www.wikidata.uk-ua.nina.az

Раціональне число Раціональні числа в математиці множина раціональних чисел визначається як множина нескоротних дробів і

Раціональне число

Раціональні числа — в математиці множина раціональних чисел визначається як множина нескоротних дробів із цілим чисельником і натуральним знаменником:

Раціональне число
Досліджується в rational number theoryd
Формула
Позначення у формулі , , , і
Протилежно Ірраціональні числа
 Раціональне число у Вікісховищі
Відображення натуральних, цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел
колами Ейлера

або як множина розв'язків рівняння

тобто n — натуральне число, m — ціле число.

Множина раціональних чисел є підмножиною алгебраїчних та дійсних чисел.

Термінологія

Формальне означення

Можна дати формальне означення раціональних чисел як множини класів еквівалентності пар за відношенням еквівалентності

При цьому операції додавання й множення визначаються так:

Пов'язані

Правильним зветься дріб, в якого модуль чисельника менший за модуль знаменника.

Дріб, який не є правильним, зветься неправильним.

Наприклад, дроби , та  є правильними, а , та  є неправильними.

Будь-яке ціле число (крім нуля) можна подати в вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.

Число 0 є правильним дробом .

Дріб, записаний як ціле число й правильний дріб, зветься мішаним дробом й розглядається як сума цього числа та дробу.

Наприклад, .

У строгій математичній літературі запис у вигляді змішаного дробу переважно не використовується через подібність позначення змішаного дробу з позначенням добутку цілого числа з дробом.

Властивості

Основні властивості

Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.

  1. Впорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел та існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох відношень: «», «» або «». Це правило зветься правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємні числа та зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа та ; два недодатні числа та зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа и ; якщо ж невід'ємне, а  — від'ємне, то .
  2. Операція додавання. Для будь-яких раціональних чисел та існує правило додавання, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число . При цьому число зветься сумою чисел та й позначається , а процес знаходження такого числа зветься додаванням. Правило додавання має такий вигляд: .
  3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел та існує правило множення, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число . При цьому число зветься добутком чисел та й позначається , а процес знаходження такого числа зветься множенням. Правило множення має такий вигляд: .
  4. Транзитивність відношення порядку. Для будь-якої трійки раціональних чисел , та якщо менше та менше , то менше , а якщо дорівнює й дорівнює , то дорівнює .
  5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
  6. Асоціативність додавання. Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
  7. Існування нуля. Існує раціональне число 0 (нуль), яке не змінює будь-яке інше раціональне число при додаванні.
  8. Існування протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне протилежне раціональне число, при додаванні до якого утворюється 0.
  9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.
  10. Асоціативність множення. Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.
  11. Існування одиниці. Існує раціональне число 1, яке не змінює будь-яке інше раціональне число при множенні.
  12. Існування обернених чисел. Будь-яке раціональне число, що не дорівнює нулю, має відповідне обернене раціональне число, множення на яке дає 1.
  13. Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:
  14. Зв'язок відношення порядку з операцією додавання. До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.
  15. Зв'язок відношення порядку з операцією множення. Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатне раціональне число.
  16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число , можна взяти стільки одиниць, що їхня сума буде більшою за .

Додаткові властивості

Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкта. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:

  • Друге відношення порядку «>» також транзитивне.
  • Добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.
  • Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.
  • Множина раціональних чисел є полем відносно операцій додавання та множення дробів.
  • Кожне раціональне число є алгебраїчним.

Топологічні властивості

Підпростір евклідового простору має такі властивості:

Зліченність

Нумерація раціональних чисел

Зліченна множина — в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Легко довести, що множина раціональних чисел зліченна. Для цього достатньо привести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює бієкцію між множинами раціональних і натуральних чисел. Ілюстрація зображує один з варіантів цього алгоритму. Існують і інші способи занумерувати раціональні числа. Наприклад для цього можна використати ряд Фарея, дерево Калкіна — Вілфа або дерево Штерна — Броко.

Див. також

Виноски

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 30 — 31. — ISBN 5-482-00445-7.

Джерела

Вікіпідручник має книгу на тему
Основні числові системи
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Racionalni chisla v matematici mnozhina racionalnih chisel viznachayetsya yak mnozhina neskorotnih drobiv iz cilim chiselnikom i naturalnim znamennikom Racionalne chisloDoslidzhuyetsya vrational number theorydFormulaa b Q a Z b N displaystyle frac a b in mathbb Q Leftrightarrow a in mathbb Z b in mathbb N Poznachennya u formuliQ displaystyle mathbb Q Z displaystyle mathbb Z N displaystyle mathbb N a a i b displaystyle b ProtilezhnoIrracionalni chisla Racionalne chislo u VikishovishiVidobrazhennya naturalnih cilih racionalnih dijsnih i kompleksnih chisel kolami Ejlera Q m n m Z n N displaystyle mathbb Q left frac m n m in mathbb Z n in mathbb N right abo yak mnozhina rozv yazkiv rivnyannya n x m n N m Z displaystyle nx m quad n in mathbb N quad m in mathbb Z tobto n naturalne chislo m cile chislo Mnozhina racionalnih chisel ye pidmnozhinoyu algebrayichnih ta dijsnih chisel Zmist 1 Terminologiya 1 1 Formalne oznachennya 1 2 Pov yazani 2 Vlastivosti 2 1 Osnovni vlastivosti 2 2 Dodatkovi vlastivosti 2 3 Topologichni vlastivosti 3 Zlichennist 4 Div takozh 5 Vinoski 6 DzherelaTerminologiya RedaguvatiFormalne oznachennya Redaguvati Mozhna dati formalne oznachennya racionalnih chisel yak mnozhini klasiv ekvivalentnosti par m n m Z n N displaystyle left m n mid m in mathbb Z n in mathbb N right za vidnoshennyam ekvivalentnosti m n m n m n m n displaystyle m n sim m n iff m cdot n m cdot n Pri comu operaciyi dodavannya j mnozhennya viznachayutsya tak m 1 n 1 m 2 n 2 m 1 n 2 m 2 n 1 n 1 n 2 displaystyle left m 1 n 1 right left m 2 n 2 right left m 1 cdot n 2 m 2 cdot n 1 n 1 cdot n 2 right m 1 n 1 m 2 n 2 m 1 m 2 n 1 n 2 displaystyle left m 1 n 1 right cdot left m 2 n 2 right left m 1 cdot m 2 n 1 cdot n 2 right Pov yazani Redaguvati Pravilnim zvetsya drib v yakogo modul chiselnika menshij za modul znamennika Drib yakij ne ye pravilnim zvetsya nepravilnim Napriklad drobi 3 5 displaystyle frac 3 5 7 8 displaystyle frac 7 8 ta 1 2 displaystyle frac 1 2 ye pravilnimi a 8 3 displaystyle frac 8 3 9 5 displaystyle frac 9 5 ta 2 1 displaystyle frac 2 1 ye nepravilnimi Bud yake cile chislo krim nulya mozhna podati v viglyadi nepravilnogo drobu zi znamennikom 1 Chislo 0 ye pravilnim drobom 0 1 displaystyle frac 0 1 Drib zapisanij yak cile chislo j pravilnij drib zvetsya mishanim drobom j rozglyadayetsya yak suma cogo chisla ta drobu Napriklad 2 3 7 2 3 7 14 7 3 7 17 7 displaystyle 2 frac 3 7 2 frac 3 7 frac 14 7 frac 3 7 frac 17 7 U strogij matematichnij literaturi zapis u viglyadi zmishanogo drobu perevazhno ne vikoristovuyetsya cherez podibnist poznachennya zmishanogo drobu z poznachennyam dobutku cilogo chisla z drobom Vlastivosti RedaguvatiOsnovni vlastivosti Redaguvati Dlya racionalnih chisel vikonuyutsya shistnadcyat osnovnih vlastivostej yaki mozhna otrimati z vlastivostej cilih chisel 1 Vporyadkovanist Dlya bud yakih racionalnih chisel a a ta b displaystyle b isnuye pravilo yake dozvolyaye odnoznachno identifikuvati mizh nimi odne j tilki odne z troh vidnoshen lt displaystyle lt gt displaystyle gt abo displaystyle Ce pravilo zvetsya pravilom vporyadkuvannya i formulyuyetsya tak dva nevid yemni chisla a m a n a displaystyle a frac m a n a ta b m b n b displaystyle b frac m b n b zv yazani tim zhe vidnoshennyam sho j dva cili chisla m a n b displaystyle m a cdot n b ta m b n a displaystyle m b cdot n a dva nedodatni chisla a a ta b displaystyle b zv yazani tim zhe vidnoshennyam sho j dva nevid yemni chisla b displaystyle left b right i a displaystyle left a right yaksho zh a a nevid yemne a b displaystyle b vid yemne to a gt b displaystyle a gt b a b Q a lt b a gt b a b displaystyle forall a b in mathbb Q left a lt b lor a gt b lor a b right Dodavannya drobiv Operaciya dodavannya Dlya bud yakih racionalnih chisel a a ta b displaystyle b isnuye pravilo dodavannya yake stavit yim u vidpovidnist pevne racionalne chislo c c Pri comu chislo c c zvetsya sumoyu chisel a a ta b displaystyle b j poznachayetsya a b displaystyle left a b right a proces znahodzhennya takogo chisla zvetsya dodavannyam Pravilo dodavannya maye takij viglyad m a n a m b n b m a n b m b n a n a n b displaystyle frac m a n a frac m b n b frac m a cdot n b m b cdot n a n a cdot n b a b Q a b Q displaystyle forall a b in mathbb Q exists left a b right in mathbb Q Operaciya mnozhennya Dlya bud yakih racionalnih chisel a a ta b displaystyle b isnuye pravilo mnozhennya yake stavit yim u vidpovidnist pevne racionalne chislo c c Pri comu chislo c c zvetsya dobutkom chisel a a ta b displaystyle b j poznachayetsya a b displaystyle left a cdot b right a proces znahodzhennya takogo chisla zvetsya mnozhennyam Pravilo mnozhennya maye takij viglyad m a n a m b n b m a m b n a n b displaystyle frac m a n a cdot frac m b n b frac m a cdot m b n a cdot n b a b Q a b Q displaystyle forall a b in mathbb Q exists left a cdot b right in mathbb Q Tranzitivnist vidnoshennya poryadku Dlya bud yakoyi trijki racionalnih chisel a a b displaystyle b ta c c yaksho a a menshe b displaystyle b ta b displaystyle b menshe c c to a a menshe c c a yaksho a a dorivnyuye b displaystyle b j b displaystyle b dorivnyuye c c to a a dorivnyuye c c a b c Q a lt b b lt c a lt c a b b c a c displaystyle forall a b c in mathbb Q left a lt b land b lt c Rightarrow a lt c right land left a b land b c Rightarrow a c right Komutativnist dodavannya Vid zmini misc racionalnih dodankiv suma ne zminyuyetsya a b Q a b b a displaystyle forall a b in mathbb Q a b b a Asociativnist dodavannya Poryadok dodavannya troh racionalnih chisel ne vplivaye na rezultat a b c Q a b c a b c displaystyle forall a b c in mathbb Q left a b right c a left b c right Isnuvannya nulya Isnuye racionalne chislo 0 nul yake ne zminyuye bud yake inshe racionalne chislo pri dodavanni 0 Q a Q a 0 a displaystyle exists 0 in mathbb Q forall a in mathbb Q a 0 a Isnuvannya protilezhnih chisel Bud yake racionalne chislo maye vidpovidne protilezhne racionalne chislo pri dodavanni do yakogo utvoryuyetsya 0 a Q a Q a a 0 displaystyle forall a in mathbb Q exists left a right in mathbb Q a left a right 0 Komutativnist mnozhennya Vid zmini misc racionalnih mnozhnikiv dobutok ne zminyuyetsya a b Q a b b a displaystyle forall a b in mathbb Q a cdot b b cdot a Asociativnist mnozhennya Poryadok mnozhennya troh racionalnih chisel ne vplivaye na rezultat a b c Q a b c a b c displaystyle forall a b c in mathbb Q left a cdot b right cdot c a cdot left b cdot c right Isnuvannya odinici Isnuye racionalne chislo 1 yake ne zminyuye bud yake inshe racionalne chislo pri mnozhenni 1 Q a Q a 1 a displaystyle exists 1 in mathbb Q forall a in mathbb Q a cdot 1 a Isnuvannya obernenih chisel Bud yake racionalne chislo sho ne dorivnyuye nulyu maye vidpovidne obernene racionalne chislo mnozhennya na yake daye 1 a Q a 1 Q a a 1 1 displaystyle forall a in mathbb Q exists a 1 in mathbb Q a cdot a 1 1 Distributivnist mnozhennya vidnosno dodavannya Operaciya mnozhennya uzgodzhena z operaciyeyu dodavannya za dopomogoyu rozpodilnogo zakonu a b c Q a b c a c b c displaystyle forall a b c in mathbb Q left a b right cdot c a cdot c b cdot c Zv yazok vidnoshennya poryadku z operaciyeyu dodavannya Do livoyi j pravoyi chastin racionalnoyi nerivnosti mozhna dodavati odne j te zh racionalne chislo a b c Q a lt b a c lt b c displaystyle forall a b c in mathbb Q a lt b Rightarrow a c lt b c Zv yazok vidnoshennya poryadku z operaciyeyu mnozhennya Livu j pravu chastini racionalnoyi nerivnosti mozhna mnozhiti na odne j te zh dodatne racionalne chislo a b c Q c gt 0 a lt b a c lt b c displaystyle forall a b c in mathbb Q c gt 0 land a lt b Rightarrow a cdot c lt b cdot c Aksioma Arhimeda Yakim bi ne bulo racionalne chislo a a mozhna vzyati stilki odinic sho yihnya suma bude bilshoyu za a a a Q n N k 1 n 1 gt a displaystyle forall a in mathbb Q exists n in mathbb N sum k 1 n 1 gt a Dodatkovi vlastivosti Redaguvati Reshta vlastivostej racionalnih chisel ne vhodyat do osnovnih bo voni ne opirayutsya na vlastivosti cilih chisel a mozhut buti dovedeni z vikoristannyam osnovnih vlastivostej chi za oznachennyam pevnogo matematichnogo ob yekta Takih vlastivostej duzhe bagato os deyaki z nih Druge vidnoshennya poryadku gt takozh tranzitivne a b c Q a gt b b gt c a gt c displaystyle forall a b c in mathbb Q a gt b land b gt c Rightarrow a gt c Dobutok bud yakogo racionalnogo chisla na nul dorivnyuye nulyu a Q a 0 0 displaystyle forall a in mathbb Q a cdot 0 0 Racionalni nerivnosti odnogo znaku mozhna pochlenno dodavati a b c d Q a gt b c gt d a c gt b d displaystyle forall a b c d in mathbb Q a gt b land c gt d Rightarrow a c gt b d Mnozhina racionalnih chisel Q mathbb Q ye polem vidnosno operacij dodavannya ta mnozhennya drobiv Q displaystyle left mathbb Q cdot right pole Kozhne racionalne chislo ye algebrayichnim Q A displaystyle mathbb Q subset mathbb A Topologichni vlastivosti Redaguvati Pidprostir Q mathbb Q evklidovogo prostoru R displaystyle mathbb R maye taki vlastivosti Q mathbb Q ye Fs mnozhinoyu ale ne ye Gd mnozhinoyu v R displaystyle mathbb R Evklidova metrika peretvoryuye Q mathbb Q na metrichnij prostir yakij ye cilkom normalnim ta parakompaktnim Q mathbb Q yak zlichenne ob yednannya odnotochkovih mnozhin ye prostorom pershoyi kategoriyi Q mathbb Q separabelnij Q mathbb Q zadovolnyaye drugu aksiomu zlichenosti Q mathbb Q ne lokalno kompaktnij i ne s lokalno kompaktnij Q mathbb Q s kompaktnij Q mathbb Q cilkom vidokremlenij Q mathbb Q shilnij u sobi i ne rozsiyanij Q mathbb Q nulvimirnij Peretin 0 1 Q displaystyle 0 1 cap mathbb Q cilkom obmezhenij ale ne kompaktnij Zlichennist Redaguvati Numeraciya racionalnih chiselZlichenna mnozhina v teoriyi mnozhin taka neskinchenna mnozhina elementi yakoyi mozhna zanumeruvati naturalnimi chislami Legko dovesti sho mnozhina racionalnih chisel zlichenna Dlya cogo dostatno privesti algoritm yakij numeruye racionalni chisla tobto vstanovlyuye biyekciyu mizh mnozhinami racionalnih i naturalnih chisel Ilyustraciya zobrazhuye odin z variantiv cogo algoritmu Isnuyut i inshi sposobi zanumeruvati racionalni chisla Napriklad dlya cogo mozhna vikoristati ryad Fareya derevo Kalkina Vilfa abo derevo Shterna Broko Div takozh RedaguvatiDrib Racionalnij viraz Dijsni chisla Irracionalni chisla Shilnij poryadokVinoski Redaguvati V A Ilin V A Sadovnichij Bl H Sendov Glava 2 Veshestvennye chisla Matematicheskij analiz Pod red A N Tihonova 3 e izd pererab i dop M Prospekt 2006 T 1 S 30 31 ISBN 5 482 00445 7 Dzherela RedaguvatiVikipidruchnik maye knigu na temu Osnovni chislovi sistemiAleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Racionalne chislo amp oldid 36466498