www.wikidata.uk-ua.nina.az

Система числення Системою числення або нумерацією називається сукупність правил і знаків за допомогою яких можна відобра

Система числення

Системою числення, або нумерацією, називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід'ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування невід'ємних чисел 0, 1,… з деякої їх скінченної множини — діапазону Р за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв'язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв'язання зазначених задач і її використання на практиці.


Розрізняють такі типи систем числення:

Історія виникнення систем числення

Історично першими виникли непозиційні системи числення. Вони ґрунтуються на кількісному підході до визначення числа, який для кодування тих чи інших кількостей застосовував особливі знаки — числа. Кожному такому знаку відповідав кількісний еквівалент. Наприклад, у так званій римській нумерації знаку X відповідала кількість елементів множини, яка дорівнювала 10.

У подальшому такими знаками-числами користувалися також і для одержання інших чисел. Так, якщо перед знаком X ставилась вертикальна риска, то отримували знак IX, який означав, що від десяти треба відняти одиницю і результат буде дорівнювати 9. Знаки, подібні X, називаються вузловими. Вони широко використовувалися в первісних непозиційних системах числення. Слід ще раз зазначити, що серед цих знаків не було такого, який би відповідав нулю. Це свідчить про те, що нуль у той час ще не був сформований як число.

Кількість чисел, яку можна було одержати з допомогою непозиційного кодування, через його складність і відповідно велику кількість чисел, що потребували запам'ятовування, була обмежена кількома сотнями, і, крім того, щодо цих чисел досить важко було виконувати арифметичні й логічні операції. Тому в подальшому з розвитком науки виникла потреба в більш ефективних системах числення, які б мали прості правила кодування чисел, та легко виконували б щодо них арифметичні й логічні операції. Такі системи чисел були створені і отримали назву позиційних. Більш докладно ці системи числення будуть розглянуті нижче, тому що вони складають на сьогодні основу теорії систем числення взагалі.

Позиційна система

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу , , яке називається основою системи числення.

Наприклад, якщо b - натуральне число (), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

Змішана система

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, і кожне число представляється як лінійна комбінація:

Якщо для деякого , то змішана система збігається з -основною системою числення.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню секунд.

Система числення Фібоначчі

Представлення засновується на числах Фібоначчі:

Факторіальна система числення

Представлення використовує факторіал натуральних чисел:

Біноміальна система числення

Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:

Система числення майя

Майя використовували двадцяткову систему числення за одним винятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.

Непозиційна система

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій як цифри використовуються латинські букви:

Римська цифра Десяткове значення
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Застосування

У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвіркова та шісткова системи. У інформаційних технологіях застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.

Див. також


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Sistemoyu chislennya abo numeraciyeyu nazivayetsya sukupnist pravil i znakiv za dopomogoyu yakih mozhna vidobraziti koduvati bud yake nevid yemne chislo Do sistem chislennya visuvayutsya pevni vimogi sered yakih najbilsh vazhlivimi ye vimogi odnoznachnogo koduvannya nevid yemnih chisel 0 1 z deyakoyi yih skinchennoyi mnozhini diapazonu R za skinchenne chislo krokiv i mozhlivosti vikonannya shodo chisel arifmetichnih i logichnih operacij Krim togo sistemi chislennya rozv yazuyut zadachu numeraciyi tobto efektivnogo perehodu vid zobrazhen chisel do nomeriv yaki v danomu vipadku povinni mati minimalnu kilkist cifr Vid vdalogo chi nevdalogo viboru sistemi chislennya zalezhit efektivnist rozv yazannya zaznachenih zadach i yiyi vikoristannya na praktici Rozriznyayut taki tipi sistem chislennya pozicijni zmishani nepozicijniZmist 1 Istoriya viniknennya sistem chislennya 2 Pozicijna sistema 3 Zmishana sistema 3 1 Sistema chislennya Fibonachchi 3 2 Faktorialna sistema chislennya 3 3 Binomialna sistema chislennya 3 4 Sistema chislennya majya 4 Nepozicijna sistema 5 Zastosuvannya 6 Div takozhIstoriya viniknennya sistem chislennya RedaguvatiIstorichno pershimi vinikli nepozicijni sistemi chislennya Voni gruntuyutsya na kilkisnomu pidhodi do viznachennya chisla yakij dlya koduvannya tih chi inshih kilkostej zastosovuvav osoblivi znaki chisla Kozhnomu takomu znaku vidpovidav kilkisnij ekvivalent Napriklad u tak zvanij rimskij numeraciyi znaku X vidpovidala kilkist elementiv mnozhini yaka dorivnyuvala 10 U podalshomu takimi znakami chislami koristuvalisya takozh i dlya oderzhannya inshih chisel Tak yaksho pered znakom X stavilas vertikalna riska to otrimuvali znak IX yakij oznachav sho vid desyati treba vidnyati odinicyu i rezultat bude dorivnyuvati 9 Znaki podibni X nazivayutsya vuzlovimi Voni shiroko vikoristovuvalisya v pervisnih nepozicijnih sistemah chislennya Slid she raz zaznachiti sho sered cih znakiv ne bulo takogo yakij bi vidpovidav nulyu Ce svidchit pro te sho nul u toj chas she ne buv sformovanij yak chislo Kilkist chisel yaku mozhna bulo oderzhati z dopomogoyu nepozicijnogo koduvannya cherez jogo skladnist i vidpovidno veliku kilkist chisel sho potrebuvali zapam yatovuvannya bula obmezhena kilkoma sotnyami i krim togo shodo cih chisel dosit vazhko bulo vikonuvati arifmetichni j logichni operaciyi Tomu v podalshomu z rozvitkom nauki vinikla potreba v bilsh efektivnih sistemah chislennya yaki b mali prosti pravila koduvannya chisel ta legko vikonuvali b shodo nih arifmetichni j logichni operaciyi Taki sistemi chisel buli stvoreni i otrimali nazvu pozicijnih Bilsh dokladno ci sistemi chislennya budut rozglyanuti nizhche tomu sho voni skladayut na sogodni osnovu teoriyi sistem chislennya vzagali Pozicijna sistema RedaguvatiDokladnishe Pozicijni sistemi chislennyaU pozicijnih sistemah chislennya odna i ta zh cifra chislovij znak u zapisi chisla nabuvaye riznih znachen zalezhno vid svoyeyi poziciyi Takim chinom poziciya cifri maye vagu u chisli Zdebilshogo vaga kozhnoyi poziciyi kratna deyakomu naturalnomu chislu b displaystyle b b gt 1 displaystyle b gt 1 yake nazivayetsya osnovoyu sistemi chislennya Napriklad yaksho b naturalne chislo b gt 1 displaystyle b gt 1 to dlya predstavlennya chisla x u sistemi chislennya z osnovoyu b jogo podayut u viglyadi linijnoyi kombinaciyi stepeniv chisla b x k 0 n a k b k displaystyle x sum k 0 n a k b k de a k displaystyle a k cili 0 a k lt b displaystyle 0 leq a k lt b Inshimi slovami osnova ce kilkist simvoliv sho vikoristovuyutsya pri zapisuvanni chisel PrikladNapriklad chislo dvisti chotiri predstavlyayetsya u desyatkovij sistemi chislennya u viglyadi 204 2 10 2 0 10 1 4 10 0 displaystyle 204 2 cdot 10 2 0 cdot 10 1 4 cdot 10 0 Vikoristovuyuchi pozicijnij princip mozhna zobraziti bud yake dijsne chislo za dopomogoyu usogo lish desyati cifr u yih riznih kombinaciyah Zmishana sistema RedaguvatiZmishana sistema chislennya ye uzagalnennyam sistemi chislennya z osnovoyu b displaystyle b i yiyi chasto vidnosyat do pozicijnih sistem chislennya Osnovoyu zmishanoyi sistemi ye poslidovnist chisel sho zrostaye b k k 0 displaystyle b k k 0 infty i kozhne chislo x displaystyle x predstavlyayetsya yak linijna kombinaciya x k 0 n a k b k displaystyle x sum k 0 n a k b k de na koeficiyenti a k displaystyle a k cifri nakladayutsya deyaki obmezhennya Yaksho b k b k displaystyle b k b k dlya deyakogo b displaystyle b to zmishana sistema zbigayetsya z b displaystyle b osnovnoyu sistemoyu chislennya Najvidomishim prikladom zmishanoyi sistemi chislennya ye predstavlennya chasu u viglyadi kilkosti dib godin hvilin i sekund Pri comu velichina d dniv h godin m hvilin s sekund vidpovidaye znachennyu d 24 60 60 h 60 60 m 60 s displaystyle d cdot 24 cdot 60 cdot 60 h cdot 60 cdot 60 m cdot 60 s sekund Sistema chislennya Fibonachchi Redaguvati Dokladnishe Sistema chislennya FibonachchiPredstavlennya zasnovuyetsya na chislah Fibonachchi x k 0 n f k F k displaystyle x sum k 0 n f k F k de F k displaystyle F k chisla Fibonachchi f k 0 1 displaystyle f k in 0 1 pri comu u zapisi f n f n 1 f 0 displaystyle f n f n 1 dots f 0 ne zustrichayutsya dvi odinici pidryad Faktorialna sistema chislennya Redaguvati Predstavlennya vikoristovuye faktorial naturalnih chisel x k 1 n d k k displaystyle x sum k 1 n d k k de 0 d k k displaystyle 0 leq d k leq k Binomialna sistema chislennya Redaguvati Predstavlennya vikoristovuye binomialni koeficiyenti x k 1 n c k k displaystyle x sum k 1 n c k choose k de 0 c 1 lt c 2 lt lt c n displaystyle 0 leq c 1 lt c 2 lt dots lt c n Sistema chislennya majya Redaguvati Majya vikoristovuvali dvadcyatkovu sistemu chislennya za odnim vinyatkom u drugomu rozryadi bulo ne 20 a 18 stupeniv tobto pislya chisla 17 19 vidrazu jshlo chislo 1 0 0 Ce bulo zrobleno dlya polegshennya rozrahunkiv kalendarnogo ciklu oskilki 1 0 0 dorivnyuvalo 360 sho priblizno dorivnyuye kilkosti dniv u sonyachnomu roci Nepozicijna sistema RedaguvatiDokladnishe Nepozicijni sistemi chislennyaU nepozicijnih sistemah chislennya velichina yaku poznachaye cifra ne zalezhit vid poziciyi yiyi u chisli Pri comu sistema mozhe nakladati obmezhennya na poziciyi cifr napriklad shob voni buli roztashovani po spadannyu chi zgrupovani za znachennyam Prote ce ne ye principovoyu umovoyu dlya rozuminnya zapisanih takimi sistemami chisel Tipovim prikladom nepozicijnoyi sistemi chislennya ye rimska sistema chislennya v yakij yak cifri vikoristovuyutsya latinski bukvi Rimska cifra Desyatkove znachennyaI 1V 5X 10L 50C 100D 500M 1000Napriklad VII 5 1 1 7 Tut simvoli V i I oznachayut 5 i 1 vidpovidno nezalezhno vid miscya yih u chisli Zastosuvannya RedaguvatiU numizmatici osoblivo veliku vagu mayut desyatkova sistema dvanadcyatkova duodecimalna chetvirkova ta shistkova sistemi U informacijnih tehnologiyah zastosovuyutsya dvijkova desyatkova visimkova ta shistnadcyatkova sistemi Div takozh RedaguvatiPozicijni sistemi chislennya Nepozicijni sistemi chislennya Nega pozicijna sistema chislennya Yegipetska sistema chislennya Arabska sistema chislennya Staroslov yanska sistema chislennya Rimska sistema chislennya Dvijkova sistema chislennya Chetvirkova sistema chislennya P yatirkova sistema chislennya Visimkova sistema chislennya Desyatkova sistema chislennya Shistnadcyatkova sistema chislennya Chislova sistema zalishkiv Sistema chislennya Fibonachchi Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Sistema chislennya amp oldid 38625659