www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівнопотужність відношення двох довільних скінченних або нескінченних множин що означає нестрого кажучи що одна з множин

Рівнопотужність

Рівнопотужність — відношення двох довільних (скінченних або нескінченних) множин, що означає, нестрого кажучи, що одна з множин містить стільки ж елементів, як і інша. Скінченні множини рівнопотужні тоді й лише тоді, коли вони містять однакові кількості елементів. Наприклад, множина традиційних зодіакальних сузір'їв і множина ребер куба рівнопотужні, оскільки обидві містять по 12 елементів.

Поняття рівнопотужності, введене Георгом Кантором 1878 року, розширює це відношення на нескінченні множини, на нього спирається визначення центрального в теорії множин поняття потужності множини. Кантор також визначив порівняння потужностей — якщо дві множини не рівнопотужні, то потужність однієї з них більша, ніж іншої (у доведенні використовується аксіома вибору).

Визначення

Взаємно-однозначна відповідність множин

Визначення 1. Функція яка визначена на множині і набуває значень у множині називається взаємно-однозначною відповідністю, якщо:

  • різним елементам відповідають різні елементи
  • кожен елемент поставлено у відповідність деякому елементу .

Легко бачити, що взаємно-однозначна відповідність як функція має (однозначну) обернену функцію, визначену на всій множині

Визначення 2. Дві множини називають рівнопотужними, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Варіанти термінології: рівнопотужні множини «мають однакову потужність» або «однакове кардинальне число».

У зазначеній відповідності будь-якому елементу кожної з рівнопотужних множин відповідає рівно один елемент іншої множини.

Різні автори пропонували різні символи для позначення рівнопотужності множин :

Далі в цій статті використовується перше позначення.

Приклади

Множина натуральних чисел і множина парних чисел рівнопотужні, оскільки кожному натуральному числу взаємно-однозначно відповідає парне число Всі множини, рівнопотужні називаються зліченними. Будь-яка нескінченна підмножина зліченна — наприклад, множина простих чисел.

Множина раціональних чисел зліченна, проте множина дійсних чисел вже незліченна.

Всі кола рівнопотужні. Щоб переконатися в цьому, побудуємо для кожного кола полярну систему координат з початком у центрі кола і поставимо у відповідність точки з однаковим полярним кутом.

Викладений підхід часто використовується, щоб визначити поняття нескінченної множини «за Дедекіндом»: множина називається нескінченною, якщо вона рівнопотужна своїй власній підмножині (тобто підмножині, що не збігається з усією ).

Властивості

Відношення рівнопотужності є відношенням еквівалентності:

  1. Кожна множина рівнопотужна сама собі.
  2. Якщо то
  3. Якщо і то

Отже, відношення рівнопотужності розбиває множини на неперетинні класи рівнопотужних множин. Це розбиття дозволило Кантору визначити поняття потужності множини як одного з таких класів (в аксіоматичній теорії множин поняття потужності вводиться трохи інакше, див. подробиці в статті про потужність множини).

З теореми Кантора випливає, що ніяка множина не може бути рівнопотужною множині своїх підмножин (яка завжди має більшу потужність).

Теорема Кантора — Бернштейна: якщо з двох множин А і В кожна еквівалентна частині іншої, то ці дві множини рівнопотужні.

1877 року Кантор виявив низку незвичайних наслідків своєї теорії.

  • Скінченний відрізок прямої рівнопотужний всій нескінченній прямій.
  • Вся площина, будь-який квадрат на ній і відрізок прямої рівнопотужні.

Відношення рівнопотужності узгоджене (з певними обмеженнями) з теоретико-множинними операціями.

Примітки

  1. Математическая энциклопедия, 1977.
  2. Верещагин, Шень, 2012, с. 12.
  3. Верещагин, Шень, 2012, с. 17.
  4. Верещагин, Шень, 2012, с. 28.
  5. Верещагин, Шень, 2012, с. 18.
  6. Куратовский, Мостовский, 1970, с. 177.

Література

  • Верещагин Н. К., Шень А. Начала теории множеств. — М. : МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-4439-0012-4.
  • Кудрявцев Л. Д. Взаимно однозначное соответствие // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 690.
  • Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М. : Мир, 1970. — 416 с.
  • Ященко И. В. Равномощность множеств / Парадоксы теории множеств. М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2002.

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rivnopotuzhnist vidnoshennya dvoh dovilnih skinchennih abo neskinchennih mnozhin sho oznachaye nestrogo kazhuchi sho odna z mnozhin mistit stilki zh elementiv yak i insha Skinchenni mnozhini rivnopotuzhni todi j lishe todi koli voni mistyat odnakovi kilkosti elementiv Napriklad mnozhina tradicijnih zodiakalnih suzir yiv i mnozhina reber kuba rivnopotuzhni oskilki obidvi mistyat po 12 elementiv Ponyattya rivnopotuzhnosti vvedene Georgom Kantorom 1878 roku rozshiryuye ce vidnoshennya na neskinchenni mnozhini na nogo spirayetsya viznachennya centralnogo v teoriyi mnozhin ponyattya potuzhnosti mnozhini Kantor takozh viznachiv porivnyannya potuzhnostej yaksho dvi mnozhini ne rivnopotuzhni to potuzhnist odniyeyi z nih bilsha nizh inshoyi u dovedenni vikoristovuyetsya aksioma viboru Zmist 1 Viznachennya 2 Prikladi 3 Vlastivosti 4 Primitki 5 Literatura 6 PosilannyaViznachennya Redaguvati Vzayemno odnoznachna vidpovidnist mnozhinViznachennya 1 Funkciya f displaystyle f yaka viznachena na mnozhini A displaystyle A i nabuvaye znachen u mnozhini B displaystyle B nazivayetsya vzayemno odnoznachnoyu vidpovidnistyu 1 yaksho riznim elementam A displaystyle A vidpovidayut rizni elementi B displaystyle B kozhen element B displaystyle B postavleno u vidpovidnist deyakomu elementu A displaystyle A Legko bachiti sho vzayemno odnoznachna vidpovidnist yak funkciya maye odnoznachnu obernenu funkciyu viznachenu na vsij mnozhini B displaystyle B Viznachennya 2 Dvi mnozhini nazivayut rivnopotuzhnimi yaksho mizh nimi mozhna vstanoviti vzayemno odnoznachnu vidpovidnist 2 Varianti terminologiyi rivnopotuzhni mnozhini mayut odnakovu potuzhnist abo odnakove kardinalne chislo U zaznachenij vidpovidnosti bud yakomu elementu kozhnoyi z rivnopotuzhnih mnozhin vidpovidaye rivno odin element inshoyi mnozhini Rizni avtori proponuvali rizni simvoli dlya poznachennya rivnopotuzhnosti mnozhin A B displaystyle A B A B displaystyle A sim B A B displaystyle A B A B displaystyle A approx B A B displaystyle bar bar A bar bar B poznachennya Kantora E q A B displaystyle Eq A B poznachennya Burbaki A displaystyle A B displaystyle B c a r d A c a r d B displaystyle mathrm card A mathrm card B Dali v cij statti vikoristovuyetsya pershe poznachennya Prikladi RedaguvatiMnozhina naturalnih chisel N displaystyle mathbb N i mnozhina parnih chisel rivnopotuzhni oskilki kozhnomu naturalnomu chislu n displaystyle n vzayemno odnoznachno vidpovidaye parne chislo 2 n displaystyle 2n Vsi mnozhini rivnopotuzhni N displaystyle mathbb N nazivayutsya zlichennimi Bud yaka neskinchenna pidmnozhina N displaystyle mathbb N zlichenna napriklad mnozhina prostih chisel Mnozhina racionalnih chisel zlichenna prote mnozhina dijsnih chisel R displaystyle mathbb R vzhe nezlichenna Vsi kola rivnopotuzhni Shob perekonatisya v comu pobuduyemo dlya kozhnogo kola polyarnu sistemu koordinat z pochatkom u centri kola i postavimo u vidpovidnist tochki z odnakovim polyarnim kutom Vikladenij pidhid chasto vikoristovuyetsya shob viznachiti ponyattya neskinchennoyi mnozhini za Dedekindom mnozhina A displaystyle A nazivayetsya neskinchennoyu yaksho vona rivnopotuzhna svoyij vlasnij pidmnozhini tobto pidmnozhini sho ne zbigayetsya z usiyeyu A displaystyle A 3 Vlastivosti RedaguvatiVidnoshennya rivnopotuzhnosti ye vidnoshennyam ekvivalentnosti Kozhna mnozhina rivnopotuzhna sama sobi Yaksho A B displaystyle A sim B to B A displaystyle B sim A Yaksho A B displaystyle A sim B i B C displaystyle B sim C to A C displaystyle A sim C Otzhe vidnoshennya rivnopotuzhnosti rozbivaye mnozhini na neperetinni klasi rivnopotuzhnih mnozhin Ce rozbittya dozvolilo Kantoru viznachiti ponyattya potuzhnosti mnozhini yak odnogo z takih klasiv v aksiomatichnij teoriyi mnozhin ponyattya potuzhnosti vvoditsya trohi inakshe div podrobici v statti pro potuzhnist mnozhini Z teoremi Kantora viplivaye sho niyaka mnozhina ne mozhe buti rivnopotuzhnoyu mnozhini svoyih pidmnozhin yaka zavzhdi maye bilshu potuzhnist 4 Teorema Kantora Bernshtejna yaksho z dvoh mnozhin A i V kozhna ekvivalentna chastini inshoyi to ci dvi mnozhini rivnopotuzhni 1877 roku Kantor viyaviv nizku nezvichajnih naslidkiv svoyeyi teoriyi 5 Skinchennij vidrizok pryamoyi rivnopotuzhnij vsij neskinchennij pryamij Vsya ploshina bud yakij kvadrat na nij i vidrizok pryamoyi rivnopotuzhni Vidnoshennya rivnopotuzhnosti uzgodzhene z pevnimi obmezhennyami z teoretiko mnozhinnimi operaciyami 6 Dekartiv dobutok A B B A A B C A B C displaystyle A times B sim B times A A times B times C sim A times B times C Yaksho A 1 B 1 displaystyle A 1 sim B 1 i A 2 B 2 displaystyle A 2 sim B 2 to A 1 A 2 B 1 B 2 displaystyle A 1 times A 2 sim B 1 times B 2 Ob yednannya Nehaj A 1 B 1 A 2 B 2 displaystyle A 1 sim B 1 A 2 sim B 2 prichomu A 1 displaystyle A 1 ne peretinayetsya z A 2 B 1 displaystyle A 2 B 1 ne peretinayetsya z B 2 displaystyle B 2 Todi A 1 A 2 B 1 B 2 displaystyle A 1 cup A 2 sim B 1 cup B 2 Primitki Redaguvati Matematicheskaya enciklopediya 1977 Vereshagin Shen 2012 s 12 Vereshagin Shen 2012 s 17 Vereshagin Shen 2012 s 28 Vereshagin Shen 2012 s 18 Kuratovskij Mostovskij 1970 s 177 Literatura RedaguvatiVereshagin N K Shen A Nachala teorii mnozhestv M MCNMO 2012 ISBN 978 5 4439 0012 4 Kudryavcev L D Vzaimno odnoznachnoe sootvetstvie Matematicheskaya enciklopediya v 5 tomah M Sovetskaya Enciklopediya 1977 T 1 S 690 Kuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Perevod s anglijskogo M I Kratko pod redakciej A D Tajmanova M Mir 1970 416 s Yashenko I V Ravnomoshnost mnozhestv Paradoksy teorii mnozhestv M Izdatelstvo Moskovskogo centra nepreryvnogo matematicheskogo obrazovaniya 2002 Posilannya RedaguvatiPotuzhnist mnozhin Diskretna matematika VShE fakultet komp yuternih nauk 2014 ros Rivnopotuzhni mnozhini Vvedennya v teoriyu mnozhin MDU 2007 ros Yiannis Moschovakis CHAPTER 2 EQUINUMEROSITY Notes on Set Theory Springer 2005 ISBN 9780387287225 pp 7 18 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnopotuzhnist amp oldid 36303379