www.wikidata.uk-ua.nina.az

Еліпсоїд замкнута центральна поверхня другого порядку має центр симетрії та три осі які називаються осями еліпсоїда Точк

Еліпсоїд

Еліпсоїд — замкнута центральна поверхня другого порядку. Еліпсоїд має центр симетрії та три осі, які називаються осями еліпсоїда. Точки перетину координатних осей з еліпсоїдом називаються його вершинами. Січення еліпсоїду площинами є еліпсами (зокрема, завжди можна вказати кругові січення еліпсоїду). В декартовій системі координат рівняння еліпсоїду має вигляд:

Еліпсоїд обертання
Еліпсоїд

де a, b, c — додатні дійсні числа, що називаються півосями еліпсоїда. Оскільки сума трьох додатних доданків лівої частини рівняння дорівнює одиниці, то кожен з них (при дійсних значеннях координат) не може перевищувати одиниці:

Звідси випливає, що координати точок еліпсоїда задовольняють нерівність:

Отже, еліпсоїд - скінченна поверхня, яка цілком лежить всередині паралелепіпеда, розміри якого

Рівняння еліпсоїда

Декартові координати

Узагальнена форма

Довільно орієнтований еліпсоїд, із центром у точці v, визначається розв'язками x рівняння

де A це додатноозначена матриця і x, v це вектори.

Власні вектори A визначають головні осі еліпсоїда, а власні значення A це обернені квадрати півосей: , і . Для інтуїтивного розуміння цієї формули достатньо уявити матрицю як .

По суті, еліпсоїди це одиничні кулі піддані афінному перетворенню. Щоб побачити це згадаємо важливий факт щодо додатноозначеної матриці , існує матриця така, що . Позначимо еліпсоїд як . Розглянемо бієктивне афінне перетворення . Воно відображає еліпсоїд в одиничну кулю: .

Сферичні координати

Циліндричні координати

Формули

Об'єм

Див. також

Примітки

  1. Stephen Boyd Lecture 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD [ 26 червня 2013 у Wayback Machine.]. (англ.)

Джерела

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Elipsoyid zamknuta centralna poverhnya drugogo poryadku Elipsoyid maye centr simetriyi ta tri osi yaki nazivayutsya osyami elipsoyida Tochki peretinu koordinatnih osej z elipsoyidom nazivayutsya jogo vershinami Sichennya elipsoyidu ploshinami ye elipsami zokrema zavzhdi mozhna vkazati krugovi sichennya elipsoyidu V dekartovij sistemi koordinat rivnyannya elipsoyidu maye viglyad Elipsoyid obertannyaElipsoyid x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 frac z 2 c 2 1 de a b c dodatni dijsni chisla sho nazivayutsya pivosyami elipsoyida Oskilki suma troh dodatnih dodankiv livoyi chastini rivnyannya dorivnyuye odinici to kozhen z nih pri dijsnih znachennyah koordinat ne mozhe perevishuvati odinici x 2 a 2 1 y 2 b 2 1 z 2 c 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 leq 1 frac y 2 b 2 leq 1 frac z 2 c 2 leq 1 Zvidsi viplivaye sho koordinati tochok elipsoyida zadovolnyayut nerivnist a x a b y b c z c displaystyle a leq x leq a b leq y leq b c leq z leq c Otzhe elipsoyid skinchenna poverhnya yaka cilkom lezhit vseredini paralelepipeda rozmiri yakogo 2 a 2 b 2 c displaystyle 2a 2b 2c Zmist 1 Rivnyannya elipsoyida 1 1 Dekartovi koordinati 1 1 1 Uzagalnena forma 1 2 Sferichni koordinati 1 3 Cilindrichni koordinati 2 Formuli 3 Div takozh 4 Primitki 5 Dzherela 6 PosilannyaRivnyannya elipsoyida RedaguvatiDekartovi koordinati Redaguvati Uzagalnena forma Redaguvati Dovilno oriyentovanij elipsoyid iz centrom u tochci v viznachayetsya rozv yazkami x rivnyannya x v T A x v 1 displaystyle mathbf x v mathrm T A mathbf x v 1 de A ce dodatnooznachena matricya i x v ce vektori Vlasni vektori A viznachayut golovni osi elipsoyida a vlasni znachennya A ce oberneni kvadrati pivosej a 2 displaystyle a 2 b 2 displaystyle b 2 i c 2 displaystyle c 2 1 Dlya intuyitivnogo rozuminnya ciyeyi formuli dostatno uyaviti matricyu A A yak Q L Q T displaystyle Q Lambda Q T Po suti elipsoyidi ce odinichni kuli piddani afinnomu peretvorennyu Shob pobachiti ce zgadayemo vazhlivij fakt shodo dodatnooznachenoyi matrici A A isnuye matricya B B taka sho A B B T displaystyle A BB T Poznachimo elipsoyid yak E a A displaystyle E a A Rozglyanemo biyektivne afinne peretvorennya T x y B T x a displaystyle T x to y B T x a Vono vidobrazhaye elipsoyid v odinichnu kulyu E a A y y T y 1 E 0 I displaystyle E a A to y y T y leq 1 E 0 I Sferichni koordinati Redaguvati r 2 cos 2 ϕ sin 2 8 a 2 r 2 sin 2 ϕ sin 2 8 b 2 r 2 cos 2 8 c 2 1 displaystyle frac r 2 cos 2 phi sin 2 theta a 2 frac r 2 sin 2 phi sin 2 theta b 2 frac r 2 cos 2 theta c 2 1 Cilindrichni koordinati Redaguvati r 2 cos 2 8 a 2 r 2 sin 2 8 b 2 z 2 c 2 1 displaystyle frac r 2 cos 2 theta a 2 frac r 2 sin 2 theta b 2 frac z 2 c 2 1 Formuli RedaguvatiOb yem V 4 3 p a b c displaystyle V frac 4 3 pi abc Div takozh RedaguvatiZemnij elipsoyid Referenc elipsoyid Elipsoyid obertannya Metod elipsoyidivPrimitki Redaguvati Stephen Boyd Lecture 15 Symmetric matrices quadratic forms matrix norm and SVD Arhivovano 26 chervnya 2013 u Wayback Machine angl Dzherela RedaguvatiResursi z geometriyi Arhivovano 9 bereznya 2017 u Wayback Machine u Vidkritomu KataloziPosilannya RedaguvatiElipsoyid Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Elipsoyid Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 156 157 594 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Elipsoyid amp oldid 39603306