www.wikidata.uk-ua.nina.az

Десяткова система числення це позиційна система числення із основою 10 кожне число в якій записується за допомогою 10 ти

Десяткова система числення

Десяткова система числення — це позиційна система числення із основою 10, кожне число в якій записується за допомогою 10-ти символів, цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Запис числа формується за загальним принципом: на n-й позиції (справа наліво від 0) стоїть цифра, що відповідає кількості n-х степенів десяти в цьому числі.

Наприклад: 123456 = 1·105 + 2·104 + 3·103 + 4·102 + 5·101 + 6·100

Дробова частина числа формується за таким самим принципом, тільки позиція цифри в дробовій частині відраховується від коми зліва направо починаючи з 1 і береться зі знаком «-».

Наприклад: 123,456 = 1·102 + 2·101 + 3·100 + 4·10−1 + 5·10−2 + 6·10−3

Походження

Дві руки мають десять пальців — ймовірна причина існування десяткового числення.

Серед систем числення багатьох стародавніх цивілізацій для подання чисел використовували число десять і його степені, ймовірно саме тому, що на руках людей є десять пальців, а люди починали рахувати за допомогою пальців. Прикладом таких є вірменська, брахмі[en], грецька, гебрайська[en], римська і китайська системи числення. У цих системах важко подати дуже великі числа, і лише найкращі математики могли ділити і множити великі числа. Ці труднощі повністю вирішено із появою індо-арабської системи числення для описання цілих чисел. Цю систему розширили до можливості задавати не тільки цілі числа, а й десяткові дроби.

Визначення

Один десятковий розряд у десятковій системі числення іноді називають декадою. У цифровій електроніці одному десятковому розряду десяткової системи числення відповідає один десятковий тригер.

Ціле число x у десятковій системі числення подається у вигляді скінченної лінійної комбінації степенів числа 10:

Зазвичай для ненульового числа x вимагають, щоб старша цифра у десятковому поданні x була також ненульовою. Наприклад, число сто три подається в десятковій системі числення у вигляді:

За допомогою n позицій у десятковій системі числення можна записати цілі числа від 0 до , тобто, всього різних чисел.

Дробові числа записуються у вигляді рядка цифр з роздільником «десяткова кома», званого десятковим дробом:

де n — число розрядів цілої частини числа, m — число розрядів дробової частини числа.

Десяткові дроби

Десяткові дроби це числа, подані десятковими цифрами, які є раціональними числами, що задаються у вигляді дробу, знаменником якого є степені десяти. Наприклад, числа задають дроби 810, 1489100, 24100000. Тобто у загальному випадку, десяткове число із n цифрами після розділювача задає дріб із знаменником 10n, чисельником якого є ціле число, що отримується видаленням коми.

Двійково-десяткове кодування

У двійкових комп'ютерах застосовують двійково-десяткове кодування десяткових цифр, при цьому для однієї двійкової-десяткової цифри відводиться чотири двійкових розряди (двійкова тетрада). Двійково-десяткові числа вимагають більшої кількості бітів для свого зберігання. Так, чотири двійкових розряди мають 16 станів, і при двійково-десятковому кодуванні 6 з 16 станів двійкової тетради не використовуються.

Таблиця додавання в десятковій системі числення

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Таблиця множення в десятковій системі

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Історія

Десяткова непозиційна система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр (від 1 до 1 000 000) виникла в другій половині III тисячоліття до н. е. в Стародавньому Єгипті (єгипетська система числення).

В іншій великій цивілізації — вавилонській з її шістдесятковою системою — за дві тисячі років до н. е. всередині шістдесяткових розрядів використовувалася позиційна десяткова система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр. Єгипетська десяткова система вплинула на аналогічну систему в перших європейських системах письма, таких як критські ієрогліфи, лінійне письмо А і лінійне письмо Б.

Найдавніший відомий запис позиційної десяткової системи виявлено в Індії в 595 р. Нуль тоді застосовували не тільки в Індії, але й у Китаї. У цих старовинних системах для запису однакового числа використовувалися символи, поруч з якими додатково позначали, в якому розряді вони стоять. Потім перестали позначати розряди, але число все одно можна було прочитати, оскільки у кожного розряду є своя позиція. А якщо позиція порожня, її потрібно позначити нулем. У пізніх вавилонських текстах такий знак став з'являтися, але в кінці числа його не ставили. Лише в Індії нуль остаточно зайняв своє місце, цей запис поширився потім по всьому світу.

Індійська система числення прийшла спочатку в арабські країни, потім і в Західну Європу. Про неї розповів середньоазійський математик Аль-Хорезмі. Прості й зручні правила додавання і віднімання чисел, записаних у позиційній системі, зробили його особливо популярним. А оскільки праця Аль-Хорезмі написана арабською, то за індійською нумерацією в Європі закріпилося неправильна назва — «арабська» (арабські цифри).

Див. також

Примітки

  1. . Encyclopedia of Mathematics. Архів оригіналу за 22 жовтня 2018. Процитовано 18 червня 2013. 

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Desyatkova sistema chislennya ce pozicijna sistema chislennya iz osnovoyu 10 kozhne chislo v yakij zapisuyetsya za dopomogoyu 10 ti simvoliv cifr 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zapis chisla formuyetsya za zagalnim principom na n j poziciyi sprava nalivo vid 0 stoyit cifra sho vidpovidaye kilkosti n h stepeniv desyati v comu chisli Napriklad 123456 1 105 2 104 3 103 4 102 5 101 6 100Drobova chastina chisla formuyetsya za takim samim principom tilki poziciya cifri v drobovij chastini vidrahovuyetsya vid komi zliva napravo pochinayuchi z 1 i beretsya zi znakom Napriklad 123 456 1 102 2 101 3 100 4 10 1 5 10 2 6 10 3 Zmist 1 Pohodzhennya 2 Viznachennya 3 Desyatkovi drobi 3 1 Dvijkovo desyatkove koduvannya 3 2 Tablicya dodavannya v desyatkovij sistemi chislennya 3 3 Tablicya mnozhennya v desyatkovij sistemi 4 Istoriya 5 Div takozh 6 Primitki 7 PosilannyaPohodzhennya Redaguvati Dvi ruki mayut desyat palciv jmovirna prichina isnuvannya desyatkovogo chislennya Sered sistem chislennya bagatoh starodavnih civilizacij dlya podannya chisel vikoristovuvali chislo desyat i jogo stepeni jmovirno same tomu sho na rukah lyudej ye desyat palciv a lyudi pochinali rahuvati za dopomogoyu palciv Prikladom takih ye virmenska brahmi en grecka gebrajska en rimska i kitajska sistemi chislennya U cih sistemah vazhko podati duzhe veliki chisla i lishe najkrashi matematiki mogli diliti i mnozhiti veliki chisla Ci trudnoshi povnistyu virisheno iz poyavoyu indo arabskoyi sistemi chislennya dlya opisannya cilih chisel Cyu sistemu rozshirili do mozhlivosti zadavati ne tilki cili chisla a j desyatkovi drobi Viznachennya RedaguvatiOdin desyatkovij rozryad u desyatkovij sistemi chislennya inodi nazivayut dekadoyu U cifrovij elektronici odnomu desyatkovomu rozryadu desyatkovoyi sistemi chislennya vidpovidaye odin desyatkovij triger Cile chislo x u desyatkovij sistemi chislennya podayetsya u viglyadi skinchennoyi linijnoyi kombinaciyi stepeniv chisla 10 x k 0 n 1 a k 10 k displaystyle x pm sum k 0 n 1 a k 10 k de a k displaystyle a k ce cili chisla zvani ciframi sho zadovolnyayut nerivnosti 0 a k 9 displaystyle 0 leq a k leq 9 Zazvichaj dlya nenulovogo chisla x vimagayut shob starsha cifra a n 1 displaystyle a n 1 u desyatkovomu podanni x bula takozh nenulovoyu Napriklad chislo sto tri podayetsya v desyatkovij sistemi chislennya u viglyadi 103 1 10 2 0 10 1 3 10 0 displaystyle 103 1 cdot 10 2 0 cdot 10 1 3 cdot 10 0 Za dopomogoyu n pozicij u desyatkovij sistemi chislennya mozhna zapisati cili chisla vid 0 do 10 n 1 displaystyle 10 n 1 tobto vsogo 10 n 10 n riznih chisel Drobovi chisla zapisuyutsya u viglyadi ryadka cifr z rozdilnikom desyatkova koma zvanogo desyatkovim drobom a n 1 a n 2 a 1 a 0 a 1 a 2 a m 1 a m k m n 1 a k 10 k displaystyle a n 1 a n 2 dots a 1 a 0 a 1 a 2 dots a m 1 a m sum k m n 1 a k 10 k de n chislo rozryadiv ciloyi chastini chisla m chislo rozryadiv drobovoyi chastini chisla Desyatkovi drobi RedaguvatiDesyatkovi drobi ce chisla podani desyatkovimi ciframi yaki ye racionalnimi chislami sho zadayutsya u viglyadi drobu znamennikom yakogo ye stepeni desyati 1 Napriklad chisla 0 8 14 89 0 00024 displaystyle 0 8 14 89 0 00024 zadayut drobi 8 10 1489 100 24 100000 Tobto u zagalnomu vipadku desyatkove chislo iz n ciframi pislya rozdilyuvacha zadaye drib iz znamennikom 10n chiselnikom yakogo ye cile chislo sho otrimuyetsya vidalennyam komi Dvijkovo desyatkove koduvannya Redaguvati U dvijkovih komp yuterah zastosovuyut dvijkovo desyatkove koduvannya desyatkovih cifr pri comu dlya odniyeyi dvijkovoyi desyatkovoyi cifri vidvoditsya chotiri dvijkovih rozryadi dvijkova tetrada Dvijkovo desyatkovi chisla vimagayut bilshoyi kilkosti bitiv dlya svogo zberigannya Tak chotiri dvijkovih rozryadi mayut 16 staniv i pri dvijkovo desyatkovomu koduvanni 6 z 16 staniv dvijkovoyi tetradi ne vikoristovuyutsya Tablicya dodavannya v desyatkovij sistemi chislennya Redaguvati 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 145 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 167 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 178 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 189 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1910 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Tablicya mnozhennya v desyatkovij sistemi Redaguvati 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 9010 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Istoriya RedaguvatiDesyatkova nepozicijna sistema chislennya z odinichnim koduvannyam desyatkovih cifr vid 1 do 1 000 000 vinikla v drugij polovini III tisyacholittya do n e v Starodavnomu Yegipti yegipetska sistema chislennya V inshij velikij civilizaciyi vavilonskij z yiyi shistdesyatkovoyu sistemoyu za dvi tisyachi rokiv do n e vseredini shistdesyatkovih rozryadiv vikoristovuvalasya pozicijna desyatkova sistema chislennya z odinichnim koduvannyam desyatkovih cifr Yegipetska desyatkova sistema vplinula na analogichnu sistemu v pershih yevropejskih sistemah pisma takih yak kritski iyeroglifi linijne pismo A i linijne pismo B Najdavnishij vidomij zapis pozicijnoyi desyatkovoyi sistemi viyavleno v Indiyi v 595 r Nul todi zastosovuvali ne tilki v Indiyi ale j u Kitayi U cih starovinnih sistemah dlya zapisu odnakovogo chisla vikoristovuvalisya simvoli poruch z yakimi dodatkovo poznachali v yakomu rozryadi voni stoyat Potim perestali poznachati rozryadi ale chislo vse odno mozhna bulo prochitati oskilki u kozhnogo rozryadu ye svoya poziciya A yaksho poziciya porozhnya yiyi potribno poznachiti nulem U piznih vavilonskih tekstah takij znak stav z yavlyatisya ale v kinci chisla jogo ne stavili Lishe v Indiyi nul ostatochno zajnyav svoye misce cej zapis poshirivsya potim po vsomu svitu Indijska sistema chislennya prijshla spochatku v arabski krayini potim i v Zahidnu Yevropu Pro neyi rozpoviv serednoazijskij matematik Al Horezmi Prosti j zruchni pravila dodavannya i vidnimannya chisel zapisanih u pozicijnij sistemi zrobili jogo osoblivo populyarnim A oskilki pracya Al Horezmi napisana arabskoyu to za indijskoyu numeraciyeyu v Yevropi zakripilosya nepravilna nazva arabska arabski cifri Div takozh RedaguvatiSistema chislennya Arabska sistema cifr Prefiksi odinic vimiryuvannyaPrimitki Redaguvati Decimal Fraction Encyclopedia of Mathematics Arhiv originalu za 22 zhovtnya 2018 Procitovano 18 chervnya 2013 Posilannya RedaguvatiSistema chislennya desyatkova Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Desyatkova sistema chislennya amp oldid 36177765