Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини позначається як або .
Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.
Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.
Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:
Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
- Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
- Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
- Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора — Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
- Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.
Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.
Операції над кардинальними числами Редагувати
Додавання
Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B , де А та В - довільні множини, що не перетинаються такі, що: a=[A], b=[B]. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.
Множення
Добутком двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини , де a=[A], b=[B], А та В-довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.
Піднесення до степеня
Степенем кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини , де a=[A], b=[B].
Арифметика кардинальних чисел Редагувати
Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:
Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:
Мають місце рівності:
Істинні наступні твердження:
1) якщо і , то
2) якщо , то
3) якщо , то
4) якщо , то
Теорема 1.
для будь-якої множини А.
Теорема 2.(Г.Кантор)
для будь-якого кардинального числа а.
Числа алеф Редагувати
- Кардинальне число множини всіх натуральних чисел (зокрема, і будь-якої зліченної множини) позначають через (читається «алеф-нуль»).
- Кардинальне число континуальних множин позначають c (якщо приймати континуум-гіпотезу, то ; останнє читається як «алеф-один»).
- Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають . Г. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
Гіпотеза континуума Редагувати
Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між (кардиналом множини натуральних чисел) та (кардиналом множини дійсних чисел), тобто .
Див. також Редагувати
Джерела Редагувати
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)