Гіперсфера — це множина точок многовида, рівновіддалених від заданої точки (центра гіперсфери).
Як бачимо, поняття гіперсфера є узагальненням кола і сфери у випадку, коли розглядається геометрія на довільному многовиді, а не лише на площині чи у тривимірному евклідовому просторі.
Рівняння гіперсфери в евклідовому просторі
Розглянемо гіперсферу в N-вимірному евклідовому просторі. В цьому просторі будемо розглядати прямокутну декартову систему координат , початок якої збігається з центром гіперсфери. Тоді скалярний квадрат радіус-вектора для точки на гіперсфері дорівнює квадрату радіуса гіперсфери:
або, розписуючи скалярний добуток в координатах, одержуємо рівняння гіперсфери:
Координати на гіперсфері та координатні вектори
Ми можемо із рівняння (2) виразити одну із координат, скажімо , через решту координату:
Знак плюс (+) в цій формулі відповідає верхній півсфері, а знак мінус — нижній. Розглянемо верхню півсферу. Кожну точку цієї півсфери можна задати набором чисел , які збігаються з декартовими координатами охоплюючого простору:
де
Радіус-вектор можна записати покомпонентно у вигляді вектор-рядка:
де функція дається формулою (3) з додатнім знаком:
Ми можемо обчислити координатний вектор , беручи похідну формули (7) по відповідній координаті:
В фігурних дужках одиниця стоїть на -тому місці, , а решта координат дорівнюють нулю.
Коефіцієнти першої та другої квадратичних форм
Із формули (9) легко можна обчислити метричний тензор на гіперсфері:
Далі, за аналогією з колом або звичайною сферою можна здогадатися, що вектор нормалі до гіперсфери паралельний радіус-вектору . Дійсно, розглядаючи похідні рівняння (1) по координатах, маємо:
Тобто радіус-вектор ортогональний базисним координатним векторам , а отже ортогональний поверхні гіперсфери. Якщо ми направимо одиничний вектор нормалі всередину сфери, то:
Із розкладу вектора другої похідної радіус-вектора на паралельну і перпендикулярну щодо многовида частини:
можна одержати коефіцієнти другої квадратичної форми через скалярні добутки:
Далі, диференціюючи формулу (11) по , маємо таку рівність:
Отже коефіцієнти другої квадратичної форми пропорційні метричному тензору:
Це сподіваний результат, він означає, що проведені з однієї точки на гіперсфері в різних напрямках геодезичні лінії мають однакову кривину, яка є числом, оберненим до радіуса гіперсфери. Дійсно, нехай ми позначимо через одиничний дотичний вектор до геодезичної, тоді кривина геодезичної лінії дорівнює:
Тензор Рімана
Маючи формулу (16) для коефіцієнтів другої квадратичної форми, легко знайти, що тензор Рімана у випадку гіперсфери пропорційний тензору метричної матрьошки :
Цю ж формулу, хоча і значно складніше, можна одержати тільки із внутрішньої геометрії, користуючись виразом (10) для метричного тензора . Спочатку обчислюємо символи Крістофеля першого роду:
В цій формулі фігурують перші та другі похідні від функції багатьох змінних (формула 8). Обчислимо їх:
Тензор Рімана можна обчислити за наступною формулою:
Щоб скористатися цією формулою, нам потрібні символи Крістофеля другого роду (з одним верхнім індексом). Але перш ніж взятися за обчислення символів Крістофеля другого роду, спробуємо опустити в формулі (22) індекс :
або після перейменування індексів:
В формулі (24) все ще зустрічаються символи Крістофеля другого роду, і нам треба їх обчислити. Але спочатку нам буде потрібен обернений метричний тензор . Можна вгадати, що формула для оберненого метричного тензора буде аналогічною формулі (10), але другий доданок взятий з деяким коефіцієнтом :
Цей коефіцієнт легко знаходиться з умови, що матриці (10) і (25) є взаємно оберненими, а тому їхній добуток дорівнює одиничній матриці:
де буквою позначено суму квадратів похідних (20):
Порівнюючи крайні вирази в формулі (26), ми бачимо, що сума трьох останніх доданків має дорівнювати нулю, або:
Звідси легко знайти коефіцієнт , і ми можемо підставити його в формулу (25):
Далі із формул (19) і (29) знаходимо символ Крістофеля другого роду:
Нарешті, підставляємо (19) і (30) в формулу (24) для тензора Рімана:
Якщо врахувати формулу (21) для , то ми знову одержимо формулу (18).
Кривини Ґаусса, тензори Річчі і тензори Ейнштейна
Оскільки згідно з формулою (17) всі головні кривини гіперсфери однакові:
то легко можна обчислити кривину Ґаусса , як симетричний многочлен від головних кривин:
де — біноміальний коефіцієнт.
Також неважко обчислюється степеневий тензор Річчі, якщо врахувати формулу (16) та формулу самозгортки тензора метричної матрьошки:
Він виявляється пропорційним метричному тензору.
Відповідний тензор Ейнштейна можна знайти, користуючись попередніми двома формулами:
Примітка: Формула (35) виявилася корисною для пошуку симетричного розв'язку рівняння Ейнштейна з космологічним членом. Дійсно, в формулі (35), так само як і в рівнянні Ейнштейна, тензор Ейнштейна пропорційний метричному тензору. Оскільки метрика фізичного простору-часу є псевдоевклідовою (знаконевизначеною) розмірності чотири, то очевидно що розв'язок має бути аналогом гіперсфери в п'ятивимірному псевдоевклідовому просторі - Простір де Сіттера
Об'єм (або площа) гіперсфери
Розглянемо наступний кратний інтеграл Ґаусса в -вимірному евклідовому просторі:
Цей інтеграл можна обчислювати двома способами.
По-перше, за теоремою Фубіні він розкладається в добуток однакових одновимірних інтегралів Ґаусса:
Де введено позначення одновимірного інтеграла Ґаусса:
По-друге, сума квадратів координат в формулі (36) дорівнює квадрату відстані від точки початку координат:
і ми можемо інтегрувати (36) спочатку по поверхні гіперсфери радіуса , де підінтегральна функція незмінна, а потім уже результат по радіусу від нуля до нескінченності:
Інтеграл по гіперсфері легко обчислюється:
Тут ми винесли постійний множник за знак інтеграла, і врахували, що при перетворенні подібності з коефіцієнтом площа одиничної гіперсфери збільшується в разів, де - розмірність цієї площі. Підставляючи (41) в (40), одержуємо одновимірний інтеграл, який підстановкою зводиться до гамма-функції Ейлера підстановкою :
Порівнюючи цей результат з формулою (37), ми можемо обчислити площу гіперсфери одиничного радіуса через інтеграл Ґаусса (38):
У випадку розмірності два, ми знаємо формулу довжини кола , і в цьому випадку можемо обчислити інтегал Ґаусса:
Підставляючи (46) в (44) знаходимо остаточну формулу для площі -вимірної гіперсфери одиничного радіуса:
де - розмірність евклідового простору, в який вміщена гіперсфера.
Об'єм -вимірної кулі
Для обчислення об'єму кулі радіуса , розібємо кулю концентричними гіперсферами радіуса і площею на прошарки товщиною , тоді:
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gipersfera ce mnozhina tochok mnogovida rivnoviddalenih vid zadanoyi tochki centra gipersferi Proyekciya trivimirnoyi proyekciyi approksimaciyi gipersferi chotirivimirnogo prostoru Yak bachimo ponyattya gipersfera ye uzagalnennyam kola i sferi u vipadku koli rozglyadayetsya geometriya na dovilnomu mnogovidi a ne lishe na ploshini chi u trivimirnomu evklidovomu prostori Rivnyannya gipersferi v evklidovomu prostoriRozglyanemo gipersferu v N vimirnomu evklidovomu prostori V comu prostori budemo rozglyadati pryamokutnu dekartovu sistemu koordinat x 1 x 2 x N displaystyle x 1 x 2 dots x N pochatok yakoyi zbigayetsya z centrom gipersferi Todi skalyarnij kvadrat radius vektora r displaystyle mathbf r dlya tochki na gipersferi dorivnyuye kvadratu radiusa a displaystyle a gipersferi 1 r 2 r r a 2 displaystyle 1 qquad mathbf r 2 mathbf r cdot mathbf r a 2 abo rozpisuyuchi skalyarnij dobutok v koordinatah oderzhuyemo rivnyannya gipersferi 2 x 1 2 x 2 2 x N 2 i 1 N x i 2 a 2 displaystyle 2 qquad x 1 2 x 2 2 dots x N 2 sum i 1 N x i 2 a 2 Koordinati na gipersferi ta koordinatni vektoriMi mozhemo iz rivnyannya 2 viraziti odnu iz koordinat skazhimo x N displaystyle x N cherez reshtu n N 1 displaystyle n N 1 koordinatu 3 x N a 2 i 1 n x i 2 displaystyle 3 qquad x N pm sqrt a 2 sum i 1 n x i 2 Znak plyus v cij formuli vidpovidaye verhnij pivsferi a znak minus nizhnij Rozglyanemo verhnyu pivsferu Kozhnu tochku ciyeyi pivsferi mozhna zadati naborom n N 1 displaystyle n N 1 chisel x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n yaki zbigayutsya z dekartovimi koordinatami ohoplyuyuchogo prostoru 4 r r u 1 u 2 u n displaystyle 4 qquad mathbf r mathbf r u 1 u 2 dots u n de 6 u 1 x 1 u 2 x 2 u n x n displaystyle 6 qquad u 1 x 1 u 2 x 2 dots u n x n Radius vektor r displaystyle mathbf r mozhna zapisati pokomponentno u viglyadi vektor ryadka 7 r u 1 u 2 u n z displaystyle 7 qquad mathbf r u 1 u 2 dots u n z de funkciya z z u 1 u n displaystyle z z u 1 dots u n dayetsya formuloyu 3 z dodatnim znakom 8 z a 2 i 1 n u i 2 displaystyle 8 qquad z sqrt a 2 sum i 1 n u i 2 Mi mozhemo obchisliti koordinatnij vektor r i displaystyle mathbf r i beruchi pohidnu formuli 7 po vidpovidnij koordinati 9 r i r u i 0 0 1 0 z i displaystyle 9 qquad mathbf r i partial mathbf r over partial u i 0 0 dots 1 dots 0 z i V figurnih duzhkah odinicya stoyit na i displaystyle i tomu misci z i z u i displaystyle z i partial z over partial u i a reshta koordinat dorivnyuyut nulyu Koeficiyenti pershoyi ta drugoyi kvadratichnih formIz formuli 9 legko mozhna obchisliti metrichnij tenzor na gipersferi 10 g i j r i r j d i j z i z j displaystyle 10 qquad g ij mathbf r i cdot mathbf r j delta ij z i z j Dali za analogiyeyu z kolom abo zvichajnoyu sferoyu mozhna zdogadatisya sho vektor normali n displaystyle mathbf n do gipersferi paralelnij radius vektoru r displaystyle mathbf r Dijsno rozglyadayuchi pohidni rivnyannya 1 po koordinatah mayemo 11 u i r r 2 r r i 0 displaystyle 11 qquad partial over partial u i mathbf r cdot mathbf r 2 mathbf r cdot mathbf r i 0 Tobto radius vektor r displaystyle mathbf r ortogonalnij bazisnim koordinatnim vektoram r i displaystyle mathbf r i a otzhe ortogonalnij poverhni gipersferi Yaksho mi napravimo odinichnij vektor normali n displaystyle mathbf n vseredinu sferi to 12 r r n a n n r a displaystyle 12 qquad mathbf r mathbf r mathbf n a mathbf n qquad mathbf n mathbf r over a Iz rozkladu vektora drugoyi pohidnoyi radius vektora na paralelnu i perpendikulyarnu shodo mnogovida chastini 13 2 r u i u j r i j G i j k r k n b i j displaystyle 13 qquad partial 2 mathbf r over partial u i partial u j mathbf r ij Gamma ij k mathbf r k mathbf n b ij mozhna oderzhati koeficiyenti drugoyi kvadratichnoyi formi b i j displaystyle b ij cherez skalyarni dobutki 14 b i j n r i j 1 a r r i j displaystyle 14 qquad b ij mathbf n cdot mathbf r ij 1 over a mathbf r cdot mathbf r ij Dali diferenciyuyuchi formulu 11 po u j displaystyle u j mayemo taku rivnist 15 0 u j r r i r j r i r r i j g i j a b i j displaystyle 15 qquad 0 partial over partial u j mathbf r cdot mathbf r i mathbf r j cdot mathbf r i mathbf r cdot mathbf r ij g ij ab ij Otzhe koeficiyenti drugoyi kvadratichnoyi formi proporcijni metrichnomu tenzoru 16 b i j 1 a g i j displaystyle 16 qquad b ij 1 over a g ij Ce spodivanij rezultat vin oznachaye sho provedeni z odniyeyi tochki na gipersferi v riznih napryamkah geodezichni liniyi mayut odnakovu krivinu yaka ye chislom obernenim do radiusa gipersferi Dijsno nehaj mi poznachimo cherez t d r d s displaystyle boldsymbol tau d mathbf r over ds odinichnij dotichnij vektor do geodezichnoyi todi krivina geodezichnoyi liniyi dorivnyuye 17 k b i j t i t j n 1 a g i j t i t j n a displaystyle 17 qquad mathbf k mathbf b ij tau i tau j mathbf n 1 over a g ij tau i tau j mathbf n over a Tenzor RimanaMayuchi formulu 16 dlya koeficiyentiv drugoyi kvadratichnoyi formi legko znajti sho tenzor Rimana R i j k l displaystyle R ijkl u vipadku gipersferi proporcijnij tenzoru metrichnoyi matroshki g i j k l displaystyle g ij kl 18 R i j k l b i k b j l b i l b j k 1 a 2 g i k g i l g i l g j k 1 a 2 g i j k l displaystyle 18 qquad R ijkl b ik b jl b il b jk 1 over a 2 left g ik g il g il g jk right 1 over a 2 g ij kl Cyu zh formulu hocha i znachno skladnishe mozhna oderzhati tilki iz vnutrishnoyi geometriyi koristuyuchis virazom 10 dlya metrichnogo tenzora g i j displaystyle g ij Spochatku obchislyuyemo simvoli Kristofelya pershogo rodu 19 G i j k 1 2 i g k j j g i k k g i j 1 2 i z k z j j z i z k k z i z j displaystyle 19 qquad Gamma ij k 1 over 2 left partial i g kj partial j g ik partial k g ij right 1 over 2 left partial i z k z j partial j z i z k partial k z i z j right 1 2 z i k z j z k z i j z i j z k z i z j k z i k z j z i z j k z k z i j displaystyle qquad 1 over 2 left z ik z j z k z ij z ij z k z i z jk z ik z j z i z jk right z k z ij V cij formuli figuruyut pershi ta drugi pohidni vid funkciyi bagatoh zminnih z z u 1 u 2 u n displaystyle z z u 1 u 2 dots u n formula 8 Obchislimo yih 20 z i u i a 2 u k 2 u i a 2 u k 2 u i z displaystyle 20 qquad z i partial over partial u i sqrt a 2 sum u k 2 u i over sqrt a 2 sum u k 2 u i over z 21 z i j j u i z d i j z u i z j z 2 d i j z i z j z g i j z displaystyle 21 qquad z ij partial j left u i over z right delta ij over z u i z j over z 2 delta ij z i z j over z g ij over z Tenzor Rimana mozhna obchisliti za nastupnoyu formuloyu 22 R i j k s j G k i s k G j i s G j p s G k i p G k p s G j i p displaystyle 22 qquad R ijk s partial j Gamma ki s partial k Gamma ji s Gamma jp s Gamma ki p Gamma kp s Gamma ji p Shob skoristatisya ciyeyu formuloyu nam potribni simvoli Kristofelya drugogo rodu z odnim verhnim indeksom Ale persh nizh vzyatisya za obchislennya simvoliv Kristofelya drugogo rodu sprobuyemo opustiti v formuli 22 indeks s displaystyle s 23 R l i j k g l s R i j k s j g l s G k i s j g l s G k i s k g l s G j i s k g l s G j i s g l s G j p s G k i p g l s G k p s G j i p displaystyle 23 qquad R lijk g ls R ijk s left partial j g ls Gamma ki s partial j g ls Gamma ki s right left partial k g ls Gamma ji s partial k g ls Gamma ji s right g ls Gamma jp s Gamma ki p g ls Gamma kp s Gamma ji p j G k i l G j l s G j s l G k i s k G j i l G k l s G k s l G j i s G j p l G k i p G k p l G j i p displaystyle qquad partial j Gamma ki l left Gamma jl s Gamma js l right Gamma ki s partial k Gamma ji l left Gamma kl s Gamma ks l right Gamma ji s Gamma jp l Gamma ki p Gamma kp l Gamma ji p j G k i l k G j i l G k l p G j i p G j l p G k i p displaystyle qquad partial j Gamma ki l partial k Gamma ji l Gamma kl p Gamma ji p Gamma jl p Gamma ki p abo pislya perejmenuvannya indeksiv 24 R i j k l k G l j i l G k j i G l i s G k j s G k i s G l j s displaystyle 24 qquad R ijkl partial k Gamma lj i partial l Gamma kj i Gamma li s Gamma kj s Gamma ki s Gamma lj s V formuli 24 vse she zustrichayutsya simvoli Kristofelya drugogo rodu i nam treba yih obchisliti Ale spochatku nam bude potriben obernenij metrichnij tenzor g i j displaystyle g ij Mozhna vgadati sho formula dlya obernenogo metrichnogo tenzora bude analogichnoyu formuli 10 ale drugij dodanok vzyatij z deyakim koeficiyentom k displaystyle k 25 g i j d i j k z i z j displaystyle 25 qquad g ij delta ij kz i z j Cej koeficiyent legko znahoditsya z umovi sho matrici 10 i 25 ye vzayemno obernenimi a tomu yihnij dobutok dorivnyuye odinichnij matrici 26 d i j s g i s g s j s d i s z i z s d s j k z s z j displaystyle 26 qquad delta ij sum s g is g sj sum s left delta is z i z s right left delta sj kz s z j right s d i s d s j k d i s z s z j d s j z i z s k z i z s z s z j d i j k z i z j z i z j k q z i z j displaystyle qquad sum s left delta is delta sj k delta is z s z j delta sj z i z s kz i z s z s z j right delta ij kz i z j z i z j kqz i z j de bukvoyu q displaystyle q poznacheno sumu kvadrativ pohidnih 20 27 q s z s 2 s u s z 2 a 2 z 2 z 2 a 2 z 2 1 displaystyle 27 qquad q sum s z s 2 sum s left u s over z right 2 a 2 z 2 over z 2 a 2 over z 2 1 Porivnyuyuchi krajni virazi v formuli 26 mi bachimo sho suma troh ostannih dodankiv maye dorivnyuvati nulyu abo 28 0 k 1 k q k 1 k a 2 z 2 1 1 k a 2 z 2 displaystyle 28 qquad 0 k 1 kq k 1 k left a 2 over z 2 1 right 1 k a 2 over z 2 Zvidsi legko znajti koeficiyent k displaystyle k i mi mozhemo pidstaviti jogo v formulu 25 29 g i j d i j z 2 a 2 z i z j displaystyle 29 qquad g ij delta ij z 2 over a 2 z i z j Dali iz formul 19 i 29 znahodimo simvol Kristofelya drugogo rodu 30 G i j s g s k G i j k k d s k z 2 a 2 z s z k z k z i j 1 z 2 a 2 q z s z i j z 2 a 2 z s z i j displaystyle 30 qquad Gamma ij s g sk Gamma ij k sum k left delta sk z 2 over a 2 z s z k right z k z ij left 1 z 2 over a 2 q right z s z ij z 2 over a 2 z s z ij Nareshti pidstavlyayemo 19 i 30 v formulu 24 dlya tenzora Rimana 31 R i j k l k z i z j l l z i z j k s z s z i l z 2 a 2 z s z j k z s z i k z 2 a 2 z s z j l displaystyle 31 qquad R ijkl partial k z i z jl partial l z i z jk sum s left z s z il z 2 over a 2 z s z jk z s z ik z 2 over a 2 z s z jl right z i k z j l z i l z j k q z 2 a 2 z i k z j l z i l z j k z 2 a 2 z i k z j l z i l z j k displaystyle qquad z ik z jl z il z jk q z 2 over a 2 left z ik z jl z il z jk right z 2 over a 2 left z ik z jl z il z jk right Yaksho vrahuvati formulu 21 dlya z i j displaystyle z ij to mi znovu oderzhimo formulu 18 Krivini Gaussa tenzori Richchi i tenzori EjnshtejnaOskilki zgidno z formuloyu 17 vsi golovni krivini gipersferi odnakovi 32 k 1 k 2 k n 1 a displaystyle 32 qquad k 1 k 2 dots k n 1 over a to legko mozhna obchisliti krivinu Gaussa K m displaystyle K m yak simetrichnij mnogochlen vid golovnih krivin 33 K m 1 m i 1 lt i 2 lt lt i m k i 1 k i 2 k i m 1 m a m C n m displaystyle 33 qquad K m 1 m sum i 1 lt i 2 lt dots lt i m k i 1 k i 2 cdots k i m 1 m over a m C n m de C n m n m n m displaystyle C n m n over m n m binomialnij koeficiyent Takozh nevazhko obchislyuyetsya stepenevij tenzor Richchi yaksho vrahuvati formulu 16 ta formulu samozgortki tenzora metrichnoyi matroshki 34 R j m i 1 m m 1 g p 1 p 2 p m i s 2 s m b j p 1 b s 2 p 2 b s m p m 1 m a m C n 1 m 1 d j i displaystyle 34 qquad R j m i 1 m over m 1 g p 1 p 2 dots p m is 2 dots s m b j p 1 b s 2 p 2 cdots b s m p m 1 m over a m C n 1 m 1 delta j i Vin viyavlyayetsya proporcijnim metrichnomu tenzoru Vidpovidnij tenzor Ejnshtejna mozhna znajti koristuyuchis poperednimi dvoma formulami 35 G j m i R j m i K m d j i 1 m a m C n 1 m 1 C n m d j i 1 m 1 a m C n 1 m d j i displaystyle 35 qquad G j m i R j m i K m delta j i 1 m over a m left C n 1 m 1 C n m right delta j i 1 m 1 over a m C n 1 m delta j i Primitka Formula 35 viyavilasya korisnoyu dlya poshuku simetrichnogo rozv yazku rivnyannya Ejnshtejna z kosmologichnim chlenom Dijsno v formuli 35 tak samo yak i v rivnyanni Ejnshtejna tenzor Ejnshtejna proporcijnij metrichnomu tenzoru Oskilki metrika fizichnogo prostoru chasu ye psevdoevklidovoyu znakoneviznachenoyu rozmirnosti chotiri to ochevidno sho rozv yazok maye buti analogom gipersferi v p yativimirnomu psevdoevklidovomu prostori Prostir de SitteraOb yem abo plosha gipersferiRozglyanemo nastupnij kratnij integral Gaussa v N displaystyle N vimirnomu evklidovomu prostori 36 I N e x 1 2 x 2 2 x N 2 d x 1 d x 2 d x N displaystyle 36 qquad I N int e x 1 2 x 2 2 dots x N 2 dx 1 dx 2 cdots dx N Cej integral mozhna obchislyuvati dvoma sposobami Po pershe za teoremoyu Fubini vin rozkladayetsya v dobutok odnakovih odnovimirnih integraliv Gaussa 37 I N e x 1 2 d x 1 e x N 2 d x N I N displaystyle 37 qquad I N int e x 1 2 dx 1 cdots int e x N 2 dx N I N De vvedeno poznachennya odnovimirnogo integrala Gaussa 38 I e x 2 d x displaystyle 38 qquad I int e x 2 dx Po druge suma kvadrativ koordinat v formuli 36 dorivnyuye kvadratu vidstani vid tochki pochatku koordinat 39 r 2 x 1 2 x 2 2 x N 2 displaystyle 39 qquad r 2 x 1 2 x 2 2 cdots x N 2 i mi mozhemo integruvati 36 spochatku po poverhni gipersferi radiusa r displaystyle r de pidintegralna funkciya nezminna a potim uzhe rezultat po radiusu vid nulya do neskinchennosti 40 I N 0 E r d r displaystyle 40 qquad I N int 0 propto E r dr Integral po gipersferi legko obchislyuyetsya 41 E r hypersphere e r 2 d S e r 2 hypersphere d S e r 2 r N 1 w N displaystyle 41 qquad E r int mbox hypersphere e r 2 dS e r 2 int mbox hypersphere dS e r 2 r N 1 omega N Tut mi vinesli postijnij mnozhnik za znak integrala i vrahuvali sho pri peretvorenni podibnosti z koeficiyentom r displaystyle r plosha odinichnoyi gipersferi w N displaystyle omega N zbilshuyetsya v r n displaystyle r n raziv de n N 1 displaystyle n N 1 rozmirnist ciyeyi ploshi Pidstavlyayuchi 41 v 40 oderzhuyemo odnovimirnij integral yakij pidstanovkoyu r 2 t displaystyle r 2 t zvoditsya do gamma funkciyi Ejlera G a 0 e t t a 1 d t displaystyle Gamma a int 0 propto e t t a 1 dt pidstanovkoyu r 2 t displaystyle r 2 t 42 I N w N 0 e r 2 r N 1 d r w N 0 e t t N 1 2 d t 2 t w N 2 0 e t t N 2 1 d t w N 2 G N 2 displaystyle 42 qquad I N omega N int 0 propto e r 2 r N 1 dr omega N int 0 propto e t t N 1 over 2 dt over 2 sqrt t omega N over 2 int 0 propto e t t N over 2 1 dt omega N over 2 Gamma N over 2 Porivnyuyuchi cej rezultat z formuloyu 37 mi mozhemo obchisliti ploshu w N displaystyle omega N gipersferi odinichnogo radiusa cherez integral Gaussa 38 43 w N 2 G N 2 I N displaystyle 43 qquad omega N over 2 Gamma N over 2 I N 44 w N 2 I N G N 2 displaystyle 44 qquad omega N 2I N over Gamma N over 2 U vipadku rozmirnosti dva mi znayemo formulu dovzhini kola L w 2 2 p displaystyle L omega 2 2 pi i v comu vipadku mozhemo obchisliti integal Gaussa 45 2 p w 2 2 I 2 G 1 2 I 2 displaystyle 45 qquad 2 pi omega 2 2I 2 over Gamma 1 2I 2 46 I p displaystyle 46 qquad I sqrt pi Pidstavlyayuchi 46 v 44 znahodimo ostatochnu formulu dlya ploshi n displaystyle n vimirnoyi gipersferi odinichnogo radiusa 47 w N 2 p N 2 G N 2 displaystyle 47 qquad omega N 2 pi N over 2 over Gamma N over 2 de N n 1 displaystyle N n 1 rozmirnist evklidovogo prostoru v yakij vmishena gipersfera Ob yem N displaystyle N vimirnoyi kuliDlya obchislennya ob yemu kuli radiusa R displaystyle R rozibyemo kulyu koncentrichnimi gipersferami radiusa r 0 lt r R displaystyle r 0 lt r leq R i plosheyu S r w N r N 1 displaystyle S r omega N r N 1 na prosharki tovshinoyu d r displaystyle dr todi 48 V R 0 R S r d r w N 0 R r N 1 d r w N N R N displaystyle 48 qquad V R int 0 R S r dr omega N int 0 R r N 1 dr omega N over N R N Div takozh3 sfera Najbilsha porozhnya sfera