www.wikidata.uk-ua.nina.az

Математичний об єкт це абстрактний об єкт який виникає в математиці Це поняття вивчається у філософії математики У матем

Математичний об'єкт

Математичний об'єкт — це абстрактний об'єкт, який виникає в математиці. Це поняття вивчається у філософії математики.

У математичній практиці об'єктом є все, що було (або могло б бути) формально визначеним, і з допомогою чого можна робити дедуктивні міркування та математичні доведення. Зазвичай зустрічаються математичні об'єкти, що включають:

Комбінаторика (галузь математики) має такі об'єкти, як:

Теорія множин (галузь математики) має такі об'єкти, як:

Геометрія (галузь математики) має такі об'єкти, як:

Теорія графів (галузь математики) має такі об'єкти, як:

Топологія (галузь математики) має такі об'єкти, як:

Лінійна алгебра (галузь математики) має такі об'єкти, як:

Абстрактна алгебра (галузь математики) має такі об'єкти, як:

Категорії — це одночасно будинки для математичних об'єктів та математичні об'єкти самі по собі. У теорії доведення докази та теореми також є математичними об'єктами.

Онтологічний статус математичних об'єктів був і є предметом багатьох досліджень і дискусій філософів математики.

Підхід Кантора

Один з поглядів, що виник на рубежі 20 століття у роботі Кантора, полягає в тому, що всі математичні об'єкти можуть бути визначенні як множини. Множина {0,1} є відносно зрозумілим прикладом. На перший погляд група Z2 цілих чисел за модулем 2 також є множиною з двома елементами. Однак вона не може бути просто множиною {0,1}, бо ніяк не згадується додаткова структура, яка приписана до Z2 з операціями додавання та обернення за модулем 2: наприклад, як ми можемо сказати, яке з чисел 0 або 1 є нульовим елементом? Щоб організувати цю групу як множину, її спочатку можна закодувати як четвірку ({0,1}, +, −, 0), яка, в свою чергу, може бути закодована, використовуючи одну з домовленостей, наприклад, таку, що множина, яка представляє цю четвірку, пов'язана з кодуванням операцій + та − та константи 0 як множин.

Множини можуть включати впорядковані позначення конкретних об'єктів та операцій, що застосовуються до них, із зазначенням групи, абелевої групи, кільця, поля чи іншого математичного об'єкта. Ці типи математичних об'єктів зазвичай вивчаються в абстрактній алгебрі.

Засадничі парадокси

Якщо ж метою математичної онтології вважається внутрішня узгодженість математики, то більш важливо, щоб математичні об'єкти були визначені певним чином (наприклад, як множини), незалежно від фактичного застосування, щоб розкрити сутність їх парадоксів. Таке баченням основ математики, традиційно надає вищий пріоритет парадоксу, ніж вірне зображення деталей математичної практики, як обґрунтування визначення математичних об'єктів, що вони повинні бути множинами.

Значну частину напруженості, створеної цим фундаментальним ототожненням математичних об'єктів з множинами, можна зняти без надмірної шкоди цілям основ, якщо допустити існування двох видів об'єктів у математичному всесвіті: множини та відношення. Та не вимагати, щоб один з них розглядався лише як екземпляр іншого. Вони складають основу теорії моделей як області дискурсу[en] логіки предикатів. З цього погляду математичні об'єкти — це сутності, що задовольняють аксіомам формальної теорії, вираженим мовою логіки предикатів.

Теорія категорій

Один з варіантів такого підходу замінює відношення з операціями, основами універсальної алгебри. У цьому варіанті аксіоми часто приймають форму рівнянь або наслідків між рівняннями.

Більш абстрактним варіантом є теорія категорій, яка відокремлює множини як об'єкти, а операції над ними як морфізми між цими об'єктами. На цьому рівні абстракції математичні об'єкти зводяться до простих вершин графу, ребра якого у вигляді морфізмів абстрагують способи перетворення цих об'єктів та структуру яких закодовано у законі композиції для морфізмів. Категорії можуть виникати як моделі деякої аксіоматичної теорії та гомоморфізмів між ними (у такому випадку вони зазвичай конкретні, тобто забезпечені унівалентним забутливим функтором у категорію Set або, загалом, до відповідного топосу), або вони можуть бути побудовані з інших більш примітивних категорії, або вони можуть бути вивчені як абстрактні об'єкти самі по собі не залежно від їх походження.

Способи визначення

У сучасній математиці прийняті наступні домовленості:

  1. При визначенні об'єкта задаються його назву і перелік властивостей (зазвичай у вигляді списку аксіом).
  2. Будь-який математичний об'єкт, властивості якого несуперечливі, вважається допустимим і існуючим.

Походження математичних об'єктів може бути різним.

Див. також

Примітки

  1. Burgess, John, and Rosen, Gideon, 1997. A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic Reconstrual of Mathematics. Oxford University Press. ISBN 0198236158

Посилання

Література

  • Бурбаки Н. Основные структуры анализа [ 25 жовтня 2019 у Wayback Machine.]. Книга 1. Теория множеств. М.: Мир, 1965, стр. 317—325.
  • Каганов М. И., Любарский Г. Я. Абстракция в математике и физике. — М., 2005. — 351 с.
  • Клайн М.[en]. . — М., 1984. — 446 с.
  • Azzouni, J., 1994. Metaphysical Myths, Mathematical Practice. Cambridge University Press.
  • Burgess, John, and Rosen, Gideon, 1997. A Subject with No Object. Oxford Univ. Press.
  • Davis, Philip and Reuben Hersh, 1999 [1981]. The Mathematical Experience. Mariner Books: 156-62.
  • Gold, Bonnie, and Simons, Roger A., 2011. Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy [ 5 грудня 2021 у Wayback Machine.]. Mathematical Association of America.
  • Hersh, Reuben, 1997. What is Mathematics, Really? Oxford University Press.
  • Sfard, A., 2000, "Symbolizing mathematical reality into being, Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other, " in Cobb, P., et al., Symbolizing and communicating in mathematics classrooms: Perspectives on discourse, tools and instructional design. Lawrence Erlbaum.
  • Stewart Shapiro, 2000. Thinking about mathematics: The philosophy of mathematics. Oxford University Press.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Matematichnij ob yekt ce abstraktnij ob yekt yakij vinikaye v matematici Ce ponyattya vivchayetsya u filosofiyi matematiki U matematichnij praktici ob yektom ye vse sho bulo abo moglo b buti formalno viznachenim i z dopomogoyu chogo mozhna robiti deduktivni mirkuvannya ta matematichni dovedennya Zazvichaj zustrichayutsya matematichni ob yekti sho vklyuchayut chisla cili chisla cilochiselni rozbittya abo virazi en Kombinatorika galuz matematiki maye taki ob yekti yak perestanovki bezladi kombinaciyi Teoriya mnozhin galuz matematiki maye taki ob yekti yak mnozhina rozbittya mnozhin funkciyi ta vidnoshennya Geometriya galuz matematiki maye taki ob yekti yak tochki pryami vidrizki bagatokutniki trikutniki kvadrati p yatikutniki shestikutniki kola elipsi paraboli giperboli Mnogogranniki tetraedri kubi oktaedri dodekaedri ikosaedri sferi elipsoyidi paraboloyidi giperboloyidi cilindri konusi Teoriya grafiv galuz matematiki maye taki ob yekti yak grafi derevo vershina rebraTopologiya galuz matematiki maye taki ob yekti yak topologichni prostori ta mnogovidi Linijna algebra galuz matematiki maye taki ob yekti yak skalyari vektori matrici tenzori Abstraktna algebra galuz matematiki maye taki ob yekti yak grupi kilcya moduli polya vektorni prostori teoretichno grupovi gratki ta teoretichno poryadkovi gratki Kategoriyi ce odnochasno budinki dlya matematichnih ob yektiv ta matematichni ob yekti sami po sobi U teoriyi dovedennya dokazi ta teoremi takozh ye matematichnimi ob yektami Ontologichnij status matematichnih ob yektiv buv i ye predmetom bagatoh doslidzhen i diskusij filosofiv matematiki 1 Zmist 1 Pidhid Kantora 2 Zasadnichi paradoksi 3 Teoriya kategorij 4 Sposobi viznachennya 5 Div takozh 6 Primitki 7 Posilannya 8 LiteraturaPidhid Kantora RedaguvatiOdin z poglyadiv sho vinik na rubezhi 20 stolittya u roboti Kantora polyagaye v tomu sho vsi matematichni ob yekti mozhut buti viznachenni yak mnozhini Mnozhina 0 1 ye vidnosno zrozumilim prikladom Na pershij poglyad grupa Z2 cilih chisel za modulem 2 takozh ye mnozhinoyu z dvoma elementami Odnak vona ne mozhe buti prosto mnozhinoyu 0 1 bo niyak ne zgaduyetsya dodatkova struktura yaka pripisana do Z2 z operaciyami dodavannya ta obernennya za modulem 2 napriklad yak mi mozhemo skazati yake z chisel 0 abo 1 ye nulovim elementom Shob organizuvati cyu grupu yak mnozhinu yiyi spochatku mozhna zakoduvati yak chetvirku 0 1 0 yaka v svoyu chergu mozhe buti zakodovana vikoristovuyuchi odnu z domovlenostej napriklad taku sho mnozhina yaka predstavlyaye cyu chetvirku pov yazana z koduvannyam operacij ta ta konstanti 0 yak mnozhin Mnozhini mozhut vklyuchati vporyadkovani poznachennya konkretnih ob yektiv ta operacij sho zastosovuyutsya do nih iz zaznachennyam grupi abelevoyi grupi kilcya polya chi inshogo matematichnogo ob yekta Ci tipi matematichnih ob yektiv zazvichaj vivchayutsya v abstraktnij algebri Zasadnichi paradoksi RedaguvatiYaksho zh metoyu matematichnoyi ontologiyi vvazhayetsya vnutrishnya uzgodzhenist matematiki to bilsh vazhlivo shob matematichni ob yekti buli viznacheni pevnim chinom napriklad yak mnozhini nezalezhno vid faktichnogo zastosuvannya shob rozkriti sutnist yih paradoksiv Take bachennyam osnov matematiki tradicijno nadaye vishij prioritet paradoksu nizh virne zobrazhennya detalej matematichnoyi praktiki yak obgruntuvannya viznachennya matematichnih ob yektiv sho voni povinni buti mnozhinami Znachnu chastinu napruzhenosti stvorenoyi cim fundamentalnim ototozhnennyam matematichnih ob yektiv z mnozhinami mozhna znyati bez nadmirnoyi shkodi cilyam osnov yaksho dopustiti isnuvannya dvoh vidiv ob yektiv u matematichnomu vsesviti mnozhini ta vidnoshennya Ta ne vimagati shob odin z nih rozglyadavsya lishe yak ekzemplyar inshogo Voni skladayut osnovu teoriyi modelej yak oblasti diskursu en logiki predikativ Z cogo poglyadu matematichni ob yekti ce sutnosti sho zadovolnyayut aksiomam formalnoyi teoriyi virazhenim movoyu logiki predikativ Teoriya kategorij RedaguvatiOdin z variantiv takogo pidhodu zaminyuye vidnoshennya z operaciyami osnovami universalnoyi algebri U comu varianti aksiomi chasto prijmayut formu rivnyan abo naslidkiv mizh rivnyannyami Bilsh abstraktnim variantom ye teoriya kategorij yaka vidokremlyuye mnozhini yak ob yekti a operaciyi nad nimi yak morfizmi mizh cimi ob yektami Na comu rivni abstrakciyi matematichni ob yekti zvodyatsya do prostih vershin grafu rebra yakogo u viglyadi morfizmiv abstraguyut sposobi peretvorennya cih ob yektiv ta strukturu yakih zakodovano u zakoni kompoziciyi dlya morfizmiv Kategoriyi mozhut vinikati yak modeli deyakoyi aksiomatichnoyi teoriyi ta gomomorfizmiv mizh nimi u takomu vipadku voni zazvichaj konkretni tobto zabezpecheni univalentnim zabutlivim funktorom u kategoriyu Set abo zagalom do vidpovidnogo toposu abo voni mozhut buti pobudovani z inshih bilsh primitivnih kategoriyi abo voni mozhut buti vivcheni yak abstraktni ob yekti sami po sobi ne zalezhno vid yih pohodzhennya Sposobi viznachennya RedaguvatiU suchasnij matematici prijnyati nastupni domovlenosti Pri viznachenni ob yekta zadayutsya jogo nazvu i perelik vlastivostej zazvichaj u viglyadi spisku aksiom Bud yakij matematichnij ob yekt vlastivosti yakogo nesuperechlivi vvazhayetsya dopustimim i isnuyuchim Pohodzhennya matematichnih ob yektiv mozhe buti riznim Idealizaciya realnogo ob yekta Napriklad matematichna kulya ye idealizaciya predmeta krugloyi formi Uzagalnennya abo dopovnennya inshogo matematichnogo ob yekta Napriklad metrichnij prostir mozhna rozglyadati yak uzagalnennya evklidovogo prostoru a kompleksni chisla yak rozshirennya sistemi dijsnih chisel Vidilennya z inshogo matematichnogo ob yekta chastini pidmnozhini yaka viznachayetsya zadanimi vlastivostyami Napriklad algebrayichni chisla ye pidmnozhina kompleksnih chisel Div takozh RedaguvatiAbstraktne i konkretne Matematichni strukturi Matematichna modelPrimitki Redaguvati Burgess John and Rosen Gideon 1997 A Subject with No Object Strategies for Nominalistic Reconstrual of Mathematics Oxford University Press ISBN 0198236158Posilannya RedaguvatiStenfordska filosofska enciklopediya Abstract Objects Arhivovano 6 grudnya 2021 u Wayback Machine Stanford Encyclopedia of Philosophy angl Wells Charles Mathematical Objects angl AMOF The Amazing Mathematical Object Factory angl Mathematical Object Exhibit angl Literatura RedaguvatiBurbaki N Osnovnye struktury analiza Arhivovano 25 zhovtnya 2019 u Wayback Machine Kniga 1 Teoriya mnozhestv M Mir 1965 str 317 325 Kaganov M I Lyubarskij G Ya Abstrakciya v matematike i fizike M 2005 351 s Klajn M en Matematika Utrata opredelyonnosti M 1984 446 s Azzouni J 1994 Metaphysical Myths Mathematical Practice Cambridge University Press Burgess John and Rosen Gideon 1997 A Subject with No Object Oxford Univ Press Davis Philip and Reuben Hersh 1999 1981 The Mathematical Experience Mariner Books 156 62 Gold Bonnie and Simons Roger A 2011 Proof and Other Dilemmas Mathematics and Philosophy Arhivovano 5 grudnya 2021 u Wayback Machine Mathematical Association of America Hersh Reuben 1997 What is Mathematics Really Oxford University Press Sfard A 2000 Symbolizing mathematical reality into being Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other in Cobb P et al Symbolizing and communicating in mathematics classrooms Perspectives on discourse tools and instructional design Lawrence Erlbaum Stewart Shapiro 2000 Thinking about mathematics The philosophy of mathematics Oxford University Press Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Matematichnij ob 27yekt amp oldid 37882236