist 1 Istoriya 2 Dotichna do grafika funkciyi 3 Dotichna do kola 4 Dotichna ploshina 5 Div takozh 6 Primitki 7 PosilannyaIstoriya RedaguvatiEvklid robit kilka posilan na dotichnu ἐfaptomenh ephaptomene do kola v tretij knizi Nachal 300 r do n e U svoyemu tvori Konichni peretini bl 225 r do n e Apollonij viznachaye dotichnu yak liniyu taku sho zhodna insha pryama ne mozhe vpasti mizh neyu i krivoyu 1 Arhimed bl 287 212 do n e znajshov dotichnu do arhimedovoyi spirali rozglyadayuchi shlyah tochki sho ruhayetsya po krivij 2 U 1630 h rokah P yer Ferma rozrobiv tehniku adekvatnosti dlya obchislennya dotichnih ta inshih zadach v analizi i vikoristovuvav ce dlya obchislennya dotichnih do paraboli Rene Dekart nezalezhno vikoristovuvav svij metod normalej zasnovanij na sposterezhenni sho radius kola zavzhdi normalnij dlya samogo kola Ci metodi prizveli do rozvitku diferencialnogo chislennya v XVII stolitti Bagato lyudej zrobili svij vnesok Roberval viyaviv zagalnij metod malyuvannya dotichnih rozglyadayuchi krivu opisanu ruhomoyu tochkoyu ruh yakoyi ye rezultatom dekilkoh bilsh prostih ruhiv 3 Rene Fransua de Sluz ta Jogannes Hadde znajshli algebrayichni algoritmi dlya poshuku dotichnih 2 Podalshi rozrobki vklyuchali rozrobki Dzhona Vallisa ta Isaaka Barrou sho vedut do teoriyi Isaaka Nyutona ta Gotfrida Lyajbnica Viznachennya dotichnoyi v 1828 r bulo pryamoyu liniyeyu yaka torkayetsya krivoyi i ne pererizaye yiyi 4 Ce stare viznachennya dozvolyaye zapobigti viniknennyu bud yakoyi dotichnoyi tochki pereginu Vin buv vidhilenij a suchasni viznachennya ekvivalentni tim yaki viznachali Lejbnic yakij viznachav dotichnu liniyu yak liniyu cherez paru neskinchenno blizkih tochok na krivij Dotichna do grafika funkciyi Redaguvati V kozhnij tochci pryama dotikayetsya do krivoyi Yiyi kut nahilu pohidna oblasti de pohidna dodatna vid yemna a takozh rivna nulyu poznacheni zelenim chervonim i chornim kolorami vidpovidno Dotichnoyu do grafika funkciyi y f x y f x diferencijovanoyi v tochci x a displaystyle x a nazivayetsya pryama sho prohodit cherez tochku a f a displaystyle a f a i maye kutovij koeficiyent f a displaystyle f a Yaksho funkciya y f x y f x diferencijovana v tochci x a displaystyle x a to v cij tochci do grafika mozhna provesti dotichnu Yaksho v tochci x a displaystyle x a do grafika funkciyi y f x y f x mozhna provesti ne vertikalnu dotichnu to funkciya diferencijovana v tochci h Rivnyannya dotichnoyi do krivoyi y f x y f x u tochci M x 0 y 0 displaystyle M x 0 y 0 maye viglyad y f x 0 f x 0 x x 0 displaystyle y f x 0 f x 0 x x 0 de f x 0 displaystyle f x 0 pohidna funkciyi f x f x u tochci x 0 displaystyle x 0 Rivnyannya pryamoyi z kutovim koeficiyentom k maye viglyad y k x b displaystyle y kx b Dlya dotichnoyi k f x 0 displaystyle f bigl x 0 bigr to y f x 0 x b displaystyle y f bigl x 0 bigr x b Dotichna prohodit cherez tochku M x 0 y 0 displaystyle M x 0 y 0 to koordinati ciyeyi tochki zadovolnyayut rivnyannya dotichnoyi tobto f x 0 f x 0 x 0 b displaystyle f bigl x 0 bigr f bigl x 0 bigr x 0 b Zvidsi b f x 0 f x 0 x 0 displaystyle b f x 0 f bigl x 0 bigr x 0 5 Dotichna do kola RedaguvatiDokladnishe Dotichna pryama do kola Dotichna do kolaPryama sho prohodit cherez tochku kola perpendikulyarno do radiusa provedenogo v cyu tochku nazivayetsya dotichnoyu Pri comu dana tochka kola nazivayetsya tochkoyu dotiku Pryama a provedena cherez tochku A kola perpendikulyarno do radiusa OA Pryama a ye dotichnoyu do kola Tochka A ye tochkoyu dotiku Mozhna takozh skazati sho kolo dotikayetsya do pryamoyi a v tochci A 6 Dotichna ploshina RedaguvatiDokladnishe Dotichna ploshina Dotichna ploshina do sferiPloshina yaka prohodit cherez tochku kulovoyi poverhni i perpendikulyarna do radiusa provedenogo u cyu tochku nazivayetsya dotichnoyu ploshinoyu Cya tochka nazivayetsya tochkoyu dotiku Dotichna ploshina maye z kuleyu tilki odnu spilnu tochku tochku dotiku Pryama yaka nalezhit dotichnij do kuli ploshini i prohodit cherez tochku dotiku nazivayetsya dotichnoyu do kuli v cij tochci Oskilki dotichna ploshina maye z kuleyu tilki odnu spilnu tochku to dotichna pryama tezh maye z kuleyu tilki odnu spilnu tochku tochku dotiku Div takozh RedaguvatiDotichna ploshina Dotichnij prostir Dotichnij vektor Metod dotichnihPrimitki Redaguvati Ungar Peter Shenk Al Munem M A Foulis D J Anton Howard 1986 03 Calculus and Analytic Geometry The American Mathematical Monthly 93 3 s 221 ISSN 0002 9890 doi 10 2307 2323355 Procitovano 26 grudnya 2019 a b Katz Victor J 2009 A history of mathematics an introduction vid 3rd ed Boston Addison Wesley ISBN 0 321 38700 7 OCLC 71006826 Wolfson Paul R 2001 03 The Crooked Made Straight Roberval and Newton on Tangents The American Mathematical Monthly 108 3 s 206 doi 10 2307 2695381 Arhiv originalu za 11 zhovtnya 2016 Procitovano 26 grudnya 2019 2 Noah Webster The Wildest Innovator The Dictionary Wars Princeton Princeton University Press 31 grudnya 2019 s 21 40 ISBN 978 0 691 18999 4 Admin Shkil M I Slepkan Z I Dubinchuk O S Algebra ta pochatki analizu pidruchnik dlya 11 klasu ONLAJN edu lib com ru RU Procitovano 26 grudnya 2019 Admin Gusev V A Mordkovich A G Matematika Spravochnye materialy Kniga dlya uchashihsya ONLAJN edu lib com ru RU Procitovano 26 grudnya 2019 Posilannya RedaguvatiGeometrichnij zmist pohidnoyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 260 261 594 s Dotichna Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dotichna amp oldid 36768779