В геометрії, еліпс — крива на площині, що проходить довкола двох точок фокусів, таким чином, що сума відстаней до двох точок фокусів залишається сталою для кожної точки кривої. Окремим випадком еліпса є коло, що є еліпсом в якого обидві точки фокусу суміщені в одну. Форма еліпса (величина його «витягнутості») задається ексцентриситетом, який у випадку для еліпса може приймати будь-яке значення від 0 (граничний випадок для кола) до значення якомога близького до 1, не включаючи саме значення 1. Еліпс — крива другого порядку.
Еліпс це замкнений тип конічного перетину: двовимірна крива, що утворюються від перетину конуса площиною (див. малюнок праворуч). Еліпси мають дуже багато спільного із іншими формами конічних перерізів: параболою і гіперболою, обидві з яких є відкритими і необмеженими кривими. Перетином циліндра також є еліпс, доки переріз не є паралельним осі обертання циліндра.
Еліпси широко використовуються в фізиці, астрономії та інженерії. Наприклад, орбіти планет нашої сонячної системи є дуже близькими до еліпсів, де однією із фокусних точок буде спільний барицентр планети і Сонця. Те саме є справедливим і для супутників, що обертаються довкола планет, і для інших систем, що складаються з двох астрономічних тіл. Форми планет і зірок часто добре описуються за допомогою еліпсоїдів.
Термін походить від грец. ἔλλειψις — нестача, пропуск, випадіння (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпса порівняно з «повним» колом або кругом).
Визначення еліпса як геометричного місця точок
Еліпс можна визначити геометрично як набір точок (геометричне місце точок) у Евклідовому просторі:
- Еліпс це множина точок, така, що для кожної точки цієї множини, сума відстаней до двох різних фіксованих точок , , що називаються фокусами, залишається сталою, що зазвичай позначається як Для того, щоб виключити особливий випадок із лінійним відрізком, припустимо що У більш формальному вигляді, для заданого , еліпс є множиною
Середня точка відрізку, що з'єднує між собою точки фокусів називається центром еліпса. Пряма, що проходить через фокуси називається великою або головною віссю, а пряма, що перпендикулярна до неї через центр називається малою віссю. На головній осі знаходяться вершини , від яких відстань до центра дорівнює . Відстань від фокусів до центра називається фокусною відстанню або лінійним ексцентриситетом. Співвідношення це ексцентриситет .
Випадок коли приводить до утворення кола. Він також враховується.
Рівняння можна розглянути в іншій формі (див. малюнок):
Якщо є колом із центром в точці і радіусом , тоді відстань від точки до кола дорівнює відстані до фокусу :
називається круговою директрисою (що відноситься до фокуса ) еліпса. Цей випадок не треба плутати із визначенням еліпса за допомогою директриси, що є прямою лінією.
При розгляді куль Данделена можна довести наступне твердження:
- Будь-який перетин конуса площиною, який не проходить через вершину конуса і нахил якої менший ніж нахил прямих, що утворюють конус, є еліпсом.
Аналітичне визначення
Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:
Еліпс належить до кривих другого порядку.
Визначальна властивість еліпса
Точки і називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокусною відстанню, її позначають через , отже, . Суму відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів і позначимо . Тоді за означенням маємо: . Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок , які задовольняють умові:
Геометричне визначення
Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок і цієї площини є величина стала, більша за відстань між і .
Елементи еліпса
Вершини еліпса
Точки перетину еліпса з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка , а вісь збігалася з прямою , називають вершинами еліпса.
Осі еліпса
Відрізок , що проходить через обидва фокуси і , називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок , що перетинається з великою віссю в центрі еліпса — відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові . Еліпс симетричний відносно своїх осей та центра.
Директриса та ексцентриситет
Число — це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпса . Прямі, рівняння яких та називаються директрисами еліпса. Ці прямі визначаються тим, що відношення відстані між будь-якою точкою еліпса та найближчим фокусом до відстані до найближчої директриси є сталим і дорівнює ексцентриситету.
Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі і , відстань фокуса від центру, ексцентриситет . Залежність між ними виражається формулами: . Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі і , або одну піввісь і ексцентриситет і т. д.
Якщо точки і збігаються, то еліпс стає колом радіуса . При цьому . Отже, коло є окремим випадком еліпса.
Еліпс у декартовій системі координат
a: велика піввісь,
b: мала піввісь
c: лінійний ексцентриситет,
p: фокальний параметр еліпса.
Канонічне рівняння еліпса
Якщо в Декартовій системі координат задати еліпс таким чином, що початок координат знаходитиметься в центрі еліпса, вісь x лежатиме на великій осі і
Для довільної точки відстань до фокусу становитиме , а до другого фокусу . Оскільки точка знаходиться на еліпсі, якщо виконується наступне рівняння
Уберемо корені піднесенням обох частин у квадрат і використаємо рівняння , в результаті чого отримаємо рівняння еліпса:
- якщо розв'язати його для y, то рівняння матиме вигляд:
Параметри, які визначають форму еліпса називаються великою і малою півосями еліпса. Точки є вершинами еліпса на малій півосі.
З цього рівняння випливає, що еліпс є симетричним відносно обох осей координат і таким чином є симетричним відносно початку координат.
Фокальний параметр
Довжина відрізку, що є половиною хорди, яка проходить через один із фокусів еліпса, перпендикулярно до великої осі називається фокальним параметром . Якщо його розрахувати, отримаємо:
Фокальний параметр також можна розглядати як радіус кривини стичного кола у вершинах .
Дотична
Довільно обрана пряма може перетинати еліпс у 0, 1 або 2 точках. У першому випадку така пряма називається зовнішньою прямою, у другому випадку дотичною і січною у третьому випадку. Через одну точку еліпса можна провести лише одну дотичну.
Доведення: Нехай буде точкою еліпса, а є векторним рівнянням прямої (що містить ). Якщо додати рівняння прямої у рівняння еліпса і відповідно отримаємо:
У випадку, коли пряма і еліпс мають лише одну спільну точку і є дотичною. Напрям дотичної є ортогональним вектору що є вектором нормалі відносно дотичної, а дотична має рівняння із досі не відомим . Оскільки знаходиться і на дотичній і на еліпсі, отримаємо .
У випадку, коли пряма має другу спільну точку із еліпсом.
із допомогою рівняння (1) можна легко перевірити, що є вектором дотичної у точці , що доводить векторне рівняння.
Примітка: Якщо і є двома точками на еліпсі, такими що виконується рівняння , тоді точки знаходяться на двох спряжених діаметрах еліпса. У випадку коли еліпс є колом, а «спряженість» означатиме «ортогональність».
Параметричне рівняння еліпса
За допомогою тригонометричних функцій , параметричне представлення еліпса можна задати так:
Параметр (в астрономії його називають ексцентричною аномалією[en]) по суті не є кутом утвореним із віссю x (як показано на діаграмі праворуч). Аби зрозуміти інтерпретацію параметру необхідно розглянути розділ про методи креслення еліпсів.
Нормальне рівняння еліпса
Визначення еліпса на основі властивості директриси
Дві прямі на відстані і паралельні малій осі еліпса називаються директрисами еліпса (див. малюнок).
- Для довільної точки , що лежить на еліпсі коефіцієнт відстані до одного з фокусів і до відповідної директриси (як на малюнку) дорівнює значенню ексцентриситету:
Доведення для пари випливає із твердження, що і задовольняють наступному рівнянню
Аналогічним чином доводиться і другий випадок.
Обернене твердження є також вірним і його можна застосовувати для визначення еліпса (у спосіб аналогічний визначенню параболи):
- Для будь-якої точки (що є фокусом), будь-якої прямої (директриса), що не проходить через точку і будь-якого дійсного числа такого що набір точок (геометричне місце точок), для яких коефіцієнтом відстані до точки і до прямої дорівнює
Вибір , що є значенням ексцентриситету кола, в даному контексті не дозволяється. Можна вважати, що директрисою кола є пряма на нескінченності.
(Вибір значення приводить до утворення параболи, а якщо , то гіперболи.)
Директриса задана рівнянням . Якщо , рівняння утворює наступні рівняння
Після заміни отримаємо
Це є рівняння еліпса () або параболи () або гіперболи (). Всі ці невироджені конічні перетини мають спільний початок у вершині (див. малюнок).
Якщо , введемо нові параметри такі, що , та , тоді вищезгадане рівняння стає
що є рівнянням еліпса із центром , а вісь x є великою віссю, а довжини великої і малої півосей дорівнюють .
(У правій частині рівняння використана нормальна форма Гессе[en] для прямої, щоб розрахувати відстань .)
Нормаль є бісектрисою кута між прямими до точок фокусів
Для еліпса правдивим є наступне твердження:
- Нормаль, що проходить через точку є бісектрисою кута між прямими .
Нехай є точкою на прямій , відстань від якої до фокусу дорівнює , є великою пів віссю еліпса. Пряма є бісектрисою кута між прямими . Для того, щоб довести що є дотичною прямою в точці , перевіримо, що будь-яка точка на прямій , що є відмінною від точки не може знаходитися на еліпсі. Оскільки має одну єдину точку яка є спільною із еліпсом і є, таким чином, дотичною у точці .
Із наведеного малюнку і нерівності трикутника можна встановити, що є вірним, що означає: . Але якщо є точкою еліпса, сума повинна бути рівною .
Спряжені діаметри і середні точки паралельних хорд
Для кола вірною є наступна властивість:
Діаметр і паралельні хорди є ортогональними. У загальному випадку афінне перетворення не зберігає ортогональність, але воно зберігає паралельність і середні точки лінійних відрізків. Звідси: властивість (M) (в якій пропущено термін ортогональність) є вірним для еліпса.
Із наведеної діаграми бачимо:
Термін спряжені діаметри є свого роду узагальненням ортогональності.
Розглянемо параметричне рівняння:
еліпса, будь-яка пара точок належить діаметру, а пара належить спряженому діаметру.
Метричні властивості
Всі метричні властивості описані нижче мають відношення до еліпса, що описується рівнянням .
Площа
Площа , що оточена еліпсом дорівнює:
де а де довжини великої півосі і малої півосі, відповідно. Формула площі є інтуїтивно зрозумілою: почнемо із кола радіусом (його площа становить ) і розтягнемо його із величиною співвідношення так, щоб утворити еліпс. Таке розтягування масштабує площу із тим самим співвідношенням: Формулу площі еліпса легко довести використавши наступне інтегрування. Рівняння (1) можна переписати наступним чином Для ця крива є верхньою половиною еліпса. Тому інтеграл по інтервалу помножений на два буде дорівнювати площі еліпса:
Другий інтеграл є площею кола із радіусом що дорівнює, Тому
Довільно визначений еліпс, за допомогою рівняння матиме площу
Довжина дуги еліпса
Довжина дуги еліпса обчислюється за формулою:
Використавши параметричний запис рівняння еліпса, отримуємо наступний вираз:
Після заміни вираз довжини дуги приймає остаточний вигляд:
Отриманий інтеграл належить до родини еліптичних інтегралів, які не виражаються у елементарних функціях, і зводиться до еліптичного інтегралу другого роду . Зокрема, периметр еліпса дорівнює:
де — повний еліптичний інтеграл Лежандра другого роду.
Наближені формули периметра
YNOT: , де . Максимальна похибка цієї формули становить близько 0,3619 % при ексцентриситеті еліпса близько 0,979811 (відношення осей ~1/5). Похибка завжди додатна.
Дуже наближена формула:
Дотична
Рівняння дотичної до еліпса через точку (x0;y0), яка належить еліпсу
Методи креслення еліпсів
Еліпси логічним чином виникають у нарисній геометрії як зображення (у паралельній чи центральній проєкції) кола. Тому дуже важливим є створення методів малювання еліпсів. До появи комп'ютерів, основними засобами для креслення були циркуль та лінійка, що використовувалися для побудови точок еліпса. А також існують інструменти (еліпсографи), які дозволяють малювати еліпси аналогічно, як циркулем малюють круги. Принцип роботи еліпсографа був відомий ще за часів давньогрецьких математиків (Архімеда, Прокла).
Якщо еліпсографа нема, найкращий і найшвидший спосіб — це намалювати еліпс з допомогою наближення за допомогою чотирьох кіл у вершинах еліпса.
Для використання будь-якого з наведених далі методів необхідно знати велику і малу осі еліпса (або: фокуси і велику піввісь). У випадку, якщо ця вимога не виконується, необхідно знати принаймні два його спряжені діаметри. Тоді за допомогою метода побудови Рітца[en] можна знайти велику і малу осі.
Метод із канцелярськими кнопками і ниткою
За визначенням еліпс є геометричним місцем точок для якого сума відстаней до фокусів є сталою. Це приводить до методу малювання із використанням двох канцелярських кнопок, нитки деякої довжини і олівця. За цим методом, кнопки закріплюються в двох точках, які є фокусами еліпса. Обидва кінці нитки закріплюються за допомогою цих двох кнопок кожний, а кінчик олівця відтягує нитку, так щоб утворився трикутник. Кінчик олівця буде окреслювати еліпс, якщо малювати фігуру так, щоб нитка була завжди натягнутою. Використовуючи цю техніку в саду, за допомогою кілків і мотузки, садівники таким чином розмічають еліптичні клумби, тому такий метод створення еліпсів іноді називають садовим.
За допомогою смужки паперу
Два наступних методи покладаються на параметричне представлення еліпса:
Це представлення можна змоделювати двома простими методами. В обох випадках необхідно знати велику і малу вісь .
Перший метод починається з:
- маємо смужку з паперу довжиною .
Точка, що розділяє довжини півосей позначена як . Якщо смужка буде рухатися обома кінцями по осям бажаного еліпса, тоді точка P буде окреслювати еліпс. Для доказу покажемо точку у вигляді параметричного представлення , де параметр є кутом нахилу паперової смужки.
Технічну реалізацію такого руху паперової смужки можна досягти за допомогою пристрою Тусі[en] (див. анімацію). Цей пристрій дозволяє намалювати еліпс із фіксованою сумою , що дорівнює радіусу більшого кола. Таке обмеження може бути недоліком для практичних задач. Більш гнучким є наступний метод.
Приклад: якщо хтось стоїть десь по середині сходів, які стоять на слизькій землі і опираються на слизьку стіну, така драбина почне ковзати вниз і ноги людини прослідують шляхом, що окреслює еліпс.
Варіація методу 1 паперової смужки використовує спостереження, що середня точка паперової смужки рухається по колу із центром (еліпса) і радіусом . Отже, паперову стрічку можна розрізати в точці на частини, що знову закріплюється з'єднанням в а рухомий кінець закріплюється в центрі (див. діаграму). Після цієї операції, рух незміненої частини стрічки залишається незмінним. Перевагою цього варіанту є те, що необхідно мати лише один ковзаючий елемент.
Другий метод починається з:
- смужки паперу довжиною .
Відмітимо точку, яка поділяє смужку на дві смужки, що мають довжини і . Смужку розміщують на осі як показано на малюнку. Якщо смужку рухати, Тоді вільний кінець смужки буде окреслювати еліпс. Аби довести це, аналогічно можна описати точки, по яким рухається стрічка параметричним способом , де параметр є кутом нахилу паперової смужки.
Цей метод лягає в основі декількох еліпсографів.
Примітка: Аналогічно до варіації із методом 1, інший варіант для другого методу із паперовою стрічкою можна отримати, якщо розрізати частину між двома осями на дві половини (див. діаграму).
Наближення за допомогою кіл
Із метричних властивостей еліпса відомо, що:
- Радіус кола у вершинах еліпса дорівнює:
На малюнку показано простий спосіб знаходження центрів кола у вершинах і , відповідно:
Центри для решти вершин можна знайти за допомогою симетрії.
Далі за допомогою лекала можна намалювати криву, яка плавно сполучаться із цими дотичними колами.
Генерування еліпса методом Штейнера
Наступний метод описує спосіб побудови окремих точок еліпса на основі генерації не вироджених конічних перетинів методом Штейнера[en]:
- Маємо два пучки прямих ліній, що виходять із двох точок (усі ці лінії містять або , відповідно) і проективне, але не перспективне відображення пучка у , тоді точки перетину відповідних прямих утворюють не вироджений конічний перетин.
Для генерації точок еліпса застосовують пучки, які виходять із вершин . Нехай є верхньою вершиною на малій осі еліпса і . є центром прямокутника . Сторону прямокутника поділено на однакові прямі відрізки і цей поділ проектується паралельно за допомогою діагоналі на лінійний відрізок , як це показано на малюнку. Паралельне проектування і обернення орієнтації є частиною необхідного проективного відображення між пучками в і . Точка перетину будь-яких відповідних прямих і є точками, які однозначно задають еліпс. За допомогою цих точок можна визначити точки другої чверті еліпса. Аналогічно можна отримати точки нижньої половини еліпса.
Примітки:
- Генерація методом Штейнера існує також і для гіпербол і парабол.
- Генерація Штейнера іноді називається методом паралелограма оскільки можна використати інші точки, а не вершити, які починаються з паралелограма, а не прямокутника.
Застосування
Фізика
Еліптичні рефлектори і акустика
Якщо в еліптичному резервуарі з водою поверхню води порушити в одному із його фокусів, кругові хвилі що утворяться, після відбиття від стінок, будуть збігатися одночасно в одну точку: другий фокус. Це є наслідком того, що загальна довжина будь-якого пройденого шляху між двома фокусами буде однаковою при відбитті від стінок.
Так само, якщо джерело світла розміщене в одному із фокусів еліптичного дзеркала, всі промені світла, що потрапляють на лощину еліпса відбиваються в точку другого фокуса. Оскільки жодна з гладких кривих не має такої властивості, її можна використовувати як альтернативне визначення еліпса. (Особливим випадком є коло, для якого усі промені із джерелом у центрі кола будуть відбиватися назад у центр кола.) Якщо еліпс обертати довкола його головної осі, що дозволяє отримати еліпсоїдальне дзеркало (зокрема, еліпсоїд обертання), ця властивість зберігається для всіх променів, що надходять з джерела. Як альтернативу, можна використати циліндричне дзеркало із еліптичним поперечним перерізом для того, щоб сфокусувати світло від прямої люмінесцентної лампи здовж прямої лінії на папері; такі дзеркала використовуються в деяких сканерах документів.
Звукові хвилі відбиваються аналогічним чином, тому у великій еліптичній кімнаті одна людина, знаходячись в одному із фокусів зможе надзвичайно добре чути іншу людину, що знаходиться в іншому фокусі. Цей ефект навіть більш відчутний під дахом із куполом, що має в основі форми має частину витягнутого сфероїда. Такі кімнати називають шепочущими галереями[en]. Той самий ефект можна продемонструвати розмістивши на відповідній відстані два рефлектори, що мають форму кінців такого сфероїду. Прикладами таких споруджень є зал із скульптурами у Вашингтонському Капітолії (в якому, як кажуть, Джон Квінсі Адамс використовував цю властивість для підслуховування політичних розмов).
Планетарні орбіти
В 17-му столітті, Йоганн Кеплер відкрив, що орбіти по яким рухаються планети довкола Сонця є еліпсами, і Сонце знаходиться приблизно в одному із фокусів еліпса. Це відкриття називається першим законом планетарного руху. Згодом, Ісаак Ньютон пояснив це як наслідок свого закону всесвітнього тяжіння.
У загальному випадку, в рамках гравітаційної задачі двох тіл, якщо два тіла зв'язані одне з одним (так що, їх загальна енергія є негативною), їхніми орбітами будуть подібні еліпси із спільним барицентром, що буде знаходитися в одному їх фокусів кожного еліпса. Інші фокуси двох еліпсів не мають відомого фізичного значення. Цікаво, орбіта одного тіла в системі відліку другого тіла також буде еліпсом, де друге тіло знаходиться в тому ж фокусі.
Кеплерові еліптичні орбіти є результатом радіально спрямованої сили тяжіння, сила якої буде зворотньопропорційна квадрату відстані. Таким чином, в теорії, рух двох заряджених частинок у вільному просторі також буде здійснюватися по еліпсу. (Однак, таке припущення не бере до уваги втрати енергії через електромагнітного випромінення і квантових ефектів, що стають важливими при русі частинок на великій швидкості.)
Для еліптичних орбіт, корисними рівняннями, що пов'язані із ексцентриситетом є:
де
- є радіусом в апоцентрі (найбільша відстань)
- є радіусом в перицентрі (найменша відстань)
- це довжина великої півосі
Також, в термінах of і , велика піввісь буде їхнім арифметичним середнім, мала піввісь буде їхнім геометричним середнім, а половина хорди фокусу еліпса дорівнює їх гармонійному середньому. Іншими словами,
Візуалізація фази сигналів
В електроніці, відносну фазу двох синусоїдних сигналів можна порівняти, якщо подати ці сигнали на вертикальний і горизонтальний входи осцилографа. Якщо на дисплеї буде видно еліпс, а не пряма лінія, два сигнали не в одній фазі.
Еліптичні коліщата
Два не круглих зубчатих колеса[en] із однаковим еліптичним контуром, кожне з яких обертається довкола фокусу і розміщені під певним кутом, обертатимуться плавно зберігаючи контакт одне з одним. Альтернативним чином, вони можуть бути з'єднані ланцюгом або зубчастий ремінь[en], а у велосипеді основна ведуча зірка може мати еліптичну форму, або форму овалу подібного до еліпса. Такі еліптичні коліщата застосовують у механіці для того, щоб створити змінну кутову швидкість або момент сили при сталому обертанні привідної осі, або у випадку з велосипедом для того, щоб створити різну швидкість обертання кривошипа при оберненій зміні механічної переваги[en].
Еліптичні велосипедні шестерні полегшують рух ланцюга, коли його необхідно зняти при переключені передач.
Прикладом застосування такого механізму може бути пристрій, який намотує нитку на конічну котушку у прядильній машині. Котушку необхідно обертати швидше, коли нитка знаходиться біля вершини ніж, коли вона біля розширеної основи.
Оптика
У оптично анізотропному матеріалі (подвійне заломлення світла), показник заломлення залежить від напрямку падіння світла. Цю залежність можна описати за допомогою індексного еліпсоїда[en]. Якщо матеріал є оптично ізотропним, цей еліпсоїд стає сферою.
Комп'ютерна графіка
Функціонал малювання еліпса як графічного примітиву є загальним у стандартних графічних бібліотеках, таких як QuickDraw API, і Direct2D в системі Windows. Джек Брезенхем із IBM є найбільш відомим за винайдення двовимірних графічних примітивів, включаючи лінію і коло, із використанням лише швидких операцій над цілими числами, такі як додавання та ін. Піттевей розширив алгоритми Брезенхема від ліній до конічних кривих в 1967. Інше ефективне узагальнення в зображенні еліпсів було винайдено в 1984 Джеррі Ван Акеном.
Денні Коен в 1970 р. на конференції «Комп'ютерна графіка 1970» в Англії представив лінійний алгоритм для малювання еліпсів і кіл. В 1971, Л. Б. Сміт опублікував подібні алгоритми для всіх конічних перетинів і довів, що він має хороші властивості. Ці алгоритми потребують лише декілька множень і додавань для розрахунку кожного з векторів.
Див. також
Примітки
- Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012). New Horizons in Geometry. The Dolciani Mathematical Expositions #47. The Mathematical Association of America. с. 251. ISBN 978-0-88385-354-2.
- The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as «Director circle», but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).
- J. van Mannen: Seventeenth century instruments for drawing conic sections. In: The Mathematical Gazette. Vol. 76, 1992, p. 222—230.
- David Drew. «Elliptical Gears». [1] [ 23 березня 2018 у Wayback Machine.]
- Grant, George B. (1906). . Philadelphia Gear Works. с. 72. Архів оригіналу за 29 квітня 2021. Процитовано 8 березня 2018.
- Pitteway, M.L.V. (1967). Algorithm for drawing ellipses or hyperbolae with a digital plotter. The Computer Journal 10 (3): 282–9. doi:10.1093/comjnl/10.3.282.
- Van Aken, J.R. (September 1984). An Efficient Ellipse-Drawing Algorithm. IEEE Computer Graphics and Applications 4 (9): 24–35. doi:10.1109/MCG.1984.275994.
- Smith, L.B. (1971). Drawing ellipses, hyperbolae or parabolae with a fixed number of points. The Computer Journal 14 (1): 81–86. doi:10.1093/comjnl/14.1.81.
Література
- Золотий логарифм і його застосування. Еліпс і рівняння його довжини / Є. П. Устянич. — Л. : Каменяр, 2011. — 76 с. : іл. — (Математичні новинки). — Бібліогр.: с. 73-74 (27 назв). — ISBN 978-966-607-177-7
Посилання
- Еліпс // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Еліпс // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 109-110. — 594 с.
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
| Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. (березень 2018) |