www.wikidata.uk-ua.nina.az

Відношення еквівалентності Відно шення еквівале нтності displaystyle sim на множині X displaystyle X це бінарне відношен

Відношення еквівалентності

Відно́шення еквівале́нтності () на множині  — це бінарне відношення для якого виконуються наступні умови:

  1. Рефлексивність: для будь-якого в ,
  2. Симетричність: якщо , то ,
  3. Транзитивність: якщо та , то .

Запис вигляду «» читається як « еквівалентно ».

Наслідком властивостей рефлексивності, симетричності і транзитивності є те, що будь-яке відношення еквівалентності забезпечує розбиття будь-якої базової множини на непересічні класи еквівалентності. Два елементи даної множини еквівалентні між собою тоді і тільки тоді, коли вони належать одному класу еквівалентності.

Позначення Редагувати

В літературі можуть застосовуватися різні символи для позначення двох елементів a і b із множини що є еквівалентними відповідно до відношення еквівалентності R; найбільш загальними позначеннями є "a ~ b" і "a ≡ b", які використовують коли R є неявною, і варіації позначень "a ~R b", "a ≡R b", або "aRb", які вказують R явним чином. Нееквівалентність може записуватися як "a ≁ b" або "".

Пов'язані визначення Редагувати

  • Класом еквівалентності елемента називається підмножина елементів, еквівалентних . З зазначеного визначення випливає що, якщо , то .

Множина всіх класів еквівалентності позначається .

  • Для класу еквівалентності елемента використовується наступне позначення: , , .
  • Множина класів еквівалентності по відношенню є розбиттям множини.

Приклади відношень еквівалентності Редагувати

Факторизація відображень Редагувати

Див. також: Факторизація

Множина класів еквівалентності, яка відповідає відношенню еквівалентності , позначається символом і називається фактор-множиною відносно . При цьому сюр'єктивне відображення

називається дійсним відображенням (чи канонічною проєкцією) на фактор-множину .

Нехай ,  — множини,  — відображення, тоді бінарне відношення визначене правилом

є відношенням еквівалентності на . При цьому відображення утворює відображення , яке визначається правилом

чи

При цьому отримується факторизація відображення на сюр'єктивне відображення та ін'ективне відображення .

Факторизація відображень широко використовується в гуманітарних науках та в тих галузях техніки де немає можливостей використовувати числові значення. Вона дозволяє уникати формул там, де їх неможливо використати. Наведемо загально відомий всім приклад:

Розклад уроків в школі — є типовий приклад факторизації. В даному випадку  — множина всіх учнів школи,  — множина всіх предметів, упорядкованих по днях тижня та часом їх проведення. Класами еквівалентності є класи (групи учнів). Відображення  — розклад уроків записаних у щоденники учнів. Відображення  — розклад уроків по класам, який вивішують у вестибюлі школи. Там же і вивішується відображення  — списки класів. Цей простий приклад наочно демонструє практичні вигоди факторизації: неможливо собі уявити розклад занять як таблицю в якій занесені всі учні школи в особистому порядку. Факторизація дозволила зобразити потрібну учням інформацію у зручному для використання вигляді в ситуації коли формули застосовувати неможливо.

На цьому переваги факторизації не закінчується. Вона дала можливість розділити роботу між людьми: завуч складає розклад, а учні записують його у щоденники. Аналогічно факторизація дозволила розділити роботу медика, який ставить діагноз та виписує рецепт, і фармацевта який еквівалентно рецепту підбирає ліки. Апофеозом факторизації є конвеєр, де реалізоване максимальне розбиття праці за рахунок стандартизації деталей.

Факторизація дозволила забезпечити модульність сучасної техніки. Наприклад, можна замінити телефон але залишити сім-карту і карту пам'яті зі старого телефону, або поміняти оперативну пам'ять в комп'ютері більше нічого не чіпаючи. Все це гнучкість і модульність в основі яких лежить факторизація.

Фактор-множина та класи еквівалентності Редагувати

Сукупність множин {Bi|i∈I} називається розбиттям множини A, якщо Bi=A і Bi∩Bj = ∅ для i≠j. Множини Bi, i∈I є підмножинами множини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент a∈A належить одній і тільки одній множині Bi, i∈I.

Нехай тепер на множині M задано відношення еквівалентності R. Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент a∈M і утворимо підмножину SaR = {x| x∈M і aRx}, яка складається з усіх елементів множини M, еквівалентних елементу a. Візьмемо другий елемент b∈M такий, що b∉SaR і утворимо множину SbR = {x | x∈M і bRx } з елементів еквівалентних b і т. д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо, нескінченну) {SaR, SbR,…}.

Побудована сукупність множин { SiR | i∈I} є фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і позначається M/R.

Очевидно, що будь-які два елементи з одного класу SiR еквівалентні між собою, в той час як будь-які два елементи з різних класів фактор-множини M/R нееквівалентні.

Класи SiR називають класами еквівалентності за відношенням R. Клас еквівалентності, який містить елемент a∈M часто позначають через [a]R.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Vidno shennya ekvivale ntnosti displaystyle sim na mnozhini X displaystyle X ce binarne vidnoshennya dlya yakogo vikonuyutsya nastupni umovi Refleksivnist a a displaystyle a sim a dlya bud yakogo a displaystyle a v X displaystyle X Simetrichnist yaksho a b displaystyle a sim b to b a displaystyle b sim a Tranzitivnist yaksho a b displaystyle a sim b ta b c displaystyle b sim c to a c displaystyle a sim c Zapis viglyadu a b displaystyle a sim b chitayetsya yak a displaystyle a ekvivalentno b displaystyle b Naslidkom vlastivostej refleksivnosti simetrichnosti i tranzitivnosti ye te sho bud yake vidnoshennya ekvivalentnosti zabezpechuye rozbittya bud yakoyi bazovoyi mnozhini na neperesichni klasi ekvivalentnosti Dva elementi danoyi mnozhini ekvivalentni mizh soboyu todi i tilki todi koli voni nalezhat odnomu klasu ekvivalentnosti Zmist 1 Poznachennya 2 Pov yazani viznachennya 3 Prikladi vidnoshen ekvivalentnosti 4 Faktorizaciya vidobrazhen 5 Faktor mnozhina ta klasi ekvivalentnosti 6 Div takozh 7 DzherelaPoznachennya RedaguvatiV literaturi mozhut zastosovuvatisya rizni simvoli dlya poznachennya dvoh elementiv a i b iz mnozhini sho ye ekvivalentnimi vidpovidno do vidnoshennya ekvivalentnosti R najbilsh zagalnimi poznachennyami ye a b i a b yaki vikoristovuyut koli R ye neyavnoyu i variaciyi poznachen a R b a R b abo aRb yaki vkazuyut R yavnim chinom Neekvivalentnist mozhe zapisuvatisya yak a b abo a b displaystyle a not equiv b nbsp Pov yazani viznachennya RedaguvatiKlasom ekvivalentnosti C a displaystyle C a nbsp elementa a displaystyle a nbsp nazivayetsya pidmnozhina elementiv ekvivalentnih a displaystyle a nbsp Z zaznachenogo viznachennya viplivaye sho yaksho b C a displaystyle b in C a nbsp to C a C b displaystyle C a C b nbsp Mnozhina vsih klasiv ekvivalentnosti poznachayetsya X displaystyle X sim nbsp Dlya klasu ekvivalentnosti elementa a displaystyle a nbsp vikoristovuyetsya nastupne poznachennya a displaystyle a nbsp a displaystyle a sim nbsp a displaystyle overline a nbsp Mnozhina klasiv ekvivalentnosti po vidnoshennyu displaystyle sim nbsp ye rozbittyam mnozhini Prikladi vidnoshen ekvivalentnosti RedaguvatiNajbilsh naochnij priklad vidnoshennya ekvivalentnosti podil uchniv shkoli na klasi Vidnoshennya rivnosti displaystyle nbsp trivialne vidnoshennya ekvivalentnosti na dovilnij mnozhini zokrema na mnozhini dijsnih chisel Porivnyannya po modulyu a b mod n V Evklidovij geometriyi Vidnoshennya kongruentnosti displaystyle cong nbsp Vidnoshennya podibnosti displaystyle sim nbsp Vidnoshennya paralelnosti pryamih displaystyle nbsp Vidnoshennya rivnopotuzhnosti mnozhin ye vidnoshennyam ekvivalentnosti Ekvivalentnist funkcij v matematichnomu analizi kazhut sho funkciya f x displaystyle f x nbsp ekvivalentna funkciyi g x displaystyle g x nbsp pri x x 0 displaystyle x rightarrow x 0 nbsp yaksho vona mozhe buti predstavlena u viglyadi f x a x g x displaystyle f x alpha x g x nbsp de a x 1 displaystyle alpha x rightarrow 1 nbsp pri x x 0 displaystyle x rightarrow x 0 nbsp V danomu vipadku pishut f x g x displaystyle f x sim g x nbsp pri x x 0 displaystyle x rightarrow x 0 nbsp Yaksho g x 0 displaystyle g x neq 0 nbsp pri x x 0 displaystyle x neq x 0 nbsp ekvivalentnist funkciyi f x displaystyle f x nbsp ta g x displaystyle g x nbsp pri x x 0 displaystyle x rightarrow x 0 nbsp ochevidno rivnosilna vidnoshennyu lim x x 0 f x g x 1 displaystyle lim x rightarrow x 0 frac f x g x 1 nbsp Ekvivalentnist kategorijFaktorizaciya vidobrazhen RedaguvatiDiv takozh Faktorizaciya Mnozhina klasiv ekvivalentnosti yaka vidpovidaye vidnoshennyu ekvivalentnosti displaystyle sim nbsp poznachayetsya simvolom X displaystyle X sim nbsp i nazivayetsya faktor mnozhinoyu vidnosno displaystyle sim nbsp Pri comu syur yektivne vidobrazhennya p x C x displaystyle p colon x mapsto C x nbsp nazivayetsya dijsnim vidobrazhennyam chi kanonichnoyu proyekciyeyu X displaystyle X nbsp na faktor mnozhinu X displaystyle X sim nbsp Nehaj X displaystyle X nbsp Y displaystyle Y nbsp mnozhini f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp vidobrazhennya todi binarne vidnoshennya x R f y displaystyle x R f y nbsp viznachene pravilom x R f y f x f y x y X displaystyle x mathop R f y iff f x f y quad x y in X nbsp ye vidnoshennyam ekvivalentnosti na X displaystyle X nbsp Pri comu vidobrazhennya utvoryuye vidobrazhennya f X R f Y displaystyle overline f colon X R f to Y nbsp yake viznachayetsya pravilom f C x f x displaystyle overline f C x f x nbsp chi f p x f x displaystyle overline f circ p x f x nbsp Pri comu otrimuyetsya faktorizaciya vidobrazhennya f displaystyle f nbsp na syur yektivne vidobrazhennya p displaystyle p nbsp ta in ektivne vidobrazhennya f displaystyle overline f nbsp Faktorizaciya vidobrazhen shiroko vikoristovuyetsya v gumanitarnih naukah ta v tih galuzyah tehniki de nemaye mozhlivostej vikoristovuvati chislovi znachennya Vona dozvolyaye unikati formul tam de yih nemozhlivo vikoristati Navedemo zagalno vidomij vsim priklad Rozklad urokiv v shkoli ye tipovij priklad faktorizaciyi V danomu vipadku X displaystyle X nbsp mnozhina vsih uchniv shkoli Y displaystyle Y nbsp mnozhina vsih predmetiv uporyadkovanih po dnyah tizhnya ta chasom yih provedennya Klasami ekvivalentnosti ye klasi grupi uchniv Vidobrazhennya f displaystyle f nbsp rozklad urokiv zapisanih u shodenniki uchniv Vidobrazhennya f displaystyle overline f nbsp rozklad urokiv po klasam yakij vivishuyut u vestibyuli shkoli Tam zhe i vivishuyetsya vidobrazhennya p displaystyle p nbsp spiski klasiv Cej prostij priklad naochno demonstruye praktichni vigodi faktorizaciyi nemozhlivo sobi uyaviti rozklad zanyat yak tablicyu v yakij zaneseni vsi uchni shkoli v osobistomu poryadku Faktorizaciya dozvolila zobraziti potribnu uchnyam informaciyu u zruchnomu dlya vikoristannya viglyadi v situaciyi koli formuli zastosovuvati nemozhlivo Na comu perevagi faktorizaciyi ne zakinchuyetsya Vona dala mozhlivist rozdiliti robotu mizh lyudmi zavuch skladaye rozklad a uchni zapisuyut jogo u shodenniki Analogichno faktorizaciya dozvolila rozdiliti robotu medika yakij stavit diagnoz ta vipisuye recept i farmacevta yakij ekvivalentno receptu pidbiraye liki Apofeozom faktorizaciyi ye konveyer de realizovane maksimalne rozbittya praci za rahunok standartizaciyi detalej Faktorizaciya dozvolila zabezpechiti modulnist suchasnoyi tehniki Napriklad mozhna zaminiti telefon ale zalishiti sim kartu i kartu pam yati zi starogo telefonu abo pominyati operativnu pam yat v komp yuteri bilshe nichogo ne chipayuchi Vse ce gnuchkist i modulnist v osnovi yakih lezhit faktorizaciya Faktor mnozhina ta klasi ekvivalentnosti RedaguvatiSukupnist mnozhin Bi i I nazivayetsya rozbittyam mnozhini A yaksho Bi A i Bi Bj dlya i j Mnozhini Bi i I ye pidmnozhinami mnozhini A i nazivayutsya klasami sumizhnimi klasami blokami abo elementami rozbittya Ochevidno sho kozhnij element a A nalezhit odnij i tilki odnij mnozhini Bi i I Nehaj teper na mnozhini M zadano vidnoshennya ekvivalentnosti R Vikonayemo taku pobudovu Viberemo deyakij element a M i utvorimo pidmnozhinu SaR x x M i aRx yaka skladayetsya z usih elementiv mnozhini M ekvivalentnih elementu a Vizmemo drugij element b M takij sho b SaR i utvorimo mnozhinu SbR x x M i bRx z elementiv ekvivalentnih b i t d Takim chinom oderzhimo sukupnist mnozhin mozhlivo neskinchennu SaR SbR Pobudovana sukupnist mnozhin SiR i I ye faktor mnozhinoyu mnozhini M za ekvivalentnistyu R i poznachayetsya M R Ochevidno sho bud yaki dva elementi z odnogo klasu SiR ekvivalentni mizh soboyu v toj chas yak bud yaki dva elementi z riznih klasiv faktor mnozhini M R neekvivalentni Klasi SiR nazivayut klasami ekvivalentnosti za vidnoshennyam R Klas ekvivalentnosti yakij mistit element a M chasto poznachayut cherez a R Div takozh RedaguvatiAsimptotichna rivnist Vidnoshennya poryadku Vidnoshennya tolerantnosti Vilnij dobutokDzherela RedaguvatiKuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros Hausdorf F Teoriya mnozhestv Moskva Leningrad ONTI 1937 304 s ISBN 978 5 382 00127 2 ros Malcev A I Algebraicheskie sistemy Moskva Nauka 1970 392 s ros A I Kostrikin Vvedenie v algebru M Nauka 1977 47 51 V V Ivanov Matematicheskij analiz NGU 2009 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vidnoshennya ekvivalentnosti amp oldid 39483533