www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Кантора Бернштейна також теорема Кантора Бернштейна Шредера стосується теорії множин та стверджує що якщо в множ

Теорема Кантора — Бернштейна

Теорема Кантора — Бернштейна (також теорема Кантора — Бернштейна — Шредера), стосується теорії множин та стверджує, що якщо в множині A елементів не менше, ніж в множині B (тобто, якщо в множині A існує підмножина, рівнопотужна множині B), а в множині B елементів не менше, ніж в множині A, то насправді елементів порівну, тобто існує бієкція (взаємно однозначна відповідність) між множинами A та B. Тобто: що якщо існують ін'єктивні відображення і між множинами і , то існує бієкція . Іншими словами, потужності множин і збігаються:

Неформально, теорема стверджує наступне:

Із і , випливає, що = . В даних нерівностях і є кардинальними числами.

Доведення Редагувати

Нехай, без обмеження загальності, множини A та B не перетинаються. Для будь-яких a в A чи b в B, ми можемо сформувати унікальну двосторонню послідовність елементів, що поперемінно належать A та B, шляхом почергового застосування та йдучи вправо і та вліво (де вони визначені).

Для будь-якого конкретного a, ця послідовність може припинитися в точці, де чи не визначені або не закінчуватися, якщо вони всюди визначені.

Назвемо таку послідовність (та усі її елементи) A-стопор, якщо вона зупиняється на елементі з A, чи B-стопор якщо вона зупиняється на елементі з B. Інакше, назвемо її подвійно безмежною, якщо всі елементи різні чи циклічною, якщо вони повторюються.

У силу того, що та є ін'єктивними функціями, кожен елемент a в A та b в B буде зустрічатися лише в одній такій послідовності, оскільки якщо б елемент зустрічався в двох послідовностях, всі елементи зліва і справа повинні були б бути однакові в обох з них, за визначенням.

У силу вище сказаного описані послідовності формують розбиття об'єднання множин A і B. Для A-стопора функція є бієкцією між елементами множин A і B в цій послідовності. Для B-стопора функція є бієкцією між елементами множин B і A в цій послідовності. Для подвійно безмежної чи циклічної послідовності можна використати будь-яку з двох функцій.

Інше доведення Редагувати

Нехай

і

і

Тоді, для довільного візьмемо

Якщо x не лежить в C, тоді x повинен бути в g[B] (образі множини B під дією відображення g). І тоді існує g -1(x), і h коректно визначене взаємно однозначне відображення (бієкція).

Можна перевірити, що і є шукане взаємооднозначне відображення.

Зауважимо, що це визначення відображення h неконструктивне в тому сенсі, що не існує загального алгоритму визначення за скінченне число кроків для будь-яких заданих множин A, B і ін'єкцій f, g, чи лежить деякий елемент x множини A в множині C чи ні. Хоча для деяких окремих випадків, такий алгоритм існує.

Історія Редагувати

Як це часто буває в математиці, назва цієї теореми не правильно відображає її історію. Традиційна назва "Шредера-Бернштейна" ґрунтується на двох доказах, опублікованих в 1898 році незалежно один від одного. Кантора часто додають до назви тому, що він вперше сформулював теорему в 1895 році, в той час як ім'я Шредера часто опускається, тому що його доведення виявилося помилковим, а ім'я математика, який вперше довів це не пов'язано з теоремою взагалі. Насправді, історія була більш складною:

  • 1887 — Ріхард Дедекінд доводить теорему, але не публікує її.
  • 1895 — Георг Кантор подає твердження теореми у своїй першій роботі з теорії множин.
  • 1896 — Ернст Шредер оголосив про доведення теореми.
  • 1897 — Фелікс Бернштейн, молодий студент подав своє доведення на семінарі Кантора.
  • 1897 — Після візиту Бернштейна до Дедекінда, останній самостійно доводить теорему вдруге.
  • 1898 — Доведення Бернштейна публікує Еміль Борель у своїй книзі про функції.

Обидва доведення Дедекінда обґрунтовуються в його науковій статті "Was sind und was sollen die Zahlen?".

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004. — 336 с.


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema Kantora Bernshtejna takozh teorema Kantora Bernshtejna Shredera stosuyetsya teoriyi mnozhin ta stverdzhuye sho yaksho v mnozhini A elementiv ne menshe nizh v mnozhini B tobto yaksho v mnozhini A isnuye pidmnozhina rivnopotuzhna mnozhini B a v mnozhini B elementiv ne menshe nizh v mnozhini A to naspravdi elementiv porivnu tobto isnuye biyekciya vzayemno odnoznachna vidpovidnist mizh mnozhinami A ta B Tobto sho yaksho isnuyut in yektivni vidobrazhennya f A B displaystyle f A to B i g B A displaystyle g B to A mizh mnozhinami A displaystyle A i B displaystyle B to isnuye biyekciya h A B displaystyle h A to B Inshimi slovami potuzhnosti mnozhin A displaystyle A i B displaystyle B zbigayutsya A B displaystyle A B Neformalno teorema stverdzhuye nastupne Iz a b displaystyle alpha leqslant beta i b a displaystyle beta leqslant alpha viplivaye sho a displaystyle alpha b displaystyle beta V danih nerivnostyah a displaystyle alpha i b displaystyle beta ye kardinalnimi chislami Zmist 1 Dovedennya 2 Inshe dovedennya 3 Istoriya 4 Div takozh 5 LiteraturaDovedennya RedaguvatiNehaj bez obmezhennya zagalnosti mnozhini A ta B ne peretinayutsya Dlya bud yakih a v A chi b v B mi mozhemo sformuvati unikalnu dvostoronnyu poslidovnist elementiv sho popereminno nalezhat A ta B shlyahom pochergovogo zastosuvannya f displaystyle f nbsp ta g displaystyle g nbsp jduchi vpravo i g 1 displaystyle g 1 nbsp ta f 1 displaystyle f 1 nbsp vlivo de voni viznacheni f 1 g 1 a g 1 a a f a g f a displaystyle cdots rightarrow f 1 g 1 a rightarrow g 1 a rightarrow a rightarrow f a rightarrow g f a rightarrow cdots nbsp Dlya bud yakogo konkretnogo a cya poslidovnist mozhe pripinitisya v tochci de f 1 displaystyle f 1 nbsp chi g 1 displaystyle g 1 nbsp ne viznacheni abo ne zakinchuvatisya yaksho voni vsyudi viznacheni Nazvemo taku poslidovnist ta usi yiyi elementi A stopor yaksho vona zupinyayetsya na elementi z A chi B stopor yaksho vona zupinyayetsya na elementi z B Inakshe nazvemo yiyi podvijno bezmezhnoyu yaksho vsi elementi rizni chi ciklichnoyu yaksho voni povtoryuyutsya U silu togo sho f displaystyle f nbsp ta g displaystyle g nbsp ye in yektivnimi funkciyami kozhen element a v A ta b v B bude zustrichatisya lishe v odnij takij poslidovnosti oskilki yaksho b element zustrichavsya v dvoh poslidovnostyah vsi elementi zliva i sprava povinni buli b buti odnakovi v oboh z nih za viznachennyam U silu vishe skazanogo opisani poslidovnosti formuyut rozbittya ob yednannya mnozhin A i B Dlya A stopora funkciya f displaystyle f nbsp ye biyekciyeyu mizh elementami mnozhin A i B v cij poslidovnosti Dlya B stopora funkciya g displaystyle g nbsp ye biyekciyeyu mizh elementami mnozhin B i A v cij poslidovnosti Dlya podvijno bezmezhnoyi chi ciklichnoyi poslidovnosti mozhna vikoristati bud yaku z dvoh funkcij Inshe dovedennya RedaguvatiNehaj C 0 A g B displaystyle C 0 A setminus g B nbsp i C n 1 g f C n for n 0 displaystyle C n 1 g f C n quad mbox for n geqslant 0 nbsp i C n 0 C n displaystyle C bigcup n 0 infty C n nbsp Todi dlya dovilnogo x A displaystyle x in A nbsp vizmemo h x f x if x C g 1 x if x C displaystyle h x left begin matrix f x amp mbox if x in C g 1 x amp mbox if x not in C end matrix right nbsp Yaksho x ne lezhit v C todi x povinen buti v g B obrazi mnozhini B pid diyeyu vidobrazhennya g I todi isnuye g 1 x i h korektno viznachene vzayemno odnoznachne vidobrazhennya biyekciya Mozhna pereviriti sho h A B displaystyle h A to B nbsp i ye shukane vzayemoodnoznachne vidobrazhennya Zauvazhimo sho ce viznachennya vidobrazhennya h nekonstruktivne v tomu sensi sho ne isnuye zagalnogo algoritmu viznachennya za skinchenne chislo krokiv dlya bud yakih zadanih mnozhin A B i in yekcij f g chi lezhit deyakij element x mnozhini A v mnozhini C chi ni Hocha dlya deyakih okremih vipadkiv takij algoritm isnuye Istoriya RedaguvatiYak ce chasto buvaye v matematici nazva ciyeyi teoremi ne pravilno vidobrazhaye yiyi istoriyu Tradicijna nazva Shredera Bernshtejna gruntuyetsya na dvoh dokazah opublikovanih v 1898 roci nezalezhno odin vid odnogo Kantora chasto dodayut do nazvi tomu sho vin vpershe sformulyuvav teoremu v 1895 roci v toj chas yak im ya Shredera chasto opuskayetsya tomu sho jogo dovedennya viyavilosya pomilkovim a im ya matematika yakij vpershe doviv ce ne pov yazano z teoremoyu vzagali Naspravdi istoriya bula bilsh skladnoyu 1887 Rihard Dedekind dovodit teoremu ale ne publikuye yiyi 1895 Georg Kantor podaye tverdzhennya teoremi u svoyij pershij roboti z teoriyi mnozhin 1896 Ernst Shreder ogolosiv pro dovedennya teoremi 1897 Feliks Bernshtejn molodij student podav svoye dovedennya na seminari Kantora 1897 Pislya vizitu Bernshtejna do Dedekinda ostannij samostijno dovodit teoremu vdruge 1898 Dovedennya Bernshtejna publikuye Emil Borel u svoyij knizi pro funkciyi Obidva dovedennya Dedekinda obgruntovuyutsya v jogo naukovij statti Was sind und was sollen die Zahlen A B C and A C A B C displaystyle A subset B subset C quad textrm and quad A C qquad Rightarrow qquad A B C nbsp Div takozh RedaguvatiErnst Shreder Georg Kantor Feliks Bernshtejn Teoriya mnozhin Kardinalne chisloLiteratura RedaguvatiN K Vereshagin A Shen Lekcii po matematicheskoj logike i teorii algoritmov Chast 1 Nachala teorii mnozhestv nedostupne posilannya z travnya 2019 Ershov Yu L Palyutin E A Matematicheskaya logika Uchebnoe posobie 3 e stereotip izd SPb Lan 2004 336 s nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Kantora Bernshtejna amp oldid 40228945