www.wikidata.uk-ua.nina.az

Многовид Многови д це об єкт який локально має характер евклідового простору розмірності n Зміст 1 Визначення 2 Властиво

Многовид

Многови́д — це об'єкт, який локально має характер евклідового простору розмірності n.

Визначення

Многовидом над алгебрично замкненим полем є відділювана схема скінченного типу над . Морфізмом многовиів називається їх морфізм як схем над полем . Многовид , який є афінною схемою, називається афінним многовидом. Будь-який многовид має скінченне покриття де - афінні многовиди. З цього слідує, що має скінченну розмірність.

Якщо незвідний, то усі щільні у та Вони є біраціонально ізоморфними, оскільки відкритий й щільний як у та й у Тому поля раціональних функцій є ізоморфними між собою. Ці поля можна ототожнити. Отримане поле називається поем раціональних функцій на й позначається Розмірність многовида дорівнює степені трансцендентності поля

Топологія на , яка задається структурою схеми, називається спектральною. Для многовида , визначеного над полем комплексних чисел через позначається множина його замкнених точок. Розгляньмо відкриту у спектральній топології множину скінченне число функцій регулярних на та число Через позначмо множину тих точок для яких

Множина перетворюється на топологічний простір, узявши базис відкритих множин множини Визначена таким чином буде називатися комплексною.

Якщо - замкнена у спектральній топології підмножина, то Таким чином, є замкненою у у комплексній топології, комплексна топологія множини співпадає із її топологію як підпростори у Однак не усяка замкнена у комплексній топології множина має вид , де замкнена у в спектральній топології. Прикладом ємножина точок для яких де - координата на Морфізм алгебричних многовидів визначає неперервне відображення

Многовид (алгебричний) представляється сукупністю точок, яка виражається системою многочленних рівнянь:

де - поле, - многочлени. Вивчення алгебричних рівнянь - стародавня математична наука. Нині мода й зручність диктують звернення до кілець.

Властивості

Многовид має цілочислову розмірність, яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати окіл довільної точки многовида. Ідея многовида полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «у малому», тобто в околу кожної її точки, нагадує геометрію Евклідового простору. Формально: n-вимірний многовид — це Гаусдорфів топологічний простір у якому будь-яка точка x має окіл гомеоморфний відкритій n-вимірній кулі:

Завдання топологічних відображеннь fx, які називаються картами (на зразок карт земної поверхні), є частиною структури многовида, а сукупність усіх карт називається атласом. Якщо виконується додаткова вимога, що різні карти узгоджені між собою диференційовним чином, а саме, якщо відображення між досить малими відкритими множинами n-вимірного Евклідового простору (визначені лише для деяких пар (x,y)) не тільки неперервні, а й гладкі, то маємо справу з гладким многовидом.

Приклади

  • Одновимірний многовид — це крива, наприклад, пряма, коло, еліпс, гіпербола, або парабола. Ця лінія не може мати кінцевих точок або перетинати себе. Додатково, з диференційовності лінії випливає, що у кожній точці цілком означена дотична, яка неперервно залежить від точки.
  • Двовимірний многовид — це поверхня, наприклад, сфера, циліндр, параболоїд, тор, тощо.

Многовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.

Скінченний циліндр є многовидом з межами.

Додаткові структури на многовидах

Задання метричного тензора дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати (скалярне поле) по підмноговидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині многовида, або за об'ємом самого многовида.

Інтегрувати векторні та тензорні поля так просто, як скаляр, не можна — через некомутативність паралельного переносу векторів (якщо тензор внутрішньої кривини ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, що діє на протяжне тіло в загальній теорії відносності.

Якщо скаляр скрізь дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і -мірні об'єми -мірних підмноговидів (, де  — розмірність многовида). Особливий інтерес становлять підмноговиди мінімального об'єму, зокрема найкоротша лінія, що сполучає дві точки многовида (геодезична лінія).

В околі будь-якої точки многовида можна задати майже декартові координати такі, що початок координат буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і всі перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, всі символи Крістофеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб тензор Рімана дорівнював нулю. Якщо тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором що дорівнює одиничній матриці ), отже внутрішня геометрія такого многовида збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей многовид може бути, наприклад, циліндром).

Розгляд кривини многовида виявляється набагато простішим для гіперповерхонь, коли многовид вкладений в евклідовий простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є двовимірні многовиди в тривимірному просторі.

Див. також

Література

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
  1. И. Р. Шафаревич - Основы алгебраической геометрии, том 2, 2-е изд., 1988. 
  2. W.V.D.Hodge, D.Pedoe - Methods of algebraic geometry, vol.2. 
  3. Ю.И.Манин - Введение в теорию схем и квантовые группы. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Mnogovi d ce ob yekt yakij lokalno maye harakter evklidovogo prostoru rozmirnosti n Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 3 Prikladi 4 Dodatkovi strukturi na mnogovidah 5 Div takozh 6 LiteraturaViznachennya RedaguvatiMnogovidom nad algebrichno zamknenim polem k k ye viddilyuvana shema skinchennogo tipu nad k k Morfizmom mnogoviiv nazivayetsya yih morfizm yak shem nad polem k k Mnogovid X X yakij ye afinnoyu shemoyu nazivayetsya afinnim mnogovidom Bud yakij mnogovid X X maye skinchenne pokrittya X U i displaystyle X bigcup U i de U i displaystyle U i afinni mnogovidi Z cogo sliduye sho X X maye skinchennu rozmirnist Yaksho X X nezvidnij to usi U i displaystyle U i shilni u X X ta dim X dim U i displaystyle dim X dim U i Voni ye biracionalno izomorfnimi oskilki U i U j displaystyle U i cap U j vidkritij j shilnij yak u U i displaystyle U i ta j u U j displaystyle U j Tomu polya racionalnih funkcij k U i displaystyle k U i ye izomorfnimi mizh soboyu Ci polya mozhna ototozhniti Otrimane pole nazivayetsya poem racionalnih funkcij na X X j poznachayetsya k X displaystyle k X Rozmirnist mnogovida X X dorivnyuye stepeni transcendentnosti polya k X displaystyle k X Topologiya na X X yaka zadayetsya strukturoyu shemi nazivayetsya spektralnoyu Dlya mnogovida X X viznachenogo nad polem kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C cherez X C displaystyle X mathbb C poznachayetsya mnozhina jogo zamknenih tochok Rozglyanmo vidkritu u spektralnij topologiyi mnozhinu U X displaystyle U subset X skinchenne chislo funkcij f 1 f m displaystyle f 1 f m regulyarnih na U displaystyle U ta chislo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 Cherez V f 1 f m displaystyle V f 1 f m poznachmo mnozhinu tih tochok x U C displaystyle x in U mathbb C dlya yakih f i x lt e i 1 m displaystyle f i x lt varepsilon quad i overline 1 m Mnozhina X C displaystyle X mathbb C peretvoryuyetsya na topologichnij prostir uzyavshi bazis vidkritih mnozhin mnozhini V U f 1 f m e displaystyle V U f 1 f m varepsilon Viznachena takim chinom bude nazivatisya kompleksnoyu Yaksho Y X displaystyle Y subset X zamknena u spektralnij topologiyi pidmnozhina to Y C X C displaystyle Y mathbb C subset X mathbb C Takim chinom Y C displaystyle Y mathbb C ye zamknenoyu u X C displaystyle X mathbb C u kompleksnij topologiyi kompleksna topologiya mnozhini Y C displaystyle Y mathbb C spivpadaye iz yiyi topologiyu yak pidprostori u X C displaystyle X mathbb C Odnak ne usyaka zamknena u kompleksnij topologiyi mnozhina maye vid Y C displaystyle Y mathbb C de Y Y zamknena u X X v spektralnij topologiyi Prikladom yemnozhina tochok x A 1 C displaystyle x in mathbb A 1 mathbb C dlya yakih t x 1 displaystyle t x leq 1 de t t koordinata na A 1 displaystyle mathbb A 1 Morfizm f X Y displaystyle f X rightarrow Y algebrichnih mnogovidiv viznachaye neperervne vidobrazhennya f C Y C displaystyle f mathbb C rightarrow Y mathbb C 1 Mnogovid algebrichnij predstavlyayetsya sukupnistyu tochok yaka virazhayetsya sistemoyu mnogochlennih rivnyan M P k n f i P 0 k n displaystyle M P in k n f i P 0 subset k n de k k pole f i k X 1 X n displaystyle f i in k X 1 X n mnogochleni 2 Vivchennya algebrichnih rivnyan starodavnya matematichna nauka Nini moda j zruchnist diktuyut zvernennya do kilec 3 Vlastivosti RedaguvatiMnogovid maye cilochislovu rozmirnist yaka vkazuye skilkoma parametrami koordinatami mozhna opisati okil dovilnoyi tochki mnogovida Ideya mnogovida polyagaye v tomu sho geometriya gladkoyi poverhni u malomu tobto v okolu kozhnoyi yiyi tochki nagaduye geometriyu Evklidovogo prostoru Formalno n vimirnij mnogovid ce Gausdorfiv topologichnij prostir u yakomu bud yaka tochka x maye okil gomeomorfnij vidkritij n vimirnij kuli f x U B n 0 r x R n x lt r x U displaystyle f x U to B n 0 r x in mathbf R n x lt r x in U Zavdannya topologichnih vidobrazhenn fx yaki nazivayutsya kartami na zrazok kart zemnoyi poverhni ye chastinoyu strukturi mnogovida a sukupnist usih kart nazivayetsya atlasom Yaksho vikonuyetsya dodatkova vimoga sho rizni karti uzgodzheni mizh soboyu diferencijovnim chinom a same yaksho vidobrazhennya f x f y 1 displaystyle f x circ f y 1 mizh dosit malimi vidkritimi mnozhinami n vimirnogo Evklidovogo prostoru viznacheni lishe dlya deyakih par x y ne tilki neperervni a j gladki to mayemo spravu z gladkim mnogovidom Prikladi RedaguvatiOdnovimirnij mnogovid ce kriva napriklad pryama kolo elips giperbola abo parabola Cya liniya ne mozhe mati kincevih tochok abo peretinati sebe Dodatkovo z diferencijovnosti liniyi viplivaye sho u kozhnij tochci cilkom oznachena dotichna yaka neperervno zalezhit vid tochki Dvovimirnij mnogovid ce poverhnya napriklad sfera cilindr paraboloyid tor tosho Mnogovidi vishih rozmirnostej uzagalnyuyut liniyi ta poverhni hocha zvichajna uyava tut uzhe ne pracyuye Kompaktnij zv yazanij mnogovid bez mezhi nazivayetsya zamknutim n vimirna sfera abo gipersfera S n x R n 1 x 1 displaystyle S n x in mathbf R n 1 x 1 Skinchennij cilindr ye mnogovidom z mezhami Dodatkovi strukturi na mnogovidah RedaguvatiZadannya metrichnogo tenzora g i j displaystyle g ij dozvolyaye znahoditi vidstan mizh dvoma neskinchenno blizkimi tochkami a takozh integruvati skalyarne pole po pidmnogovidah napriklad vzdovzh krivih sho prohodyat vseredini mnogovida abo za ob yemom samogo mnogovida Integruvati vektorni ta tenzorni polya tak prosto yak skalyar ne mozhna cherez nekomutativnist paralelnogo perenosu vektoriv yaksho tenzor vnutrishnoyi krivini nenulovij Napriklad mi ne mozhemo tochno obchislyuvati povnu silu sho diye na protyazhne tilo v zagalnij teoriyi vidnosnosti Yaksho skalyar skriz dorivnyuye odinici to mi mozhemo znahoditi dovzhini krivih i k k mirni ob yemi k k mirnih pidmnogovidiv k n displaystyle k leq n de n n rozmirnist mnogovida Osoblivij interes stanovlyat pidmnogovidi minimalnogo ob yemu zokrema najkorotsha liniya sho spoluchaye dvi tochki mnogovida geodezichna liniya V okoli bud yakoyi tochki mnogovida mozhna zadati majzhe dekartovi koordinati taki sho pochatok koordinat bude v cij tochci metrichnij tenzor bude odinichnim i vsi pershi pohidni metrichnogo tenzora abo sho ekvivalentno vsi simvoli Kristofelya dorivnyuyut nulyu Drugi zh pohidni mozhna zrobiti nulovimi daleko ne zavzhdi dlya cogo neobhidno i dostatno shob tenzor Rimana dorivnyuvav nulyu Yaksho tenzor Rimana totozhno dorivnyuye nulyu v deyakij zv yaznij oblasti mnogovida to v cij oblasti mozhna pobuduvati dekartovi koordinati z metrichnim tenzorom sho dorivnyuye odinichnij matrici g i j d i j displaystyle g ij delta ij otzhe vnutrishnya geometriya takogo mnogovida zbigayetsya z geometriyeyu evklidovogo prostoru hocha pri poglyadi zverhu cej mnogovid mozhe buti napriklad cilindrom Rozglyad krivini mnogovida viyavlyayetsya nabagato prostishim dlya giperpoverhon koli mnogovid vkladenij v evklidovij prostir na odinicyu bilshoyi rozmirnosti Praktichno vazhlivim vipadkom giperpoverhni ye dvovimirni mnogovidi v trivimirnomu prostori Div takozh RedaguvatiRimaniv mnogovid Zamknutij mnogovid Diferencijovnij mnogovid Orbivid Algebrichna poverhnya Racionalna poverhnyaLiteratura Redaguvati Portal Matematika Bronshtejn I N Semendyaev K A Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashihsya vtuzov M Nauka 1980 976 s il I R Shafarevich Osnovy algebraicheskoj geometrii tom 2 2 e izd 1988 W V D Hodge D Pedoe Methods of algebraic geometry vol 2 Yu I Manin Vvedenie v teoriyu shem i kvantovye gruppy Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Mnogovid amp oldid 38711114