www.wikidata.uk-ua.nina.az

Натуральне число Натура льні чи сла числа що виникають природним чином при лічбі Це числа 1 2 3 4 Множину натуральних чи

Натуральне число

Натура́льні чи́сла — числа, що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, … Множину натуральних чисел прийнято позначати знаком

Натуральні числа можуть використовуватись для лічби (одне яблуко, два яблука, три яблука, …).

Існують два основних підходи до означення натуральних чисел:

  • числа, що використовуються при лічбі предметів (перший, другий, третій…) — підхід, загальноприйнятий у більшості країн світу; формалізованим різновидом цього підходу є аксіоматичне описання системи натуральних чисел за допомогою аксіом Пеано.
  • числа для позначення кількості предметів (один предмет, два предмети…).

Натуральні числа можна записувати за допомогою десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Множина натуральних чисел є нескінченною: для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше за нього.

Історія натуральних чисел

Поняття натурального числа, викликане потребою лічби предметів, виникло ще в доісторичні часи. Процес формування поняття натурального числа тривав протягом усієї історії людства. На найнижчому етапі первісного суспільства поняття абстрактного числа не існувало. У свідомості первісної людини ще не сформувалося те спільне, що об'єднує наприклад, «три людини» та «три озера». Аналіз мов первісних народностей показує, що для лічби предметів різного типу використовувалися різні словесні звороти. Слово «три» в контекстах «три людини», «три човни» передавалося по-різному. Такі іменовані числові ряди були дуже короткими і завершувалися неіндивідуалізованим поняттями «багато», які також були іменованими, тобто висловлювалися різними словами для різних типів об'єктів, такими, як «натовп», «стадо», «купа» тощо.

Спочатку числові терміни мали якісніший характер — відрізняли один, два та більшу кількість. Більші числа одержували додаванням. Наприклад, в австралійського племені ріки Муррей, 1 — енза, 2 — петчевал, 3 — петчевал-енза, 4 — петчевал-петчевал. Але навіть такі здібності людство здобуло після великого проміжку часу, в який користувалися лише з понять «один», «два» та «багато» (ще й досі збереглося плем'я, яке зупинилося на цьому етапові розвитку вмінь числового абстрагування).

Джерелом виникнення поняття абстрактного числа була лічба предметів, що базувалася на зіставленні предметам даної сукупності предметів певної сукупності, що мала роль еталону. У більшості народів першим таким еталоном були пальці («лічба на пальцях»), що безпосередньо підтверджується мовознавчим аналізом назв перших чисел. На цьому етапі число стає абстрактним, незалежним від якості об'єктів лічби, але разом з тим пов'язаним з природою сукупності-еталону. Розширення потреб лічби спонукало людей користуватися з інших еталонів лічби, наприклад, зарубок на паличці. Для фіксації порівняно великих чисел стала використовуватися нова ідея: позначення деякого певного числа (у більшості народів — десяти) новим знаком, наприклад, зарубкою на іншій паличці.

З розвитком писемності можливості відтворення чисел значно розширились. Спочатку числа стали позначати рисками на матеріалі, що слугував для запису (папірус, глиняні таблички тощо). Потім були введені інші знаки для великих чисел. Вавилонські клинописні позначення чисел, а також «римські цифри», що збереглися до наших днів, ясно свідчать саме про цей шлях формування позначень для чисел.

Великим прогресом було винайдення «цифр». Тепер стало можливим записати будь-яке число обмеженим набором символів. Наприклад, вавилоняни розвинули потужну позиційну систему, що базувалася на цифрах 1 та 10, але фактично її основою було число 60. Зручнішою була індійська позиційна система числення, що дозволяла записати будь-яке натуральне число за допомогою десяти знаків — цифр; вона згодом стала всесвітньо визнаною і досі залишається такою (хоча форма цифр дещо змінювалася; цифри цієї системи ми називаємо арабськими, оскільки система прийшла в Європу через арабів). Таким чином, паралельно з розвитком писемності, поняття натурального числа приймає все більш абстрактну форму, відокремлену від будь-якої конкретності поняття числа, відтворюваного як у формі слів в усній мові, так і в формі позначення спеціальними знаками в письмовій.

Важливим кроком у розвитку поняття натурального числа є усвідомлення нескінченності натурального ряду чисел — потенційної можливості його безмежного продовження. Чітке уявлення про нескінченність натурального ряду відображене в пам'ятниках античної математики (III століття до н.е.), у працях Евкліда й Архімеда. У «Началах» Евкліда встановлюється навіть нескінченність кількості простих чисел, а у книзі Архімеда «Псаміт» — принципи для побудови назв та позначень як завгодно великих чисел, зокрема більших за «число піщинок у світі».

Питання про обґрунтованість поняття натурального числа довгий час у науці не ставилося. Поняття натурального числа настільки звичне і просте, що не виникало потреби в його означенні в термінах будь-яких простіших понять. Лише в середині XIX століття, під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці з одного боку, і критичного перегляду основ математичного аналізу — з іншого, назріла необхідність обґрунтування поняття кількісного натурального числа.

Чітке означення поняття натурального числа на основі поняття множини було дано в 70-х роках XIX століття в роботах Георга Кантора. Спочатку він означує рівнопотужність множин. Потім число елементів однієї множини означається як те спільне, що має дана множина і будь-яка інша, рівнопотужна їй, незалежно від якісних особливостей елементів цих множин. Таке означення відображає суть натурального числа як результату лічби предметів.

Інше обґрунтування поняття натурального числа базується на аналізі відношення порядку слідування, яке може бути задано за допомогою аксіом. Побудована на цьому принципі система аксіом була сформульована Джузеппе Пеано.

Означення

Велика літера N із подвоєною лінією, часто використовується для позначення множини всіх натуральних чисел (див. Таблиця математичних символів).

Математики використовують символ N або ℕ для позначення множини всіх натуральних чисел. В старих текстах також іноді використовували символ J для позначення цієї множини. Ця множина є нескінченнозліченою: тобто вона є нескінченною і при тому зліченою за визначенням. Також говорять що, кардинальним числом цієї множини є Алеф-нуль (ℵ0).

Щоб задати однозначно чи включено в цю множину число 0 або ні, іноді в першому випадку додають нижній індекс (або верхній) "0" при більш формальному позначенні, а в другому випадку додають верхній індекс "*" або нижній підпис ">0":

Аксіоми Пеано

Формальне означення натуральних чисел сформулював італійський математик Джузеппе Пеано в 1889 році. Аксіоми Пеано базувалися на розробках Грассмана, хоча саме Пеано надав їм сучасного вигляду. Ці аксіоми дозволили формалізувати арифметику. Після їх введення з'явилася можливість доводити, наприклад, рівність , основні властивості натуральних чисел, а також формалізовано будувати системи цілих, раціональних, дійсних чисел.

Аксіоми Пеано:

Введемо функцію , котра зіставляє числу наступне за ним число (інакше кажучи, число, що слідує за ним).

  1. (одиниця є натуральним числом).
  2. Якщо , то (число, наступне за натуральним, також є натуральним).
  3. (одиниця не слідує за жодним натуральним числом).
  4. Якщо та то (натуральне число не може слідувати за двома різними натуральними числами).
  5. Аксіома індукції: Нехай деяке висловлювання, залежне від числа , істинне для (база індукції). І нехай для кожного натурального з істинності цього висловлювання для випливає його істинність для (індукційне припущення). Тоді це висловлювання істинне для всіх натуральних .

В оригіналі Джузеппе Пеано першим натуральним числом брав 0, а не 1. Для множини натуральних чисел у цьому «розширеному» сенсі, тобто , зазвичай використовують позначення або У деяких джерелах і зараз вважають це множиною натуральних чисел, але загальноприйнято вважати, що найменше натуральне число — це 1; натомість множину можна назвати множиною цілих невід'ємних чисел.

Теоретико-множинне означення

Згідно з теорією множин, усі об'єкти побудови будь-яких математичних систем можна трактувати як множини. Розвиваючи цю точку зору, натуральні числа можна означати, базуючися на множинах. У теоретико-множинному означенні натуральні числа включають і число 0.

Стандартне означення

У стандартному теоретико-множинному означенні використовується конструкція, запропонована Джоном фон Нейманом. Згідно з нею, натуральні числа ототожнюються з певними множинами, відповідно до таких двох правил:

Тут, як і вище, під ми розуміємо число, наступне відносно . Числа, задані таким чином, називаються ординальними.

Ось ординальні числа та відповідні їм натуральні числа:

Згідно з цим означенням, у множині, що відповідає числу , є рівно елементів (у наївному розумінні) і , якщо і тільки якщо множина, що відповідає числу , є підмножиною множини, що відповідає числу .

Інші означення

Хоча стандартна конструкція корисна, але вона не є єдиною можливою конструкцією. Наприклад:

Означимо правила так :

Тоді маємо

Або можна означити правила так :

Тоді маємо

Можливо, найстаріше означення натуральних чисел — означення, звичайно приписуване Фреге та Расселу, в якому кожне конкретне натуральне число означене як множина всіх множин з елементами. Це означення може здатися нечітким, але насправді воно може бути строго переформульовано таким чином:

Тоді 0 буде множиною всіх множин без елементів, буде множиною всіх множин з 1 елементом, буде множиною всіх множин з 2 елементами, і так далі.

Операції над натуральними числами

До арифметичних операцій над натуральними числами прийнято відносити такі операції:

  • Додавання: доданок + доданок = сума.
  • Множення: множник множник = добуток. Крім знака , для позначення множення використовується знак або відсутність знака (у випадку, коли це не спричинює двозначності запису).
  • Віднімання: зменшуване від'ємник = різниця. При цьому, щоб результат також був натуральним числом, зменшуване повинно бути більшим за від'ємник. За означенням, , якщо .
  • Ділення: ділене / дільник = частка. За означенням, , якщо . Ділення може позначатися також горизонтальною рискою (ділене зверху, дільник знизу) або двокрапкою. У багатьох випадках ділення виводить за межі множини натуральних чисел (див. Подільність). Тому запроваджується також інша операція.
  • Ділення з остачею: ділене / дільник = (частка, остача). За означенням, ділене = a, дільник = b, частка = q, остача = r, якщо , . Для натуральних чисел дільник має бути меншим за ділене. Така дія над натуральними числами завжди здійсненна й однозначна, хоча можливі значення для остачі — це натуральні числа та 0.

Операції додавання та множення є основними, а інші означаються через них, як описано вище; це характерно для будь-яких математичних структур з аналогічними операціями. Зазначимо також, що додавання та множення є замкненими операціями у множині натуральних чисел, оскільки вони завжди дають у результаті натуральне число (якщо були здійснені над натуральними числами); цього не можна сказати про віднімання та ділення.

Основні властивості

  1. Комутативність додавання:
  2. Комутативність множення:
  3. Асоціативність додавання:
  4. Асоціативність множення:
  5. Дистрибутивність множення відносно додавання:

Алгебраїчна структура

  • Додавання натуральних чисел утворює моноїд (напівгрупу з нейтральним елементом, а саме 0).
  • Множення утворює моноїд з нейтральним елементом 1.
  • За допомогою замикання відносно додавання-віднімання та множення-ділення утворюються групи цілих чисел та раціональних додатних чисел відповідно.

Див. також

Вікіпідручник має книгу на тему
Основні числові системи

Джерела

Примітки

  1. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. с. 25. ISBN 978-0-07-054235-8. 
  2. Weisstein, Eric W. Cardinal Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  3. Standard number sets and intervals. ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. с. 6. 


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Natura lni chi sla chisla sho vinikayut prirodnim chinom pri lichbi Ce chisla 1 2 3 4 Mnozhinu naturalnih chisel prijnyato poznachati znakom N displaystyle mathbb N Naturalni chisla mozhut vikoristovuvatis dlya lichbi odne yabluko dva yabluka tri yabluka Vidobrazhennya naturalnih cilih racionalnih dijsnih i kompleksnih chisel kolami Ejlera Isnuyut dva osnovnih pidhodi do oznachennya naturalnih chisel chisla sho vikoristovuyutsya pri lichbi predmetiv pershij drugij tretij pidhid zagalnoprijnyatij u bilshosti krayin svitu formalizovanim riznovidom cogo pidhodu ye aksiomatichne opisannya sistemi naturalnih chisel za dopomogoyu aksiom Peano chisla dlya poznachennya kilkosti predmetiv odin predmet dva predmeti Naturalni chisla mozhna zapisuvati za dopomogoyu desyati cifr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Mnozhina naturalnih chisel ye neskinchennoyu dlya bud yakogo naturalnogo chisla znajdetsya inshe naturalne chislo bilshe za nogo Zmist 1 Istoriya naturalnih chisel 2 Oznachennya 2 1 Aksiomi Peano 2 2 Teoretiko mnozhinne oznachennya 2 2 1 Standartne oznachennya 2 2 2 Inshi oznachennya 3 Operaciyi nad naturalnimi chislami 4 Osnovni vlastivosti 5 Algebrayichna struktura 6 Div takozh 7 Dzherela 8 PrimitkiIstoriya naturalnih chisel RedaguvatiPonyattya naturalnogo chisla viklikane potreboyu lichbi predmetiv viniklo she v doistorichni chasi Proces formuvannya ponyattya naturalnogo chisla trivav protyagom usiyeyi istoriyi lyudstva Na najnizhchomu etapi pervisnogo suspilstva ponyattya abstraktnogo chisla ne isnuvalo U svidomosti pervisnoyi lyudini she ne sformuvalosya te spilne sho ob yednuye napriklad tri lyudini ta tri ozera Analiz mov pervisnih narodnostej pokazuye sho dlya lichbi predmetiv riznogo tipu vikoristovuvalisya rizni slovesni zvoroti Slovo tri v kontekstah tri lyudini tri chovni peredavalosya po riznomu Taki imenovani chislovi ryadi buli duzhe korotkimi i zavershuvalisya neindividualizovanim ponyattyami bagato yaki takozh buli imenovanimi tobto vislovlyuvalisya riznimi slovami dlya riznih tipiv ob yektiv takimi yak natovp stado kupa tosho Spochatku chislovi termini mali yakisnishij harakter vidriznyali odin dva ta bilshu kilkist Bilshi chisla oderzhuvali dodavannyam Napriklad v avstralijskogo plemeni riki Murrej 1 enza 2 petcheval 3 petcheval enza 4 petcheval petcheval Ale navit taki zdibnosti lyudstvo zdobulo pislya velikogo promizhku chasu v yakij koristuvalisya lishe z ponyat odin dva ta bagato she j dosi zbereglosya plem ya yake zupinilosya na comu etapovi rozvitku vmin chislovogo abstraguvannya Dzherelom viniknennya ponyattya abstraktnogo chisla bula lichba predmetiv sho bazuvalasya na zistavlenni predmetam danoyi sukupnosti predmetiv pevnoyi sukupnosti sho mala rol etalonu U bilshosti narodiv pershim takim etalonom buli palci lichba na palcyah sho bezposeredno pidtverdzhuyetsya movoznavchim analizom nazv pershih chisel Na comu etapi chislo staye abstraktnim nezalezhnim vid yakosti ob yektiv lichbi ale razom z tim pov yazanim z prirodoyu sukupnosti etalonu Rozshirennya potreb lichbi sponukalo lyudej koristuvatisya z inshih etaloniv lichbi napriklad zarubok na palichci Dlya fiksaciyi porivnyano velikih chisel stala vikoristovuvatisya nova ideya poznachennya deyakogo pevnogo chisla u bilshosti narodiv desyati novim znakom napriklad zarubkoyu na inshij palichci Z rozvitkom pisemnosti mozhlivosti vidtvorennya chisel znachno rozshirilis Spochatku chisla stali poznachati riskami na materiali sho sluguvav dlya zapisu papirus glinyani tablichki tosho Potim buli vvedeni inshi znaki dlya velikih chisel Vavilonski klinopisni poznachennya chisel a takozh rimski cifri sho zbereglisya do nashih dniv yasno svidchat same pro cej shlyah formuvannya poznachen dlya chisel Velikim progresom bulo vinajdennya cifr Teper stalo mozhlivim zapisati bud yake chislo obmezhenim naborom simvoliv Napriklad vavilonyani rozvinuli potuzhnu pozicijnu sistemu sho bazuvalasya na cifrah 1 ta 10 ale faktichno yiyi osnovoyu bulo chislo 60 Zruchnishoyu bula indijska pozicijna sistema chislennya sho dozvolyala zapisati bud yake naturalne chislo za dopomogoyu desyati znakiv cifr vona zgodom stala vsesvitno viznanoyu i dosi zalishayetsya takoyu hocha forma cifr desho zminyuvalasya cifri ciyeyi sistemi mi nazivayemo arabskimi oskilki sistema prijshla v Yevropu cherez arabiv Takim chinom paralelno z rozvitkom pisemnosti ponyattya naturalnogo chisla prijmaye vse bilsh abstraktnu formu vidokremlenu vid bud yakoyi konkretnosti ponyattya chisla vidtvoryuvanogo yak u formi sliv v usnij movi tak i v formi poznachennya specialnimi znakami v pismovij Vazhlivim krokom u rozvitku ponyattya naturalnogo chisla ye usvidomlennya neskinchennosti naturalnogo ryadu chisel potencijnoyi mozhlivosti jogo bezmezhnogo prodovzhennya Chitke uyavlennya pro neskinchennist naturalnogo ryadu vidobrazhene v pam yatnikah antichnoyi matematiki III stolittya do n e u pracyah Evklida j Arhimeda U Nachalah Evklida vstanovlyuyetsya navit neskinchennist kilkosti prostih chisel a u knizi Arhimeda Psamit principi dlya pobudovi nazv ta poznachen yak zavgodno velikih chisel zokrema bilshih za chislo pishinok u sviti Pitannya pro obgruntovanist ponyattya naturalnogo chisla dovgij chas u nauci ne stavilosya Ponyattya naturalnogo chisla nastilki zvichne i proste sho ne vinikalo potrebi v jogo oznachenni v terminah bud yakih prostishih ponyat Lishe v seredini XIX stolittya pid vplivom rozvitku aksiomatichnogo metodu v matematici z odnogo boku i kritichnogo pereglyadu osnov matematichnogo analizu z inshogo nazrila neobhidnist obgruntuvannya ponyattya kilkisnogo naturalnogo chisla Chitke oznachennya ponyattya naturalnogo chisla na osnovi ponyattya mnozhini bulo dano v 70 h rokah XIX stolittya v robotah Georga Kantora Spochatku vin oznachuye rivnopotuzhnist mnozhin Potim chislo elementiv odniyeyi mnozhini oznachayetsya yak te spilne sho maye dana mnozhina i bud yaka insha rivnopotuzhna yij nezalezhno vid yakisnih osoblivostej elementiv cih mnozhin Take oznachennya vidobrazhaye sut naturalnogo chisla yak rezultatu lichbi predmetiv Inshe obgruntuvannya ponyattya naturalnogo chisla bazuyetsya na analizi vidnoshennya poryadku sliduvannya yake mozhe buti zadano za dopomogoyu aksiom Pobudovana na comu principi sistema aksiom bula sformulovana Dzhuzeppe Peano Oznachennya Redaguvati Velika litera N iz podvoyenoyu liniyeyu chasto vikoristovuyetsya dlya poznachennya mnozhini vsih naturalnih chisel div Tablicya matematichnih simvoliv Matematiki vikoristovuyut simvol N abo ℕ dlya poznachennya mnozhini vsih naturalnih chisel V starih tekstah takozh inodi vikoristovuvali simvol J dlya poznachennya ciyeyi mnozhini 1 Cya mnozhina ye neskinchennozlichenoyu tobto vona ye neskinchennoyu i pri tomu zlichenoyu za viznachennyam Takozh govoryat sho kardinalnim chislom ciyeyi mnozhini ye Alef nul ℵ0 2 Shob zadati odnoznachno chi vklyucheno v cyu mnozhinu chislo 0 abo ni inodi v pershomu vipadku dodayut nizhnij indeks abo verhnij 0 pri bilsh formalnomu poznachenni a v drugomu vipadku dodayut verhnij indeks abo nizhnij pidpis gt 0 3 ℕ0 ℕ0 0 1 2 ℕ ℕ ℕ1 ℕ gt 0 1 2 Aksiomi Peano Redaguvati Dokladnishe Aksiomi PeanoFormalne oznachennya naturalnih chisel sformulyuvav italijskij matematik Dzhuzeppe Peano v 1889 roci Aksiomi Peano bazuvalisya na rozrobkah Grassmana hocha same Peano nadav yim suchasnogo viglyadu Ci aksiomi dozvolili formalizuvati arifmetiku Pislya yih vvedennya z yavilasya mozhlivist dovoditi napriklad rivnist 2 2 4 displaystyle 2 cdot 2 4 osnovni vlastivosti naturalnih chisel a takozh formalizovano buduvati sistemi cilih racionalnih dijsnih chisel Aksiomi Peano Vvedemo funkciyu S x displaystyle S x kotra zistavlyaye chislu x x nastupne za nim chislo inakshe kazhuchi chislo sho sliduye za nim 1 N displaystyle 1 in mathbb N odinicya ye naturalnim chislom Yaksho a N displaystyle a in mathbb N to S a N displaystyle S a in mathbb N chislo nastupne za naturalnim takozh ye naturalnim a N S a 1 displaystyle not exists a in mathbb N S a 1 odinicya ne sliduye za zhodnim naturalnim chislom Yaksho S b a displaystyle S b a ta S c a displaystyle S c a to b c displaystyle b c naturalne chislo ne mozhe sliduvati za dvoma riznimi naturalnimi chislami Aksioma indukciyi Nehaj deyake vislovlyuvannya zalezhne vid chisla n n istinne dlya n 1 displaystyle n 1 baza indukciyi I nehaj dlya kozhnogo naturalnogo k displaystyle k z istinnosti cogo vislovlyuvannya dlya n k displaystyle n k viplivaye jogo istinnist dlya n S k displaystyle n S k indukcijne pripushennya Todi ce vislovlyuvannya istinne dlya vsih naturalnih n n V originali Dzhuzeppe Peano pershim naturalnim chislom brav 0 a ne 1 Dlya mnozhini naturalnih chisel u comu rozshirenomu sensi tobto 0 1 2 displaystyle 0 1 2 zazvichaj vikoristovuyut poznachennya N 0 displaystyle mathbb N 0 abo Z displaystyle mathbb Z U deyakih dzherelah i zaraz vvazhayut ce mnozhinoyu naturalnih chisel ale zagalnoprijnyato vvazhati sho najmenshe naturalne chislo ce 1 natomist mnozhinu N 0 displaystyle mathbb N 0 mozhna nazvati mnozhinoyu cilih nevid yemnih chisel Teoretiko mnozhinne oznachennya Redaguvati Zgidno z teoriyeyu mnozhin usi ob yekti pobudovi bud yakih matematichnih sistem mozhna traktuvati yak mnozhini Rozvivayuchi cyu tochku zoru naturalni chisla mozhna oznachati bazuyuchisya na mnozhinah U teoretiko mnozhinnomu oznachenni naturalni chisla vklyuchayut i chislo 0 Standartne oznachennya Redaguvati U standartnomu teoretiko mnozhinnomu oznachenni vikoristovuyetsya konstrukciya zaproponovana Dzhonom fon Nejmanom Zgidno z neyu naturalni chisla ototozhnyuyutsya z pevnimi mnozhinami vidpovidno do takih dvoh pravil 0 displaystyle 0 varnothing porozhnya mnozhina S n n n displaystyle S n n cup n Tut yak i vishe pid S n displaystyle S n mi rozumiyemo chislo nastupne vidnosno n displaystyle n Chisla zadani takim chinom nazivayutsya ordinalnimi Os ordinalni chisla ta vidpovidni yim naturalni chisla 0 displaystyle 0 varnothing 1 0 displaystyle 1 0 varnothing 2 0 1 displaystyle 2 0 1 varnothing varnothing 3 0 1 2 displaystyle 3 0 1 2 varnothing varnothing varnothing varnothing displaystyle mathbb n 1 0 1 n n n displaystyle n 1 0 1 n n cup n displaystyle mathbb Zgidno z cim oznachennyam u mnozhini sho vidpovidaye chislu n displaystyle n ye rivno n displaystyle n elementiv u nayivnomu rozuminni i n m displaystyle n leq m yaksho i tilki yaksho mnozhina sho vidpovidaye chislu n displaystyle n ye pidmnozhinoyu mnozhini sho vidpovidaye chislu m m Inshi oznachennya Redaguvati Hocha standartna konstrukciya korisna ale vona ne ye yedinoyu mozhlivoyu konstrukciyeyu Napriklad Oznachimo pravila tak 0 displaystyle 0 varnothing S n n displaystyle mathbb S n n Todi mayemo 0 displaystyle 0 varnothing 1 0 displaystyle 1 0 varnothing 2 1 displaystyle 2 1 varnothing displaystyle mathbb Abo mozhna oznachiti pravila tak 0 displaystyle 0 varnothing S n n n displaystyle S n n cup n Todi mayemo 0 displaystyle 0 varnothing 1 0 displaystyle 1 varnothing 0 varnothing varnothing 2 0 1 displaystyle 2 varnothing 0 1 varnothing varnothing varnothing varnothing displaystyle mathbb Mozhlivo najstarishe oznachennya naturalnih chisel oznachennya zvichajno pripisuvane Frege ta Rasselu v yakomu kozhne konkretne naturalne chislo n n oznachene yak mnozhina vsih mnozhin z n n elementami Ce oznachennya mozhe zdatisya nechitkim ale naspravdi vono mozhe buti strogo pereformulovano takim chinom 0 displaystyle 0 varnothing mnozhina vsih mnozhin bez elementiv z nulovoyu kilkistyu elementiv S A x y x A y x displaystyle S A x cup y mid x in A wedge y not in x dlya bud yakoyi mnozhini A Todi 0 bude mnozhinoyu vsih mnozhin bez elementiv 1 S 0 displaystyle 1 S 0 bude mnozhinoyu vsih mnozhin z 1 elementom 2 S 1 displaystyle 2 S 1 bude mnozhinoyu vsih mnozhin z 2 elementami i tak dali Operaciyi nad naturalnimi chislami RedaguvatiDo arifmetichnih operacij nad naturalnimi chislami prijnyato vidnositi taki operaciyi Dodavannya dodanok dodanok suma Mnozhennya mnozhnik displaystyle cdot mnozhnik dobutok Krim znaka displaystyle cdot dlya poznachennya mnozhennya vikoristovuyetsya znak displaystyle times abo vidsutnist znaka u vipadku koli ce ne sprichinyuye dvoznachnosti zapisu Vidnimannya zmenshuvane displaystyle vid yemnik riznicya Pri comu shob rezultat takozh buv naturalnim chislom zmenshuvane povinno buti bilshim za vid yemnik Za oznachennyam a b c displaystyle a b c yaksho a b c displaystyle a b c Dilennya dilene dilnik chastka Za oznachennyam a b c displaystyle a b c yaksho a b c displaystyle a bc Dilennya mozhe poznachatisya takozh gorizontalnoyu riskoyu dilene zverhu dilnik znizu abo dvokrapkoyu U bagatoh vipadkah dilennya vivodit za mezhi mnozhini naturalnih chisel div Podilnist Tomu zaprovadzhuyetsya takozh insha operaciya Dilennya z ostacheyu dilene dilnik chastka ostacha Za oznachennyam dilene a dilnik b chastka q ostacha r yaksho a b q r displaystyle a bq r 0 r lt b displaystyle 0 leq r lt b Dlya naturalnih chisel dilnik maye buti menshim za dilene Taka diya nad naturalnimi chislami zavzhdi zdijsnenna j odnoznachna hocha mozhlivi znachennya dlya ostachi ce naturalni chisla ta 0 Operaciyi dodavannya ta mnozhennya ye osnovnimi a inshi oznachayutsya cherez nih yak opisano vishe ce harakterno dlya bud yakih matematichnih struktur z analogichnimi operaciyami Zaznachimo takozh sho dodavannya ta mnozhennya ye zamknenimi operaciyami u mnozhini naturalnih chisel oskilki voni zavzhdi dayut u rezultati naturalne chislo yaksho buli zdijsneni nad naturalnimi chislami cogo ne mozhna skazati pro vidnimannya ta dilennya Osnovni vlastivosti RedaguvatiKomutativnist dodavannya a b b a displaystyle a b b a Komutativnist mnozhennya a b b a displaystyle ab ba Asociativnist dodavannya a b c a b c displaystyle a b c a b c Asociativnist mnozhennya a b c a b c displaystyle ab c a bc Distributivnist mnozhennya vidnosno dodavannya a b c a b a c b c a b a c a displaystyle begin cases a b c ab ac b c a ba ca end cases Algebrayichna struktura RedaguvatiDodavannya naturalnih chisel utvoryuye monoyid napivgrupu z nejtralnim elementom a same 0 Mnozhennya utvoryuye monoyid z nejtralnim elementom 1 Za dopomogoyu zamikannya vidnosno dodavannya vidnimannya ta mnozhennya dilennya utvoryuyutsya grupi cilih chisel Z displaystyle mathbb Z ta racionalnih dodatnih chisel Q displaystyle mathbb Q vidpovidno Div takozh RedaguvatiVikipidruchnik maye knigu na temu Osnovni chislovi sistemi Portal Matematika Vid yemne chislo 1 2 3 4 Dzherela RedaguvatiZavalo S T 1985 Kurs algebri Kiyiv Visha shkola s 503 ukr Bolshaya Sovetskaya Enciklopediya 3 e izd M Sov enciklopediya 1969 1978 Primitki Redaguvati Rudin W 1976 Principles of Mathematical Analysis New York McGraw Hill s 25 ISBN 978 0 07 054235 8 Weisstein Eric W Cardinal Number angl na sajti Wolfram MathWorld Standard number sets and intervals ISO 80000 2 2009 International Organization for Standardization s 6 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Naturalne chislo amp oldid 39615221