www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дотичний простір до гладкого многовиду M displaystyle M в точці x displaystyle x сукупність дотичних векторів у цій точц

Дотичний простір

Дотичний простір до гладкого многовиду в точці  — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природну структуру векторного простору.

Дотичний простір і дотичний вектор , подовж кривої , що проходить через точку

Дотичний простір до у точці зазвичай позначають або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто .

Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.

Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці підмноговиду.

У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.

Означення Редагувати

Через диференціювання в точці Редагувати

Нехай  — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці . Тобто простір операторів які дають число для кожної гладкої функції , і володіють такими властивостями:

Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці можна ввести структуру лінійного простору:

Через локальні координати Редагувати

Нехай  — гладкий многовид розмірності n, і  — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці називається відображення:

таке що існують дійсні числа з наступною властивістю. Для довільної функції

де  — координати простору

Визначення через криві Редагувати

Нехай  — гладкий многовид розмірності n, і  — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві такі що Тоді називаються еквівалентними, якщо Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом у цю множину можна перетворити у векторний простір.

Властивості Редагувати

  • Дотичний простір -вимірного гладкого многовиду є -вимірним векторним простором.
  • Для обраної локальної карти , оператори являють собою базис , який називають голономним базисом.

Пов'язані означення Редагувати

  • Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  • У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Dotichnij prostir do gladkogo mnogovidu M displaystyle M v tochci x displaystyle x sukupnist dotichnih vektoriv u cij tochci yaki utvoryuyut prirodnu strukturu vektornogo prostoru Dotichnij prostir T x M displaystyle scriptstyle T x M i dotichnij vektor v T x M displaystyle scriptstyle v in T x M podovzh krivoyi g t displaystyle scriptstyle gamma t sho prohodit cherez tochku x M displaystyle scriptstyle x in M Dotichnij prostir do M displaystyle M u tochci x displaystyle x zazvichaj poznachayut T x M displaystyle T x M abo koli ochevidno pro yakij mnogovid jde mova prosto T x displaystyle T x Sukupnist dotichnih prostoriv u vsih tochkah mnogovidu razom iz samim mnogovidom utvoryuyut vektorne rozsharuvannya yake nazivayetsya dotichne rozsharuvannya Vidpovidno kozhnij dotichnij prostir ye shar dotichnogo rozsharuvannya Takozh yak u dotichnogo vektora isnuye modifikaciya ponyattya dotichnij prostir dotichnij prostir u tochci p displaystyle p pidmnogovidu U najprostishomu vipadku koli mnogovid gladko vkladenij u vektornij prostir sho mozhlivo zavzhdi zgidno z Teoremoyu Vitni pro vkladennya kozhen dotichnij prostir mozhna prirodno ototozhniti z deyakim afinnim pidprostorom ohoplyuyuchogo vektornogo prostoru Zmist 1 Oznachennya 1 1 Cherez diferenciyuvannya v tochci 1 2 Cherez lokalni koordinati 1 3 Viznachennya cherez krivi 2 Vlastivosti 3 Pov yazani oznachennya 4 Div takozh 5 DzherelaOznachennya RedaguvatiCherez diferenciyuvannya v tochci Redaguvati Nehaj M displaystyle M nbsp gladkij mnogovid Todi dotichnim prostorom nazvemo prostir diferenciyuvan v tochci p displaystyle p nbsp Tobto prostir operatoriv X displaystyle X nbsp yaki dayut chislo X f displaystyle Xf nbsp dlya kozhnoyi gladkoyi funkciyi f M R displaystyle f M to mathbb R nbsp i volodiyut takimi vlastivostyami Aditivnist X f h X f X h displaystyle X f h Xf Xh nbsp Pravilo Lejbnica X f h X f h p f p X h displaystyle X fh Xf cdot h p f p cdot Xh nbsp Legko bachiti sho na mnozhini vsih diferenciyuvan v tochci p displaystyle p nbsp mozhna vvesti strukturu linijnogo prostoru X Y f X f Y f displaystyle X Y f Xf Yf nbsp k X f k X f displaystyle k cdot X f k cdot Xf nbsp Cherez lokalni koordinati Redaguvati Nehaj M displaystyle M nbsp gladkij mnogovid rozmirnosti n x M displaystyle x in M nbsp i ϕ displaystyle phi nbsp deyake koordinatne vidobrazhennya v okoli tochki x Poznachimo C X x R displaystyle C infty X x mathbb R nbsp mnozhinu gladkih u tochci x vidobrazhen z prostoru X u mnozhinu dijsnih chisel Dotichnim vektorom v tochci x displaystyle x nbsp nazivayetsya vidobrazhennya v C X x R R displaystyle v C infty X x mathbb R to mathbb R nbsp take sho isnuyut dijsni chisla a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp z nastupnoyu vlastivistyu Dlya dovilnoyi funkciyi f C X x R displaystyle f in C infty X x mathbb R nbsp v f i 1 n a i r i f ϕ 1 ϕ x displaystyle v f sum i 1 n a i frac partial partial r i f circ phi 1 phi x nbsp de r i displaystyle r i nbsp koordinati prostoru R n displaystyle mathbb R n nbsp Viznachennya cherez krivi Redaguvati Nehaj M displaystyle M nbsp gladkij mnogovid rozmirnosti n p M displaystyle p in M nbsp i ϕ displaystyle phi nbsp deyake koordinatne vidobrazhennya v okoli tochki p Nehaj mayemo dvi krivi g 1 g 2 1 1 M displaystyle gamma 1 gamma 2 1 1 to M nbsp taki sho g 1 0 g 2 0 p displaystyle gamma 1 0 gamma 2 0 p nbsp Todi g 1 g 2 displaystyle gamma 1 gamma 2 nbsp nazivayutsya ekvivalentnimi yaksho d d t ϕ g 1 0 d d t ϕ g 2 0 displaystyle frac d dt phi circ gamma 1 0 frac d dt phi circ gamma 2 0 nbsp Mnozhina klasiv ekvivalentnosti nazivayetsya dotichnim prostorom Ototozhnivshi kozhen klas ekvivalentnosti z vidpovidnim obrazom d d t ϕ g 0 displaystyle frac d dt phi circ gamma 0 nbsp u R n displaystyle mathbb R n nbsp cyu mnozhinu mozhna peretvoriti u vektornij prostir Vlastivosti RedaguvatiDotichnij prostir n displaystyle n nbsp vimirnogo gladkogo mnogovidu ye n displaystyle n nbsp vimirnim vektornim prostorom Dlya obranoyi lokalnoyi karti x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp operatori X i f f x i p displaystyle X i f frac partial f partial x i p nbsp yavlyayut soboyu bazis T p displaystyle T p nbsp yakij nazivayut golonomnim bazisom Pov yazani oznachennya RedaguvatiKontaktnim elementom do mnogovidu u deyakij tochci nazivayetsya bud yaka giperploshina dotichnogo prostoru v cij tochci Div takozh RedaguvatiDotichnij vektor Dotichnij prostir Zariskogo Kodotichnij prostirDzherela RedaguvatiZorich V A Matematicheskij analiz 10 e M MCNMO 2019 T 1 564 s ISBN 978 5 4439 4029 8 ros Kartan A Differencialnoe ischislenie Differencialnye formy M Mir 1971 Postnikov M M Lekcii po geometrii Semestr III Gladkie mnogoobraziya M Nauka 1987 U Rudin Osnovy matematicheskogo analiza M Mir 1976 Spivak M Matematicheskij analiz na mnogoobraziyah M Mir 1968 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dotichnij prostir amp oldid 34150067