Відношення — математична структура, що формально визначає властивості різних об'єктів і їхні взаємозв'язки. Поширеними прикладами відношень у математиці є рівність (=), подільність, подібність, паралельність і багато інших.
Поняття відношення як підмножини декартового добутку формалізовано в теорії множин і набуло широкого поширення в мові математики у всіх її гілках. Теоретико-множинний погляд на відношення характеризує його з точки зору обсягу — якими комбінаціями елементів воно наповнене; змістовний підхід розглядається в математичній логіці, де відношення — пропозиційна функція, тобто вираз з невизначеними змінними, підстановка конкретних значень для яких робить його істинним або хибним. Важливу роль відношення відіграють в універсальній алгебрі, де базовий об'єкт вивчення розділу — множина з довільним набором операцій та відношень. Одне з найяскравіших застосувань техніки математичних відношень в прикладах — реляційні системи керування базами даних, методологічно засновані на формальній алгебрі відношень.
Формальні означення і позначення
-місним (-арним) відношенням , що задане на множинах , називається підмножина декартового добутку цих множин: . Факт зв'язку елементів відношенням позначається або .
Факт зв'язку об'єктів і бінарним відношенням зазвичай позначають за допомогою інфіксного запису: . Одномісні (унарні) відношення відповідають властивостям або атрибутам, як правило, для таких випадків термінологія відношень не використовується. Іноді використовуються тримісні відношення (тернарні), чотиримісні відношення (кватернарні); про відношення невизначено високої арності говорять як про «мультиарні», «багатомісні».
Універсальне відношення — це відношення, що зв'язує усі елементи заданих множин, тобто, таке, що збігається з декартовим добутком: . Нуль-відношення — відношення, що не зв'язує жодні елементи, тобто порожня множина: .
Функціональне відношення — відношення, що утворює функцію: є функціональним, якщо виконання та має наслідком (це забезпечує єдиність значення функції).
Унарне відношення
При n=1 відношення R⊆M називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a∈M має ознаку R, якщо a∈R і R⊆M.
Бінарне відношення
Докладніше дивись статтю Бінарне відношення
Широко вживаними в математиці та прикладних науках є двомісні або бінарні відношення (тобто відношення з n=2)
Якщо елементи a, b∈M знаходяться в бінарному відношенні R (тобто визначена впорядкована пара (a, b)∈R), то це часто записують у вигляді aRb. Слід зауважити також, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме — як відповідності між однаковими множинами.
Приклади бінарних відношень на множині натуральних чисел N:
- R1 — відношення ≤ («менше або дорівнює»), тоді 4 R1 19, 5 R1 15 і т. д. для будь-якого m ∈N
- R2 — відношення «ділиться на», тоді 4 R2 2, 49 R2 7, m R2 1 для будь-якого m∈N
- R3 — відношення «є взаємно простими», тоді 15 R3 38, 366 R3 3121, 1001 R3 3612
- R4 — відношення «складаються з однакових цифр», тоді 127 R4 4721, 230 R4 4302, 3231 R4 43213311
Див. також
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
- Відношення // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.