www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дотичний вектор Існують дві основні модифікації дотичний вектор в точці p підмноговиду і його узагальнення дотичний вект

Дотичний вектор

Існують дві основні модифікації: дотичний вектор в точці p підмноговиду і його узагальнення дотичний вектор в точці p гладкого многовиду.

Сукупність усіх дотичних векторів в точці p утворить векторний простір, який називається дотичним простором в точці p. Сукупність усіх дотичних векторів в усіх точках многовиду утворить векторне розшарування, яке називається дотичним розшаруванням.

Дотичний вектор до підмноговиду Редагувати

Дотичний вектор в точці p гладкого підмноговиду евклідового простору — вектор швидкості в точці p деякої кривої в .

Інакше кажучи, дотичний вектор в точці p підмноговиду, локально заданого параметрично:

є довільна лінійна комбінація частинних похідних .

Зауваження Редагувати

  • Для цього визначення дотичного вектора достатньо, щоб підмноговид був класу гладкості .
  • Згідно з теоремою Уітні про вкладення, довільний гладкий n-вимірний многовид допускає вкладення в . За цим, не порушуючи строгість, можна використовувати дане визначення для будь-якого гладкого многовиду. Певна річ при цьому доведеться доводити, незалежність визначення від вкладення.

Абстрактні гладкі многовиди Редагувати

Дотичний вектор як клас еквівалентності шляхів Редагувати

Поняття дотичного вектора до многовиду в точці узагальнює поняття дотичного вектора до гладкого шляху в просторі . Нехай в задано гладкий шлях :

Тоді існує єдиний прямолінійний і рівномірний шлях \ mathbf {l} (t), який дотикається до нього в момент часу t0:

Дотик двох шляхів означає, що різниця  — ; відношення дотичності шляхів в точці є відношенням еквівалентності. Дотичний вектор в точці x0 можна визначити як клас еквівалентності всіх гладких шляхів, що проходять через точку x0 в один і той же момент часу, і дотикаються один з одним у цій точці.

Дотичний вектор як диференціювання в точці Редагувати

Нехай  — гладкий многовид. Розглянемо простір операторів X, що зіставляють кожній гладкій функції число і мають такі властивості:

  • Адитивність:
  • Правило Лейбніца:

множина всіх таких операторів в точці p має природну структуру лінійного простору, а саме:

Це простір назвемо дотичним до многовиду в точці p простором, а його елементи — дотичними векторами.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Современная геометрия. Методы и приложения — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с
  • Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Isnuyut dvi osnovni modifikaciyi dotichnij vektor v tochci p pidmnogovidu i jogo uzagalnennya dotichnij vektor v tochci p gladkogo mnogovidu Sukupnist usih dotichnih vektoriv v tochci p utvorit vektornij prostir yakij nazivayetsya dotichnim prostorom v tochci p Sukupnist usih dotichnih vektoriv v usih tochkah mnogovidu utvorit vektorne rozsharuvannya yake nazivayetsya dotichnim rozsharuvannyam Zmist 1 Dotichnij vektor do pidmnogovidu 1 1 Zauvazhennya 2 Abstraktni gladki mnogovidi 2 1 Dotichnij vektor yak klas ekvivalentnosti shlyahiv 2 2 Dotichnij vektor yak diferenciyuvannya v tochci 3 Div takozh 4 DzherelaDotichnij vektor do pidmnogovidu RedaguvatiDotichnij vektor v tochci p gladkogo pidmnogovidu M displaystyle M nbsp evklidovogo prostoru vektor shvidkosti v tochci p deyakoyi krivoyi v M displaystyle M nbsp Inakshe kazhuchi dotichnij vektor v tochci p pidmnogovidu lokalno zadanogo parametrichno r R m R n displaystyle r mathbb R m to mathbb R n nbsp S p r 0 displaystyle p r 0 nbsp ye dovilna linijna kombinaciya chastinnih pohidnih r x i 0 displaystyle frac partial r partial x i 0 nbsp Zauvazhennya Redaguvati Dlya cogo viznachennya dotichnogo vektora dostatno shob pidmnogovid buv klasu gladkosti C 1 displaystyle C 1 nbsp Zgidno z teoremoyu Uitni pro vkladennya dovilnij gladkij n vimirnij mnogovid dopuskaye vkladennya v R 2 n displaystyle mathbb R 2n nbsp Za cim ne porushuyuchi strogist mozhna vikoristovuvati dane viznachennya dlya bud yakogo gladkogo mnogovidu Pevna rich pri comu dovedetsya dovoditi nezalezhnist viznachennya vid vkladennya Abstraktni gladki mnogovidi RedaguvatiDotichnij vektor yak klas ekvivalentnosti shlyahiv Redaguvati Ponyattya dotichnogo vektora do mnogovidu v tochci uzagalnyuye ponyattya dotichnogo vektora do gladkogo shlyahu v prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp Nehaj v R n displaystyle mathbb R n nbsp zadano gladkij shlyah f 0 1 R n displaystyle mathbf f 0 1 rightarrow mathbb R n nbsp f t f 1 t e 1 f 2 t e 2 f n t e n displaystyle mathbf f t f 1 t mathbf e 1 f 2 t mathbf e 2 dots f n t mathbf e n nbsp Todi isnuye yedinij pryamolinijnij i rivnomirnij shlyah mathbf l t yakij dotikayetsya do nogo v moment chasu t0 l t f t 0 t t 0 f 1 x 1 t 0 e 1 f 2 x 2 t 0 e 2 f n x n t 0 e n displaystyle mathbf l t mathbf f t 0 t t 0 left partial f 1 over partial x 1 t 0 mathbf e 1 partial f 2 over partial x 2 t 0 mathbf e 2 dots partial f n over partial x n t 0 mathbf e n right nbsp Dotik dvoh shlyahiv oznachaye sho riznicya f t displaystyle mathbf f t nbsp f t o t t 0 displaystyle mathbf f t o t t 0 nbsp vidnoshennya dotichnosti shlyahiv v tochci ye vidnoshennyam ekvivalentnosti Dotichnij vektor v tochci x0 mozhna viznachiti yak klas ekvivalentnosti vsih gladkih shlyahiv sho prohodyat cherez tochku x0 v odin i toj zhe moment chasu i dotikayutsya odin z odnim u cij tochci Dotichnij vektor yak diferenciyuvannya v tochci Redaguvati Nehaj M displaystyle M nbsp gladkij mnogovid Rozglyanemo prostir operatoriv X sho zistavlyayut kozhnij gladkij funkciyi f M R displaystyle f M to mathbb R nbsp chislo X f displaystyle Xf nbsp i mayut taki vlastivosti Aditivnist X f h X f X h displaystyle X f h Xf Xh nbsp Pravilo Lejbnica X f h X f h p f p X h displaystyle X fh Xf cdot h p f p cdot Xh nbsp mnozhina vsih takih operatoriv v tochci p maye prirodnu strukturu linijnogo prostoru a same X Y f X f Y f displaystyle X Y f Xf Yf nbsp k X f k X f displaystyle k cdot X f k cdot Xf nbsp Ce prostir nazvemo dotichnim do mnogovidu M displaystyle M nbsp v tochci p prostorom a jogo elementi dotichnimi vektorami Div takozh RedaguvatiGladkij mnogovid Dotichnij prostirDzherela RedaguvatiDubrovin B A Novikov S P Fomenko A T Sovremennaya geometriya Metody i prilozheniya 2e M Nauka 1986 760 s Zorich V A Matematicheskij analiz 10 e M MCNMO 2019 T 1 564 s ISBN 978 5 4439 4029 8 ros Kartan A Differencialnoe ischislenie Differencialnye formy M Mir 1971 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dotichnij vektor amp oldid 34150059