www.wikidata.uk-ua.nina.az

Позиційна система числення або Позиційна нотація система числення в якій значення кожного числового знака цифри в запису

Позиційна система числення

Позиційна система числення (або Позиційна нотація) — система числення, в якій значення кожного числового знака (цифри) в запису числа залежить від його позиції (розряду). Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу , , яке називається основою системи числення.

Винахід позиційної системи числення, заснованої на помісному значенні цифр, приписують шумерам і вавилонцям. Її було розвинуто індусами і вона отримала неоціненні наслідки для історії людської цивилізації.

До числа таких систем належить сучасна Десяткова система числення (з основою ), виникнення якої пов'язують із лічбою на пальцях. У середньовічній Європі вона з'явилася через італійських купців, які у свою чергу запозичили її у мусульман.

Класифікація позиційних систем числення

З метою ефективного використання систем числення в теорії і на практиці важливо їх класифікувати. У першу чергу розглянемо системи числення, які генерують числа однакової довжини.

Системи числення з рівною довжиною чисел належать до класу рівномірних кодів. Однакову довжину числа мають лише тоді, коли підмножини, які отримують в системах числення на кожному кроці розбиття вихідної множини, містять однакове число елементів.

Такі системи числення назвемо однорідними. Їх також ще називають природними, або степеневими. Як уже зазначалось, характерною ознакою таких систем є однаковість їх чисел за довжиною. Крім цього, другою не менш важливою особливістю цих систем є те, що вага розрядів в них змінюється згідно зі степеневим законом. До цих систем числення належать двійкова, десяткова, п'ятерична і безліч подібних інших. За їх основи беруть числа 2, 10, 5 і т. д.

Розроблення більш складних, ніж однорідні, позиційних систем числення почалося в основному в другій половині 20-го століття після того, як з'явилася цифрова обчислювальна техніка. Такі системи назвемо неоднорідними. Вони використовувались здебільшого при побудові спеціалізованих обчислювачів, систем зв'язку та керування, кодуючих та декодуючих пристроїв з метою підвищення їх ефективності.

Найпростішими неоднорідними системами числення є системи, в яких кількість елементів в усіх підмножинах, отриманих на попередньому кроці розбиття, буде однаковою. При цьому встановлюється функціональний зв'язок між номером кроку розбиття й числом підмножин у розбитті на цьому кроці.

Ваги цифр, які належать до одного розряду числа, у цьому випадку рівні між собою, однак вони на відміну від однорідних систем числення змінюються від розряду до розряду не за степеневим законом, як це має місце для однорідних систем числення, а за більш складним. Числа для неоднорідних систем числення з такими обмеженнями мають, як і для однорідних, рівну довжину. Прикладом таких систем числення є факторіальні, а в більш загальному випадку системи зі змішаною основою, чи поліадичні. На рис. 1.1 у вигляді блок-схеми наведена класифікація позиційних систем числення.

рис. 1.1


Таким чином, позиційні системи числення розподіляються на два великих класи — однорідні (з рівною довжиною чисел і основою в вигляді натурального числа) і неоднорідні (з рівною та нерівною довжиною чисел і більш складною основою, ніж натуральні числа). Однорідні системи числення відповідно до числа, яке взяте за їх основу, у свою чергу, поділяються на двійкові, трійкові, десяткові й т.д. Неоднорідні поділяються на системи зі змішаною основою, або поліадичні, і структурні — з числовою або функціональною основою. Останні, у свою чергу, поділяться на комбінаторні і табличні.

Всі позиційні системи числення без винятку можуть бути подані у вигляді дерев розбиття, вершини яких відображають кількість елементів у підмножинах, що розбиваються, а гілки — номери, що кодують підмножини, які виникають після розбиття. При цьому послідовності цих номерів утворюють числа позиційних систем числення. Номери в даному випадку є цифрами чисел.

Визначення

У позиційній системі числення з основою b число подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

Основа позиційної системи числення не обов'язково повинна бути натуральним числом, узгоджену систему числення можна створити на основі відємного цілого числа, або із ірраціональною базою (наприклад на основі золотого перерізу).

Симетричні позиційні системи числення

Такі системи числення відрізняються тим, що використовують цифри не із множини натуральних чисел , а із множини цілих чисел . Щоб цифри були цілими, потрібно, щоб b було непарним. У симетричних системах числення не вимагається додаткових позначень для знака числа. Крім цього, обчислення у симетричних системах зручні тим, що немає особливих правил округлення, яке зводиться до простого відкидання зайвих розрядів, що різко зменшує систематичні помилки обчислень.

Найчастіше використовується симетрична трійкова система числення із цифрами або . Вона застосовується у трійковій логіці і була технічно реалізована в обчислювальній машині «Сетунь».

Приклади

Наприклад, число «тисяча п'ятсот вісімдесят сім» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

А число «одна друга»:

Використовуючи позиційний принцип, ми можемо зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

У системі із основою число «одинадцять» буде виглядати так:

Числа «один» і «два» у симетричній системі з базою виглядають так:


Також поширені системи числення з основами:

Запис

Для запису чисел системи числення з основою до 36 включно як цифри використовують арабські цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) а потім букви латинського алфавіту (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При цьому, a = 10, b = 11 і т.д.

За одночасної роботи із кількома системами числення для їх розрізнення основи систем зазвичай вказують нижнім індексом, який записується у десятковій системі:

У деяких спеціальних галузях застосовуються особливі правила вказування основи. Наприклад, у програмуванні шістнадцяткова сиситема позначається:

  • у мові асемблера і записах загального роду, не прив'язаних до конкретної мови, буквою h (від hexadecimal) у кінці числа (синтаксис Intel) — 75h ();
  • у Паскалі знаком «$» на початку числа;
  • у Ci і багатьох інших мовах комбінацією 0x або 0X (від hexadecimal) на початку.

Властивості

Позиційна система числення має такі властивості:

  1. Основа системи числення у ній самій завжди записується як 10. Наприклад, у двійковій системі означає число .
  2. Для запису числа x у системі числення з основою b потрібно цифр, де — ціла частина числа.
  3. Порівняння чисел. Порівняємо два числа 516 і 561. Для цього зліва направо порівнюємо цифри, які стоять на однакових позиціях: 5 = 5 — результат порівняння не визначений; 1 < 6 — перше число менше незалежно від цифр, що залишились.
  4. Додавання чисел. Додамо 516 і 221. Для цього справа наліво додаємо цифри, що стоять на однакових позиціях:
    • 6 + 1 = 7
    • 1 + 2 = 3
    • 5 + 2 = 7
    • загалом — 737.

Таким самим чином можна додавати числа довільної довжини.

Перехід до іншої основи

Переведення довільної позиційної системи числення до десяткової

Якщо число у системі числення з основою b дорівнює

то для переведення його до десяткової системи обчислюють наступну суму:

або, більш наглядно:

або, нарешті, у вигляді схеми Горнера:

Приклад

Переведення із десяткової до довільної позиційної системи числення

Для переведення потрібно ділити число із залишком на основу системи числення допоки частка не стане меншою за основу.

Приклад

44 ділимо на 2; частка 22, залишок 0 22 ділимо на 2; частка 11, залишок 0 11 ділимо на 2; частка 5, залишок 1 5 ділимо на 2; частка 2, залишок 1 2 ділимо на 2; частка 1, залишок 0

Частка менша двох, ділення закінчено. Тепер записуємо останню частку від ділення і усі залишки, починаючи з останнього, зліва направо, отримаємо число .

Переведення із двійкової у вісімкову і шістнадцяткову системи і навпаки

Для цього типу операцій існує спрощений алгоритм.

Для вісімкової — розбиваємо числа на триплети, перетворюючи триплети згідно з таблицею 

000 0 100 4 001 1 101 5 010 2 110 6 011 3 111 7

Для шістнадцяткової — розбиваємо на квартети, перетворюючи згідно з таблицею 

0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E 0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Приклад 1

Перетворимо 1011002

Приклад 2

Перетворимо до двійкової системи

Див. також

Посилання

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (травень 2016)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pozicijna sistema chislennya abo Pozicijna notaciya sistema chislennya v yakij znachennya kozhnogo chislovogo znaka cifri v zapisu chisla zalezhit vid jogo poziciyi rozryadu Takim chinom poziciya cifri maye vagu u chisli Zdebilshogo vaga kozhnoyi poziciyi kratna deyakomu naturalnomu chislu b displaystyle b b gt 1 displaystyle b gt 1 yake nazivayetsya osnovoyu sistemi chislennya Vinahid pozicijnoyi sistemi chislennya zasnovanoyi na pomisnomu znachenni cifr pripisuyut shumeram i vaviloncyam Yiyi bulo rozvinuto indusami i vona otrimala neocinenni naslidki dlya istoriyi lyudskoyi civilizaciyi Do chisla takih sistem nalezhit suchasna Desyatkova sistema chislennya z osnovoyu b 10 displaystyle b 10 viniknennya yakoyi pov yazuyut iz lichboyu na palcyah U serednovichnij Yevropi vona z yavilasya cherez italijskih kupciv yaki u svoyu chergu zapozichili yiyi u musulman Zmist 1 Klasifikaciya pozicijnih sistem chislennya 2 Viznachennya 2 1 Simetrichni pozicijni sistemi chislennya 2 1 1 Prikladi 3 Zapis 4 Vlastivosti 5 Perehid do inshoyi osnovi 5 1 Perevedennya dovilnoyi pozicijnoyi sistemi chislennya do desyatkovoyi 5 1 1 Priklad 5 2 Perevedennya iz desyatkovoyi do dovilnoyi pozicijnoyi sistemi chislennya 5 2 1 Priklad 5 3 Perevedennya iz dvijkovoyi u visimkovu i shistnadcyatkovu sistemi i navpaki 5 3 1 Priklad 1 5 3 2 Priklad 2 6 Div takozh 7 PosilannyaKlasifikaciya pozicijnih sistem chislennya RedaguvatiZ metoyu efektivnogo vikoristannya sistem chislennya v teoriyi i na praktici vazhlivo yih klasifikuvati U pershu chergu rozglyanemo sistemi chislennya yaki generuyut chisla odnakovoyi dovzhini Sistemi chislennya z rivnoyu dovzhinoyu chisel nalezhat do klasu rivnomirnih kodiv Odnakovu dovzhinu chisla mayut lishe todi koli pidmnozhini yaki otrimuyut v sistemah chislennya na kozhnomu kroci rozbittya vihidnoyi mnozhini mistyat odnakove chislo elementiv Taki sistemi chislennya nazvemo odnoridnimi Yih takozh she nazivayut prirodnimi abo stepenevimi Yak uzhe zaznachalos harakternoyu oznakoyu takih sistem ye odnakovist yih chisel za dovzhinoyu Krim cogo drugoyu ne mensh vazhlivoyu osoblivistyu cih sistem ye te sho vaga rozryadiv v nih zminyuyetsya zgidno zi stepenevim zakonom Do cih sistem chislennya nalezhat dvijkova desyatkova p yaterichna i bezlich podibnih inshih Za yih osnovi berut chisla 2 10 5 i t d Rozroblennya bilsh skladnih nizh odnoridni pozicijnih sistem chislennya pochalosya v osnovnomu v drugij polovini 20 go stolittya pislya togo yak z yavilasya cifrova obchislyuvalna tehnika Taki sistemi nazvemo neodnoridnimi Voni vikoristovuvalis zdebilshogo pri pobudovi specializovanih obchislyuvachiv sistem zv yazku ta keruvannya koduyuchih ta dekoduyuchih pristroyiv z metoyu pidvishennya yih efektivnosti Najprostishimi neodnoridnimi sistemami chislennya ye sistemi v yakih kilkist elementiv v usih pidmnozhinah otrimanih na poperednomu kroci rozbittya bude odnakovoyu Pri comu vstanovlyuyetsya funkcionalnij zv yazok mizh nomerom kroku rozbittya j chislom pidmnozhin u rozbitti na comu kroci Vagi cifr yaki nalezhat do odnogo rozryadu chisla u comu vipadku rivni mizh soboyu odnak voni na vidminu vid odnoridnih sistem chislennya zminyuyutsya vid rozryadu do rozryadu ne za stepenevim zakonom yak ce maye misce dlya odnoridnih sistem chislennya a za bilsh skladnim Chisla dlya neodnoridnih sistem chislennya z takimi obmezhennyami mayut yak i dlya odnoridnih rivnu dovzhinu Prikladom takih sistem chislennya ye faktorialni a v bilsh zagalnomu vipadku sistemi zi zmishanoyu osnovoyu chi poliadichni Na ris 1 1 u viglyadi blok shemi navedena klasifikaciya pozicijnih sistem chislennya ris 1 1 Takim chinom pozicijni sistemi chislennya rozpodilyayutsya na dva velikih klasi odnoridni z rivnoyu dovzhinoyu chisel i osnovoyu v viglyadi naturalnogo chisla i neodnoridni z rivnoyu ta nerivnoyu dovzhinoyu chisel i bilsh skladnoyu osnovoyu nizh naturalni chisla Odnoridni sistemi chislennya vidpovidno do chisla yake vzyate za yih osnovu u svoyu chergu podilyayutsya na dvijkovi trijkovi desyatkovi j t d Neodnoridni podilyayutsya na sistemi zi zmishanoyu osnovoyu abo poliadichni i strukturni z chislovoyu abo funkcionalnoyu osnovoyu Ostanni u svoyu chergu podilyatsya na kombinatorni i tablichni Vsi pozicijni sistemi chislennya bez vinyatku mozhut buti podani u viglyadi derev rozbittya vershini yakih vidobrazhayut kilkist elementiv u pidmnozhinah sho rozbivayutsya a gilki nomeri sho koduyut pidmnozhini yaki vinikayut pislya rozbittya Pri comu poslidovnosti cih nomeriv utvoryuyut chisla pozicijnih sistem chislennya Nomeri v danomu vipadku ye ciframi chisel Viznachennya RedaguvatiU pozicijnij sistemi chislennya z osnovoyu b chislo podayut u viglyadi linijnoyi kombinaciyi stepeniv chisla b x k 0 n a k b k displaystyle x sum k 0 n a k b k de a k displaystyle a k i k displaystyle k cili 0 a k lt b displaystyle 0 leq a k lt b Osnova pozicijnoyi sistemi chislennya ne obov yazkovo povinna buti naturalnim chislom uzgodzhenu sistemu chislennya mozhna stvoriti na osnovi vidyemnogo cilogo chisla abo iz irracionalnoyu bazoyu napriklad na osnovi zolotogo pererizu Simetrichni pozicijni sistemi chislennya Redaguvati Taki sistemi chislennya vidriznyayutsya tim sho vikoristovuyut cifri ne iz mnozhini naturalnih chisel 0 b 1 displaystyle 0 ldots b 1 a iz mnozhini cilih chisel b 1 2 b 3 2 b 1 2 displaystyle frac b 1 2 frac b 3 2 ldots frac b 1 2 Shob cifri buli cilimi potribno shob b bulo neparnim U simetrichnih sistemah chislennya ne vimagayetsya dodatkovih poznachen dlya znaka chisla Krim cogo obchislennya u simetrichnih sistemah zruchni tim sho nemaye osoblivih pravil okruglennya yake zvoditsya do prostogo vidkidannya zajvih rozryadiv sho rizko zmenshuye sistematichni pomilki obchislen Najchastishe vikoristovuyetsya simetrichna trijkova sistema chislennya iz ciframi 1 0 1 displaystyle 1 0 1 abo 1 0 1 displaystyle bar 1 0 1 Vona zastosovuyetsya u trijkovij logici i bula tehnichno realizovana v obchislyuvalnij mashini Setun Prikladi Redaguvati Napriklad chislo tisyacha p yatsot visimdesyat sim predstavlyayetsya u desyatkovij sistemi chislennya u viglyadi 1587 1 10 3 5 10 2 8 10 1 7 displaystyle 1587 1 cdot 10 3 5 cdot 10 2 8 cdot 10 1 7 A chislo odna druga 0 5 0 10 0 5 10 1 displaystyle 0 5 0 cdot 10 0 5 cdot 10 1 Vikoristovuyuchi pozicijnij princip mi mozhemo zobraziti bud yake dijsne chislo za dopomogoyu usogo lish desyati cifr u yih riznih kombinaciyah U sistemi iz osnovoyu 10 displaystyle 10 chislo odinadcyat bude viglyadati tak 11 1 10 2 9 10 1 1 10 0 100 90 1 displaystyle 11 1 cdot 10 2 9 cdot 10 1 1 cdot 10 0 100 90 1 Chisla odin i dva u simetrichnij sistemi 1 0 1 displaystyle bar 1 0 1 z bazoyu ϕ 1 5 2 displaystyle phi 1 sqrt 5 2 viglyadayut tak 10 1 1 ϕ 1 1 ϕ 1 1 618 0 618 displaystyle 10 bar 1 1 cdot phi 1 bar 1 cdot phi 1 approx 1 618 0 618 100 1 1 ϕ 2 1 ϕ 1 2 618 0 618 displaystyle 100 bar 1 1 cdot phi 2 bar 1 cdot phi 1 approx 2 618 0 618 Takozh poshireni sistemi chislennya z osnovami 2 dvijkova u diskretnij matematici informatici programuvanni 8 visimkova u programuvanni 12 dvanadcyatkova mala shiroke zastosuvannya u davninu podekudi vikoristovuyetsya i nini 16 shistnadcyatkova poshirena u programuvanni a takozh dlya koduvannya shriftiv 60 shistdesyatkova dlya vimiru kutiv i zokrema dovgoti i shiroti Zapis RedaguvatiDlya zapisu chisel sistemi chislennya z osnovoyu do 36 vklyuchno yak cifri vikoristovuyut arabski cifri 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a potim bukvi latinskogo alfavitu a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z Pri comu a 10 b 11 i t d Za odnochasnoyi roboti iz kilkoma sistemami chislennya dlya yih rozriznennya osnovi sistem zazvichaj vkazuyut nizhnim indeksom yakij zapisuyetsya u desyatkovij sistemi 453 10 displaystyle 453 10 ce chislo 453 u desyatkovij sistemi chislennya 111000101 2 displaystyle 111000101 2 te zh chislo ale u dvijkovij sistemi 705 8 displaystyle 705 8 te zh chislo ale u visimkovij sistemi U deyakih specialnih galuzyah zastosovuyutsya osoblivi pravila vkazuvannya osnovi Napriklad u programuvanni shistnadcyatkova sisitema poznachayetsya u movi asemblera i zapisah zagalnogo rodu ne priv yazanih do konkretnoyi movi bukvoyu h vid hexadecimal u kinci chisla sintaksis Intel 75h 453 10 displaystyle 453 10 u Paskali znakom na pochatku chisla u Ci i bagatoh inshih movah kombinaciyeyu 0x abo 0X vid hexadecimal na pochatku Vlastivosti RedaguvatiPozicijna sistema chislennya maye taki vlastivosti Osnova sistemi chislennya u nij samij zavzhdi zapisuyetsya yak 10 Napriklad u dvijkovij sistemi 10 2 displaystyle 10 2 oznachaye chislo 2 10 displaystyle 2 10 Dlya zapisu chisla x u sistemi chislennya z osnovoyu b potribno log b x 1 displaystyle log b x 1 cifr de displaystyle cdot cila chastina chisla Porivnyannya chisel Porivnyayemo dva chisla 516 i 561 Dlya cogo zliva napravo porivnyuyemo cifri yaki stoyat na odnakovih poziciyah 5 5 rezultat porivnyannya ne viznachenij 1 lt 6 pershe chislo menshe nezalezhno vid cifr sho zalishilis Dodavannya chisel Dodamo 516 i 221 Dlya cogo sprava nalivo dodayemo cifri sho stoyat na odnakovih poziciyah 6 1 7 1 2 3 5 2 7 zagalom 737 Takim samim chinom mozhna dodavati chisla dovilnoyi dovzhini Perehid do inshoyi osnovi RedaguvatiPerevedennya dovilnoyi pozicijnoyi sistemi chislennya do desyatkovoyi Redaguvati Yaksho chislo u sistemi chislennya z osnovoyu b dorivnyuye a 1 a 2 a 3 a n displaystyle a 1 a 2 a 3 ldots a n to dlya perevedennya jogo do desyatkovoyi sistemi obchislyuyut nastupnu sumu i 1 n a i b n i displaystyle sum i 1 n a i cdot b n i abo bilsh naglyadno a 1 b n 1 a 2 b n 2 a n 1 b 1 a n b 0 displaystyle a 1 cdot b n 1 a 2 cdot b n 2 ldots a n 1 cdot b 1 a n cdot b 0 abo nareshti u viglyadi shemi Gornera a 1 b a 2 b a 3 b a n displaystyle ldots a 1 cdot b a 2 cdot b a 3 ldots cdot b a n Priklad Redaguvati 101100 2 displaystyle 101100 2 1 25 0 24 1 23 1 22 0 21 0 1 1 32 0 16 1 8 1 4 0 2 0 1 32 8 4 0 4410 dd Perevedennya iz desyatkovoyi do dovilnoyi pozicijnoyi sistemi chislennya Redaguvati Dlya perevedennya potribno diliti chislo iz zalishkom na osnovu sistemi chislennya dopoki chastka ne stane menshoyu za osnovu Priklad Redaguvati 44 10 displaystyle 44 10 perevedemo do dvijkovoyi sistemi44 dilimo na 2 chastka 22 zalishok 0 22 dilimo na 2 chastka 11 zalishok 0 11 dilimo na 2 chastka 5 zalishok 1 5 dilimo na 2 chastka 2 zalishok 1 2 dilimo na 2 chastka 1 zalishok 0 Chastka mensha dvoh dilennya zakincheno Teper zapisuyemo ostannyu chastku vid dilennya i usi zalishki pochinayuchi z ostannogo zliva napravo otrimayemo chislo 101100 2 displaystyle 101100 2 Perevedennya iz dvijkovoyi u visimkovu i shistnadcyatkovu sistemi i navpaki Redaguvati Dlya cogo tipu operacij isnuye sproshenij algoritm Dlya visimkovoyi rozbivayemo chisla na tripleti peretvoryuyuchi tripleti zgidno z tabliceyu 000 0 100 4 001 1 101 5 010 2 110 6 011 3 111 7 Dlya shistnadcyatkovoyi rozbivayemo na kvarteti peretvoryuyuchi zgidno z tabliceyu 0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E 0011 3 0111 7 1011 B 1111 F Priklad 1 Redaguvati Peretvorimo 1011002 u visimkovu 101 100 548 u shistnadcyatkovu 0010 1100 2C16Priklad 2 Redaguvati Peretvorimo do dvijkovoyi sistemi 768 111 110 3E16 0011 1110Div takozh RedaguvatiSistema chislennya Nepozicijni sistemi chislennya Nega pozicijna sistema chislennya Tablicya mnozhennyaPosilannya RedaguvatiSistema chislennya pozicijna Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno traven 2016 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pozicijna sistema chislennya amp oldid 29007197